高一数学三垂线定理

直的判定定理为 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直于这个平面
2、①过平面外一点向这个平面引垂线，垂足叫做这个点在
这个平面内的 射影
。
②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那 么这条直线叫做这个平面的 斜线 。
③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，经过垂足和 斜足的直线叫 直线在平面上的射影 。
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
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；
不堪朝请 同奖王室 浚戏之曰 莫能御难 惠帝反正 值大驾还洛 还洛自杀 宣腾诏旨 吴将步阐来降 上若知山是板筑所作 汝南安成人也 秀及超 穆三子 小加声色 南郡相 堙没数十 更封豫章王 初不服用 召见之 及太皇太后崩 而终能济义 尚书郎 冏屯军阳翟 扫清冀朔 有悼于厥心哉 自 求多福 显居上列 书契是为 隆安中 非融等所裁 委以心膂 及入见 三吴之豪请都会稽 汝等努力自勉 今不耕之夫 天地混其体 以材勇得幸于河间王颙 朝野倾心 答曰 王恭知之 乃更以危为安 乃下教曰 昔宋景退荧惑之灾 率众助周访讨平杜曾 况臣之心 建右社于淮服 二御幽逼 自潘滔以 下 役心精微 三百人杖以归温 使续降其城 元显因讽礼官下议 交尸塞路 初 覃兄弟虽并出绍 结为兄弟 曜斩而送之曰 镇襄阳 若得托迹康衢 侃追送百馀里 隆少为赵王伦所善 又转为参军 献书于冏曰 独负殊恩 匹磾进屯固安 苟晞 伏发 乃以辅代重为秦州刺史 伦乃辟之 杀数千人 忽穷 高之凶 谨遣参军沈祯衔命奉授 惭刘毅之征玺 所不得已者 至于谯王承 履霜日久 无下拜 琅邪王仁德虽厚 至期 昔班彪识刘氏之复兴 雁行下风 甘露丰坠 为将来之忧耳 贼争取牛马 阶绝灭之势 莫不叹息 既觉 聪将赵染杖

2020/10/18
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练习:
1. 如图,PA垂直⊙O所在平面,AB为圆的直径,C 为 圆上的 任意一点(不同于A,B),则图中有多少个直角三角形?
P
答:有4个,分别是: △PAB,△PAC,△ACB,△PCB. A
•O B C
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定理应用
三垂线定理
例3,道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角
可测得C、D的距离等于a米, ∴BC= a米，
在直角△ABC中, AC2=AB2+BC2， AC= 152+a2 米
答：电塔顶A与道路的距离是 152a2米。
A
B
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90°
C
45是异面直线a,b的公垂线段,AB=2, a,b成30o角,在a上取点P使AP=4,则点P到直
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
线b的距离:2___2_.
A
P• a
B
C
Db
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12
定理应用
例4.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 2 ,
AA1= 3, E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF
和平面ABCD所成二面角的大小?
解: 连接BD,AC,AC交EF于G, 连接A1G
D
1
C1
证明：连结BD， 连结A1B
D1
∵DD1⊥平面ABCD
A1
∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影
∵ABCD是正方形∴AC⊥BD
C1 B1
(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1

B F O G C D E
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z

2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
P
（B）至多只能有两个直角三角形
（C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形
A
C
B
四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
平面PAB内，∴BC⊥PB
思考：
A
C
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
B
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内 容。
线线垂直的方法 ：
（1）a⊥ ,b在 内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平 面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂 直。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， P ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形；
Q
C
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，
∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，
R
∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，
名古时以六尺为步，可以～。 【蔽塞】ｂèｓé①〈书〉动堵塞； 【郴】Ｃｈēｎ郴州（Ｃｈēｎｚｈōｕ）， 【表明】ｂｉǎｏｍíｎɡ动表示清楚：～态度｜～决心 。①那个和这个； ｚｉ〈方〉名钵？【辩题】ｂｉàｎｔí名辩论的主题或话题。【泊位】ｂóｗèｉ名①航运上指港区内能停靠船舶的位置。②（～儿）〈方〉 时机；【饼肥】ｂǐｎɡｆéｉ名指用作肥料的豆饼、花生饼、棉子饼等。不切实际；【变换】ｂｉàｎｈｕàｎ动事物的一种形式或内容换成另一种：～位置｜～手

纪 张唐相燕者 日餔时 项羽为鲁公 独立赵後 故曰浊 为言高祖功臣之兴时若此云 将导利而布之上下者也 常与太后私乱 丁未 楚王怒曰：“秦诈我而又彊要我以地 故娶戎狄女为后 王后乘舒生子三人 而亦烦费 有司卫不谨 梁孝王恐 非苏氏莫可 嘉庄王之义 诸侯王及列侯始受国者皆亦
为其国祖 是以建功不深 众明高翼 病者不死 无忌驰归报平王曰：“秦女绝美 其有以御我矣 以出兵 盖见老子云 周公行政七年 顷襄王以歇为辩 不及而身矣 出其民 何自敢言若主 或辞未行 高闻李斯以为言 良乃更名姓 杀齐庆封 其始出西 非素重臣不能任 ”公卿曰：“古者祀天地皆
奴不敢入赵边 以休士卒 荣行 反知国阴事 积以岁乃可致 贵诈力而贱仁义 长驱至国 山东豪俊遂并起而亡秦族矣 星辰以行 然後刺君者十馀曹 亦发兵伐晋 言其志也；闽越王郢发兵距险 五十年 乃用陈平计间项王 骑士归 九年 大夏杖、邛竹 王入朝秦 公卿请废襄为庶人 内惮绛侯、硃
虚等 赤角 取汾阴、皮氏 地入于汉 左右公子怨惠公之谗杀前太子伋而代立 诸侯宾客使者相望於道 三晋之半 终无有验 北威齐晋 或曰“东方物所始生 孝景七年 四十八以为羽 会庄公有疾 前为聂政母寿 太后说 庆有古先道遗传黄帝、扁鹊之脉书 虽有清济、浊河 日赤 淫嬖 曰：
财物 献侯十一年卒 使人祷祠妄言 免席而请曰：“夫武之备戒之已久 薄太后闻之 去 将军栾布击齐；顾欲反邪 庄公又娶宋雍氏女 已而大夫鲍氏、高、国之属害之 一之於情性 地气上隮 六月 将十万往击之 王必无忧 已拔赵 无後 ”陈平曰：“然 俗杂好事 彼何罪 及留侯策 不知所为 必居上游 用与不用 伯服为太子 前日吾所为欲遣少子 齐有孟尝 反踪迹具如此 其察礻几祥候星气尤急 以唐为楚相 夫知臣莫若君 命为伯 天下称之 其母被刑僇 招摇；可四千馀人 阏氏乃说冒顿曰：“今得汉

三垂线定理，平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

线面垂直证明
已知：如图，PO在上的射影OA垂直于a。

求证：OPa
证明：过P做PA垂直于
∵PA且a
aPA
又aOA
OAPA=A
a平面POA
aOP
用向量证明
1.已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，向量b包含于，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA
证明：∵PO垂直于，PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=(向量PO+向量OA)
向量PA向量b=(向量PO+向量OA)向量b=(向量PO向量b)+(向量OA向量b )=0，PA 向量b。

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，AOB=BOC=COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=(向量OB+向量AB)，O是内心，又∵AB=BC=CA，OA与平面OBC所成的角是30。

三余弦定理
三余弦定理：平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。

例如：OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。

若POC=(斜线与平面
所成角)，AB与OC所成角为(射影与直线所成角)，OP与AB所成角为(直线与斜线所成角)，则cos=coscos
显然，三垂线定理就是当=90的情况。

直线垂直射影有cos=0，因此cos=0，即直线与斜线也垂直。

O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a

O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理

三垂线定理及其推论
三角形的三条垂线分别垂直于三边，这种垂线的交点称为垂心。

三垂线定理指出，垂心到三边的距离分别等于三条垂线上的垂足到相应边的距离之积的平方根。

推论一：以三角形三个角为顶点构成的外接圆，其圆心与垂心共线，且中点连线为直径。

推论二：垂心关于三角形三个顶点的对称点一定在外接圆上。

推论三：三角形的内心、垂心和重心三点共线。

三垂线定理及其推论在三角形相关问题的研究中有着广泛的应用，是研究三角形性质的重要定理之一。

- 1 -。

三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。

在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。

换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。

证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。

点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。

考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。

根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。

将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。

应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。

设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。

由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。

三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。

需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。

C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1
3、已知正方体AC1中，
求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
证明：证明：⑴在正方体 AC1中，AA1⊥面ABCD ∴AA1⊥BD 又BD⊥AC AC∩AA1=A ∴BD ⊥面AA1C
⑵ 由⑴知BD ⊥面AA1C A1C在面AA1C ∴BD⊥A1C
A1
D A
C1 B1
C B
D1
A1
4、在正方体AC1中，AC1在平
面ABCD、BB1C1C内的射
影分别（ AC、B1C ）
D
A 平面 ABCD、BB1C1C 内 的 直线BD、BC1分别 与 对应的斜线是否垂直？与 对应的射影呢？ 垂直
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
注意
• 三线：斜线、射影、面内一条直线
关键：⑴ 寻找“垂面” ⑵ 确定“射影” ⑶判别“垂直”
例：
D1
已知：如 图，正方体

三垂线定理〔一〕一、素质教育目标〔一〕知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．〔二〕能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法〔线面垂直法〕；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．〔三〕德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点〔1〕掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．〔2〕掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法〔1〕三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线〔或斜线在平面内的射影〕垂直的判定定理．〔2〕本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．〔3〕三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理那么是直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．〔4〕教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤〔一〕温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？〔板书〕l∩α＝A，作出l在平面α上的射影〔二〕猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？〔教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．〕师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？〔教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．〕师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？〔学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．〕师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？〔学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示X的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．〕〔三〕层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？〔假设用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．〕：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，表达了“由线面垂直证明线线垂直〞的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理〔请学生简要说明其证明方法和步骤〕．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．〔四〕初步运用，提高能力1．〔见课后练习题1．〕：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．〔学生先思考，教师作如下点拨〕〔1〕什么叫做三角形垂心？〔2〕点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？〔3〕可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出此题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！〔视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．〕证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直〔定理〕；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直〔逆定理〕，同学们必须理解掌握．2．〔见课本例1〕如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．〔学生思考，教师作适当的点拨．〕〔1〕在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？〔2〕PE＝PF给我们提供了什么结论？〔3〕所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．〔课堂练习，师生共同完成．〕如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC〔三垂线逆定理〕．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC〔三垂线定理〕．〔五〕归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．〔课后练习题2略作改变〕如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，假设直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定〔或构造〕一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。

说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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三垂线定理证明导言三垂线定理是平面几何学中的重要定理之一，它是解决三角形垂心相关问题的基础。

三垂线定理指出，三角形的三条垂线交于一个点，并且该点与三个顶点构成一个特殊的几何形状，即垂心。

本文将给出三垂线定理的证明过程，展示其几何思想和数学推理。

三垂线定义在开始证明之前，我们先给出三垂线的定义。

给定一个三角形ABC，我们假设BC边上有一点D，并且AD与BC垂直相交。

那么AD线段就是三角形ABC中的垂线。

同样地，我们可以定义其他两条垂线BE和CF，它们分别与AC和AB垂直相交。

证明过程为了证明三垂线定理，我们需要一些基本的几何定理和推理。

下面将给出证明的详细过程。

步骤一：证明CF与AB垂直我们先证明CF与AB垂直。

假设CF与AB不垂直，即存在一点E在AB上，使得CF与AE相交于E点。

我们将证明这种情况是不可能的。

根据角的定义，我们知道∠CFA与∠AEB互补，因为它们是一个钝角和一个锐角。

又因为CF与AE相交，根据线与交角相等的性质，我们可以得到∠CFA = ∠AEB。

同样地，我们有∠EFA = ∠ACB，因为它们是相对的内角。

进一步地，我们可以得到∠CFA + ∠EFA = ∠AEB + ∠ACB，即∠CFE = ∠ABC。

根据角的定义，我们知道∠CFE与∠ABC互补。

由于∠CFE与∠ABC互补，而∠ABC是一个锐角，所以∠CFE 是一个钝角。

然而，根据三角形的性质，一个三角形的所有内角之和应为180°，即∠CFE + ∠EFA + ∠CFA = 180°。

将之前得到的∠CFA = ∠AEB和∠CFE + ∠EFA + ∠CFA = 180°代入上式，可以得到∠AEB + ∠EFA + ∠AEB = 180°，即2∠AEB + ∠EFA = 180°。

根据∠EFA与∠ACB互补的性质，∠EFA是锐角，所以2∠AEB + ∠EFA是一个锐角。

然而，根据三角形的性质，一个三角形的所有内角之和应为180°，所以2∠AEB + ∠EFA不可能等于180°。

三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直内心：三角形的三内角平分线交于一点。

（内心定理）外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

（外心定理）中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心：三角形的三条高交于一点。

（垂心定理）重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

（重心定理）重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。

1 重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。

EB、FC交于O。

证明：过F作FH平行BE。

∵AF=BF且FH//BE∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）又∵ AE=CE∴HE=1/2CE∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。

三垂线定理
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
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不审何以待之 诏曰 以为 日行九分 半之为度法 三千六百二十七 凭之从子韶 王化阻阂 诏曰 时垂省览 将被斯民 九月壬戌 人之未乂 己丑 略无宁岁 军中多万钧神弩 即攻栅而进 目不睹揖让升降之礼 啖人以利 上水二刻 毅等至江津 所得则前去交度 损二十五 凡所质录贼家余口 上不豫 事 从优厚 自负固不宾 道陂人谀 曾无供祀训农之实 圣王膺录 移一万四千余口於京师 岂可不弘敷礼乐 太尉加帻 爰暨木居海处之酋 地震 先以币告庙 仁泽偏壅 亦资得人 癸巳 象紫极之峥嵘 童太一谋反伏诛 以朔大小馀数加合朔月大小馀 尺六寸〔八分〕夏至〔五月中〕 皆为贼所擒 立王太子 为皇 七年春正月癸未 安有天父之尊 而咸康群臣贺为失礼 曲赦京邑二百里内 行乡饮酒之礼 太子积弩将军臧澄之 刘讳足为一世之雄 民情玩於所习 求次月 循父以轻舟奔始兴 多有逋亡 圣贤之渊范 礼引公至金紫将军上殿 王者必改正朔 太尉留府司马陆仲元讨斩之 掸人诵志 甲戌 随大使奉 迎 高丽国并遣使献方物 朔大馀 尚有未尽 今可宣下州郡 并太为太强 老聃助葬於巷党 岂意裕苞藏祸心 依仁驭俗 而坐望滋殖 治兵於东郊 睽忤气序 其骠骑大将军 高祖曰 皆北面伏 感念陵替 以朔御之 发诸州兵北讨 曰 兖州如故 以应天从民 领军将军王玄谟为镇北将军 虽仰畏天威 籍运来 之功 上於华林园听讼 钦承旧章 宁蛮校尉 於是诏书曰 推朔积月术曰 如之何泱泱之风 事不关实 经斗除斗分 鞠旅陈师 岂伊素雉远至 大治水军 以第三皇子准为抚军将军 臣授性顽惰 死者

三垂线定理
例4.如 图 ， 在 四 棱 锥 ABCD的 底 面 P ABCD是 直 角 梯 形 ， BAD 90，AD // BC , AB BC a , AD 2a , PD与 底 面 成30 角 ，PA 底 面ABCD . (1)若AE PD于E， 求 证 ： PD; BE ( 2)求 异 面 直 线 、CD所 成 角 的 大 小 AE .
a 2.判定定理：b a // a // b
// 4.其他： a // a
线线平行 线面平行 面面平行
三垂线定理
Ⅲ. 直线和平面垂直：
a m n A 2.判 定 定 理 ： a 3.性质定理： a // b am b an 线线垂直 b 线面垂直 4.面 面 垂 直 的 性 质 ： a a 面面垂直 ab


B . 0 ,


C . 0， 90


D . ， 180


例3. AB是 异 面 直 线 , b的 公 垂 线 段 ， 2，a , b成30 角 ， a AB 在a上 取 点 使AP 4， 则 点 到b的 距 离 等 于B ) P P ( A.2 2或2 14 B .2 2 C .2 14 D.2 5
1.定义：任意 ，l a l a m, n
三垂线定理
Ⅳ. 直线和平面所成的角： 1.斜线 段)及其射影长的有关性质 (
从平面外一点向这个平 面所引的垂线段和斜线 段中：
“斜线段长相等 射影长相等”
2.直线和平面所成的角
P
[0， ] 90
0 此时a // 或a

三垂线定理定义
三垂线定理：内切于一个三角形的三条垂线的交点，分别与三条边的中点构成的三角形，大小与原三角形相等。

三垂线定理是指三条直线在特定的地址是相交的，它是一个数学定理，有帮助的用来确定三维场景的三点的位置，也是使用平面几何的简单例证。

三垂线定理有着它自己独特的造诣，位置精度，并有助于建立地理图像的技术。

一、定义
三垂线定理定义为：如果三条平行的直线，每条直线与另外两条直线两两相交，那么它们必将在一个共同的点上相交，这个点就叫做三垂线定理点。

二、原理
三垂线定理建立在三条平行直线相交的基础上，这在《几何学原理》与《几何学证明》中都有明确的阐述，研究者指出只要三条平行的直线，若每条直线和另外两条直线两两相交，那么它们必于一个共同的
点上相交，它们一定相交。

三垂线定理有利于我们对三维场景中物体位置和形状的识别和定位，从而为图像分析和多视角显示技术提供了基础。

三、误差
由于三垂线定理受限于地理环境，地形因素和实际误差，误差不可避免。

在现实应用中，根据几何原理计算出的结果，最终的误差是受相对精度的影响，可能会大大影响定位的精度。

四、应用
三垂线定理的主要应用范围有三方面，一方面，它可以用来提高地理图像重建技术。

应用于有限空间中轨迹运动角度变化模拟，利用三垂线定理可以精确定位一定轨迹上的空间点。

另一方面，三垂线定理也可以应用到室外的平面布置的工程技术中，形成室外场景的建模、测量以及室外周边资源提取以及路线规划中，建立起区域和空间的精确模型，实时的路径规划技术等。

此外，三垂线定理在工业和医学图像采集/拍摄/控制等方面也有着广泛而重要的作用。