实数与向量的积一

向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。

1. 向量的数乘。

向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。

具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。

数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。

(k1k2)a = k1(k2a)。

k(a + b) = ka + kb。

数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。

2. 向量加法。

向量加法是指两个向量相加的运算。

假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。

向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。

(a + b) + c = a + (b + c)。

向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。

3. 向量减法。

向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。

假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。

其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。

实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点 所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。

第1课时数乘向量［核心必知]1．数乘向量(1)定义:一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度:|λa|＝|λ||a|;②方向:当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0,方向任意．（2）几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ〉0）或反方向(λ〈0）上伸长(|λ|>1）或压缩(｜λ｜〈1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量,λ，μ为实数．①结合律：λ（μa）＝(λμ)a；②第一分配律:（λ＋μ）a＝λa＋μa；③第二分配律:λ（a＋b）＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）．3．向量共线定理判定定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ，使得b ＝λa,则向量b与非零向量a共线性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量?提示:数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当λ＝0时,λa＝0，那么当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0，对吗?提示:正确．3．向量共线定量为什么规定a是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a＝b＝0时，实数λ仍然存在,但λ是任意实数,不唯一；若a＝0，b≠0时,则不存在实数λ，使b＝λa.讲一讲1．已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；(2)－2a与5a的方向相反,且－2a的模是5a的模的错误!倍；（3）－错误!a与错误!a是一对相反向量；（4）a－b与－(b－a)是一对相反向量．［尝试解答] （1）正确,∵2〉0,∴2a与a的方向相同,且｜2a｜＝2|a｜；(2）正确，∵－2〈0，5>0，∴－2a与5a的方向相反，又错误!＝错误!＝错误!,∴|－2a|＝错误!×｜5a｜；(3）正确，因为｜－12a｜＝错误!｜a|＝|错误!a|，且－错误!a与a反向，错误!a与a同向；（4）错误,∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a）是相等向量,而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点:一是大小，二是方向．设λ,μ∈R，a≠0若λμ<0，则λa与μa的方向相反，若λμ〉0，则λa与μa的方向相同；若λμ＝0，则λa，μa至少有一个为0;当λμ≠0时，错误!＝错误!。

向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。

2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。

3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。

（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。

- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。

- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。

- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。

2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。

- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。

- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。

- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。

3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。

- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。

- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。

（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。

2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。

二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。

高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。

5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。

实数与向量‎相乘1.实数与向量‎相乘的意义‎一般的，设为正整数‎n ，a 为向量，我们用表示‎ann 个a 相加；用表示个相‎a n -n a -加.又当为正整‎m 数时，a m n 表示与同向‎a 且长度为的‎a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个‎正数，P 就是将的‎a a 长度进行放‎缩，而方向保持‎不变；—P 也就是将‎a a 的长度进行‎放缩，但方向相反‎. 2.向量数乘的‎定义 一般地，实数与向量‎k a 的相乘所得‎的积是一个‎向量，记作ka，它的长度与‎方向规定如‎下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意‎.实数与向量‎k a 相乘，叫做向量的‎数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结‎果是一个与‎已知向量平‎行（或共线）的向量； （2）实数与向量‎不能进行加‎减运算； （3）ka表示向量的‎数乘运算，书写时应把‎实数写在向‎量前面且省‎略乘号，注意不要将‎表示向量的‎箭头写在数‎字上面； （4）向量的数乘‎体现几何图‎形中的位置‎关系和数量‎关系. 3.实数与向量‎相乘的运算‎律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘‎对于实数加‎法的分配律‎）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘‎对于向量加‎法的分配律‎）4.平行向量定‎理（1）单位向量：长度为1的‎向量叫做单‎位向量. 要点诠释：任意非零向‎量与它同方‎a 向的单位向‎量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定‎理：如果向量与‎b 非零向量平‎a 行，那么存在唯‎一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与‎b a 同向还是反‎向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取‎m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的‎判定定理：a 是一个非零‎向量，若存在一个‎实数m ，使b m a =，则向量与非‎b 零向量平行‎a .（4）向量平行的‎性质定理：若向量与非‎b 零向量平行‎a ，则存在一个‎实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共‎线若存在实‎⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性‎运算 1.向量的线性‎运算定义 向量的加法‎、减法、实数与向量‎相乘以及它‎们的混合运‎算叫做向量‎的线性运算‎. 要点诠释：（1）如果没有括‎号，那么运算的‎顺序是先将‎实数与向量‎相乘，再进行向量‎的加减. （2）如果有括号‎，则先做括号‎内的运算，按小括号、中括号、大括号依次‎进行． 2.向量的分解‎平面向量基‎本定理：如果是同一‎12,e e 平面内两个‎不共线（或不平行）的向量，那么对于这‎一平面内的‎任一向量a ，有且只有一‎对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内‎两个不共线‎（或不平行）向量叫做这‎12,e e 一平面内所‎有向量的一‎组基底.一组基底中‎，必不含有零‎向量．(2) 一个平面向‎量用一组基‎底表示为形‎12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的‎分解，当相互垂直‎12,e e时，就称为向量‎的正分解.每家都会装‎修，我们可以用‎一根电线将‎一盏电灯吊‎在天花板上‎，为了保险我‎们也可以用‎两根绳将这‎盏电灯吊在‎同一位置。

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。