高一数学 暑假练习 实数与向量的积1

实数与向量的积一．知识清单1. 实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 ；0λ=时，λa = 。

2. 实数与向量的积的运算律：设R λμ∈，则 （1）()a λμ= ； （2）()λμ+a = ；（3）λ（a+b ）= ； 3．两个向量共线的充要条件向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b=λa 4. 平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得1122a e e λλ=+5．基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。

6．三点共线的充要条件,O A O B 不共线，三点A 、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练1．已知a =12e e +,b =122e e -,则向量a+2b 与2a-b （ ）A 一定共线B 一定不共线C 仅当12e e 与共线时共线D 以上均不成立 2．在ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB =a ，AD =b ，则下列选项中与12-a +12b 相等的向量是（ ）A MAB MBC MCD MD 3．设四边形ABCD 中，有12DC AB =，且AD BC =，则这个四边形是（ ） A 平行四边形 B 矩形 C 等腰梯形 D 菱形4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则x-y 的值等于（ ）A 3B -3C 0D 25．若M 是ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（ ） A AB BC AC ++ B AM MB BC ++ C AM BM CM ++ D 3AM AC +6．若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 7．已知向量12,e e 不共线（1）若12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证A 、B 、D 三点共线； （2）向量12e e λ-与12e e λ-共线，求实数λ的值 三．强化训练1．（2005山东）已知向量a 、b 且AB =a+2b ，BC =-5a+6b ，CD =7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）A A 、B 、D B A 、B 、C C C 、B 、D D A 、C 、D 2．（2006广东）如图D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ） A 12BC BA +B 12BC BA -+ C 12BC BA -- D 12BC BA -3．如图，在ABC ∆中，OA =a ，OB =b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP 等（ ）A23a 13- b B 23-a 13-b C 13a 23-b D 13-a 23+ b4．（2006武汉）如图所示），已知43AP AB =，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于（ ）A 1433OA OB -+B 1433OA OB +C 1433OA OB -D 1433OA OB --BCD AAO MNPB。

高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e AB +=，213e e CB +=，212e e CD -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。

解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量AB 与BD 共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明： 即 令 注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量μλ+与μλ-共线的充要条件是与共线。

事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。

充分性，由//，则存在唯一R t ∈，使t =，故t )(μλμλ+=+b t b a )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则0=-b a μλ，故 b a μλ+与b a μλ-共线 若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+=b a 2161+=故-= 即与共线则AC t AM t AP +-=)1(于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM t -+=t tt +-=-+=)331()31(31 设s = 同理s s +-=)1(s +=+=41s s+-=)441( 故有s s t t +-=+-)441()331( 由与不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331st s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以112113+= [例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。

高一数学实数与向量的积一目标：⑴要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 难点：对实数与向量的积的理解、理解向量共线的充要条件 过程:一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、新课：1．引入：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a=3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：①3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|②-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 3．运算定律：结合律： λ(μa )=(λμ)a① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立aaa a O AB C a -a -a -a-N M Q P如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a| |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。

从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa| ∴②式成立 第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB B A OA OA λ∴△OAB ∽△OA 1B 1 =||||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1OABB 1A 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例1 （见P106）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例2（P106 略） 三、小结： 四、作业：课本 P107练习 P109 习题5.3 1、2AOBB 1A。

一、选择题1．1e 、2e 是一组基底，则下面向量组中a 、b 共线的有①12a e =，22b e =-； ②12a e e =-，1222b e e =-+； ③12245a e e =-，12110b e e =-； ④12a e e =+，1223b e e =- A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④2．已知1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是A ．1e 和12e e +B ．122e e -和212e e -C ．122e e -和2142e e -D ．12e e +和12e e -3．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且3BC BD =，则AD 等于A ．1(2)3AC AB + B ．1(2)3AB AC +C ．1(3)4AC AB +D ．1(2)4AC AB + 4． 给出下列结论：（1）||||a a λλ=；（2）()()ua u a λλ=；（3）()u a a ua λλ+=+；（4）()a b a b λλλ+=+（,u R λ∈，a 、b 是任意向量）其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ． 4二、填空题5．在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，那么AB AD BC BE CF ++++= 。

6．若a 、b 、c 是已知向量，且112()(3)032y a c b y b --+-+=，则y = 。

7．若34x y a +=，23x y b -=，其中a 、b 为已知向量，则x = ，y = 。

8．已知a 、b 是非零向量，且||,||,a m b n c a b ===+，则当m n <时，||c 的最小值为 。

三、解答题9．设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB ke e =+，1223BC e e =+，122CD e e =-，若,,A B D 三点共线，求k 的值。

2021-2022年高一数学暑假练习实数与向量的积2一、选择题1．、是一组基底，则下面向量组中、共线的有①，；②，；③，；④，A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④2．已知和是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是A．和 B．和 C．和 D．和3．在中，D是BC上一点，且，则等于A． B．C． D．4．给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）（，、是任意向量）其中正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D． 4二、填空题5．在中，点D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，那么++++=。

AB AD BC BE CF6．若、、是已知向量，且112()(3)032y a c b y b--+-+=，则。

7．若，，其中、为已知向量，则，。

8．已知、是非零向量，且，则当时，的最小值为。

三、解答题9．设、是两个不共线的向量，已知，，，若三点共线，求的值。

10．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设，。

（1）以为基底表示；（2）以为基底表示。

11．设向量、不共线，向量，且、、有共同的起点，试证：向量、、的终点在一条直线上的充要条件是。

一、选择题1．A2．C3．A4．C二、填空题5．6．7．8．三、解答题9．10．（1）（2）11．略34495 86BF 蚿36643 8F23 輣Q39853 9BAD 鮭Dg28329 6EA9 溩#26458 675A 杚=29668 73E4 珤21016 5218 刘24141 5E4D 幍。

高一数学下学期向量的加减法 实数与向量的乘积同步测试说明：本套试卷分第一卷和第二卷两局部.第一卷60分，第二卷90分，一共150分，答题时间是120分钟.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分，请将所选答案填在括号内〕 1．以下各量中不是向量的是〔 〕A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．以下命题正确的选项是〔 〕 A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．假设a 、b 都是单位向量,那么a =bC ．假设AB =DC ,那么A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点一样3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，那么 MC MB MA -+等于〔 〕A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．向量b a 与反向，以下等式中成立的是〔 〕A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,那么〔 〕A ．AB 与AC 一共线 B ．DE 与CB 一共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等6．向量e 1、e 2不一共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,那么x -y 的值等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．27．正方形ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b , AC =c ,那么|a +b +c |等于〔 〕A ．0B ．3C ．2D ．228．以下各式计算正确的有〔 〕(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b (3)a －2b +a +2b =2a (4)假设a =m +n ,b =4m +4n ,那么a ∥bA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是〔 〕A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．以下各式表达不正确的选项是〔 〕A ．假设a ≠λb ,那么a 、b 不一共线(λ∈R )B ．b =3a (a 为非零向量),那么a 、b 一共线C ．假设m =3a +4b ,n =23a +2b ,那么m ∥n D ．假设a +b +c =0,那么a +b =-c11．假设2121,,PP P P b OP a OP λ===，那么OP 等于〔 〕A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出以下各式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔每一小题4分，一共16分，答案填在横线上〕13．|AB |=1,| AC |=2,假设∠BAC =60°,那么|BC |= .14．点A(－1,5)和向量a ={2,3},假设AB =3a ,那么点B 的坐标为 . 15．在四边形ABCD 中，假设||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,那么四边形ABCD 的形状是 .16．一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,那么河水的流速的大小为 . 三、解答题〔本大题一一共74分，17—21题每一小题12分，22题14分〕 17．菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.18．设OA 、OB 不一共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ． 19．向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不一共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=一共线？20．i 、j 是两个不一共线的向量,AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,假设A 、B 、D 三点一共线,试务实数λ的值.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的间隔 ．参考答案一、选择题1．D 2．A3．C 4．C 5．B ．A 7．D 8．C9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题13．3 14．(5,4) 15．菱形 16．2 km/h三、解答题17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=218．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 一共线.∴AP =t AB (t ∈R )∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB令λ=1-t ,μ=t∴λ+μ=1∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R19．解析：222,2,,.2339,k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j∵A 、B 、D 三点一共线,∴向量AB 与BD 一共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j∵i 与j 是两不一共线向量,由根本定理得:⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-312)1(33λμλμμ 故当A 、B 、D 三点一共线时,λ=3.21．解析：如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，那么||||21BC BC ==λλ，=+=+=+∴21λλ．22．解析：〔1〕3000千米； 〔2〕正向．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。