数学中的逻辑推理汇总40页PPT

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判断推理方法概述
• ●上述解决逻辑推理题目的思维方法，称为判断推理的方法。该方法一般要使用 穷举的策略，将每种可能的情形一一列举出来，利用题目所给定的命题条件作 为解题的线索，通过验证各种可能情况下题目所给出的条件是否成立来寻找问 题的答案。
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设定推理变量
• ●在求解逻辑推理问题时，如何设置推理变量，设置多少推理变量，怎么确定推理变 量的值域范围，这些往往是问题的难点。
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例题2：区分国籍问题
• 区分国籍：有六个不同国籍的人A、B、C、D、E和F，分 别来自美国、德国、英国、日本、中国和法国。现在已 知：
• ①A与美国人是医生。 • ②E和中国人是教师。 • ③C和德国人是律师。 • ④B和F已经做了父亲，而德国人还未结过婚。 • ⑤法国人比A年龄大；日本人比C年龄大。 • ⑥B同美国人穿着蓝色衣服，而C同法国人穿着黑色衣服。 • 由上述已知条件，编程求解A、B、C、D、E和F各是哪国
逻辑学理论上被称为命题。能够成立的命题，称为真命题；不能成立的命题， 称为假命题。例题中指出：甲、A和丙讲的三句话都是假话，因此，对应的命题 为假命题，其否定形式便成为真命题。
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解题思路
• ⑷使用穷举策略，使穷举变量a、b、c穷尽三个母亲的编号，构造循环结构，并 在循环体内检验所有的约束条件是否成立，找出使逻辑命题成立的解空间 (a,b,c)。
• ●推理变量的设定因题而异，具体问题要具体分析。但总的原则是： • ⑴设定的推理变量应该能够覆盖题目所有可能的情形； • ⑵推理变量应该能够表达出题目所蕴含的所有的命题条件，包括显式条件与隐式条
件；
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设定推理变量

四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
× × √ √ 答：丁打碎了玻璃。
× × √ √
√
√
×
√
×
√
√
×
四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
解答逻辑推理问题： 1、排除法； 2、对比法； 3、假设法； 4、列表法。
四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
例2 A、B、C三个人，一个是经理，一个是会计，一个是司机。如果C比会计年龄 大，A与司机的年龄不相同，司机的年龄比B小，那么A的职务和B、C的职务各是什么？
我知道A、B不是司机， 那么司ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ只能是C。
B不能是会计，只能是经理。
答：A是会计，B是经理，C是司机。
四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
8649
×
×
2370
×
×
4917
√
√
8340
×× × ×
四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
千百十个 6927
答：小纯写的四位数是6927。
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例4 有1克、2克、4克和8克的砝码各1个，其中丢了一个砝码，所以把砝码放在 一端，在只能称一次的情况下，无法称出12克和7克，问：丢的那个砝码是几克？
假设甲说的前半句是对的。
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丙第一名 我第一名 丁第二名
四年级下册数学思维拓展训练 逻辑推理优秀PPT（一） 全国通用
例5 甲乙丙丁同时参加一次数学竞赛，赛后他们四人预测名次，谈话如下：甲：“丙第一名， 我第三名。”乙：“我第一名，丁第四名。”丙：“丁第二名，我第三名。”丁没有说话，最 后公布结果时，发现他们的预测都只对了一半，请你说出这次竞赛的甲乙丙丁四人的名次。

织多少场次？
答案：15场
五、PK练习
• 1.已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。 甲说：“我会开”，乙说：“我不会开”，丙 说：“甲不会开”。如果这三句话只有一句是 真的，那么谁会开汽车？
语文
数学
外语 (女)
甲
1
0
乙
1
丙
1
0
0
• 归纳总结：
•
逻辑推理有技巧，找准突破口，推
理讲条理，前后无矛盾，假设就成立。关
键时刻要画图，还有列表好帮手，及时记班级学生的人数来定。（组内演 示）
• 1、（4人一组）每两个人都握一次手， 一共握手多少次？ 答案：3+2+1=6（次）
• 2、（5人一组）每两个同学要通一次电
话，共要打多少次电话？ 答案：（10次 ）
• 3、（6人一组）学校里高年级有6个班，
每两个班相互比赛篮球一次，这样要组
• 小明说三人中有一人两句话都说错了，一人 两句话都猜对了，一人对一句错一句。问小 明的哪只手中有硬币？
• 可采用假设法。假设甲说的
全对，则乙说的就会全错；丙说的 不会两手都没有（对），我猜左手 没有（对），推知乙、丙两人说话 的内容不符合条件，所以这种假设 是错误的。假设甲说的全错，即左 手没有（错），右手有（错），可 推知左手有，右手没有是正确的， 而乙正好说右手没有（对），左手 有（对），所以乙两句都猜对，而 丙说，不会两手都没有（对），我 猜左手没有（错）。通过假设甲全 错，推知另外两人说话的内容符合 条件，所以这种假设是正确的。可 知硬币在左手。
假设法、画图法、列表法、 直接法、排除法等
• 2、逻辑推理问题的解 决，需要我们深入地 理解条件和结论，分 析关键所在，找到突 破口，进行合情合理 的推理，最后做出正 确的判断。

成绩一公布，只有一个人说错了，请你按照 考试分数由高到低排出他们的顺序。
1、假设法
根据“两个互相否定的思想不能同真”就可 以判断出有一个是错误的,综合其他人说的话,就 可以找出答案.
在生活中逻辑推理是必不可 少的一项技能，同学们，勤于 思考，乐于动脑，让我们用我 们的智慧，解决身边的烦恼。
三、练习巩固
1.一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、 D，他们的供词如下：
A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。 C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。 他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是 小偷吗？
三、练习巩固
2、某次考试考完后，A，B，C，D四个同学猜 测他们的考试成绩。 A说：“我肯定考得最好”。 B说：“我不会是最差的”。 C说：“我没有A考得好，但也不是最差的”。 D说：“可能我考得最差”。
解答：丙得第一，丁得第三，甲得第二，乙得第四。
• 练习3:甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。 赛后，他们四人预测名词的谈话如下： 甲：“丙得第一，我第三”。 乙：“我第一，丁第四”。 丙：“丁第二，我第三”。 丁：没有说话。
最后公布结果时，发现甲、乙丙三人的 预测都只对了一半。请你说出这次竞赛 中甲、乙、丙、丁四人的名次。
逻 辑 推 理
一、情境导入（谈话导入）
二、探究新知
例1：星期一早晨，王老师走进教室，发现教室 里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这 是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是 ，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住 校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修 的。（2）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘 成说：桌凳是李平修的。（4）张明说：我没有 修过桌凳。后经了解，四人中只有一个人说的 是真
例2：虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书

所以，何伟住在南京。
在解答逻辑问题时，有时需要将列表法与假 设法结合起来。一般是在使用列表法中，出现不 可确定的几种选择时，结合假设法，分别假设检 验，以确定正确的结果。
例8： 一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回
去，小马虎见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现 在知道：
（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；
2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车 工、电工和钳工，他们都是象棋迷。
（1）电工只和车工下棋； （2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；
（3）徐师傅与电工下棋互有胜负； （4）陈师傅比钳工下得好。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？
3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、 数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现 知道：
由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农
民，小张不是农民。表格中打“√”表示肯定，打“×”表
示否定。
徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂表的木中工、，车工任、电一工和行钳工、，他任们都一是象列棋迷只。 能有一个“√”，其余是
宝问宝：说 丙：拿“的是是星谁星的无本意？打丙破的“的本×。被谁”拿，走了所？以小李是农民，于是得到左下表。
甲本 乙本 丙本 丁本 戊本
甲××
×
乙
×××
丙
××
×
丁
×××
戊×
××
先假设甲拿了丙的本。于是得到左下表，表中乙拿戊的本 ，戊拿乙的本。两人相互拿错，不合题意。
再假设甲拿戊的本。于是可得右下表，经检验，表 3符合题意。
所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。
甲本 乙本 丙本 丁本 戊本 甲×× √ ×× 乙×××× √ 丙××× √ × 丁 √ ×××× 戊× √ ×××

知识：IF father(x,y) and man(y) THEN son(y,x) 事实：father(李四，李小四) and man(李小四) 不确定性匹配是指两个知识模式不完全一致，但是 它们的相似程度又在规定的限度内。
变量代换
定义4.1 代换是一个形如
{t1/x1,t2/x2,…,tn/xn} 的有限集合。
该假设的知识送入KS
从KS中选出一条知 识，并将该知识的 一个运用条件作为
新的假设目标
有此事实？ N
Y 该假设成立， 并将此事实存
入数据库
Y 还有假设？
N 退出
动物识别的例子
已知事实：一动物{有毛，吃草，黑条纹}
R1：动物有毛 → 哺乳类 R2：动物产奶 → 哺乳类 R3：哺乳类 ∧ 吃肉 → 食肉类 R4：哺乳类 ∧ 吃草 → 有蹄类 R5：食肉类 ∧ 黄褐色 ∧ 有斑点→ 猎狗 R6：食肉类 ∧ 黄褐色 ∧ 黑条纹→ 虎 R7：有蹄类 ∧ 长脖 → 长颈鹿 R8：有蹄类 ∧ 黑条纹 → 斑马
正向推理示意图 开始
把初始已知事实送入DB
Y DB中包含问题的 解？
N
N KB中有可适用的 知识？
Y 把KB中所有使用知识都
选出来送入KS
将该新事实加入DB中
Y
N
推出的是新事
实？
按冲突消解策略从KS中 选出一条知识进行推理
KS为空？
N
把用户提供的新 事实加入DB中 Y
成功
Y
用户可补充新事 实？
N 失败 退出
6. F3=F2{g(y)/u}={P(a,f(a),f(g(y))),P(a,f(a),f(g(y)))} 。
σ3=σ2°{g(y)/u}={a/z,f(a)/x,g(y)/u}

类比推理
二、类比推理的作用
1．类比是对知识进行理线串点，融汇贯通的好办法。 与识如 认的平 识类面 。比几 如，何 下使、 表我线 所们性 示加代 ：深数 对与 高泛 等函 数分 学析 的有 理关 解知
类比推理 2．类比是富于创造性的方法之一 拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。” 3．借用简化的类比形式，可望形成有关问题答案的猜想，从而找到有用的探索 方向 例 已知x+y+z=x· y· z，求证
类比推理 3．运用类比推理应注意的几个问题 (1)要善于观察事物的特点，注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处， 并追究造成这种共同或相似的原因。要大胆放宽眼界，不受自己的研究对象与学 科的限制。 (2)要善于联想，从一事物联想到与它性质相似的其他事物，从一种方式方法 联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密 切的一串概念或定理。 (3)类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析。归纳、类比和探索 性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握 创造性思维等特征，并运用到实际工作中去。
数学思维概述
4．数学思维的独创性 思维的独创性指独立思考创造出有一定价值和
新颖成果的智力品质，是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。 在数学学习中，思维的独创性表现为善于独立地思考和分析问题，寻 求多种途径解决问题，或者能从旧问题引申出一些新问题。思维的独 创性较多地寓于发散思维和直觉思维之中。
§1 归纳推理
2．因果关系归纳法 因果规律的特点，在前后相继的一些现象中，通过某些现象的相关变化，归纳 出现象间的因果联系。这种方法叫做因果关系归纳法。大体可分为以下五类,五种 方法中，最基本的是求同法 与差异法，它们都是发现因果联系的方法。

练习10
甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛 一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分。结果甲第 一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？
答：总场数3+2+1=6场，总得分6×2=12分 我们对乙丙假设求解 （1）不可能三胜，如果三胜肯定得等一，而不是等二名。 （2）如果乙丙两胜，甲则三胜或两胜一平，如果甲三胜，则共有7场胜， 总共才6场比赛，不可能。如果甲两胜一平，则乙丙两胜一负，现在总 共有6胜，所以总共应该6负，则所有比赛都是胜-负，没平-平，矛盾。 所以乙丙两胜也不可能。 （3）乙丙一胜一平，正好可以，乙得3分。
【分析】你是老实人吗？ 老实人回答：是 骗子说：是 或者提问：你是骗子吗？ 老实人回答：不是 骗子回到：不是
例4
学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所
有选手各赛一场，一共进行了场比赛，有多少人参加了选
拔赛？
设x个人参加比赛，每个参赛选手都要和其他选手赛一场， 则每个选手赛（x-1）场，x个人赛（x-1）×x场，但每两个人只赛 一场， 所以这里有一半是重复的，所以实际应赛：x×（x-1）÷2=36，即 x×（x-1）=72； 因为，8×9=72，所以x=9；
例3
传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说 真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说 真话，在星期四、五、六说假话。有一天，一个人到说谎国去旅 游，他在那里认识了一男一女。男人说：“昨天我说的是假话” ，女人说：“昨天也是我说假话的日子”。这下，那个外来的游 人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判 断一下今天是星期几呢？
乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第 一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对 刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？

13
例3
5位同学进行象棋比赛，采用单循环制。到现在为止，甲已经进行了4 场比赛，乙已经进行了3场比赛，丙进行了2场比赛，丁进行了1场比 赛。余下的一人进行了多少场比赛?
甲
乙
戊 丙
丁
分析：甲进行4场比赛，所以与其余4人各比一场， 乙进行3场，乙已经与甲比赛，丁进行1场，所以丁 只与甲进行比赛，乙另外2场分别为丙与戊 已经满足题目条件，所以戊进行了2场。
总结：每个班可以与其他3个班进行3场比赛，共4个班， 4×3=12(场)，但注意A与B比，和B与A比是同一场，所以 要除以2。
3
例1
分析：共5个组，每个组可以与其他4个组进行20场比 赛，5×4=20(场)，但注意A与B比，和B与A比是同 一场，所以要除以2。
5×4÷2=10(场) 答：一共进行10场比赛。
14
练习5
八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，采 用单循环制。一个月过后，八一队进行了4场比赛，北京队进行了4场 比赛，江苏队进行了2场比赛，山东队进行了2场比赛。广东队进行了 多少场比赛?
八一
分析：八一队进行4场比赛，所以与其余4队各比一场， 北京 北京队进行4场，与其余4队各比一场
9
练习3
四年级进行围棋比赛，一共有32人参加。如果两两配对进行淘汰赛，要想 决出一名“最强小棋手”，需要进行多少场比赛？
32÷2=16(场) 16÷2=8(场) 8÷2=4(场) 4÷2=2(场) 2÷2=1(场) 总场次：16+8+4+2+1=31 (场)
答：需要进行31场比赛。
10
练习4
甲、乙、丙、丁四支球队进入了足球比赛的前四强。如果两两配对进行淘 汰赛，要想决出前三名，需要进行多少场比赛？

陈景润为之 斗争了终身
依然是猜测
2、不完全归纳法在学生进展数学发现中的作用
〔1〕协助学生进入研讨问题的起点〔发现的起点〕
万事开头难，尤其是低年龄段的学生〔大学以下〕， 习惯与接受式学习方式的学生，对于一个有待于研讨的 问题，往往无从下手。
假设有一种方法可以把他的学生带到研讨问题的起点， 何乐而不为呢？
从图形的规律中找结果与n的关系：
一个顶点处有n-3条对角线，每条对角线
属于两个顶点，n个顶点共有
条对角
线。
f(n)
证明思绪： 第n条直线与前面n-1条直线交于n-1个点，使平面区域添加n个， 所以f(n)=f(n-1)+n。
例如，如图，在有公共边的三角形和矩形的边上有规律 地陈列一些点，填空：
每边有2个点， 每边有3个点， 每边有4个点，…， 每 边有n个点， 共有 个点； 共有 个点； 共有 个点；…，共有 个〔点选．自朝阳区2019-2019第一学期初三期末统考题〕
类比推理与归纳推理一样具有不可靠性。 例如：由 a(b+c)=ab+ac
类比 sin(A+B) =sinA+sinB lg(M+N) =lgM+lgN
结论是不正确的
由类比得到的结论，只是猜测，经过证明的才是正确的。
五、数学<课程规范>对合情推理的要求
<课程规范>在对学生学习内容的要求中指出： 学生的学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，应 该有利于学生自动地进展察看、实验、猜测、验证、推理与交流 等数学活动。 <课程规范>在学生学习的方式中指出：
三、归纳推理
1、归纳推理是察看资料、认识模型并从察看作 出概括的过程，所得出的概括叫做猜测。