2012年北约自主招生数学试题与答案

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。

2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x'=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。

∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。

即tan x x >。

注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．I HG FE 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s'=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ． 5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=1,1不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答2013年北约自主招生数学试题与答案1．1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和11 5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围，使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1
的等差数列，求n m -
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。

5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？
7、若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解，求a 的值。

8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形。

9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。

北约自主招生试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 北约成立于哪一年？A. 1949年B. 1950年C. 1960年D. 1970年答案：A2. 北约的全称是什么？A. 北大西洋合作组织B. 北大西洋公约组织C. 北大西洋发展组织D. 北大西洋经济组织答案：B3. 北约的总部设在哪个国家？A. 美国B. 英国C. 法国D. 比利时答案：D4. 下列哪个国家不是北约成员国？A. 德国B. 意大利C. 西班牙D. 巴西答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 北约的成立是为了实现______。

答案：集体防御2. 北约的创始成员国包括美国、加拿大和______个欧洲国家。

答案：103. 北约的旗帜上有一个蓝色的圆圈，圆圈上有______颗白色的星星。

答案：144. 北约的秘书长是______。

答案：（此处填写当前北约秘书长的名字）三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述北约的主要职能。

答案：北约的主要职能包括维护成员国的集体安全，促进成员国之间的政治和军事合作，以及在全球范围内进行军事干预以维护国际和平与安全。

2. 描述北约在冷战期间的作用。

答案：在冷战期间，北约作为西方阵营的主要军事同盟组织，对抗苏联及其盟国的军事威胁，维护了西方世界的安全和稳定。

四、论述题（每题15分，共30分）1. 分析北约在当今世界政治中的作用和影响。

答案：北约在当今世界政治中的作用和影响主要体现在以下几个方面：一是作为西方世界的军事同盟，维护成员国的安全和利益；二是通过军事合作和联合行动，提高成员国的军事实力和应对危机的能力；三是在全球范围内参与维和行动，维护国际和平与安全；四是推动成员国之间的政治对话和经济合作，促进区域稳定和发展。

2. 讨论北约未来面临的挑战及其应对策略。

答案：北约未来面临的挑战主要包括：一是新兴大国的崛起可能对北约的权威和影响力构成挑战；二是恐怖主义和极端主义的威胁，需要北约加强反恐合作；三是网络安全问题，北约需要加强网络防御能力；四是内部分歧，需要加强成员国之间的沟通和协调。

北京大学自主招生数学（文科）解答24. 解法一：（4分）（6分）（6分）（2分）说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43，得2分.解答二：建立坐标系，设)0,(a A ，)3,(b b B ，))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a （4分）61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a （6分） 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当43 =c ，41 =b ，21 =a 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处（比如某边中点），可相应给分解答三：建立坐标系，设)0,(x A ，))21(3,(y y B -，))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x （4分） 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x （6分）4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当且仅当41- =z ，41 =y ，0 =x 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。

解法一：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u （5分）同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u （5分）x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三：证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 （5分） ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 （10分） ∴ DE = CD （15分） 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四： 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五：证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六：∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴（∠1+∠10）+（∠4+∠5）+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°（5分）∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 （10分）∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七：∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八：∵∠B=∠E∴ AC=AD （5分）∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九：∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD （5分） ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE （15分） ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十： 设AB=a, AE= b2 ，BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE （5分）设 AC=BE=c 由余弦定理，得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 －2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 －2 a b cos 108° ② （10分） ①-②,得 （b 1－b 2）(b 1+b 2－2 a b cos 108°）= 0 ∵ cos 108°＜0∴ b 1+b 2－ 2 a b cos 108°＞0 （若同学没有这一步，则这道题只得10分） ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一：∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明：1、只画图，没有证明，记0分。

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。

二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。

一道２０１２年自主招生北约联考试题的联想蔡祖才（江苏省常熟市中学，２１５５００） ２０１２年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题，题目描述简单，解答就很容易．但这种优美的设问方法，给我们带来很多联想，有利于我们对数学思维的展开．题目　如果锐角△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ，求Ｏ到三角形三边的距离比．图１解答　因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以圆心Ｏ在△ＡＢＣ内部，如图１，过Ｏ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，设外接圆的半径为Ｒ，根据圆心角与圆周角的定义，可知∠ＤＯＣ＝１２∠ＢＯＣ＝∠Ａ．在Ｒｔ△ＤＯＣ中，ＯＤ＝Ｒｃｏｓ∠ＤＯＣ＝ＲｃｏｓＡ，同理可得，ＯＥ＝ＲｃｏｓＢ，ＯＦ＝ＲｃｏｓＣ．因此，Ｏ到三角形三边的距离比为ＯＤ∶ＯＥ∶ＯＦ＝ｃｏｓ　Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．锐角三角形外接圆圆心到三边的距离比有这样优美的结论，可以联想，锐角三角形的垂心，重心到三边的距离比也有同样优美的结论．经过探究，我们得到以下结论．结论１　如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三边的距离比为１ｃｏｓ　Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．图２证明　设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图２，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＤＣ＝ＡＣｃｏｓＣ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣ；在Ｒｔ△ＨＤＣ中，∠ＤＨＣ＝∠Ｂ，ＨＤ＝ＤＣｃｏｔ∠ＤＨＣ＝ＤＣｃｏｔ　Ｂ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣｃｏｔ　Ｂ＝２ＲｃｏｓＢｃｏｓＣ，同理可得ＨＥ＝２ＲｃｏｓＣｃｏｓ　Ａ，ＨＦ＝２Ｒｃｏｓ　ＡｃｏｓＢ，所以ＨＤ∶ＨＥ∶ＨＦ＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ∶ｃｏｓＣｃｏｓ　Ａ∶ｃｏｓ　ＡｃｏｓＢ＝１ｃｏｓ　Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．结论２　如果锐角△ＡＢＣ的重心为Ｇ，则Ｇ到三角形三边的距离比为１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．图３证明　设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图３，过Ｇ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＢＣ的中点为Ｍ，ＢＣ边上的高为ＡＨ，则ＧＤ＝１３ＡＨ＝１３ＡＣｓｉｎＣ＝２Ｒ３ｓｉｎＢｓｉｎＣ．同理可得ＧＥ＝２Ｒ３ｓｉｎＣｓｉｎＡ，ＧＦ＝２Ｒ３ｓｉｎＡｓｉｎＢ，所以ＧＤ∶ＧＥ∶ＧＦ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ∶ｓｉｎＣｓｉｎＡ∶ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．我们还可以联想，锐角三角形的垂心和内心到三顶点的距离比也有优美的结论．经过探究，我们还可以得到以下的结论．结论３　如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三顶点的距离比为ｃｏｓ　Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图４证明　设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图４，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ　Ａ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ　Ａ．９５·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）在Ｒｔ△ＡＨＥ中，∠ＡＨＥ＝∠Ｃ，ＡＨ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＨＥ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ　ＡｓｉｎＣ＝２Ｒｃｏｓ　Ａ．同理可得ＢＨ＝２ＲｃｏｓＢ，ＣＨ＝２ＲｃｏｓＣ，所以ＡＨ∶ＢＨ∶ＣＨ＝ｃｏｓ　Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图５结论４　如果锐角△ＡＢＣ的内心为Ｉ，则Ｉ到三角形三顶点的距离比为１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．证明　设△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，如图５，过Ｉ作ＡＢ的垂线，垂足为Ｆ，在Ｒｔ△ＡＩＦ中，ＡＩ＝ＩＦｓｉｎ∠ＦＡＩ＝ｒｓｉｎＡ２． 同理可得ＢＩ＝ｒｓｉｎＢ２，ＣＩ＝ｒｓｉｎＣ２，所以ＡＩ∶ＢＩ∶ＣＩ＝１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．类似地，若三角形是钝角三角形，也会有类似的结论，请读者自行研究．一道自主招生试题，让我们从锐角三角形的外心类比到垂心、重心，从到三边的距离比类比到三顶点的距离比，这种思维以放射性思考模式为基础，运用了联想，达到了锻炼思维的目的．虽然试题及联想结论简单明了，但结论的优美性和联想思维的价值不言而喻．（收稿日期：２０１２－０３－０１）由一道课本习题引起的思考王业和（安徽省潜山中学，２４６２００） 高中数学必修２（人教版）第１３３面Ｂ组第３题为：已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．当ｂ为何值时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．分析和解　由题设可知圆的半径ｒ＝２，要使圆上恰有３个点到直线ｌ的距离为１，则只需圆心Ｏ到ｌ的距离为１即可，即ｄ＝ｂ１２＋（－１）槡２＝１，解得ｂ＝±槡２．因此，当ｂ＝±槡２时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．这是一道经典习题，此题的灵魂和核心就是转化为计算圆心Ｏ到直线ｌ的距离问题，这也是解决此类问题的关键所在．若满足于求出问题的答案为止，则甚为可惜．若对此题进行恰当的变式训练，则能更好地使学生解一题会一类，提高学生触类旁通的能力．一、改变点的个数．思考１　已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．分别求ｂ的取值范围，使圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有：（１）４个点到直线ｌ的距离等于１；　（２）２个点到直线ｌ的距离等于１；（３）１个点到直线ｌ的距离等于１；（４）没有点到直线ｌ的距离等于１．仿照前面的解答易求得答案为：（２）－槡２＜ｂ＜槡２；（２）槡２＜ｂ＜槡３　２或－槡３　２＜ｂ＜－槡２；（３）ｂ＝±槡３　２；（４）ｂ＜－槡３　２或ｂ＞槡３　２．二、改变字母参数．思考２　已知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上恰有两点到直线ｌ：３ｘ－４ｙ＝２５的距离等于１，求ｒ的取值范围．分析和解　此题改变了未知量，需要求的是圆的半径ｒ的取值范围，难度显然增加，但解题的关键还是利用圆心到直线的距离求解．０６数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月） ·辅教导学·。

综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。

·重点辅导·不爱自己国家的人，什么也不会爱．◇　北京　史志刚　岳昌庆 在△ＡＢＣ中，设ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ，半径为Ｒ；△ＡＢＣ的内切圆圆心为Ｉ，半径为ｒ．设Ｏ到△ＡＢＣ的三边ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的距离分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ；Ｉ到△ＡＢＣ的三边ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的距离分别为Ｈａ，Ｈｂ，Ｈｃ．显然ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝Ｒ；Ｈａ＝Ｈｂ＝Ｈｃ＝ｒ．那么（１）ｈａ，ｈｂ，ｈｃ之间有什么关系呢？（２）ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ之间又有什么关系呢？请看２０１２年北约自主招生数学试题：例１　如果锐角△ＡＢＣ的外接圆的圆心为Ｏ，求Ｏ到三角形三边的距离之比．如图１，设ｈａ＝ＯＤ，则ＯＢ＝Ｒ，ＢＤ＝ａ２，所以ｈａ２＝Ｒ２－ａ２４．由正弦定理得，ａ＝２Ｒｓｉｎ　Ａ．所以ｈａ２＝Ｒ２－Ｒ２ｓｉｎ２　Ａ＝Ｒ２ｃｏｓ　２　Ａ．又由已知Ａ为锐角，所以ｈａ＝Ｒｃｏｓ　Ａ．同理ｈｂ＝Ｒｃｏｓ　Ｂ，ｈｃ＝Ｒｃｏｓ　Ｃ．所以ｈａ∶ｈｂ∶ｈｃ＝ｃｏｓ　Ａ∶ｃｏｓ　Ｂ∶ｃｏｓ　Ｃ．图１ 图２这道题就回答了问题（１），再来看问题（２）．例２　如果△ＡＢＣ的内切圆的圆心为Ｉ，求Ｉ到三角形三边的距离之比．如图２，ＩＡ＝ｒｓｉｎＡ２＝ｒｃｓｃＡ２，ＩＢ＝ｒｓｉｎＢ２＝ｒｃｓｃＢ２，ＩＣ＝ｒｓｉｎＣ２＝ｒｃｓｃＣ２．所以，ＩＡ∶ＩＢ∶ＩＣ＝ｃｓｃＡ２∶ｃｓｃＢ２∶ｃｓｃＣ２．由我们常见的结论，稍微变换一个角度，对称思维，就能得到意想不到的结果，不失为一道好题．例３　［Ｃｈａｐｐｌｅ定理］在△ＡＢＣ中，已知外心为Ｏ，内心为Ｉ，求证：ＯＩ２＝Ｒ２－２Ｒｒ． 图３证明　如图３，连接ＢＯ，ＢＩ，过Ｉ作ＩＭ⊥ＢＣ于Ｍ，过Ｏ作ＯＮ⊥ＢＣ于Ｎ，则ＩＭ＝ｒ，ＢＮ＝ＮＣ，所以∠ＢＯＮ＝∠Ａ，∠ＯＢＮ＝∠ＯＢＩ＋Ｂ２＝π２－∠Ａ．在△ＯＢＩ中，ＯＢ＝Ｒ，ＢＩ＝ｒｓｉｎＢ２，∠ＯＢＩ＝Ｃ－Ａ２．由余弦定理得ＯＩ２＝ＯＢ２＋ＢＩ２－２·ＯＢ·ＢＩ·ｃｏｓ∠ＯＢＩ＝Ｒ２＋ｒ　２ｓｉｎ２Ｂ２－２ＲｒｓｉｎＢ２ｃｏｓＣ－Ａ２＝Ｒ２－２Ｒｒ（ｃｏｓＣ－Ａ２ｓｉｎＢ２－ｒ２Ｒｓｉｎ２Ｂ２）．又在△ＡＢＣ中，ｒ＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２，所以ＯＩ２＝Ｒ２－２Ｒｒ（ｃｏｓＣ－Ａ２ｓｉｎＢ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２ｓｉｎＢ２）＝Ｒ２－２ＲｒｃｏｓＡ＋Ｃ２ｓｉｎＢ２＝Ｒ２－２Ｒｒ．（１）本题证明中用到结论：在△ＡＢＣ中，ｒ＝４ＲｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２．（２）由本题结论，显然Ｒ２－２Ｒｒ＝ＯＩ　２≥０，所以，Ｒ≥２ｒ，当且仅当Ｏ与Ｉ重合时，即△ＡＢＣ为等边三角形时，等号成立．（作者单位：北京师范大学出版社）６１。

2012 自主招生“北约”数学试卷解析好学网自主招生频道备受关注的2012 年“北约”自主招生考试刚刚落下帷幕，下面笔者针对数学试题作一些简要的评析。

今年“北约”仍然由北大出题，但是阅卷权移交给了考试院。

根据考试院的要求，今年的试题形式上有了一些变化——出现了选择题，但“北约”试题的一贯风格并无本质改变。

函数、方程、解析几何、平面几何、三角函数等领域依然是“北约”考查的重点内容，而像立体几何、复数等内容依然不在“北约”考查的范围之内。

“北约”的考试一向不注重知识点的全面考查，今年也不例外。

从难度上来说，今年的试题比去年的稍难一些，但总体保持稳定。

这和学而思自主招生研究中心之前的预测完全一致。

“北约”的试题一向讲究“顿悟”，一般情况下并不强调非常繁杂的计算，一旦抓住问题的本质，往往就能顺利解答。

比如解答题的第一题：关于x的方程sin 2x⋅sin 4x -sin x⋅sin3x = a在x∈[0,π )时有唯一解，求实数a的值.我们利用和差化积与积化和差公式，可以得到a = sin x⋅sin5x这样一个表达式，接下来构造函数f ( x) = sin x⋅sin5x, x∈R，如果注意到函数f ( x)是关于直线2xπ= 对称的，问题即可迎刃而解。

由于原方程在x∈[0,π )时有唯一解，因此x = 0或2xπ= ，解得a = 0或1。

请大家注意这道题中函数性质与图像的应用。

这样的思想，在学而思自主招生研究中心编写的讲义中是重点强调过的，类型的问题也讲解过很多。

再比如，“数形结合”历来是“北约”考试非常看重的数学思想。

今年的选择题中求函数y = x + 2 + x -1 + x 的递增区间这道题，只要利用绝对值的几何意义，画数轴就能轻松得出答案为(0,+∞)。

还有求关于x的方程x +11-6 x + 2 + x + 27 -10 x + 2 =1的实根的个数这道题，先将原方程变形为x + 2 -3 + x + 2 -5 =1，然后还是利用绝对值的几何意义，即可得出原方程根的个数为0。