2013年北约数学试题

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2013年北约自主招生数学试题评析
作者：査正开
来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第03期
2013年3月16日，由国内名牌高校组成的三大联盟（北约、华约、卓越）同时举行了自主招生选拔考试这三套自主招生数学试题风格迥异、特色鲜明，是自主招生舞台上三道亮丽的风景线本文给出北约（北京大学等十三所高校统一自主招生联盟）数学试题与解答并作简要评析一孔之见，不当之处，敬请斧正.
点评这个压轴题是全套试卷的最大亮点它以数阵为载体，链接线性代数的矩阵变换知识全面考查学生分析推理论证能力与抽象思维能力以及知识的迁移能力，有效考查学生后继学习的数学潜能，起到了压轴的功效.
综观本套自主招生数学试题，在题型、内容和考查角度与要求上均与全国各地的高考试题有很大的差异，同时也有别于各类数学竞赛题选题内容是以全国各地考生均学过的主干知识为载体，背景公平试题中基础与能力，难度适中，重点检测学生后继学习的数学潜能试题形式虽朴实平淡，但内涵丰富多彩，难度介于高考与竞赛之间，因此具有较高的信度、效度和区分度，有效地实现了各高校对优秀学生的自主选拔，同时也为自主招生选拔考试引领了全新的方向.
作者简介査正开，男，中学高级教师江苏省苏州市数学学会理事，常熟市高中数学学科带头人、学科中心组成员，近几年在数学专业期刊发表文章三十多篇。

2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤.5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值.2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -； 4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2013“北约”自主招生试题（时间90分钟，满分120分） 一、选择题（每题8分，共48分）1和1 ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 62．66⨯方阵，3个红车，3个黑车，且6个均不在同一行且不在同一列，有（ ）种方法 A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3．已知225x y =+，225y x =+，（x y ≠），则32232x x y y -+值为（ ） A. 10- B. 12- C. 14- D. 无法确定 4．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+（1n ≥），则2013a 值为（ ） A. 201230192⨯ B. 201330192⨯ C. 201230182⨯ D. 无法确定5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，DM 平分ADB ∠交AB 于点M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则BM CN +与MN 的关系为（ ）A. BM CN MN +>B. MN CN MN +<C. BM CN MN +=D. 无法确定6．若,,A B C 为三个复数A B C ≠≠，且模全为1，则BC AC ABA B C++++=（ ）A. 12-B. 1C. 2D. 无法确定 二、解答题（每题18分，共72分）7．最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论。

“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。

2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学试题一.选择题（每题8分，共48分）1.1为根的有理系数方程的最小次数为 ． A ． 2 B ．3 C ．5 D ．62.在66⨯棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种．A ． 720B ．518400C ．20D ．144003.在ABC △中，D 为BC 的中点，DM 平分ADB ∠交AB 于M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则B M C N +与MN 的大小关系是 ．A ．BM CN MN +>B ．BM CN MN +=C ．BM CN MN +<D ．不能确定4.若222525x y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，x y ≠，则32232x x y y -+的值为 ．A ．10-B ．12-C ．14-D ．以上答案均不对5.n S 表示数列{}n a （1n ≥）的前n 项和．已知11a =，且1n ∀≥，142n n S a +=+，则2013a 等于 ． 的模等于 ．k a 与l a 的几何平的算术平均．求证：3.实数12201,,,a a a 满足1220130a a a +++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：1220130a a a ====．4.对任意θ，求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值．5.（理科）设有mn 个实数排成一个m 行n 列的阵列{}ij m na ⨯，使得每一行上的n 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意1i m ≤≤，当12j j <时有12ij ij a a ≤．下面把每列上的m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列{}ij m na ⨯'，即对任意的1j n ≤≤，当12i i <时有12i j i j a a ''≤，问这个新的阵列{}ij m na ⨯'每一行中的n 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由．2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）数学答案一、选择题（每题8分，共48分） 1.【解析】 C ．可以构造方程()()322120x x ⎡⎤--+=⎣⎦，于是次数不超过5．假设有3次方((()10x x x m ⎡⎤--=⎣⎦满足要求，则1m，(1m ⋅均为有理数．设m p =p 为有理数，(1m -⋅5155111636622222222222p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可能为有理数．因此次数不小于4． 2.【解析】 D ．视6枚棋子均相同，记落在第i 行的的棋子在i a 列，则排列()126,,,a a a 与放法对应．于是633663A C C 14400⋅⋅=为所求． 3.【解析】 A ．E 点平化为2226x y x y +=-⎧⎨+=⎩，即21x y xy +=-⎧⎨=-⎩．是()214n n n a a a ++=-，即此()311242n n a n =-+，解得AB AC BA BC C A CB+++++二、解答题（每题18分，共72分） 1.【解析】 根据题意有2m na a +，又2k l a a +，于是22k l m na a a a ++>．因此k l m a a a a +>+．设()11n a a n d =+-，则k l m n a a a a +>+⇒()()()()11111111a k d a l d a m d a n d +-++->+-++-⇒k l m n +>+22k l m n++⇒> E N M D C B A2.【解析】 至多可以找到4个，如1,3,7,9．下面证明不能找到5个符合题意的正整数．考虑它们模3的余数，设余数为0、1、2的分别有a 、b 、c 个，则1°若a 、b 、c 均不为零，则存在三个数，它们的和为3的倍数，一定不是质数；2°若a 、b 、c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．此时它们的和为3的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到5个符合题意的正整数． 3．【解析】 令1122b a a =-，2232b a a =-，…，2013201312b a a =-，则122013b b b ===，1220130b b b +++=．设122013b b b ===m =，则122013,,,b b b 或者为m 或者为m -，设其中有x 个m ，2013x -个m -，则()()()122013201322013b b b mx m x m x +++=+--=-．由于220130x -≠，因此0m =．于是1220130b b b ====，进而易得1220130a a a ====． 4．【解析】 632cos cos66cos415cos2θθθθ---()()3321cos 2324cos 23cos 262cos 2115cos 22θθθθθ+⎛⎫=⋅----- ⎪⎝⎭10=5.．【解析】 新的阵列{}ij m na ⨯'中，每一行上的n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第i 行上存在j k <且ij ik a a ''>．由新阵列的排法知()121k k ik ij mj i j a a a a a a +''''''≤≤≤≤≤≤≤．返回到原阵列{}ijm na ⨯讨论，i 个数1k a '，2k a '，…，ik a '都在原阵列的第k 列上，而剩余的()1m i -+个数ij a '，()1i j a +'，…，mj a '都在原阵列的第j 列上，由于这些数共有1m +个而总共有m 行，所以一定有1k a '，2k a '，…，ik a '中的某个数与ij a '，()1i j a +'，…，mj a '中的某个数在原阵列的同一行．故在原阵列的此行上，第j 列上的数大于第k 列上的数，与原阵列的排法矛盾．。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共19题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=A.1ex + B. 1ex − C. 1ex −+ D. 1ex −−6.若双曲线22221x y a b−=，则其渐近线方程为A. y =±2xB. y= C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83D.38.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m −+>⎧⎪+<⎨⎪−>⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫−∞−⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。