2014北约数学试题

北约数学答案2 一、选择题二、解答题 7、解：由均值不等式得2222)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++………………………(3分)ab c bc ac ab bc ac ab ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=++≥222224244)2222()2(22ab c bc ac ab 16884+++=,………………………(6分)∴)(16884)()4()(22c b a abcabc bc ac ab c b a abc c b a b a ++⋅+++≥++⋅++++ 488111()8()22222a ab b a bc c c b a c b a =+++++=+++++++ 100)25()215(85422522=⋅⋅⋅≥c b a c b a ,………………………(6分)等号成立当且仅当02>==c b a , 故k 的最大值为100 .………………………(3分)8、解：结论成立. ………………………(4分)由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n nn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质）………………………(2分)由111p pa q q ==，可得q p <≤10；………………………(2分)若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 11n n n n nq a a p p β+===，故β=+1n p ，nn p q =+1，可得nn p p <≤+10………………………(3分)若=n p ，则1=+n p ，………………………(2分)若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数(1,2,3,,)n p n q =L 互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾.………………………(3分)故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0， 所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a………………………(2分)9、解：设所求的两位数为x,则有自然数s 、t ，满足10210(1),10510(1)s n s t n t x x x x <<+<<+………………………(6分)两式相乘得+t22101010(1)s n s t x x +<<+………………………(2分)因为x 是两位数，224242321099,10,(1)1010103,10(1)10001,31s t n s t x x x n s t x x x x x ++++≤≤≤+≤<<=++<<+<<+=所以10所以这个两位数是31.……………………(10分)10、解：因为B m =（b m1，b m2，b m3，b m4）满足．由b m1，b m2，b m3，b m4关系的对称性，只需考虑（b m2，b m3，b m4）与（a 1，a 2，a 3）的关系数的情况．……………………(4分)当b m1=0时，有．……………………(3分)==．……………………(4分)即b m1=0，且，，时，a1b m2+a2b m3+a3b m4的最大值为m．当时，，……………………(4分)得a1b m2+a2b m3+a3b m4m所以C（A，B m m（m=1，2，3，…，n）．……………………(3分)。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）房山区良乡中学 任宝泉录入整理一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A．y =B.2(1)y x =-C.2x y -=D.0.5log (1)y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2 B.2- C.12 D.12- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。

若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。

2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = （ ）A.{0} B ．{0,1} C ．{0,2} D ．{0,1,2} 【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0== B A .2. 下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D.3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨==⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x 所表示的曲线为圆心在)2,1(-，半径为1的圆，其对称中心为)2,1(-，逐个代入选项可知，点)2,1(-满足x y 2-=，故选B. 4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．7B ．42C ．210D ．8405.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.6. 若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .2=-+y x 02=+-y kx A=-x y8.学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B【解析1】试题分析：用A 、B 、C 分别表示优秀、及格和不及格，依题意，事件A 、B 、C 中都最多只有一个元素，所以只有AC ，BB ，CA 满足条件，故选B.【解析2】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件.二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.二、填空题9. 复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b = ，且()0a b R λλ+=∈ ，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±=【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_____种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A.14.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .三、解答题共6小题，共80分。

12014年北约自主招生数学试题一、选择题1. 设扇形的圆心角为60︒，面积为6π，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是_______．A 、132πB 、7πC 、152πD 、8π2. 10个人分成3组，每组人数分别为3,3,4，则不同的方法有_______种．A 、1050B 、2014C 、2100D 、42003. 函数()f x 满足：对于任意的实数,a b 有()()2233f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知()()11,47f f ==，则()2014f 的值是_______．A 、4027B 、4028C 、4029D 、40304. 已知函数()()2lg 2f x x ax a =-+的值域是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是_______．A 、01a <<B 、01a ≤≤C 、0,1a a <>D 、0,1a a ≤≥5. 设,x y 均为负数，且满足1x y +=-，则1xy xy +具有_______． A 、最大值174- B 、最小值174- C 、最大值174 D 、最小值1746. 使得函数()22arctan 14x f x C x -=++成为区间11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数的常数C 的值为_______． A 、0B 、arctan2-C 、arctan 2D 、不存在二、解答题 7. 求等差数列{}120041n n ≤≤+与{}120063n m ≤≤-的所有公共项的和．8. 设梯形的两条对角线的长分别是5和7，高为3，求该梯形的面积．9. 证明tan3︒为无理数．10. 设实二次函数()(),f x g x 满足方程()()()()30,0f x g x f x g x +=-=都只有一对重根，已知()0f x =有两个不同实根，证明()0g x =没有实根．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合 ， ,则 （ ）A{0} B {0，1} C{0,2} D{0,1,2}2.下列函数中在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A. y=x+1B.y=（x-1）2C. y=2-xD. log 0.5（x+1）3. 曲线 （θ为参数）的对称中心（A.在直线y=2x 上B.在直线y= -2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上4.当m=7，n=3时执行如图所示程序框图 输出的s 值为（ ）A.7B.42C.210D.8405.设{ }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{ }为递增数列”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若x ，y 满足 且z=-y-x 的最小值为-4，则k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D.A=x|x 2-2x=0{}B=0,1,2{}A∩B {x=-1+cos θy=2+sin θαn αn {x+y-2≥0kx-y+2≥0y ≥012-127.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A （2，0，0）B(2，2，0 ) C(0，2，0) D(1，1， )若 分别表示三棱锥D-ABC 在xOy yOz zOx 坐标平面上正投影图形的面积，则（ ） A. B. C. D.8.有语文数学两个学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种，若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A同学比B 同学成绩好”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的，问满足条件的最多有多少学生（ ） A.2 B.3 C.4 D.5一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数 =10.11. 12. 13.14.2S 1S2S 3S 1=S 2=S 3S 1=S 3且S 3≠S 2S 1=S 2且S 3≠S 1S 2=S 3且S 1≠S 31+i 1-i ()2已知向量a 、b ，b=（2,1），且λa+b=0，（λ∈R ）则λ=设函数f(x)=Asin(wx+φ)（A ，w ，φ为常数A>0φ>0）且在π6，π2[]上单调，f π2()=f 2π3()= - f π6()，则f （x ）最小正周期PA=AE20（小题13分）2014年北京高考数学（理）参考答案一、 选择题 1. 【答案】C【解析】解：集合{}{}2200,2A x x =-==.故{}0,2A B ⋂=，选C ．2. 【答案】A【解析】解：A.y =[)1,-+∞上为增函数，符合题意.B.()21y x =-在()0,1上为减函数，不合题意. C.2xy -=为(),-∞+∞上的减函数，不合题意.D.()0.5log 1y x =+为()1,-+∞上的减函数，不合题意. 故选A3. 【答案】B【解析】解：参数方程1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩所表示的曲线为圆心在()1,2-，半径为1的圆.其对称中心为圆心()1,2-.逐个带入选项可知，()1,2-在直线2y x =-上，即选项B .4. 【答案】C【解析】解：当m 输入的7,3m n ==时，判断框内的判断条件为5k ＜.故能进入循环的k 依次为7，6，5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C.5. 【答案】D【解析】解：对于等比数列{}n a ，若1q ＞，则当10a ＜时有{}n a 为递减数列.故1q ＞不能推出“{}n a 为递增数列”.若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a ＜且01q ＜＜，推不出1q ＞.综上，“1q ＞”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.6. 【答案】D【解析】解：若0,k z y x =-≥没有最小值，不合题意.若0k ＜，则不等式组所表示的平面区域如图所示. 由图可知，z y x =-在点2,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭处取最小值. 故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确7. 【答案】D【解析】解：D ABC -在平面上的投影为ABC ∆，故12S =.设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D A B C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD ∆和3OAD ∆.∵(2D，(3D .故23S S =.综上，选项D 正确.8. 【答案】B【解析】解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩得A 的学生最多只有1个.语文成绩得B 的也最多只有一个.得C 的也最多只有一个，因此学生最多只有3个. 显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个.二、填空题9. 【答案】1-【解析】解：复数()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2++===--+，故221i i 11i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭．10.【解析】解：由λ+=0r r a b ，有λ=-r rb a ，于是λ=⋅u u r r b a ，由()2,1=rb ，可得=r b 1=r a ，故λ=．11. 【答案】221312x y -=；2y x =±【解析】解：双曲线2214y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±；设C ：224y x m -=，因为C 过()2,2，所以代入并解得3m =-，故C 的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．12. 【答案】8【解析】解：根据等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是8890,0a a a >+<，即890,0a a ><，所以8798,S S S S ><， 故8S 为{}n a 的前n 项和中最大值．13. 【答案】36【解析】解：因为A 与B 相邻，所以应用捆绑法，将A 和B 当成一个整体捆绑成一个元素，又因为A 与C 不相邻，所以分两种情况；（1）C 与A 和B 这个整体相邻，这时应采用插空法，摆法有223223A A A 24⋅⋅=种；（2）B 正好在A 与C 之间，这是将A 、B 、C 当成一个元素，摆法有2323A A 12⋅=种；故不同的摆法有122436+=种14. 【答案】π【解析】解：由()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知， ()f x 有对称中心1πππ,0,02263⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴1π2π7π22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；故()f x 的周期为7ππ4π123⎛⎫-=⎪⎝⎭． 三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】（1）sin ADC ∠==sin sin()sin cos cos sin 11727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠==解得：3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==．（2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A x y -，各点坐标如下：(0,0,0),E (0,2,0),B (,1),P (0,0,2)A 设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，1sin ,2BC n ∴<>==直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()sin x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin x b x<恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,a b ==，则c =故离心率e c a ==；（2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为故满足直线AB 与圆222x y +=相切； ○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故,A ⎛⎫或,⎛⎫， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点,A ⎛⎫进行计算，于是直线AB 方程为))2222y x k x k k-+=++，((21+220k x y k -++=原点到直线AB 的距离d =，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； ()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。

综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。

2014年北约自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为π6，求它围成的表面积。

2. 将10个人分成三组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法。

3. ()()3232b f a f b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()11=f ，()74=f ，求()2014f 。

4. ()()a ax x x f +-=2lg 2的值域为R ，求a 的取值范围。

5. 已知1=+y x ，且y x ,都为负实数，求xyxy 1+的取值范围。

6. ()C x x x f +-+=4122arctan 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,41上为奇函数，求C 的值。

一、求证：Q ∉ 3tan 。

二、已知实系数二次函数()x f 与()x g ，()()x g x f =和()()03=+x g x f 有两重根，()x f 有两相异的实根，求证：()x g 没有实根。

三、1121,a a a ⋯⋯是等差数列，{}131≤<<≤++=k j i a a a M k j i ，问：316,27,0是否可以同时在M 中，并证明你的结论。

四、0>i x ，()n i ⋯⋯=2,1，11=∏=n i i x ，求证：()()nn i i x 1221+≥+∏=。

2013年北约自主招生数学试题一、选择题(每题8分,共48分)1.以2和312-为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B. 3C. 5D. 62.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 144003.已知225x y =+,225y x =+(x y ≠),则32232x x y y -+值为( )A. 10-B. 12-C. 14-D. 16-4.在数列{}n a 中,11a =,142n n S a +=+(1n ≥),则2013a 值为( )A. 201230192⨯B. 201330192⨯C. 201230182⨯D. 无法确定5.在ABC ∆中,D 为BC 中点,DM 平分ADB ∠交AB 于点M ,DN 平分ADC ∠交AC 于N ,则BM CN +与MN 的关系为( )A.BM CN MN +>B.MN CN MN +<C.BM CN MN +=D.无法确定 6.模长都为1的复数,,A B C 满足0A B C ++≠,则BC AC ABA B C ++++的模长为( )A.12- B. 1 C. 2 D. 无法确定 二、解答题(每题18分,共72分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论.8.已知12320130a a a a ++++=,且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-证明:12320130a a a a =====. 9.对于任意θ,求632cos cos66cos415cos2θθθθ---的值.10.有一个m n ⨯的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.2012年北约自主招生数学试题1.求x 的范围使得()12-+++=x x x x f 是增函数。