一、填空题 1.
2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X
7T
lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t
3. lim 1 一 — .V —
4. x )
设lim 一 "" 一 * + 4
= A ,则有"=
5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----
X X ? 3
.1
L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*
函数v = 一上］一的间断点是
(x-l)(x + 2)
为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3
设函数y = ^-
x )x
K
则 lim f (x)=
X->X
%工°在兀=0处连续，则参数K =
x = 0 x + a
e x +\
二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=
x>0
④<0
3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2
③ €+1: ④』+l
y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)
①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T
④ co 厂i)u(_l,+oo)
函数『二二2
耳的不连续点有 ■
X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价
无穷小量的是 ______________ ① l-cosx
?x + X 2
5. ④4个以上
④ sin 2x
__ ■ 疋有
①，②
=2
4.
7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相比是_ ①髙阶无穷小咼
③同阶但不等价的无穷小量
当XT O 时，l —cos2x 与/相比是 ①髙阶无穷小量 ③低阶无穷小量
(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②一3 ②低阶无穷小量 ④等价无穷小量
②同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量 为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有立义是f(x)当x ->心时极限存在的. ①充分但非必要条件 ③充分必要条件 11?当JVT 0时，
① x + sinx
12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，
①x + sin 丄 x ②必要但非充分条件 ④既非充分又非必要条件 下列函数中比x 髙阶的无穷小量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x) 下列函数中为无穷小量的是 ________
②x ?sin 丄 ③丄+ sinx X X 下列函数中为无穷小量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinx
X X
14. 15. 16. ②
④ hi(l-x)
② ④—?sin x x ③ ④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷 大量 ___________ ③ ④爲
设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点人)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ： ① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴ ②a = c v 2 -1 4
------ C E X-l 0 ④
?a=b=c
②跳跃间断点 ①连续点 三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ 一
一厶？ + 1
lim (Jx 2 +1 - x) = +x
lini (J+ 2x + 2 - J ③可去间断点 ④无穷间断点 1. 2. 3. =lim ，( ?— = = lim 一 y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 — 2 2 1 lim arctanx-arcsin — =0 x) L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、 tr +n ［解］记耳=G+t+…+斗 ir +1 ir +2 n +n e .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ — n +n ir +n n +n n ir 即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1 〃―30 n +1 “a 7?设辄厂2叽求〃 由于极限存在，故a = {3 — \° ???—=2006???p = —, a : P 2006 四、分析题 1 .讨论极限lim " " ［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um 匕巴口 = 一1,故原极限不存在。 x" X .W X X 2 _ 1 2.求y= ----------------- 的间断点，并判别间断点的类型。 — 3x + 2 ; 7 1 ［解］因为x z -3x + 2 = (x-l)(x-2),而lim — = -2, lim — = s -』_3x + 2 2，_3兀 + 2 因此有间断点：x = l 为可去间断点，x = 2为无穷间断点。. 3.求函数y = 6x + -的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。 x ［解］函数的连续区间为(—sQ)U(0.+s),点x = 0为函数的第二类无穷间断点。 ］+ — /-1丿 在点x = l 处没有泄义，是间断点，故/(X )的连续区间为(—s,l)U(l,+s)，点X = 1 为 /(X)的第二类无穷间断点。 6 ? liin (— -- + — ------ “TOO 矿 +1 ir +2 n n ［解］原式左端=lim ■ 、 1- 1-1 I n/ =lim —— =lim ------ 28 a i n -o — -n 5丿」 =丄(a = 0-1) 卩 1 t 2005 ------ —1 =— ----- 2006 2006 百 一— 二 Iini(l + y)y (.v-i )= ￡ I v->0 .r+r a 的连续性。 cosx X > 0 5.讨论函数f(x)=在点x = 0处的连续性。 x+\ x<0 ［解］T liin f (x) = lim cosx = 1, lim f(x) = lim (x + 1) = 1 .v->0- w xf .w ??? /(x)在点x = 0处连续性。 6 ?设函数$ = f(x) = COSX ----- x> 0 .x + 2 (1)当"取何值时，点x = 0是函数/(X)的间断点？是何种间断点? (2)当d取何值时，函数/(X)在(-8, + 8)上连续？为什么？ ［解］(1)在点x = 0处，/(0) = - , lim /(x) = Um —=-. 2 “x + 2 2 lim f(x)= liin "一血一* NT O AT O x 当。>0且a Hl时，由于lim/(x)工lim/(x),所以点x = 0是/(x)的跳跃间断点。 (2)当G =1时，由于lim /(x) = lim f(x) = /(0),则/(x)在点x = 0处连续。XTCT XT(T 又因为在(-oo,0)或(0,+ s)上，/(Q为初等函数，所以连续。故当0 = 1时，函数 /(X)在(-oO, +co)上连续。 —% X+1 7.设函数y = /(A)= <^X 0 < X < 1 a 1 < x < 4 (1)求函数/(X)的定义域； (2)讨论函数/(x)在点x = 0处的极限是否存在？为什么？ (3)"为何值时，函数/(X)在点兀=1处连续？并求函数/(Q的连续区间： (4)画出函数)，=/⑴的图形。 ［解］⑴ ￡>z =(-oo,-l) U(-l, 4］ (2)因为lim f(x) = lim —-— = 1 , lim f(x) = lim x = 0?所以lim f(x)不存在 x-MT X+\X->0~X-M) * (3)在点x = 1 处./(l) = a9 liin f(x) = lim x = L lim /(x) = lim a = a , .KT广XT广XT广XT广 所以，当a = l时，lim f(x) = lim f(x) = /(l),即函数/⑴在点x = l处连续。XT广 XT广 此时，/(x)的连续区间为：(一8,—1)U(—1,4］ (4)略 五、证明题 1.证明方程X5-lx = 4在区间(1, 2)内至少有一个实根。 ［证］设加=兀5_7兀_4, /⑴在［1,2］±连续, 又/(1) = -10<0, /(2) = 14>0,由零点定理知，在(1, 2)内至少存在一点纟，使得/(§) = o,即§5-7§-4 = 0,故方程X5-7X = 4在区间(1, 2)内至少有一个实根。 2?证明：方程x —2sinx = k(k> 0)至少有一个正根。 ［证］设/(x) = x-2sinx-k e C［0, + s) 因为/(0) = -《<0, f(k + 3) = 3-2sin伙+ 3)>0 故由零点定理知，日歹已(0* + 3),使得/(^) = 0 ,所以方程x-2sinx = ^至少有一正根。 1 3?证明方程x = asinx + 2 ( a> 0〉至少有一个i匸根，并且不超过。+ 2。 ［证］设/(x) = x — osinx — 2 ,下而分两种情形来讨论： 情形1 若sin(a + 2) = l，则因为“>0,故a + 2是方程x = asinx + 2(d>0) 的正根，并且不超过0 + 2。 情形2 若sin(a + 2)Hl,则因“>0,故/(“ + 2) = d［l-sin(a +2)］ > 0 , /(0)=-2<0,又因/(X)在［0,4 + 2］上连续，故由零点建理知，m§w(0," + 2),使得 /(^) = 0,因此§ 是方程x = asinx + 2 (n>0) 的正根，并且不超过d + 2。 4.设n为正整数，函数/(x)在［0,刚上连续，且/(0) = /(n),证明存在数4。+ 1已［0,川，使得/3 = /@ + 1)。 ［证］若n = l,即/(0) = /(I),取a = 0, ? + l = le［0,l］,结论成立。 若n>2,作辅助函数F(x) = /(x + l) — /(x),易知F(x)在［0,n —1］上连续，因为F(O) + F(l)+-+F(/?-l) =［/(I) - /(0)］ + ［/(2) - /(1)］ + ［/(3) — /⑵］+ …+ ［/(?) - f(n-1)］ =/00-/(0) = 0 则n个实数F(O),F(1),?…,F(n — 1)全部为零或同时有正数与负数， (1)若这些数全部为零，即F(0)=F(1)=--=F(Z2-1)=0,则结论成立。 (2)若这些数中有正数与负数，即有某个F(/)<0,F(j)>0,(/^ j,O 于是由零点定理可知，在i与丿之间存在一点"(显然4,“ + 1已［0,“］),使得F(a) = 0,即f(a) = f(a +1) 劇 2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010< 一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin 微积分习题集带参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-． 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y 2010—2011真题答案 一、 1.答案：14 21sin 2sin 2 x x x x --，易。 学霸解析：()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点：原函数求导，易。 2． 答案：1y x =- 学霸解析：22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(，1y '=- 知识点：等式两边同时求导，中。 3. 答案：11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析：11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点：对ln(1+x)的应用，中。 4． 答案： 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析：01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点：x,y 定义域的转换，中。 5．答案：(1cos1)π- 学霸解析：21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点：二重积分，中。 6．答案：11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析：111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点：微分方程求通解，难。 二、 1. 答案：C 学霸解析：绝对收敛：对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话，则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛：如果 1 n n u ∞ =∑发散，但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点：幂级数收敛性，易。 2． 答案：D 学霸解析：对于A ，2D dxdy =?? 对于B ， 4D dxdy =?? 知识点：二重积分，中。 3． 第十章 无穷级数习题解答 练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确 定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； （2） ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)， (1,1)，(2,0)； 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22 sin sin D I x yd σ= ??，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤； （2）22 (49)D I x y d σ= ++?? ，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . （3） .D I = ，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2，在D 上(),f x y 的最大值 ()1 04M x y = == ，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分： （1） 22 ()D x y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； （2） sin D y d y σ??，其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解：sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1） x y D e d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤ 一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上］一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续，则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价 无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①，② 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 n x a ε-< 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 n k x a ε+-< 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证： lim 0,,. 使当时，有n x n x a N n N x a εε→∞ =∴?>?>-< 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞ 不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 2 2 2 2 22111112(1) (2) n n n n n n n n n n + +≤+++≤≤=+ 而且 2 1lim 0n n →∞ =，2lim 0n n →∞ =， 所以由夹逼定理，得 微积分习题集带参考答案 2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。 解 此时S 是l 的函数 πππ4222 l l S = ?? ? ??=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π π 1 2 = =l dl dS 。 5(2). 设a x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。 解 设a x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。 考虑左导数 ?? ? ??>=<∞===---+ →1,0111 ,0)0()(lim 1 0αααα a x x x x x f x f ， 考虑右导数 ?????>=-<∞=--=-=----→1 ,0111,)()(0)0()(lim 1 0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0. 6. 设??? ??≥+-<≤+<-=1 ,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。 解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===- →)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。 此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x x x f x f f x x ， 。 1111)1()(lim )1(1=--=--='- →-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1 ) 1sin(lim 1)1()(lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。 1lim )'1(lim )0(00==-='- →- →-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+ →+→+x x a x f ，则1)0('=f 。 11lim )'(lim )1(11==+='- →- →-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+ →+ →+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。 若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1） 22 x y L e ds +? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） 2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤. 2.有一段铁丝成半圆形y ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量22 sin 2L M yds a d a π ??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1） 2 2()L x y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） 22()()L x y dx x y dy x y +--+?，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3） (1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） dx dy ydz Γ -+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线； 微积分2习题答案 一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2x x x x 6 π x x x 32623++↑ 3．=??? ??-∞ →3 21lim x x x 3 2-e 4．设A x x ax x x =-+--→14 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞ →lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞ →-→x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是 ___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin 7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量 8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量 ③低阶无穷小量 ④等价无穷小量 9．设()?? ???=≠-=00 ,3sin x k x x x x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 3 10．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ② ①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ? 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③ ①x x 1sin + ②x x 1sin ? ③x x sin 1 + ④ x x sin 1 ? 06-07学年第二学期期末考试试卷 一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.若c x g dx x f +=?)()(，则=?dx x xf )(cos sin ________. 2.极限=?→x tdt x x 0 20 cos lim ________. 3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则 =??s z ________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=??D xy d xe σ________. 5.微分方程02=+''y y 的通解为________. 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设? =+2 1x dx ________. A. c x +arctan B. c x x +++)1ln(2 C. c x ++212 D. c x ++)1ln(2 1 2. 2.下列积分值为0的是________. A. ?+∞+0211dx x B. ?-1121dx x C. ?-++ππdx x x x )cos 1sin (2 D. ?--112 1dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =??1 0),(x dy y x f dx ________. A. ??10 10 ),(dx y x f dy B. ??y dx y x f dy 0 1 ),( C. ??100 ),(y dx y x f dy D. ??10 1 ),(y dx y x f dy . 5.下列级数收敛的是________. A ．∑∞ =-+-12123n n n n B. n n n n ∑∞ =+1 )1( 北京师范大学珠海研究院专业教育中心 2011-2012学年第二学期期中考试 开课单位：__专业教育中心____ 课程名称：_微 积 分___________ 任课教师：________ 考试类型：_ 闭卷 _ 考试时间：__ 90 __分钟 专业 _____ 姓名___________ 学号______________ 班级____________ 题号 一 二 三 总分 得分 阅卷人 试卷说明：（本试卷共4页，满分100分） 一.填空题（每题3分，共30分） 1. 定积分()b a f x dx ?的几何意义是 介于曲线()y f x =，直线,x a x b ==之间的图形面积的 代数和 . 2. 1b b a a dx dx ?==?? b a - . 3. 2 11 2(1)dx x x -=?+- 2 . 4. 设(5)2f =，5 ()3f x dx =?，则5 '()xf x dx =? 7 . 5. 设()x ?在[,]a b 上连续，()()()x a f x x b t dt ?=-?，则由罗尔定理，必有(,)a b ξ∈，使 '()f ξ= 0 . 6. 已知0[2()1]()1x f t dt f x -=-?，则'(0)f = 1 . 7.以(1,3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-+-=. 8.设22 2(,)xy f x y x y = +，则(1,)y f x = 222xy x y + . 9.设函数2 3x z x y y =+ ，则其全微分为221(6)(3)x dz xy dx x dy y y =++- . 10.设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数，且在00(,)x y 处有极值，则它在该点的偏导数00(,)x f x y = 0 ，00(,)y f x y = 0 . 试卷装订线 高数A1总练习 一．填空题 1、sin 1lim(sin )x x x x x →∞-= 2、设函数2,1()3,1 x m x f x x x +则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -几个数的大小顺序为（ ） (A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-； (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->； (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>； (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 10、若函数()f x 连续, dt t f x x ?=1 sin )(）（?,则 =dt d ?（ ） (A) (sin )f x ； （B ）(sin )cos f x x ； （C ）(cos )f x -； （D ）(sin )(cos )f x x -. 《高等数学2》课程习题集 【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 计算 行列式614 230 21510 3212 1----=D 的值。 2. 计算行列式5241 421 3183 20521 ------=D 的值。 3. 用范德蒙行列式计算4阶行列式125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 的值。 4. 已知2333231232221 131211 =a a a a a a a a a ， 计算：33 3231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。 5. 计算行列式 01111 0111 1011 110=D 的值。 6. 计算行列式1998 199819971996199519941993 19921991 的值． 7. 计算行列式50007 06 1102948023 ---=D 的值． 8. 计算行列式32142 1431 4324 321=D 的值。 9. 已知10333222 111 =c b a c b a c b a ，求222 111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a x a a a x D n ΛΛΛ ΛΛ=的值。 11. 设矩阵?????? ? ??--=2100430000350023A ，求1-A 。 12. 求???? ? ??=311121111A 的逆． 13. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。 06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页） 1、函数?????=≠+= 0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的 （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 3、设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 4、 级数 ()∑∞=??? ??--1c o s 11n n n α （常数0>α） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。 5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑??? ??+的收敛半径是 (A) 1 ； (B) 3e ； (C) 3-e ； (D) 1-. 6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式 （A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （ B ）x Bx Ax 2cos )(2+ （ C ）x B x A 2sin 2cos + （ D ）x B Ax 2cos )(+ （本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ） xy y x y x y x f =+=),(,),(22?，则[]),(),,(y x y x f f ?=?????? 。 3231,2,t z t y t x ===在点31,2,1(处的切线方程是 。 ),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。 ()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . 二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。 2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。 微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：2 2 4x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：912 2 ≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010< 第五 章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2 2 2 2 22210 (1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时， Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3 P ln3,求需求量与价格 的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0 所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3 P Q P =. 习题5-2 1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； 练习 6.1 1. 若)(x F '=)(x f ,则)(x F 是)(x f 的原函数，)(x f 的原函数全体称为)(x f 的不定积分。 区别是：)(x f 的不定积分描述了所有满足导数是)(x f 的函数，而原函数只是任一个满足导数是)(x f 的函数。 2. （1）3 x e - （2）c x +cos （3）a 1 （4） 2 （5）-1 （6）2 1- （7） 2 1- 3.（1）(10)10x c '+= ?+=c x dx 1010 （2）x c x sin )cos 2(='+- ?+-=c x xdx cos 2sin 2 （3）dx x c x d 455)(=+ c x dx x +=?545 4.解：由题意c x x f +=2)(，又由 1)1(=f ，知 1-=c ，因此 12)(-=x x f 。 5.解：由题意x x x f 1)(ln )(= '=，所以 2 1)(x x f - =' 练习 6.2 1.（1）c x x x +- +1 2 ln 2 （2）c x x x ++ +3 42 3cos 3arcsin （3） c x e e x e e x e ++-++1 1 1 （4）=dx x x x )9264(+-? = c x x x ++ -9 9 ln 166 ln 244 ln 1 （5）=c x dx x dx x x x +==???8 158 78 14 12 1158 )( （6）=c x dx x += ?4 54 15 4 （7）=c x x x dx x x ++-=++-?arctan 3 )111(3 2 2 （8）=c x x dx x dx x dx x dx x x dx x ++- =++-= +-????? arctan 11 1 1 2 ) 1(1 22 2 2 2 2 2 （9）c x x dx x dx x ++ =+= ? ?2 sin 2 2 cos 12 cos 2微积分2期末复习提纲答案
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