数学九年级上册二次函数单元培优测试卷
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x2x3
=-++；3
y x
=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；
（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得
930
10
b c
b c
-++=
?
?
--+=
?
，
∴
2
3
b
c
=
?
?
=
?
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1
1
30
3
k b
b
+=
?
?
=
?
，
∴
1
1
3
k
b
=-
?
?
=
?
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图，连接BC，
∵点D是抛物线与x轴的交点，
∴AD＝BD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵S△ACP＝2S△ACD，
∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，
即：P（﹣1，0），
过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得，
1
x
y
=-
?
?
=
?
或
4
5
x
y
=
?
?
=-
?
，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）如图，
①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），
∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．
2．如图1，抛物线2
:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线
()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于
点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；
②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231
26
y x x =-；（3）①()2
2
12123
n n y x x n -=
-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】
（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．
②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】
解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），
由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（
12b ，12b ），D 1（12b ，12
b
-）， ∵B 1在抛物线c 上，则
12b =(12
b )2
， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），
把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1， 故答案为1，2；
（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，
222,22b b B ??∴ ???，22
2,22b
b D ??- ???
. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴
=- ???
. 解得24b =或20b =（不合舍去），
()22,2D ∴-
2D 在抛物线2C 上，
()22224a ∴-=-.
解得21
2
a =
. 2C ∴的解析式是()2142y x x =
-，即221
22
y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.
()33,0A b ∴.
由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，
333,22b b B ??∴ ???，333,2
2b
b D ??- ???.
3B 在抛物线2C 上，
2
333122222
b b b
??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），
()36,6D ∴-
3D 在抛物线3C 上，
()366612a ∴-=-.解得31
6
a =
. 3C ∴的解析式是()31126y x x =
-，即231
26
y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22
1
2123
n n y x x n -=
-≥?.
②由①可得2
201820161223y x x =
-?，220192017
1223
y x x =-?. 当0x ≠时，2
2018201920162017
111
0233y y x ＞??-=
-
???
， 20182019y y ∴＞.
【点睛】
本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．
3．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -
()1求此抛物线的关系式；
()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点
,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；
()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中
BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=?的点M 的坐标
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ?? ???
；（3）点M 的坐标为()0,3或
113113,22??++ ? ???
【解析】 【分析】
（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.
（2）首先设点()
2
,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的
关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得
()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为
()213
33,22
S PD t t =
?=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=?，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点
33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】
()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++
可解得1,3,a c =-=
即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．
()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=
解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．
设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，
可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．
∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+
设BCP 的面积为,S 则()213
33,22
S PD t t =
?=-+ ∴当3
2t =时，S 有最大值，此时点33,22D ?? ???
．
()3∵
PD y 轴，45PDM ∠=?
第一种情况：令DM y x b =+,33
D(22
，） 解得：b=0 ∴2
23
y x
y x x =??
=-++?
解得：113
x =
∴11M 22
+（
， 第二种情况：令DM y x b =-+,33
D(22
，） 解得：b=3
∴2
323y x y x x =-+??=-++?
解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）
满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122??+ ? ???
【点睛】
此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
4．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．
（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1
【解析】 【分析】
（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题； （2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；
（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；
（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图1中，当m ＞0时，
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），
由题意﹣m2+m＝﹣1，
解得m＝51
+
或
51
-+
（舍弃），
当m＝0时，显然不符合题意，
当m＜0时，如图2中，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，
∴m＝﹣1，
综上所述，满足条件的m的值为51
2
或﹣1；
（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1
2
）2+
1
4
，
∵﹣1＜0，
∴m＝1
2
时，y0的最大值为
1
4
，
当m＝0时，y0＝0，
当m＜0时，y0＜0，
综上所述，y0的最大值为1
4
；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，
故答案为0＜x1＜1；
（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，
当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，
当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，
观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，
解得m＞4
3
，
或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得2
3
≤m＜1（不合题意舍弃），
当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）
时，满足条件．
即或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得
2
3
≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或2
3
≤m ＜1． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
【答案】（1）2
y x 2x 3=-++；（2）2
1525228
S m ??=--+ ??? ，258；（3）
①
57
,
24
M
??
' ?
??
；②45°
【解析】
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m＝5
2
，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．【详解】
（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，
∴y＝3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝1
2
×m×3+
1
2
×1×（-m2+2m+3）-
1
2
×1×3
＝﹣1
2
（m﹣
5
2
）2+
25
8
，
∴当m＝5
2
时，S取得最大值
25
8
．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（5
2
，
7
4
）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝90 ，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧'
BM H上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（5
2
，
7
4
），
∴由勾股定理可求得：AB10，M′B55M′A 85
，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG＝x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，
∴85
16
10﹣x）2＝
125
16
﹣x2，
∴x
510
cos ∠M′BG ＝
'BG BM ＝2
2
，∠M′BG= 45? 此时图像如下所示，
∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90?， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45? ∴∠BAC ＝45?． 【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
6．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点
F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．
()1求抛物线C 的函数表达式:
()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线
'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
【答案】()12
142
y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =
【解析】 【分析】
（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，利用正方形性
质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入2
1: 42
C y x =-+即可求得答案. 【详解】 解：()
142AB =
()
, 22,0)2,0(2A B ∴-
将,,A B D 三点代入得2
y ax bx c =++
820.820.4a b c a b c c ?-+=??
++=??=??
解得1204a b c ?
=-??=??=??
21
42y x ∴=-+；
()
2如图2
1:42
C y x =-+．
关于(),0F m 对称的抛物线为
()2
1:242
C y x m '=
-- 当C '过点()0,4D 时有()2
140242
m =-- 解得:2m =
当C '过点()22,0B 时有()
21
022242
m =-- 解得:22m =
222m ∴<<；
()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ，
P 是抛物线C 第一象限上的点
21
42
n n ∴-+=
解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，
MK HK ⊥于K
四边形PMP N '为正方形 易证
PHK FKM ≌
2FK HP m ∴==-
2MK HF ==
M ∴为()2,2m m --
∴将M 代入21: 42
C y x =-+得
()2
12242
m m -=-
-+ 解得:126,0m m ==(舍去)
∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
7．如图1，抛物线2
1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．
（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．
（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段
MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1
C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在
直线2y x =-上，求m 的值．
【答案】（1）2
1y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-
或12
m =- 【解析】 【分析】
（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2
B C ''
并进行化简，由1n q -≤<且12,
q
n <-得21n q -<，则当()
2max
B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()
max
B C '
'
；
（3）依题意将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2
222
18OM m m ??=++ ??
?，由圆的特性易求得，⊙K 的
最高点点Q 坐标为：2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????，设Q y k =，则
2111228k OM m ??=
++ ???，化简得到22211084k m k m ?
?++-= ??
?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2
31048m m -
+=，解得14m =-或12
m =-． 【详解】
解：（1）将()0,1A 带入抛物线2
1:C y x b =+，得b=1，
则2
1:1C y x =+，
（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴()
2
2
222
(2)(2)B C q q q q ''
??=--+--??
2204020q q =-+
()2
201q =-，
∵1n q -≤<且12,q n <-
21n q -<∴，
∴()
2
max
B C ''??????时，min 2q q n ==-， 即()2
2220(21)20(1)B C
n n '
'
=--=-，
∴()
max
1|B C n ''
=-，
（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ，
∴2
21:8
C y x =+， ∴2
1,8M m m ??+
??
?
， ∴2
2
2
218OM m m ??=++ ??
?，
∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：
2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????， 设Q y k =，则2111228k OM m ??
=
++ ???
， ∴2
22111428OM k m ??
??=-+ ??????
?， 化简上式得：2
2
2
11084
k m k m ?
?++
-= ??
?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??
+-
= ???
， 21148
m m m -=+∴，
∴2
31
048
m m -
+=， 解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2
31048
m m -+=的
解），
故14m =-
或1
2
m =-． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
8．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2
y ax bx c =++经过、、A B C 三
点，且其对称轴为1,x =其中点(C ，点()3,0B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；
②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=
∠，请直接写出点M 的横坐标．
【答案】（1）23233
=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】 【分析】
（1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足1
2
MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案． 【详解】
解：（1）由题意得：
第22章《二次函数》练习卷① 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（） A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3 3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（） A．B．C．D． 4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（） A．B．C．D． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表 x﹣3﹣2﹣1012 y﹣12﹣50343利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（） A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为．
7．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（5，0）、（1，0），则抛物线的对称轴直线x＝．8．若函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m的图象与x轴有且只有一个交点，则m＝．9．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．10．如图，在平?直?坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．11．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为． 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＜0 ③c＜4b④a+b＞0，则其中正确结论的是． 13．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s． 14．如图，抛物线y=?3 8x 2+3 4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于 点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是． 15．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB
二次函数实际应用 练习: 1.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1 2.已知a －b ＋c=0 ，9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） A.第一或第二象限 B.第三或第四象限 C.第一或第四象限 D.第二或第三象限 3.已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y x = 1 2上，点N 在直线y x =+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y abx a b x =-++2()（ ）。 A. 有最小值 92 B. 有最大值-92 C. 有最大值92 D. 有最小值-9 2 4．二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是____________ 例3、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是y=x 2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 4（09?泰安市?3）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 5（09?天津?10）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 6（09?威海?7）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18) -， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 7.（09?温州?5）抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是( ) A ．(0，2) B ．(1，O) C ．(0，一3) D ．(0，O)
第5讲 与二次函数有关的综合问题 【思维入门】 1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( ) 图1－5－2 3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( ) 图1－5－3 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝??? ? ? -2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小 值－8 5b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 图1－5－1
【思维拓展】 5．二次函数y＝2 3x 2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n 在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________． 图1－5－4 6．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D. ①当△ABC的面积等于1时，求a的值； ②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
初中数学二次函数的应用培优练习题（附答案详解） 1． 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为( ). A ．－1或2 B ．－1或1 C ．1或2 D ．－1或2或1 2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ． B ．y=2x+1 C ．y=x 2+x ﹣2 D ．y 2=x 2+3x 3．已知x 为矩形的一边长，其面积为y ，且(4)y x x =-，则自变量的取值范围是（ ）A ．0 x > B ．04 x << C ．0≤x ≤4 D ．4x > 4．已知：如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，BC=13,AB=12，E 是BC 边上一点，过点E 作DE⊥BC，交AC 所在直线于点D ，若BE ＝x ，△DCE 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，P 是BC 边上不同于B ，C 的一动点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接AP .若AC ＝3，BC ＝4，则△AQP 的面积的最大值是( ) A ． 25 4 B ． 258 C ． 7532 D ． 7516 6．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．抛物线y=2x 2－2x+1与坐标轴的交点个数是（ ）
8．如图正方形ABCD 的边长为2，点E ，F ，G ，H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 上，且EA=FB=GC=HD ，分别将△AEF ，△BFG ，△CGH ，△DHE 沿EF ，FG ，GH ，HE 翻折，得四边形MNKP ，设AE=x （0＜x ＜1），S 四边形MNKP =y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．一男生在校运动会比赛中推铅球，铅球的行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为2125 1233 y x x =- ++，则铅球被推出的水平距离为________m ． 10．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当C 点落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的区域面积为________． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________ 12．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 ________ ．（精确到0.1）． 13．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x ，则根据题意可得方程为________． 14．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为2 125 y x =-，当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，这时水面宽度AB 为______________.
九年级二次函数拔高培优及解析 一、单选题 1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中： ①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c． 其中正确的有() A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】 ①∵对称轴是y轴的右侧， ∴ab<0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，故①错误； ②∵?b =1， 2a ∴b=?2a，2a+b=0，故②正确； ③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?2,0)，故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴是x=1， ∴y有最大值是a+b+c， ∵点A(m,n)在该抛物线上， ∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确， 本题正确的结论有：②③④⑤，4个， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4； ④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1 3 其中正确结论的个数是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数
学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由
28.若二次函数3622 +-=x x y 当X 取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2= 29.若抛物线2 2y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的 取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32. ★★★★★抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 33(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) 34（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 35(4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由 二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数c bx ax y +-=2 图象如下，则a,b,c 取值范围是 37已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0 a+b+c____0， a-b+c__0。2a+b____0 b 2 -4ac___0 4a+2b+c 0 38.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示． 有下列结论： ①2 40b ac -<； ②0ab >； ③0a b c -+=； ④40a b +=； ⑤当2y =时，x 等于0． ⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22 =++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102 =-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42 -=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ） 39.（天津市）已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示，下列结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2 0x +（b+1）x 0+b ﹣2 ＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2 121 a +是线段AB 的垂 直平分线，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣ b ＜0． 【解析】 【分析】 （1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点； （2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围； （3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121 a +是线段AB 的垂 直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】 解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1， 即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0， ∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，
2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3（附答案详解） 一、单选题 1．如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x = ≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该 “波浪线”上，则m n +的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．2020 D ．2021 2．已知抛物线2 114 y x = +具有如下性质:抛物线上任意一点到定点()0,2F 的距离与到x 轴的距离相等.如图点M 的坐标为()3,6 , P 是抛物线21 14 y x =+上一动点，则 PMF ?周长的最小值是（ ） A ．5 B ．9 C ．11 D ．1 3．如图1，矩形ABCD 中，2 43 AB BC = =，点P Q 、分别是BC AB 、上两动点，将PCD 沿着对折得，将沿着DP 对折得PED ?，将PBQ ?沿着PQ 对折，使 P E F 、、三点在一直线上，设BP 的长度为x ，AQ 的长度为y ，在点P 的移动过程 中，y 与x 的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（ ） A 2 B ． 32 C ． 74 D 25 4．如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 是AC 的中点，点P 由点D 出发，沿△ABC 顺时针方向运动，速度为7cm /s ，同时，点Q 从C 出发，沿△ABC
顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t （s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（） A．B． C．D． 5．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，?BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则 下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，?ABE ??PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2 秒时，?ABE∽?QBP．其中正确的是（）． A．①②B．①③④C．③④D．①②④ 6．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(２，０)、B(0,－4），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转9０°至AＣ. (1）求点C的坐标; (２)若抛物线y＝-错误!x２＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P（点C除外)使△AＢP是以AＢ为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标;若不存在，请说明理由. 2.如图1,已知直线y=x＋3与x轴交于点Ａ，与y轴交于点B,抛物线ｙ=－x２＋bx+ｃ经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E,抛物
线顶点为D. (１）求抛物线的解析式; （2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为３，求点Ｆ的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为ｔ秒，当t为何值时，以P、B、Ｃ为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值． 1.【解析】 试题分析：(1）过点Ｃ作ＣD垂直于x轴,由线段ＡB绕点A按逆时针方向旋转9
０°至ＡC，根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠ＯAB与∠CAD 互余，由∠AOB为直角，可得∠ＯＡB与∠ＡBO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACＤ与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得ＡＤ=ＯB,CD=OA,由Ａ和B的坐标及位置特点求出ＯA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;（2)①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△AＢP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: （i）A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 ＝AＢ,过P １ 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示，根据一对对顶角相等,一对直角相等,ＡB=ＡP 1 ，利用AAS可证明三角 形ＡP 1M与三角形ＡCＤ全等，得出AP １ 与P 1 M的长，再由P １ 为第二象限的点,得 出此时P 1 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足;（ｉｉ)当B为直角顶点,过Ｂ 作ＢＰ 2垂直于BA,且ＢＰ 2 =BA，过P 2 作P ２ N垂直于y轴,如图所示，同理证明三 角形ＢP 2N与三角形AOB全等,得出P ２ Ｎ与ＢＮ的长,由P 2 为第三象限的点,写出 P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；(iii)当B为直角顶点，过B作BP ３ 垂直于BA,且BＰ 3=BＡ,如图所示,过P 3 作P ３ H垂直于y轴，同理可证明三角形Ｐ 3BH全等于三角形AOＢ,可得出Ｐ ３ H与BH的长,由P 3 为第四象限的点，写出P 3 的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析：（１）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵ＢA⊥AＣ,∴∠ＯＡB+∠ＣＡD=９0°, 又∠AＯＢ＝90°，∴∠OAB＋∠ＯＢA=9０°， ∴∠CAD=∠OＢA,又AＢ＝ＡC，∠AＯB=∠ADＣ=９0°, ∴△AＯB≌△CDＡ，又Ａ(1，0)，B(0，﹣2）， ∴ＯＡ=CD=1，OB=AＤ=2， ∴OＤ＝ＯＡ+ＡD=3,又Ｃ为第四象限的点, ∴C的坐标为（3，﹣1); （2）①∵抛物线y=﹣1 2 ｘ2+ax+２经过点C，且C(3，﹣1）, ∴把Ｃ的坐标代入得：﹣１=﹣9 2 +3ａ＋2,解得：a＝ 1 2 ， 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x２＋ 1 2 x＋2； ②存在点Ｐ，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,（i）若以AB为直角边,点A为直角顶点， 则延长CA至点P 1使得P 1 A=CA,得到等腰直角三角形ABP １ ，过点P １ 作Ｐ 1 M⊥x轴, 如图所示，
九年级下册《二次函数》的应用培优提高 2013.12.7 【基础知识回顾】 一、二次函数与一元二次方程： 二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式决定 抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有实数根 抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有实数根 抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有实数根 【教师提醒：若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】 二、二次函数解析式的确定： 1、设顶点式，即：设 当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式 2、设一般式，即：设 知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式 【教师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】 三、二次函数的应用 1、实际问题中解决最值问题： 步骤：1、分析数量关系建立模型 2、设自变量建立函数关系 3、确定自变量的取值范围 4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值 2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题 一般步骤：1、求一些特殊点的坐标 2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式 3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题 【教师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围 2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】 【重点考点例析】 考点一：二次函数的最值 例1．已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 1 2 y x =上，点N在直线y=x+3 上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（） A．有最大值，最大值为 9 2 -B．有最大值，最大值为 9 2
二次函数 一、选择题 1． 一次函数4)2(2-+-=k x k y 的图象经过原点，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．3 2．对于二次函数y=（x-1）2 +2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是（1，2） D 、与x 轴有两个交点 3．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2 +c 的图象大致为（ ） 4．二次函数y=ax 2 +bx ﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．2 D ．3 5．抛物线2)3(2-+=x y 可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（） A ．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B ．先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D ．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位[来 6．对于二次函数y=-x 2 +2x ．有下列四个结论： ①它的对称轴是直线x=1； ②设y 1=-x 12 +2x 1，y 2=-x 22 +2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1； ③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）； ④当0＜x ＜2时，y ＞0． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是（ ） A ．25x ≤≤ B ．37x x ≤-≥或 C ．37x -≤≤ D ．52x x ≥≤或 8．如图，已知：无论常数k 为何值，直线l ：y=kx+2k+2总经过定点A ，若抛物线y=ax 2 过A ，B （1，b ），C （-1，c ）三点． （1）请直线写出点A 坐标及a 的值； （2）当直线l 过点B 时，求k 的值； （3）在y 轴上一点P 到A ，C 的距离和最小，求P 点坐标； （4）在（2）的条件下，x 取 值时，ax 2 ＜kx+2k+2． 二、填空题 9．在二次函数y=-2（x-3）2 +1中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ． 10．二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c ＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）． 11．二次函数23y x =的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在二次函数23y x =的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC 的面积为 ． 12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数2 1y x =（x ≥0）与223 x y =（x ≥0） 的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则 =AB DE ． 13．已知3a <-,点 A （a,y 1 ）, B （ a+1,y 2）都在 二次函数223y x x =+图像 上,那么y 1 、y 2的大小关系是 ． 14．已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x-错误！未找到引用源。1)2 +1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1 y 2 .（填“>”“=”或“<”）. 三、计算题 15．已知抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 经过点A （－1，0），且经过直线y=x －3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标． 四、解答题 16．水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克． （1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元? （2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0， ），点M 是抛物线C 2： 2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2 m 2 =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】 （1）在2 y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标． （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值． （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】 解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=， ∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （ ，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下： ∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
数学九年级上册二次函数单元培优测试卷 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题） 1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形， 请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 3.如图，已知二次函数 2 ＝ ＋ ＋ y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－3)． y x C D B A O x y P B A C O
(1)求这个二次函数的表达式； (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值； ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－ ＋ － y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标； (2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O