因数与倍数-教师版

【考点一】因数和倍数的意义前提：研究因数和倍数的前提是非零自然数因数与因数的区别：是一个数的因数，如果都是质数，这样的数就是这个数的质因数，注意一个数的因数可以有1．例题1：a是自然数，且a÷b=3，那么a（）b的倍数．A ．一定是B．一定不是C．不一定是D．不能确定考点：因数和倍数的意义．菁优网版权所有分析：由此题可知，a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数，由此可判断此题．解答：解：a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数；故选：C．点评：此题是考察因数和倍数的意义，不要忽略了在研究因数和倍数时，我们所说的数是非0的自然数这一点．变式1：2×3×6=36，2、3、6这三个数都是36的（）A ．倍数B．质因数C．公约数D．约数考点：因数和倍数的意义；因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有分析：因为2×3×6=36，说明2、3和6是36的因数，只有2和3是质数，所以2和3是36的质因数，但6不是质数，是合数，由此选出答案即可．解答：解：因为2×3×6=36，所以2、3、6是36的因数（约数）；故选：D．点评：此题主要考查质因数与因数的区别：是一个数的因数，如果都是质数，这样的数就是这个数的质因数，注意一个数的因数可以有1．变式2：下面说法正确的是（）A ．一个数的约数都比这个数的倍数小B．111的倍数都是合数C ．互质的两个数一定都是质数D．4.2能被0.7整除考点：因数和倍数的意义；合数与质数；整除的性质及应用．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．解答：解：A、一个数的约数都比这个数的倍数小，说法错误，因为一个数最大的约数是它本身，最小的倍数是它本身；B、111的倍数都是合数，说法正确，因为111是合数，它的倍数一定是合数；C、互质的两个数一定都是质数，说法错误，如8和9；D、4.2能被0.7整除，说法错误，因为整除必须是指在整数范围内，并且除数不能为0；这里4.2和0.7点评：此题涉及面较广，应注意基础知识的掌握和灵活运用．4变式3：用8、9、10、15中任意两个数组成的互质数，可组成（）A ．1对B．2对C．3对D．4对考点：因数和倍数的意义．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：自然数中，公因数只有1的两个数为互质数．据此定进行析能得出正确选项．解答：解：用8、9、10、15中任意两个数组成的互质数，可以组成：8和9一组，8和15一组，9和10一组，共3组；故选：C．点评：互质数是根据两个数公有因数的个数来定义的．变式4：a÷b=7（a，b不为0），所以a是b的倍数，b是a的因数．错误．（判断对错）考点：因数和倍数的意义．菁优网版权所有专题：压轴题；综合判断题．分析：根据因数和倍数的意义，当a÷b=c（a、b、c为非0自然数）时，我们说a是b的倍数，b是a的因数．此题虽然排除了a、b、c为0的可能性，但不能排除是分数或小数的可能．如：2.4÷2.4=1，我们不能说2.4是2.4的倍数，也不能说2.4是2.4的因数．由此判断即可．解答：解：当a÷b=7（a、b、为非0的自然数）时，我们说a是b的倍数，b是a的因数．此题虽然a、b不为0，但不能排除是分数或小数的可能：故答案为：错误．点评：题重点是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0的自然数这个条件【考点二】找一个数因数的方法例题1：要把402个水杯装箱，选择每箱（）个水杯的包装箱正好装完．A ．12 B．4 C．3 D．5考点：找一个数的因数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：求要把402个水杯装箱，选择每箱多少个水杯的包装箱正好装完，每箱的个数只要是402的因数即可．解答：解：在12、4、3、5中，只有3是402的因数，所以选择每箱3个水杯的包装箱正好装完；故选：C．点评：明确要求的问题，即只要每箱的个数是402的因数的即可．例题2：在12的约数中，可以组成（）组互质数．A ．5 B．6 C．7 D．8点：分析：先根据找一个数的因数的方法，列举出12的约数，12的约数有：1、2、3、4、6、12，共6个；进而根据互质数的含义：公因数只有1的两个数叫做互质数，写出即可．解答：解：12的约数有：1、2、3、4、6、12，互质数有1、2，1、3，1、4，1、6，1、12，2、3，3、4；共7组；故选：C．点评：解答此题应先根据找一个数因数的方法，求出12的因数；进而根据互质数的含义，进行列举，继而数出即可．变式1：已知n=2×3×7，那么n的约数有（）个．A ．5 B．6 C．7 D．8考点：找一个数的因数的方法．菁优网版权所有分析：根据找一个数因数的方法，进行列举：n约数有：1、2、3、7、2×3=6、2×7=14、3×7=21、2×3×7=42；数出即可．解答：解：a约数有：：1、2、3、7、2×3=6、2×7=14、3×7=21、2×3×7=42；共8个；故选：D．点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法，进行列举即可．变式2：小明的妈妈从批发场买来90kg大枣，如果每15kg装一包，能正好装完么？还可以怎么装？装多少包？（举一例）考点：找一个数的因数的方法．菁优网版权所有专题：约数倍数应用题．分析：用玉米的总数量除以每筐装的个数，如果没有余数就是可以正好装完，否则不能正好装完；然后把90分解因数，找出可以装的方法．解答：解：90÷15=6（包）没有余数，正好装完；90=90×1=30×3=15×6所以还可以每包装30克，装3包．答：能正好装完，还可以每包装30克，装3包．点评：本题考查了除法包含的意义，以及整数分解因数的方法．【考点三】找一个数倍数的方法例题1：一个数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个数最小是多少﹖考点：找一个数的倍数的方法；公倍数和最小公倍数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：由“一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3”可知，将这个自然数乘以2后得：被3除余2，被5除余4，被7除余6；由此可见将乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；进而进行解答即可．解答：解：由题意可得：将这个自然数乘以2后的数加1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105﹣1）÷2=52，答：这个自然数最小是52．评：变式1：小明一天上街购买了同一颜色成对筷子若干双，共有红、黄、蓝三种筷子26根，其中蓝筷子根数是黄筷子的9倍，问有蓝筷子多少根？考点：找一个数的倍数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：根据题意可知：蓝筷子的根数是26以内的9的倍数，26以内的9的倍数有9、18；因为同一颜色筷子成对，所以黄筷子不能是1根，只能是2根，则蓝筷子的根数是18根；据此解答．解答：解：26以内的9的倍数有9、18，因为同一颜色筷子成对，所以黄筷子不能是1根，只能是2根，则蓝筷子的根数是18根；答：蓝筷子有18根．点评：此题考查了找一个数倍数的方法，明确蓝筷子的根数是26以内的9的倍数，是解答此题的关键．变式2：如果有n个1构成n位数是7的倍数，那么n最小可能值是 6 ．考点：找一个数的倍数的方法．菁优网版权所有分析：可以通过试的方法：因为求n的最小可能值，所以分别用11、111、1111、…去除以7，第一个能被7整除的就是；进而得出结论．解答：解：11÷7=1…4；111÷7=15…6；1111÷7=158…5；11111÷7=1587…2；111111÷7=15873；因为111111能被7整除，所以n的最小可能值是6；故答案为：6．点评：解答此题的关键：应采用试出的方法，进行解答，继而得出结论．【考点四】公倍数和最小公倍数例题1：有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（）A ．96 B．48 C．60考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：先将6和90分解质因数，求得符合条件的两个两位数，再相加即可求解．解答：解：6=2×3，90=2×3×3×5，一个数是：2×3×3=18，另一个数是：2×3×5=30，这两个数的和是：18+30=48．故选：B．点此题考查了合数分解质因数和求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是变式1：任意两个数的（）的个数是无限的．A ．公倍数B．公因数C．最小公倍数D．最大公因数考点：公倍数和最小公倍数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，由此解决问题即可．解答：解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；故选：A．点评：本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数的意义．变式2：求最小整数，被三除余二，被五除余三，被七除余四？考点：公倍数和最小公倍数；同余定理．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：由“一个整数被三除余二，被五除余三，被七除余四”可知，将这个整数乘2后得：被3除余1，被5除余1，被7除余1；由此可见将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除，由此即可求出．解答：解：将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105+1）÷2=53；答：这个整数最小是53．点评：此题属于同余除法，应明确这个整数乘2后的数减去1能被3、5、7整除，是解答此题的关键．变式3：一个小于30的自然数，既是4的倍数，又是5的倍数，这个数是多少？考点：公倍数和最小公倍数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：根据题意可知，这个数是4和5的公倍数，然后找出小于30的即可．解答：解：4和5的公倍数有：20、40、60…30以内的是20，所以这个数是20；答：这个数是20．点评：此题考查的目的是掌握求两个数的最小公倍数的方法．【考点五】因数、公因数、最大公因数例题1：6和13是一对互质数．正确．考点：因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有专题：压轴题；数的整除．分析：只有公因数1的两个数为互质数．6与13只有公因数1，所以6和13是一对互质数；据此判断．答：所以6和13是一对互质数．故答案为：正确．点评：了解互质数的意义是完成本题的关键，要把互质数和质数区别开．例题2：两个数的最大公约数是8，那么这两个数分别除以8所得的两个商一定互质．√．考点：因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：根据公约数和最大公约数的意义，及互质数的意义，即可做出判断．解答：解：因为两个数的公约数中，最大的一个叫做这两个数的最大公约数，所以两个数分别除以这两数的最大公约数，所得的商（只有公约数1）是互质数，这种说法是正确的．故答案为：√．点评：此题主要考查对公约数、最大公约数和互质数的概念的理解和掌握，据此解决有关的问题．变式1：看谁找得快．（1）15的全部因数有1、3、5、15 ．（2）21的全部因数有1、3、7、21 ．（3）既是15的因数，又是21的因数有1、3 ．考点：因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：（1）根据找一个数因数的方法，列举出15的全部因数即可；（2）根据找一个数因数的方法，列举出21的全部因数即可；（3）求既是15的因数，又是21的因数，即求15和21的公因数，找出即可．解答：解：（1）15是全部因数：1、3、5、15；（2）21的全部因数：1、3、7、21；（3）15和21的公因数有：1、3；故答案为：1、3、5、15，1、3、7、21，1、3．点评：明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键．变式2：公约数仅有1的两个数一定是互质数．√（判断对错）考点：因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有专题：数的整除．分根据公因数的意义：公因数只有1的两个数，叫做互质数；由此即可判断．解答：解：根据互质数的定义可知，公因数只有1的两个数一定是互质数的说法是正确的．故答案为：√．点评：本题考查了互质数的定义．变式3：既能整除24，又能整除30的整数是多少？他们的和是多少？考点：因数、公因数和最大公因数．菁优网版权所有分析：整除的意义：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），a是b的倍数，b是a的约数，据此可知：既能整除24，又能整除30的整数的数是24和30公约数，求出它们的公约数加起来就可求出他们的和是多少，据此解答．解答：解：24的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24，30的约数有；1，2，3，5，6，10，15，30．24和30的公约数有1，2，3，6，既能整除24．又能整除30的整数是1，2，3，6，他们的和是：1+2+3+6=12；答：既能整除24．又能整除30的整数是1，2，3，6，他们的和是12．点评：解答本题关键是理解：既能整除24，又能整除30的整数的数是24和30公约数．【考点六】求几个数的最大因数的方法例题1：如图，A圈内是42的约数，B圈内是56的约数，C圈内是63的约数，请在图中适当的位置上填上符合要求的数．考点：求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：把42、56和63分解质因数，然后分别写出它们的约数：42=2×3×7，42的约数有1、2、3、7、6、14、21、42；56=2×2×2×7，56的约数有1、2、4、7、8、14、28、56；63=3×3×7，63的约数有1、3、7、9、21、63；据此得解．解答：解：如图，．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例题2：两个自然数的全部公有质因数的积一定是这两个数的最大公约数．√．考点：求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：根据“求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，”当然两个自然数的全部公有质因数的积一定是这两个数的最大公约数也不例外．解答：解：两个自然数的全部公有质因数的积一定是这两个数的最大公约数是正确的；如，8=2×2，12=2×2×3，则8和12的最大公约数是2×2=4；故答案为：√．点评：考查了求几个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数．变式1：在算式A÷B=3中，可以得到A和B的最大公约数是3 错误．考点：求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有分析：A能被B整除，说明A是B的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．解答：解：由题意得，A÷B=3，可知A是B的倍数，所以A和B的最大公约数是B，而不是3；故答案为：错误．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．变式2：A÷B=0.2（A、B都是0除外的自然数）那么它们的最大公因数是B．×．考点：求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：A÷B=0.2（A、B都是0除外的自然数），那么A=0.2B，B÷A=5，B数能被A数整除，说明B数是A数的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；由此解答问题即可．解答：解：A÷B=0.2（A、B都是0除外的自然数），那么A=0.2B，B÷A=5，B数能被A数整除，说明B数是A数的整数倍，A、B两个数的最大公因数是较小的数A，而不是B；故答案为：×．点此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数．变式3：22与33的最小公倍数与最大公约数分别是66和11 ．考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法．菁优网版权所有专题：数的整除．分析：求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，即可得解．解答：解：22=2×11，33=3×11，所以22和33的最小公倍数是11×2×3=66，最大公约数是11；故答案为：66和11．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．【考点七】求几个数的最小公倍数的方法求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答例题1：有一批砖，每块砖长45厘米，宽30厘米．至少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形？考点：求几个数的最小公倍数的方法．菁优网版权所有分析：要求少用多少块这样的砖才能铺成一个正方形，先求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求45和30的最小公倍数，先把“45和30进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；求出拼成的正方形的边长，进而求出长需要几块，宽需要几块，然后相乘求出用砖的总块数．解答：解：45=3×3×5，30=2×3×5，所以拼成的四边形的边长是2×3×3×5=90厘米，需要：（90÷45）×（90÷30），=2×3，=6（块）；答：至少用6块这样的砖才能铺成一个正方形．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．变式1：在下面的圈里填上适当的数．（1）见图124和36的最大公因数是12（2）填100以内的自然数（图2），8和12的最小公倍数是24 ．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有专数的整除．分析：根据找因数的方法，分别找出24的因数与36的因数，填入圈中即可；根据找倍数的方法分别找出8和12的倍数（100以内的自然数）即可．解答：解：24和36的最大公因数是12，8和12的最小公倍数是24；故答案为：12，24．点评：本题主要利用求因数和倍数的方法求最大公因数与最小公倍数．变式2：有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？考点：求几个数的最小公倍数的方法．菁优网版权所有分析：先求出8和18的最小公倍数，然后加上3即可．解答：解：8=2×2×2，18=2×3×3，8和18的最小公倍数是2×2×2×3×3=72，72+3=75（个）；答：这筐苹果至少有75个．点评：解答此题的关键是先求出8和18的最小公倍数，然后加上3进行解答即可．。