九年级二次函数培优竞赛试题及答案
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九年级二次函数培优竞赛试题及答案
1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=-1
4
x2+ax+4经过点C.
①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
1.【解析】
试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD 互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标;
(2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式;
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑:
(i)A为直角顶点,过A作AP
1垂直于AB,且AP
1
=AB,过P
1
作P
1
M垂直于x轴,
如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP
1
,利用AAS可证明三角
形AP
1M与三角形ACD全等,得出AP
1
与P
1
M的长,再由P
1
为第二象限的点,得出
此时P
1
的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作
BP
2垂直于BA,且BP
2
=BA,过P
2
作P
2
N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形
BP
2N与三角形AOB全等,得出P
2
N与BN的长,由P
2
为第三象限的点,写出P
2
的
坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP
3
垂直
于BA,且BP
3=BA,如图所示,过P
3
作P
3
H垂直于y轴,同理可证明三角形P
3
BH
全等于三角形AOB,可得出P
3H与BH的长,由P
3
为第四象限的点,写出P
3
的坐
标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2),
∴OA=CD=1,OB=AD=2,
∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,
∴C的坐标为(3,﹣1);
(2)①∵抛物线y=﹣1
2
x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1),
∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣9
2
+3a+2,解得:a=
1
2
,
则抛物线的解析式为y=﹣1
2
x2+
1
2
x+2;
②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,
则延长CA至点P
1使得P
1
A=CA,得到等腰直角三角形ABP
1
,过点P
1
作P
1
M⊥x轴,
如图所示,
∵AP
1=CA,∠MAP
1
=∠CAD,∠P
1
MA=∠CDA=90°,
∴△AMP
1
≌△ADC,
∴AM=AD=2,P
1
M=CD=1,
∴P
1(﹣1,1),经检验点P
1
在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上;
(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP
2⊥BA,且使得BP
2
=AB,
得到等腰直角三角形ABP
2,过点P
2
作P
2
N⊥y轴,如图,
同理可证△BP
2
N≌△ABO,
∴NP
2
=OB=2,BN=OA=1,
∴P
2(﹣2,﹣1),经检验P
2
(﹣2,﹣1)也在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上;
(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP
3⊥BA,且使得BP
3
=AB,
得到等腰直角三角形ABP
3,过点P
3
作P
3
H⊥y轴,如图,
同理可证△BP
3
H≌△BAO,
∴HP
3
=OB=2,BH=OA=1,
∴P
3(2,﹣3),经检验P
3
(2,﹣3)不在抛物线y=﹣
1
2
x2+
1
2
x+2上;
则符合条件的点有P
1(﹣1,1),P
2
(﹣2,﹣1)两点.
考点:1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形.