重庆育才中学教育集团2020- 2021 学年(上)第二次月考(半期) 初2021届九年级数学试卷

重庆育才成功学校九年级物理第二次月考试题（全卷共四个大题，满分80分，与化学共用120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回。

4．全卷g＝10N/kg，ρ水＝1.0×103kg/m3。

一、选择题（本题共8个小题，每小题只有一个选项最符合题意，每小题3分，共24分）1. 下列数据中最符合实际的是( )A．今天教室内的气温约为60℃ B．对人体的安全电压为不高于220V C．手机正常工作时的电流约为10A D．人体的平均密度约为1.0×l03kg／m3 2．如图1是用天然气烧开水的场景，在加热水的过程中，下列说法中正确的是（）A．天然气燃烧时将化学能转化为机械能B．水的温度越高，水分子运动越激烈C．壶嘴上方“白气”的形成是汽化现象D．加热过程中通过做功的方式使水的内能增加3．如图2所示的四种现象中，属于光的反射现象的是（）A B C DA. 手在墙上形成手影B. 钢勺好像在水面处折断了C. 天鹅在水中的倒影D. 沙漠中的“海市蜃楼”4．在如图3（a）所示电路中，当闭合开关后，两个电压表指针偏转均如图3（b）所示，则电阻R1和R2两端的电压分别为( )A．5.6V 1.4V B．7 V 1.4V C．1.4V 7V D．1.4V 5.6V图1图2图35．每到周末来临，双福育才中学的学生们都高兴的坐上公共汽车回家，下列有关公共汽车上一些设施和做法与所包含的物理知识相对应的一组是（）A．汽车在匀速转弯的过程中——汽车的运动状态没有发生变化B．汽车转弯时播放“汽车转弯，请抓好扶手”一一防止由于惯性而造成对人体的伤害C．汽车轮胎上做了很多花纹一一用来减小摩擦力D. 公共汽车在平直公路上加速行驶——公共汽车受到了平衡力的作用6．图4为西西同学的实验电路。

不考虑灯泡电阻的变化，当闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P向左滑动时，观察到的现象是（）A．电压表的示数减小，电流表的示数增大B．电压表的示数增大，电流表的示数增大C．电压表的示数和电流表的示数的比值在减小D ．电压表的示数数变大，灯泡亮度变暗SP图4 图5 图67．如图5所示，不计摩擦，把重G =18N的物体匀速提起所用的拉力F =10N，则关于该过程的说法中正确的是（）A．用该装置提升物体的速度越快，机械效率越高 B．该滑轮组的机械效率为90% C．用该装置提升物体越重，滑轮组的机械效率越高 D．动滑轮重8N8．如图6所示，电源电压保持6V 不变，电流表的量程为0 ~ 0.6A，电压表的量程为0 ~ 3V，定值电阻R1的规格为“10Ω0.5A”，滑动变阻器R2的规格为“20Ω 1A”。

2020-2021学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）第二次定时练习数学试卷一、选择题1．（4分）下列四个数中，比﹣2小的数是（）A．0B．1C．2D．﹣32．（4分）截止到8月21日，全球新冠肺炎确诊人数约为2253万，其中数据2253用科学记数法表示为（）A．2.253×102B．2.253×103C．22.53×102D．22.53×103 3．（4分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x≠1D．x≠04．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°5．（4分）下列计算正确的是（）A．+＝B．2+＝2C．×＝D．2﹣＝6．（4分）将若干个小菱形按如图的规律排列：第1个图形有4个小菱形，第2个图形有7个小菱形，第3个图形有10个小菱形，…，则第8个图形有（）个小菱形．A．24B．25C．26D．277．（4分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60°B．64°C．66°D．68°8．（4分）已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为（）A．2B．9C．3D．69．（4分）下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是菱形10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A 坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（）A．二次函数的最大值为a﹣b+cB．a+b+c＞0C．b2﹣4ac＞0D．2a+b＝011．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣4，且关于y的分式方程﹣＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2B．2C．3D．612．（4分）如图，在▱ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：（π﹣2）0+|﹣4|＝．14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是．15．（4分）从﹣2、﹣1、3、6中随机抽取一个数记为a，再从剩下的三个数中任取一个记为b，则ab＜0的概率是．16．（4分）如图，扇形的圆心角为90°，半径OC＝4，∠AOC＝30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．17．（10分）计算：（1）（x+y）2+x（x﹣2y）；（2）（1﹣）÷．18．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比七年级7.5a745%八年级7.58b c 根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．20．（10分）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．21．（10分）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝．x……﹣1﹣0.500.51 1.52 2.53……y……3m00.7510.750 1.253……（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的一条性质；（4）进一步探究函数图象解决问题：①方程|x2﹣2x|＝有个实数根；②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为．（精确到0.1）22．（10分）十九大以来，为全面推进新农村建设，积极改革农村产业结构，增加农民收入，致富村村委会多方努力，共获得流转耕地1000亩，全部用于种植纽橙和蔬菜，其中种植蔬菜的面积不少于种植纽橙面积的4倍．（1）求该村种植蔬菜的面积至少为多少亩？（2）今年村里按（1）中蔬菜种植面积的最小值种植蔬菜，纽橙和蔬菜上市后，纽橙每亩获利800元，蔬菜每亩获利600元；明年在保持纽橙种植面积不变的情况下，纽橙亩产量将上涨，预计每亩利润将增加3a%；同时利用新增流转耕地，使蔬菜种植面积扩大α%，并改良蔬菜种植结构，蔬菜每亩利润将增加a%这样，明年纽橙和蔬菜的总利润将比今年的总利润增加a%．求a的值．参考答案一、选择题（木大题共12小题，每小题4分，共48分。

2021年重庆市育才中学教育集团中考物理二诊试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题只有一个选项最符合题意，每小题3分，共24分，）1．（3分）下列有关校园生活中的常见物理量估测最合理的是（）A．考试用的签字笔长度约为15mm B．一名中学生的质量约为30kgC．教室内一盏日光灯额定功率约为20W D．一节新干电池的电压为10V2．（3分）春暖花开，万物复苏，重庆轨道交通2号线佛图关段大面积的美人梅盛开，“开往春天的列车”成为山城重庆一道亮丽的风景线，如图所示。

下列有关描述中正确的是（）A．清晨轻轨玻璃内侧弥漫着“小水珠”是熔化现象B．花朵上的露珠晶莹剔透，是水蒸气凝华形成的C．露珠在阳光下逐渐消失，发生了升华现象D．在轻轨上也能闻到花香，是因为分子在永不停息地做无规则运动3．（3分）江山多娇城，龙凤呈祥地，美丽的九龙坡区历史文化浓厚，风景秀丽宜人。

以下有关描述中正确的是（）A．美丽的鹅公岩大桥与倒影交相呼应，倒影的形成是光的折射现象B．九龙外滩江水清澈见底，从岸边能看到水中的鹅卵石是光的反射现象C．白天我们能看到建川博物馆的标志性建筑是因为该建筑是光源D．陶行知纪念馆夜晚灯光闪耀，学生在地面上的影子是由于光沿直线传播形成的4．（3分）下列有关图中所示物理知识描述正确的是（）A．图甲是家用电风扇的工作原理图B．图乙拔插头时可以用力直接拉扯电线C．图丙中开关应接在零线和用电器之间D．图丁中对一灯丝加热，右侧灯泡将变暗5．（3分）电动平衡车越来越受到年轻人的喜爱，如图所示。

当人站在电动平衡车上和车一起匀速水平前进的过程中，下列说法中正确的是（）A．人和平衡车的总机械能一直保持不变B．平衡车车轮往往做得比较粗糙是为了减小摩擦力C．人和平衡车匀速运动的速度越快，惯性越大D．平衡车受到的重力和地面对车的支持力是一对平衡力6．（3分）如图所示是科技创新小组的同学们自己发明的电子握力器的原理图。

电源电压不变，滑动变阻器b端固定在绝缘底座上，手柄A与变阻器滑片固定在一起，同步运动，握力为零时，滑片处于a端。

2021年重庆市九龙坡区育才中学教育集团中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.−2021的绝对值是()A. 2021B. 12021C. −12021D. −20212.下列图形是国家标准交通标志，其中是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.在函数y=1√x−2+1中，自变量x的取值范围是()A. x<2B. x≥2C. x>2D. x≠24.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是()A. △ABC∽△A′B′C′B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上C. AB//A′B′D. AO：AA′=1：25.若−2x a y与5x3y b的和是单项式，则(a+b)2的平方根是()A. 2B. ±2C. 4D. ±46.按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒()根．A. 8084B. 6066C. 6063D. 60647.若m、n为一元二次方程x2−2x−2=0的两个实数根，则m2−m+n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 08.5月8日，重庆市育才中学第六届体育文化节暨田径运动会如期举行，甲、乙两名同学参加100米赛跑，其路程S(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数图象如图所示，下列说法不正确的是()A. 甲、乙同时到达终点B. 乙的平均速度小于甲的平均速度C. 前3秒，甲的速度大于乙的速度D. 甲、乙的平均速度相同9.如图，PA、PB是⊙O的切线，其中A、B为切点，点C在⊙O上，∠ACB=52°，则∠APB等于()A. 104°B. 76°C. 128°D. 63°10.山城重庆的美景吸引了很多游客，越来越多的人喜欢用无人机拍摄网红景点.如图，为了拍摄坡比为1：2.4的斜坡AB上的景点A，航拍无人机先从C点俯拍，此时的俯角为37°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高100米到达D点，此时的俯角变为45°.已知坡AB的长为65米，则无人机与斜坡AB的坡底B的水平距离BE的长度为()米.(参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)A. 335B. 340C. 345D. 35011.若整数a使得关于x的方程2−3x−2=a2−x的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组{3y−22+2>y−22y−a10≤0至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为()A. 23B. 25C. 27D. 2812.如图，双曲线y=kx(x>0)经过▱OABC的顶点A，与BC、AC分别交于点D、E，连接EB.若BD=3CD且△EBC的面积为5，则k的值为()A. 113B. 163C. 203D. 223二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.计算：(2−π)0−(13)−1=______ ．14.受疫情影响，2021年“五一”假期出行强劲复苏，全国客流量达到265000000人次，数据265000000用科学记数法表示为______ ．15.有4张正面分别标有数字−3、−1、0、6的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是______ ．16.如图，已知BC=6，∠ACB=90°，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，又以AC为直径作半圆，圆心为O，过点O作AC的垂线，分别交弧AB、弧AC于点M、N，则阴影部分的面积是______ ．17.如图，在△ABC中∠A=60°，AC=4，AB=7，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好落在AC中点，连接BB′，交DE于点F，则DF=______ ．18.临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务(三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为______ 个.三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：(1)(x −3y)2−(x −2y)(x +2y)； (2)(x −1−3x+1)÷x 2+4x+4x+1．20. 为庆祝中国共产党建党100周年，我校举办了以学党史为主要内容的读书节系列活动，现从甲、乙两校区各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩m(百分制，单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．(一)甲、乙两校区学生样本成绩的频数分布表及扇形统计图如下： 甲校区学生样本成绩的频数分布表(二)甲、乙两校区学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：其中，乙校区20名学生样本成绩的数据如下：5472629187608879806280849367878691716891请根据所给信息，解答下列问题：(1)a=______ ；b=______ ；c=______ ；n=______ ．(2)乙校区学生样本成绩扇形统计图中，70≤m<80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是______ 度.(3)在此次测试中，你认为哪个校区成绩更好？请说明理由；(4)若乙校区有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校区成绩优秀的学生人数．21.在△ABC中，AB=CB，AD⊥BC．(1)尺规作图：过点B作线段AC的垂线分别交线段AC和线段AD于F、E两点(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在(1)的情况下，若BD=AD，则BE=2CF成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．22.在初中函数阶段学习中，我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数图象的画法，知道通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，并结合图象研究函数性质.以下是我们探究函数y=|x2−1|x(x>0)性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．(1)写出表中a，b的值：a=______ ，b=______ ，并在图中补全该函数图象：(2)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的横线上打“√”，错误的在相应的横线上打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x=1；______②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x=1时，函数取得最小值0；______③当0<x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．______(3)已知函数y=914x+3328图象如图，结合你所画函数的图象，直接写出不等式|x2−1|x >914x+3328的解集．23.节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展.为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．(1)按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？(2)经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元.为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．24. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，得ab =n ，即a =bn ，例如：若整数a 能99整除，则一定存在整数n ，使得a99=n ，即a =99n 将一个数从最后两位开始，两位一截所得的所有数(如果有偶数个数位，则拆出的数都是两位数：如果有奇数个数位，则拆出的数中有若干个两位数和一个一位数)的和能被99整除，那么原数一定能被99整除.例如：自然数202106，先分成20，21，06，因为20+21+6=47，47不能被99整除，故202106不能被99整除；自然数4173543，先分成4，17，35，43，因为4+17+35+43=99，99能被99整除，故4173543能被99整除.一个能被99整除的自然数我们称为“完美数”．(1)自然数264033 ______ 被99整除，5201314 ______ 被99整除；(请填入“能”或者“不能”)(2)证明：满足上述规律的四位数是“完美数”；(3)若五位整数41b7a −能被99整除，请求出所有符合要求的五位整数．25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线y =−√33x 2+2√33x +√3与直线y =√33x +√33交于A ，B 两点．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上的任意一点，过P 作PH ⊥AB 于点H ，求线段PH 的最大值；(3)将该抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移√33个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1(a 1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中存在点E ，使以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为菱形，求出此时点E 的坐标．26.如图.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，D、E分别为AC、BC上的两点，CD=√2BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与AB交于点M．(1)如图1，当∠DEC=30°时，若BC=2+√3，求AD的长；(2)如图2，连接CF，N为CF的中点，连接MN，求证：MN=√2BE；2(3)如图3，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转60°得AG，连接FG、BG、CG，若AC=4，当CG取得最小值时，直接写出△BCG的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−2021的绝对值即为：|−2021|=2021． 故选：A ．根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案． 本题主要考查了绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C ．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．3.【答案】C【解析】解：根据题意得：{x −2≥0x −2≠0，解得：x >2． 故选：C ．根据二次根式的被开方数大于或等于0，且分母不等于0，列出不等式组，求解即可． 本题考查了函数自变量的取值范围，解题时注意考虑问题要全面，二次根式的被开方数大于或等于0，且分母不等于0，两个条件都要满足．4.【答案】D【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，A选项说法正确，不符合题意；点C、点O、点C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；AB//A′B′，C选项说法正确，不符合题意；AO：AA′=1：3，D选项说法错误，符合题意；故选：D．根据位似图形的概念判断即可．本题考查的是位似变换的概念，掌握两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：由题意可知：−2x a y与5x3y b是同类项，∴a=3，b=1，∴(a+b)2=(3+1)2=16，16的平方根是±4．故选：D．若−2x a y与5x3y b的和是单项式，可知−2x a y与5x3y b是同类项，根据同类项的定义求出a，b，再代入计算即可求出答案．本题考查合并同类项，解题的关键正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：搭2个正方形需要4+3×1=7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2=10根火柴棒；…，搭n个这样的正方形需要4+3(n−1)=3n+1根火柴棒；搭2021个这样的正方形需要3×2021+1=6064根火柴棒；故选：D．通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．7.【答案】C【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2−2x−2=0的两个实数根，∴m2−2m−2=0，m+n=2．∴m2−m+n=m2−2m+m+n=2+m+n=2+2=4．故选：C．根据方程的解的概念和根与系数的关系可得出m2−2m−2=0，m+n=2，将m2−m+n变形，即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，根的定义，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．8.【答案】B【解析】解：由图象可得，甲、乙同时到达终点，故选项A正确，不符合题意；甲、乙的平均速度相同，故选项B错误，符合题意；前3秒，甲的速度大于乙的速度，故选项C正确，不符合题意；甲、乙的平均速度相同，故选项D正确，不符合题意；故选：B．根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】B【解析】解：连接OA、OB，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠AOB=2∠ACB=2×52°=104°，∴∠APB=180°−104°=76°．故选：B．先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=104°，然后根据四边形内角和计算∠APB的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．10.【答案】B【解析】解：如图，作AF⊥DE于点F，作AG⊥BE于点G，由题意知：AB的坡比为1：2.4，AB的长为65米，∴AG=15米，BG=60米，∵AF⊥DE，AG⊥BE，BE⊥DE，∴四边形AGEF是矩形，∴EF=AG=15米，AF=GE，∵∠CAF=37°，∴tan∠CAF=CFAF，∴CFAF =tan37°≈0.75=34，设CF=3x米，AF=4x米，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，CD=100米，∴AF=DF，∴4x=3x+100，解得x=100，∴GE=AF=4x=400米，∴BE=GE−GB=400−60=340(米)．故选：B．作AF⊥DE于点F，作AG⊥BE于点G，根据AB的坡比为1：2.4，AB的长为65米，可得AG=15米，BG=60米，设CF=3x，AF=4x，利用锐角三角函数即可求出结果．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．11.【答案】B【解析】解：分式方程去分母得：2(x −2)−3=−a ， 整理得：2x −4−3=−a ， 解得：x =7−a 2，∵分式方程的解为非负数，且a 为整数， ∴7−a 2≥0且7−a 2≠2，即a ≤7且a ≠3，不等式组整理得：{y >−2y ≤a ，即−2<y ≤a ，∵不等式组至少有3个整数解， ∴a ≥1，综上，a 的范围为1≤a ≤7，即a =1，2，4，5，6，7， 则满足条件的a 之和为1+2+4+5+6+7=25． 故选：B ．表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出a 的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出a 的范围，进而求出a 的具体范围，确定出整数a 的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．12.【答案】D【解析】解：过点A 作AF ⊥OC 于分F ，过E 作EG ⊥OC 于G ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，A(a,b)，如图，设A(a,b)，则OF =a ，AF =b ，k =ab ． ∵四边形OABC 为平行四边形， ∴OA =BC ，OA//BC ． ∴∠AOF =∠BCM ． 在△AOF 和△BCM 中， {∠AOF =∠BCM∠AFO =∠BMC =90°OA =CB． ∴△AOF≌△BCM(AAS)． ∴CM =OF =a ，BM =AF =b ． ∵BD =3CD ， ∴BC =4CD ．∵DH ⊥x 轴，BM ⊥x 轴， ∴DH//BM ．∴DH =14BM =14b ，CH =14CM =14a. ∴D(4a,14b)．∴OH =4a ，OC =OH −CH =154a.∴C(154a,0)．设直线AC 的解析式为y =kx +n ，将A ，C 坐标代入得： {ka +n =b 154ka +n =0． 解得：{k =−4b11a n =1511b ． ∴y =−4b 11ax +1511b ．∴{y =−4b 11a x +1511b y =ab x．解得：{x =ay =b 或{x =114ay =411b ．∴点E(114a,411b). ∴EG =411b ，OG =114a ，GM =OM −OG =OC +CM −OG =2a ．∵S △EBC =S 梯形EGMB −S △EGC −S △BMC =5，∴12(EG +BM)×GM −12GC ×EG −12CM ×BM =5． ∴12×(411b +b)×2a −12×a ×411b −12ab =5．解得：ab =223．∴k =ab =223．故选：D ．过点A 作AF ⊥OC 于分F ，过E 作EG ⊥OC 于G ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，A(a,b)，则OF =a ，AF =b ，k =ab ；由四边形OABC 为平行四边形，易证△AOF≌△BCM ，可得CM =OF =a ，BM =AF =b ；利用BD =3CD 可得BC =4CD ；利用DH//BM 可得DH =14BM =14b ，CH =14CM =14a ，则D(4a,14b)，可得OH =4a ，OC =OH −CH =154a ，所以C(154a,0).设直线AC 的解析式为y =kx +n ，将A ，C 坐标代入，解得：{k =−4b11an =1511b ，所以y =−4b 11a x +1511b ，再与y =ab x联立，解得：{x =a y =b 或{x =114a y =411b；可得点E(114a,411b)，所以EG =411b ，OG =114a ，GM =OM −OG =OC +CM −OG =2a ；利用S △EBC =S 梯形EGMB −S △EGC −S △BMC =5，列出关于a ，b 的式子可求ab 的值，k =ab ，结论可得．本题主要考查了反比例函数的系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，平行线的判定与性质三角形，梯形的面积，计算过程繁杂，有一定的难度．利用点的坐标表示出相应点的线段的长度是解题的关键．13.【答案】−2【解析】解：原式=1−3=−2， 故答案为：−2．根据零次幂，负整数指数幂，可得答案．本题考查了负整数指数幂，利用零次幂，负整数指数幂是解题关键．14.【答案】2.65×108【解析】解：数据265000000用科学记数法表示为2.65×108．故答案为：2.65×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15.【答案】16【解析】解：列表如下：−3−106−330−18−130−600006−18−60由表知，共有12种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的有2种结果，所以抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是212=16．故答案为：16．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16.【答案】15π4−9√32【解析】解：连接CM，如图，在Rt△OCM中，OC=12AC=3，CM=CB=6，∴cos∠OCM=36=12，∴∠OCM=60°，OM=√3OC=3√3，∴阴影部分的面积=S 扇形ACM −S 扇形AON −S △OCM=60⋅π×62360−90π×32360−12×3×3√3=15π4−9√32． 故答案为15π4−9√32．连接CM ，如图，根据三角函数的定义求出∠OCM =60°，则OM =√3OC =3√3，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S 扇形ACM −S 扇形AON −S △OCM 进行计算即可． 本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．17.【答案】√134【解析】解：由图形翻折知，B 点与点B′关于DE 的对称， ∴BB′⊥DE ，BF =B′F =12BB′，且BD =B′D ， 设BD 长为m ，过点B′作AB 边的垂线，垂足为P ， 在Rt △APB′中，∠A =60°，AB′=12AC =2， ∴AP =AB′⋅cos60°=1，B′P =AB′⋅sin60°=√3，∴BP =AB −AP =7−1=6，故BB ′=√BP 2+B′P′2=√62+(√3)2=√39， ∴BF =12BB′=√392， ∵BD =B′D =m ，DP =BP −BD =6−m ， ∴在Rt △B′PD 中，B′P 2+DP 2=DB′2， 即(6−m)2+(√3)2=m 2， 解得m =134，故在Rt △BFD 中，DF 2+BF 2=BD 2， ∴DF =√BD 2−BF 2=√(134)2−(√392)2=√134， 故答案为：√134．过B′作B′P垂直于AB于P，根据翻折图形的对称性得BF=FB′=12BB′，设BD长为m，根据已知条件和勾股定理求出BD和BF，再利用勾股定理求出DF即可．本题主要考查了图形的翻折，勾股定理等知识，利用辅助线构造直角三角形是解题的关键．18.【答案】23760【解析】解：设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有(200−x)人；生产豆沙粽人均y个，白粽子人均(y+15)个，则蛋黄粽子人均y(1−20%)=0.8y个．由题意得[xy+(y+15)(200−x)+100×0.8y]×1300=(y+15)×(1−20%)，∴(xy+200y+3000−xy−15x+80y)×1300=0.8y+12，∴1415y+10−120x=0.8y+12，∴215y−120x=2，∴x=83y−40．又∵200−x>0，y>0，∴0<y<90．∵需要制作的粽子最多，而粽子总数为300(0.8y+12)，y是偶数∴y=84时，x=184，制作的粽子最多为23760．故答案为：23760．总共参与制作的人数为200+100=300人，由于粽子是有成品的，且甲只制作白粽子和豆沙粽子，所以可以设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有(200−x)人．再设人均未知数，即豆沙粽人均y个，白粽子人均(y+15)个，蛋黄粽子人均y(1−20%)个．由三种人均个数的关系列方程即可．由于豆沙粽的人均制作量为偶数个，且每种粽子都有人制作，因此可以确定未知数的取值范围，再代入求值．此题考查了二元一次方程的解法，用一个未知数表示另一个未知数，根据未知数的取值范围来确定最后的值，掌握分式方程的解法和不等式求解是关键．19.【答案】解：(1)(x−3y)2−(x−2y)(x+2y)=x2−6xy+9y2−x2+4y2=13y2−6xy；(2)(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x+1=[(x−1)(x+1)x+1−3x+1]⋅x+1(x+2)2=x2−4x+1⋅x+1(x+2)2=(x+2)(x−2) (x+2)2=x−2x+2．【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.【答案】2 5 0.2591 54【解析】解：4÷0.20=20(人)，a=20×0.10=2(人)，b=20−2−4−7−2=5(人)，c=5÷20=0.25，乙校20名学生的成绩中出现次数最多的是91分，因此众数是91，即n=91，故答案为：2，5，0.25，91；(2)360°×(1−5%−20%−25%−35%)=54°，故答案为：54；(3)乙校区成绩更好，理由为：乙校区的平均分、中位数、众数都大于甲校区；(4)1000×(35%+20%)=550(人)，答：乙校区成绩优秀的学生人数为550人．(1)根据70≤m<80的频数为4，频率为0.20，可求出抽取人数，进而确定a的值，b 的值，再计算c的值即可，根据众数的意义可求出n的值；(2)求出70≤x<80这组的频数所占得百分比即可；(3)根据平均分、中位数、众数、方差的意义进行判断即可；(4)样本估计总体，样本中优秀占(35%+20%)，因此总体1000人的55%是优秀的．本题考查扇形统计图、频数分布表，中位数、众数、方差，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．21.【答案】解：(1)如图，EF为所作；(2)BE=2CF．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵BA=BC，BF⊥AC，∴AF=CF，∠BFC=90°，∵∠C+∠CBF=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠CBF=∠CAD，在△ACD和△BED中，{∠CAD=∠EBD AD=BD∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△BED(ASA)，∴AC=BE，而AC=2CF，∴BE=2CF．【解析】(1)利用基本作图作AF⊥AC于F；(2)利用等腰三角形的性质得到AF=CF，∠BFC=90°，再证明△ACD≌△BED，则AC= BE，从而得到∴BE=2CF．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．22.【答案】32 154 × √ √【解析】(1)当x =2时，y =|x 2−1|x=|22−1|2=32；当x =4时，y =|x 2−1|x=|42−1|4=154；故答案为：32；154； 图象如图所示；(2)①根据函数图像，该函数图象不是轴对称图形， 故答案为：×；②该函数在图象有最低点，∴自变量的取值范围内有最小值，当x =1时，函数取得最小值0； 故答案为：√；③该图象的增减性由图象可知：当0<x <1时，y 随x 的增大而减小；当x >1时，y 随x 的增大而增大． 故答案为：√．(3)已知函数y =914x +3328图象如图，结合函数的图象， ∴不等式|x 2−1|x>914x +3328的解集：x <12或x >4．(1)当x =2时，y =|x 2−1|x=|22−1|2=32；当x =4时，y =|x 2−1|x=|42−1|4=154，图象如图所示；(2)根据函数图像，观察其图象的对称性，最低点特征，图象从左往右的升降性，即可求解；(3)结合函数的图象，得不等式|x 2−1|x>914x +3328的解集：x <12或x >4．本题考查了新函数的函数值求法，新函数图象的画法及其增减性，最值问题，新函数值与一次函数值的大小关系．23.【答案】解：(1)设2021年改建x 座工厂，则重建工厂为(100−x)座，根据题意得：x ≥4(100−x)，解得：x ≥80， ∴至少改建80座工厂；(2)由(1)得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座， 设改建一座工厂花费y 亿元，重建一座为2y 亿元， 根据题意得：80y +20×2y =156， 解得y =1.3， ∴2y =2.6，由题意得：1.3(1+a%)×80(1+5a%)+2.6(1+5a%)×20(1+8a%)=156(1+10a%)， 解得：a =10．【解析】(1)设2021年改建x 座工厂，则重建工厂为(100−x)座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；(2)设2021年改建一座工厂花费y 亿元，重建一座为2y 亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出y ；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%，列出方程求出a ．本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．24.【答案】能 不能【解析】解：(1)自然数264033，先分成26，40，33，因为26+40+33=99，99能被99整除，故264033能被99整除； 自然数5201314，先分成5，20，13，14，因为5+20+13+14=52，52不能被99整除，故5201314不能被99整除； 故答案为能，不能；(2)设满足上述规律的四位数为cdef −(0<c ≤9,0≤d ≤9,0≤e ≤9,0≤f ≤9，且为整数)，先分成cd −+ef −=10c +d +10e +f ，∵10c +d +10e +f 能被99整除， 设10c +d +10e +f =99n(n 为正整数)， ∴10e +f =99n −(10c +d)， 则cdef −=1000c +100d +10e +f=1000c +100d +99n −(10c +d) =990c +99d +99n=99(10c +d +n)， ∵c ，d ，n 为整数，∴99(10c +d +n)能被99整除， ∴四位数为cdef −能被99整除，即满足上述规律的四位数是“完美数”；(3)∵五位整数41b7a −能被99整除，先分成4，1b −，7a −， ∴4+1b −+7a −=4+10+b +70+a =a +b +84能被99整除， ∵0≤a ≤9，0≤b ≤9， ∴84≤a +b +84≤102， ∴a +b +84=99， ∴a +b =15，∴a =6，b =9或a =7，b =8或a =8，b =7或a =9，b =6， ∴符合要求的五位整数41976或41877或41778或41679． (1)根据材料的方法直接判断，即可得出结论；(2)设满足上述规律的四位数为cdef −(0<c ≤9,0≤d ≤9,0≤e ≤9,0≤f ≤9，且为整数)，得出10c +d +10e +f 能被99整除，设10c +d +10e +f =99n(n 为正整数)，得出10e +f =99n −(10c +d)，进而得出cdef −=99(10c +d +n)，即可得出结论； (3)先判断出a +b +84能被99整除，进而得出a +b =15，即可求出满足条件的a ，b 的值，即可得出结论．此题主要考查了数的整除性，新定义，理解材料中的方法是解本题的关键．25.【答案】解：(1)由{y =−√33x 2+2√33x +√3y =√33x +√33得{x =−1y =0或{x =2y =√3， ∴A(−1,0)、B(2,√3)；(2)设AB 交y 轴于E ，过P 作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，如图：设P(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则D(m,√33m +√33)， ∴PD =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m +√33) =−√33m 2+√33m +2√33， 由y =√33x +√33得：E(0,√33)，∴OE =√33， 而OA =1， ∴tan∠EAO =√33，∠EAO =30°，∴∠ADC =∠PDH =60°，∴PH =PD ⋅sin∠PDH =√32PD =√32(−√33m 2+√33m +2√33) =−12m 2+12m +1=−12(m −12)2+98， ∴m =12时，PH 最大为98；(3)将抛物线y =−√33x 2+2√33x +√3向左平移1个单位长度，再向上平移√33个单位长度得到抛物线是y =−√33(x +1)2+2√33(x +1)+√3+√33，即y =−√33x 2+5√33， 由{y =−√33x 2+2√33x +√3y =−√33x 2+5√33得{x =1y =4√33，∴C(1,4√33)， 抛物线y =−√33x 2+2√33x +√3的对称轴为直线x =1，设D(1,t)，则BC 2=(2−1)2+(√3−4√33)2=43，BD 2=1+(√3−t)2，CD 2=(4√33−t)2，①当BC =BD 时，则BC 2=BD 2，如图：∴43=1+(√3−t)2，解得t =2√33或t =4√33(与C 重合，舍去)，∴D(1,2√33)， 将BC 平移，B 移到D ，此时C 移到E ，四边形BDEC 是满足条件的菱形，由平移性质可得E(0,√3)，②当BC =CD 时，如图：∴43=(4√33−t)2，解得t =2√33或t =2√3，∴D(1,2√33)或(1,2√3)， 由平移性质，可得E(2,√33)或(2,5√33)， ③当BD =CD 时，如图：∴1+(√3−t)2=(4√33−t)2，解得t =2√33， ∴D(1,2√33)， 由平移性质，可得E(2,5√33)，综上所述，以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为菱形，E 坐标为：(0,√3)或(2,√33)或(2,5√33).【解析】(1)联立y =−√33x 2+2√33x +√3与y =√33x +√33，即可解得A 、B 的坐标；(2)设AB 交y 轴于E ，过P 作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，设P(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则D(m,√33m +√33)，PD =−√33m 2+√33m +2√33，而OE =√33，OA =1，可得∠EAO =30°，∠PDH =60°，故PH =PD ⋅sin∠PDH =−12(m −12)2+98，即可得PH 最大为98；(3)先求出平移后的抛物线y =−√33x 2+5√33，再由{y =−√33x 2+2√33x +√3y =−√33x 2+5√33得C(1,4√33)，设D(1,t)，则BC 2=(2−1)2+(√3−4√33)2=43，BD 2=1+(√3−t)2，CD 2=(4√33−t)2，分三种情况讨论：①当BC =BD 时，43=1+(√3−t)2，可得D(1,2√33)，由平移性质可得E(0,√3)，②当BC =CD 时，43=(4√33−t)2，可得D(1,2√33)或(1,2√3)，E(2,√33)或(2,5√33)，③当BD =CD 时，1+(√3−t)2=(4√33−t)2，可得D(1,2√33)，E(2,5√33). 本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点的坐标特征、与一次函数交点、解直角三角形、菱形判定、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论．26.【答案】解：(1)过点D作DH⊥BC，垂足为H，如图1：设BE=a，则CD=√2BE=√2a，∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90°，∴∠HDC=90°−∠C=45°，∴DH=CH，∴△DHC为等腰直角三角形，∴DH=CH=√2=√2a√2=a，∵∠DEC=30°，∴DE=2DH=2a，∴EH=√DE2−DH2=√(2a)2−a2=√3a，∴BC=BE+EH+HC=a+√3a+a=2a+√3a，又∵BC=2+√3，∴2a+√3a=2+√3，∴a=1，∴CD=√2a=√2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=√2=√3√2=√2+√62，∴AD=AC−CD=√2+√62−√2=√62；(2)证明：连接BF、ME，过点D作DH⊥BC，垂足为H，如图2：由旋转可得：ED=EF且∠DEF=90°，∴∠DEH+∠FEB=90°，∵DH⊥BC，∴∠DEH+∠EDH=90°，∴∠FEB=∠EDH，∵CD=√2BE，且CD=√2HD，∴BE=HD，在△FEB和△EDH中，{FE=ED∠FEB=∠EDH BE=HD，∴△FEB≌△EDH(SAS)，∴∠FBE=∠EHD=90°，∵ED=EF，且∠DEF=90°，∴∠EFD=∠EDF=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EFD=∠ABC=45°，即∠EFM=∠MBE=45°，∴F、B、E、M四点共圆，即四边形FBEM为圆内接四边形，∴∠FBE+∠FME=180°，∴∠FME=180°−∠FBE=180°−90°=90°，∴EM⊥FM，又∵EF=ED，∴FM=DM(三线合一)，∴点M是DF的中点，又∵点N是CF的中点，∴MN是△DFC的中位线，∴MN=12DC，∵CD=√2BE，∴MN=√22BE；(3)以AP为边向外作等边三角形△ABP，连接BF，如图3：由旋转可得：AF=AG，且∠FAG=60°，∴△AGF为等边三角形，∵△ABP为等边三角形，∴AB=AP，且∠BAP=60°，∴∠FAG=∠BAP=60°，∴∠FAG+∠PAF=∠BAP+∠PAF，∴∠BAF=∠PAG，在△BAF和△PAG中，{AB=AP∠BAF=∠PAG AF=AG，∴△BAF≌△PAG(SAS)，∴∠ABF=∠APG，由(2)可知，∠FBE=90°，∴∠ABF=∠FBE−∠ABC=90°−45°=45°，∴∠APG=∠ABF=45°，∵AP是一条定线段，∠APG=45°说明D、E运动时，F随之运动，G也随之运动，但G 始终在与线段AD成45°角的直线上运动，或者说点G的运动轨迹是一条经过点P且与AP夹角大小为45°的直线，即图3中的直线PQ，∴当CG⊥PQ时，CG的长度最小，此时，延长QP、CB交于点K，过点P作PR⊥BK，垂足为R，过点G作GT⊥BC，垂直为T，如图4：∵△ABP是等边三角形，∴∠APB=∠ABP=60°，且PB=AB，∵AB=AC=4，∴PB=4，∵∠APG=45°，且∠ABC=45°，∴∠KPB=180°−∠APB−∠APG=180°−60°−45°=75°，∠KBP=180°−∠ABP−∠ABC=180°−60°−45°=75°，∴∠KPB=∠KBP=75°，∴KP=KB，且∠PKB=180°−75°×2=30°，设PR=x，则KP=2PR=2x，∴KP=KB=2x，∵KR=√KP2−PR2=√(2x)2−x2=√3x，∴BR=KB−KR=2x−√3x，在Rt△PBR中，PR2+BR2=PB2，即x2+(2x−√3x)2=42，∴x2[1+(2−√3)2]=42，∴x2=1+(2−√3)2=8−4√3=8+4√3，∴x=√8+4√3=√(√6+√2)2=√6+√2，∴KB=2x=2(√6+√2)=2√6+2√2，∵AB=AC=4，∴BC=√AB2+AC2=√42+42=4√2，∴KC=KB+BC=2√6+2√2+4√2=2√6+6√2．∵CG⊥BC，∴∠CGK=90°，又∵∠K=30°，∴CG=12KC=2√6+6√22=√6+3√2，∵GT⊥BC，且∠GCT=90°−∠K=60°，∴sin∠CGT=GTCG =√32，∴GT=√32CG=√32(√6+3√2)=3√22+3√62，∴S△BCG=12BC⋅GT=12×4√2×(3√22+3√62)=6+6√3．【解析】(1)过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据∠DEC=30°，构造直角三角形△DEH 和△DHC，设BE=a，根据CD=√2BE以及构造出的直角三角形，可以用含a的式子表示出BC，再根据BC=2+√3求出a的值，从而求出AD．(2)结合CD=√2BE以及问题要证的MN=√22BE，可以知道就是要证MN=12DC，而N点是CF中点，所以要证点M是DF中点，即证明MN是△DFC的中位线，利用三角形全等、四点共圆、等腰三角形的性质解决即可．(3)以AP为边向外作等边三角形△ABP，连接BF，证明∠APG=∠ABF=45°，说明点G的运动轨迹是一条经过点P且与AP夹角大小为45°的直线，通过构造全等三角形、应用特殊角的直角三角形的性质来解决即可．本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角直角三角形边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键．。