小学数学《数形结合》ppt

学生在学习过程中可能会遇到一些困难，如数学基础不扎实、编程能力不足等，需 要加强相关基础知识和技能的学习。
对未来的展望和期待
随着科技的发展和应用的深入， 数与形的应用前景非常广阔，未 来需要更多的高素质人才来推动
相关领域的发展。
学生可以通过深入学习和实践探 索，不断提高自己的综合素质和 能力水平，为未来的职业发展做
教学目标
通过本课程的学习，学生应能理解数与形的概念、性质和基 本运算方法，掌握数与形之间的相互转换，为后续学习打下 坚实的基础。
教学目的
01
02
03
知识目标
使学生掌握数与形的基本 概念、性质和运算方法。
能力目标
培养学生运用数与形的基 本原理解决实际问题的能 力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 爱好，树立正确的学习态 度，提高数学素养。
03
介绍如何利用数学方法对数据进行处理、分析和挖掘，以及在
商业、医疗等领域中的应用。
拓展实际案例
金融领域中的数学应用
分析金融领域中数学的应用，如风险评估、投资组合优化等问题 。
医学领域中的数学应用
介绍医学领域中数学的应用，如医学图像处理、疾病预测等问题。
工程领域中的数学应用
分析工程领域中数学的应用，如建筑设计、机械设计等问题。
3
数形结合解决问题
例如，用图形方法解决代数问题，或者用代数方 法解决图形问题。
04
数与形的结合应用
结合实例分析
数学模型与实际问题的结合
通过具体的数学模型，如概率、统计、线性代数等，来描述和解决实际问题。
数值模拟与实际结果的对比
利用数值模拟的结果，与实际实验数据进行比较，以验证数学模型的准确性和有 效性。

( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
3
5
7
9
4.用小棒按下面的方法摆图形
…
（1）拼成的三角形的个数与所用的小棒根数之间有什么关系？
所用小棒根数等于三角形个数的2倍加1
4.用小棒按下？
10×2＋1=21（根）
答：第10个图形用了21根小棒。
运用数形结合计算
情境导入
探究新知
课堂小结
课后作业
数学广角—数与形
课堂练习
情境导入
?
探究新知
你能发现什么规律？
2
…
=
分子都是1
……
一个一个加下去，我发现，等号右边的分数越来越接近于1。
与1相差
与1相差
与1相差
方法一
用一个圆表示“1”
方法一
从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。
课堂小结
课后作业
1.从教材课后练习选取；2.从课时练中选取。
所用小棒根数等于三角形个数的2倍加1
5.请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？
这节课你们都学会了哪些知识？
数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。
…
=1
…
…
方法二 用一条线段表示“1”
…
=
1
1.你能用所学知识解决下列问题吗？
1
……
所以原式的结果是1
课堂练习
2.找规律填空
2
2

距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0

3
∴D点坐标为(－3 ，3)或(
3，3).
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16米，跨 度为40米。若在离跨度中心M点5米处垂直竖立一铁柱支撑拱顶， 这铁柱应取多长？
还可取哪些不同的位置来建立平 面直角坐标系？ y
解：以M为原点，以AB所在直线为x 轴， 建立直角坐标系. 设函数解析式为
81
A
225 图 2
B
A 225 图 1 400
1.如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边 形 ABOC 、 DEOF 、 HMNO 均 为 矩 形 。 设 BC=a EF=b NH=c，则a、b、c的大小关系 是——————
如图，在直角三角形ABC中，角C是直角， AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（与A、C两 点均不重合），点F在斜边AB上（与AB两点均 不重合）（1）若EF平分直角三角形ABC的周 长，设AE的长为x，试用含x的代数式表示三角 形AEF的面积。（2）是否存在线段EF将直角 三角形ABC的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时AE的长；若不存在，说明理由。
2、 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 则点 A(a, b)在
A. 第一象限 B. 第二象限 D. 第四象限
C. 第三象限
B
0或-2 .3、如图所示的抛物线：当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0； <
大于-2小于0 -1 当x在_____ 范围内时，y>0；当x=_____ 3 时，y有最大值____
（0,16）
y a( x m) 2 k
A
M · O 40m
∵抛物线顶点坐标为（0,16）

情感态度与价值观
培养学生的数学兴趣和探 究精神，让学生感受到数 学的魅力和应用价值。
5
教学重点与难点
教学重点
数字与图形的基本概念和性质，数形结合思想的应用。
教学难点
如何引导学生发现数学规律，如何将数形结合思想应用于实际问题中。为突破难点，教师可以采用多种教学方法 和手段，如实物演示、多媒体辅助教学等，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。同时，教师还可以鼓励学生积 极参与数学活动和竞赛，提高学生的数学素养和综合能力。
2024/3/23
17
数学建模与实际问题解决
01
构建数学模型
根据实际问题背景，构建数学模型，将现实问题转化为数学问题。
02
利用数形结合思想方法求解模型
借助数形结合思想方法分析数学模型，找出问题解决方案。
2024/3/23
03
回归实际问题检验模型
将数学模型求解结果回归实际问题进行检验，验证模型的合理性和可行
2024/3/23
25
教师教学反思及建议
教学内容
是否全面涵盖数与形的知识点，突出重点，解析难点。
教学方法
是否采用多样化的教学方法，如讲解、讨论、示范、练习 等，以激发学生的学习兴趣和积极性。
学生表现
是否关注学生的学习状态，及时调整教学策略，鼓励学生 积极参与课堂活动。
2024/3/23
教学建议
针对学生的学习特点和需求，提出个性化的教学建议，如 加解决问题的能力。
21
数学竞赛与数学思维训练
数学竞赛简介
简要介绍国际和国内著名的数学 竞赛，如国际数学奥林匹克竞赛 、全国中学生数学奥林匹克竞赛 等，让学生了解数学竞赛的意义
和价值。
数学思维训练方法

思路分析：一只鸡有1个头和2条腿，一只兔子 有1个头和4条腿。 3只鸡和4只兔子一共有3＋4＝7(个)头，2＋2＋2 ＋4＋4＋4＋4＝22(条)腿。 也可以画图来表示，用“○”表示头，用“/”表 示腿。
规范解答：头：3＋4＝7(个) 腿：2＋2＋2＋4＋4＋4＋4＝22(条) 答：它们一共有7个头和22条腿。
4．写一写，画一画。
69
十 一
5．画一画，填一填。
15
24
33
42
51
60
点拨：不要只在个位画6颗珠子，这表示的数是6， 不符合题目要求，因为6不是两位数。
类 型 3 用数形结合思想解决同样多的问题
6．华华原来比天天多多少个福字？ 6＋6=12(个) 答 用数形结合思想解决问题
数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合 是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问 题的一种思维方法。用数形结合思想不仅可以比较 直观地帮助我们理解题意，还可以用来解决数数问 题、填数问题、鸡兔同笼问题、植树问题等。
例
一个笼子里关着3只鸡和4只兔子，它们一共有几 个头和几条腿？
提示：点击 进入分类训练
1 2 3 用数形结合思想解决“鸡兔同笼”问题
4
根据数形结合思想体会不同数位上 5 数的意义不同
6 用数形结合思想解决同样多的问题
类 型 1 用数形结合思想解决“鸡兔同笼”问题
1．它们一共有几个头和几条腿？ 头：3＋3=6(个) 腿：2＋2＋2 ＋4 ＋4 ＋4=18(条) 答：它们一共有6个头和18条腿。
点拨：一只鸟有1 个头和2 条腿，一 只狗有1个头和4 条腿。
2．它们一共有几个头和几条腿？
头：2＋3=5(个) 腿：2＋2＋4＋4 ＋ 4=16(条) 答：它们一共有5个头和 16条腿。

青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形 和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是 每行或每列小正方形个数的平方。
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？把算式补充完整。
1＝ （ 1）
2
（ 2） 1＋3＝
2
（3） 1 ＋3 ＋5 ＝
2
我发现，从1开始的连续奇数的和正好 是这串数个数的平方。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。

…
所以 1－21－14－18－116－…－2156＝(
1 256
)
易错辨析
3．用棋子按下面的规律摆图 形，第 5 个图形需要多少 枚棋子？第 10 个图形呢？
5＋(5－1)×6＝29(枚) 5＋(10－1)×6＝59(枚) 答：第 5 个图形需要 29 枚棋子，第 10 个图形需要 59 枚棋子。
知识点2 用数形结合法解决稍复杂的计算问题
2．看图算一算，填一填。
1－12＝12
1－12－14＝12－41＝41
1－12－14－18＝41－81＝18
1－12－14－18－116＝(
1 8
)－(
1 16
)＝(
1 16 )
1－12－14－18－116－312＝(
1 32
)
__1_－__12_－__14_－__18_－__1_16_－__3_12_－__6_14_____＝614
1
4
9
16
3
6
9
12
三角形图的周长除以3，然后再平方，等于三 角形图包含小三角形的个数。
你能提出什么数学问题？ 提问题略。
3．小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的公园 健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直 接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起 在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到 家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分 钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家的时间和离 家距离的关系？
辨析：因观察不仔细而导致不能正确发现规律。
提 升 点 “数形结合思想”的运用
4．每张方桌可坐 4 人，2 张拼起来可坐 6 人，3 张、4 张、5 张拼起来(如图)，分别可坐多少人？

课件
说教学目标
1、知识与能力目标：结合具体实例初步理解数形结合的思 想方法。
2、过程与方法目标：运用数形结合的方法探索规律，帮助 计算，解决实际问题。
3、情感态度与价值观目标：体会数与形之间的联系，感受 数学知识的奥妙，激发学生学习数学的兴趣。
课件
说教学重、难点
教学重点：引导学生探索规律，正 确地运用规律进行计算。
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ 85 ）
7²
6²
课件
下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？
+1
红色： 1
2
3
4
+2
蓝色： 8
10
12
14
照这样接着画下去：
（1）第6个图形有（ 6 ）个红色小正方形，（18 ）个蓝色小正方形；
（2）第10个图形有（10 ）个红色小正方形，（26 ）个蓝色小正方形。
教学难点：经历探索规律及验证规 律的过程。
课件
说教法、学法
说教法: 本节采用教师引导和学生自主发现相结合 的方法，同时采用多媒体课件生动形象的演示功能， 强化理解，突破重点、难点并调动学生的学习积极 性。
说学法： 自主探索、合作交流的学习方法。学生们 通过观察、比较和交ห้องสมุดไป่ตู้等学习活动，自主探索规律。
课件
四、畅谈感受，总结归纳
说说你有什么收获？
课件
数形结合 数的问题 借助 图形 图形中 蕴含 数的规律
课件
谢谢 再见
课件
1=（ 1 ）² 1＋3 ＝（ 2 ）²1＋3 ＋5 ＝（ 3 ）²

三、运用知识
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（85 ）
原式＝7 2＋62 ＝85
三、运用知识
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
你能利用规律直接写一写吗？
照 最 形这外。样圈画有下（去，第）5个个小图正形方 1下观5你原1请 57我我观你照我你原15下1我下照1111＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋面察能式根发发察能这发能式面发面这－－333333－ －每 一 利 ＝ 据现 现 一 利 样 现 利 ＝ 每 现 每 样53＋＋＋＋＋＋99个下用7例 ，，下用画，用7个，个画515155＝＝＋＝＋＝＋＋＝＝图，规1算从，规下从规图算图下＋ ＋21的77773344中上律式上律去律中式中去114666＝＝＝＝2200结开开最面直左面直，直最左最，＝＝（（（（始始论外的接边的接第接外边外第88的的算55圈图写的图写写圈的圈55））））个个连连一有和一加和一一有加有图图续续算多下写数下写写多数多形形奇奇。少面吗是面吗吗少是少最最数数个的？大的？？个大个外外的的小算正算小正小圈圈和和正式方式正方正有有正正方有形有方形方（（好好形什右什形右形？么上么？上？））关角关角个个系的系的小小？小？小正正把正把正方方算方算方形形式形式形。。补和补和充其充其完他完他整整““LL””。。形形图图形形所所包包含含的的小小正正方方形形个个数数之之和和正正好好是是每每行行或或每每列列小小正正4方方0形形个个数数的的平平方方。。
1 ＋3＋5 ＝（3 ）2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他
“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列 小正方形个数的平方。
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有什么关 系？把算式补充完整。

几何图形、线段图、数轴、 图 方格纸、 坐标、方向标、 形
示意图、 列表、动画等一系列
16
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
的性质（有始无终，有序性等等）；
17
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
6
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
基本活动经验：
数学活动经验，不仅仅是解题经 验，更多的是数学思维活动的经 验，数学思考习惯的经验。—— 不断积累！
7
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
4、关于“两能”到“四能”： 实验稿：
重点是分析问题和解决问题的能力
修改稿： 明确提出： 发现和提出问题能力 分析和解决问题能力
利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教 学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地 运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记 忆结果，这应该成为教学中关注的目标。
32
五、数形结合思想在解题问题中的运用举例
33
数形结合运用（一）质数合数 用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个 长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不 同的拼法吗？
（ 3 ）解决问题中的形 ※画线段图表示数量关系。
甲比乙多 1/4 （鼓励学生画）
“1”
乙：
甲：
1 4
23
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 3 ）解决问题中的形 ※解决问题的直观策略
24
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现
（ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少。 折线统计图形象地表示数量发展的趋势。 扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。

每个风筝用布5分米 2＋3＝5(分米) 5×5＋2＝27(分米) 答：这块布长27分米。
类 型 2 用数形结合思想解决计数问题
3．根据算式2544＝2000＋500＋40＋4填空。 2000
40
4004ຫໍສະໝຸດ 缺了( 1 )个( 100 )
2000
500
30
4 缺了( 1 )个( 10 )
规范解答：
柱子1圈的长度＝4＋4＝8(分米) 跳绳长度＝8×2＋4＝20(分米)＝2米 答：跳绳长2米。
类 型 1 用数形结合思想解决简单的盈亏问题
1．这瓶药一共有多少粒？
吃5天与吃6天之间差了(2＋1)粒 每天吃3粒
2＋1＝3(粒) 3×5＋2＝17(粒) 答：这瓶药一共有17粒。
2．用一块布做风筝，如果做5个风筝还剩2分米布，如果 做6个风筝还缺3分米布，这块布有多少分米？ 做5个风筝与做6个风筝之间差了(2＋3)分米
BS 二年级下册
第16招 用数形结合思想解决问题
学习总复习后使用
数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合 是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题 的一种方法。用数形结合思想能比较直观地帮助学生 理解题意，可以解决计数问题、简单的盈亏问题……
经典例题
神奇的跳绳。
柱子1圈的长度＝4＋4＝8(分米) 跳绳长度＝柱子2圈的长度＋4分米 跳绳长度＝柱子3圈的长度－4分米

总之：
数形结合法
由数到形，由形到数； 由形思数，以数辅形；
数与形的结合；
是代数与几何完美统一的体现；
是平面解析几何的精髓所在。
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，

（二）体现核心素养，中国学生发展核心素养包括社会责任，国家认同、国际理解、人文底蕴、科学精神、审美情趣、
学会学习、身心健康、实践创新。
（三）语文、道德与法制、历史三个学科教材统编是大趋势。
（四）“一标多本”教材质量参差不齐，“部编本”力图起到示范作用。 二、“部编本”教材的编写理念：
（一）体现核心价值观，做到“整体规划，有机渗透”。
４、读书意识。 ５、主体意识。 ６、科研意识。 小结：好教，但教好不易。
返回
4. 灯塔南偏西30°方向15千米处是无名岛，你能在图中表示出 它的位置吗？
北
西
⊙
东
灯塔
30°
⊙
南
无名岛
0
5
10
15 千米
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
数形结合
“部编本”语文教材解读
“部编本”语文教材的编写背景。
（一）教材要体现国家意识、主流意识形态、党的认同，体现立德树人从娃娃抓起。
2. 数形结合 借助图画可以帮助我们理解计算方法
例如：
3
5
1 2
1×3 = 3 2 5 10
2. 数形结合 借助线段图可以帮助我们直观地理解数量关系
例如：李叔叔的有机蔬菜基地去年收入160万元，今年的收入比去 年增加14，今年收入多少万元？
160万元
去年收入： 今年收入：
比去年增加14 ？万元
160×（1+ 14）
统计图是借助图形描述数据 的一种直观、有效的形式。
2. 数形结合 条形统计图是用条形的长短来表示数量的多少
例如：某电脑公司2011年各种品牌电脑销售情况统计图
2. 数形结合