《线性代数》(同济第六版)课件

1 线性代数教案

第（1）次课 授课时间（ ）

教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2学时

教材和

参考书 1.《线性代数》(第6版)同济大学编

1. 教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；

掌握逆序数的定义, 并会计算；

掌握n阶行列式的定义；

2. 教学重点：逆序数的计算；

3.教学难点：逆序数的计算.

1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义

2.时间安排：2学时；

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

2 基本内容 备注

第一节 二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组

22222211212111bxaxabxaxa

用消元法,当021122211aaaa 时,解得

211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax

令 2112221122211211aaaaaaaa,称为二阶行列式 ,则

如果将D中第一列的元素11a,21a 换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有

2221211ababD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有

2121112babaD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为 3

DDxDDx2211 其中0D

例1. 解线性方程组 .1212232121xxxx

第1章　行　列　式

行列式是线性代数中常用的工具.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及

其计算方法.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

用消元法解二元线性方程组

为消去未知数x

2，以a

22与a

12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得

（a

11 a

22-a

1

2a

21 ）x

1=b

1a

22-a

12b

2；

类似地，消去x

1，得

（a

11a

22-a

12a

21）x

2= a

11b

2-b

1 a

21.

当a

11a

22-a

12a

21 ≠0时，求得方程组（1）的解为

（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a

11a

22-

a

12 a

21是由方程组（1）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1） 中的

位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

a a

a a ，（3）

表达式a

1

1 a

22-a

12 a

21称为数表（3）所确定的二阶行列式，并记作

数a

ij （i=1， 2；j=1 ，2）称为行列式（4）的元　素或元.元素a

ij的第一个下标i

称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标表明该元素位于

第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式（4）的（i，j）元.

上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1. 1，把a

11到a

22的

实连线称为主对角线，a

12到a

21的虚连线称为副对角线，于是

二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两

元素之积所得的差.

图1. 1利用二阶行列式的概念，　（2）式中x

1，x

2的分子也可写成

二阶行列式，即

若记

那么（2）式可写成

注意这里的分母D是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列

式），x

1的分子D

1是用常数项b

1 ， b

2替换D中第1列的元素a

11 ， a

21所得的二阶

行列式，x

2的分子D

2是用常数项b

1， b

2替换D中第2列的元素a

12 ， a

22所得的二

阶行列式.

例1求解二元线性方程组

解　由于

因此二、三阶行列式

定义1设有9个数排成3行3列的数表

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102



解 381141102



2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(2)bacacbcba

解 bacacbcba

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

(3)222111

cbacba

解 222111

cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

(4)

yxyxxyxyyxyx





解

yxyxxyxyyxyx



x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2 yx3y3x3

2(x3y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序

数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3    (2n1) 2 4    (2n)

解 逆序数为2)1(nn

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

      (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3    (2n1) (2n) (2n2)    2

解 逆序数为n(n1) 

3 2(1个)

同济大学线性代数第六版答案(全)

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

*****

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3

y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)