一、填空与选择题(均为单选题)(27分)
1、 已知4阶方阵123456789054abAcd，函数()||fxxEA,这里E为4阶单位阵，则函数()fx中3x项的系数为___________________.
2、 设12312,,,,均为4维列向量，已知4阶行列式1231,,,m，又1223,,,n，则4阶行列式32112,,,_____________________.
3、 已知3阶方阵A满足320AEAEAE，其伴随矩阵为*A，则行列式*A______________.
4、 已知是3维实列向量，且111111111T，则____________.
5、设是3R空间中的某一向量，它在基123,,下的坐标为123,,Txxx，则在基132,,k下的坐标是_________________________.
6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是_____________________.
1().
).
().
().nAAAABCncEcD若矩阵可逆，则与可交换(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换
7、 设AB、均为n阶方阵，且2ABE，则下列式子中成立的是____________.
222(). ().
(). ().AABEBABECABEDBAE
8、 设Axb为n元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是__________
(). 0
(). 0
(). 0
().() AAxAxbBAxAxbCAxbAxDAxbRAn若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解
同济大学线性代数期末试卷4
《线性代数》期终试卷4
（ 3学时）
本试卷共九大题
一、 选择题（本大题共 4个小题，每小题2分， 满分 8分）：
1． 若 阶方阵 均可逆， ，则
(A) (B) (C) (D) 答( )
2． 设 是 元齐次线性方程组 的解空间，其中 ，则 的维数为
(A) (B) (C) (D) 答( )
3． 设 是 维列向量，则 =
(A) (B) (C) (D) 答( )
4． 若向量组 可由另一向量组 线性表示，则
(A) ； (B) ；
(C) 的秩 的秩；(D) 的秩 的秩.
答( )
二、 填空题（ 本大题共 4个小题，每小题3分， 满分12 分）：
1. 若 ，则 。
2. 设 ， ， ，则
3. 设4 阶方阵 的秩为2 ，则其伴随阵 的秩为 。 4. 设 是方阵 的一个特征值，则矩阵 的一个特征值是 。
三、计算行列式
，（ ）
（满分8 分）
四、 设 ， ， ，求
，使得 。
（满分12 分）
五、 在 中有两组基：
和
写出 到 的变换公式以及 到 的变换公式。
（满分8 分）
六、 当 取何值时，线性方程组
有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。
（满分14 分） 七、 已知 ， 为3 阶单位矩阵， ，求一个正交矩阵
，使得 为对角阵，并写出该对角阵 .
（满分16 分）
八、 设 为已知的 矩阵，集合
第四章向量组的线性相关性
1.设v
1=(1,1,0)T,v
2=(0,1,1)T,v
3=(3,4,0)T,求v
1−v
2及
3v
1+2v
2−v
3.
解v1−v
2=(1,1,0)T−(0,1,1)T
=(1−0,1−1,0−1)T
=(1,0,−1)T.
3v
1+2v
2−v
3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T−(3,4,0)T
=(3×1+2×0−3,3×1+2×1−4,3×0+2×1−0)T
=(0,1,2)T.
2.设3(a
1−a)+2(a
2+a)=5(a
3+a),求a,其中a
1=(2,5,1,3)T,
a
2=(10,1,5,10)T,a
3=(4,1,−1,1)T.
解由3(a1−a)+2(a
2+a)=5(a
3+a)整理得
)523(
61
321aaaa−+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[
61
TTT−−+=
=(1,2,3,4)T.
3.已知向量组
A:a
1=(0,1,2,3)T,a
2=(3,0,1,2)T,a
3=(2,3,0,1)T;
B:b
1=(2,1,1,2)T,b
2=(0,−2,1,1)T,b
3=(4,4,1,3)T,
证明B组能由A组线性表示,但A组不能由B组线性表示.
证明由⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
=
312123111012421301402230
) ,(BA
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−−
971820751610402230421301
~r
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−−
531400251552000751610421301
~r
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−−−
000000531400751610421301
~r
知R(A)=R(A,B)=3,所以B组能由A组线性表示.
由
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−−−
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
−
=
000000110201
110110220201
312111421402
~~rrB
知R(B)=2.因为R(B)≠R(B,A),所以A组不能由B组线性表示.
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