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线性代数教案全(同济大学第六版)

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1 线性代数教案

第（1）次课 授课时间（ ）

教学章节 第一章第一、二、三节 学时 2学时

教材和

参考书 1.《线性代数》(第6版)同济大学编

教学目的: 熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；

掌握逆序数的定义, 并会计算；

掌握n阶行列式的定义；

教学重点: 逆序数的计算；

3.教学难点: 逆序数的计算.

3.教学难点：逆序数的计算. 2

1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数； 阶行列式的定义

2.时间安排: 2学时；

3.教学方法: 讲授与讨论相结合；

4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.

基本内容 备注 3 第一节 二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组

22222211212111bxaxabxaxa

用消元法,当021122211aaaa 时,解得

211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax

令 2112221122211211aaaaaaaa,称为二阶行列式 ,则

如果将D中第一列的元素11a,21a 换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有

2221211ababD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有

2121112babaD

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为 4

DDxDDx2211 其中0D

例1. 解线性方程组 .1212232121xxxx

同样,在解三元一次方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.

二、三阶行列式的定义

设三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

用消元法解得

定义 设有9个数排成3行3列的数表

333231232221131211aaaaaaaaa

记

333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa,称为三阶行列式,则

5

三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆:

从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即

例2.计算三阶行列式 .(-14)

例3.求解方程 （ ）

例4.解线性方程组

解 先计算系数行列式

573411112D069556371210

再计算 321,,DDD

515754101121D,315534011222D,55730112123D

得 23171DDx,69312DDy,6953DDz 6

第二节 排列与逆序

引例: 用1.2.3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？

一、全排列

把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）.

可将n个不同元素按n~1进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列.

个不同元素的全排列共有 种.

二、逆序及逆序数

逆序的定义: 取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.

通常取从小到大的排列为标准排列,即 的全排列中取 为标准排列.

逆序数的定义: 一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.

逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.

例1: 讨论 的123 231 312 132 213 321 7 全排列.

全排列

逆序数 0 2 2 1 1 3

奇偶性 偶 奇

逆序数的计算: 设 为 的一个全排列,则其逆序数为 .

其中 为排在 前,且比 大的数的个数.

例2：求排列 的逆序数.

解:

(对于逆序数的计算介绍另一种算法)

对换的定义: 在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.

将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.

例: —— .

定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,

偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明 : 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的

变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立

第三节 n阶行列式的定义

下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.

二阶行列式 2112221122211211aaaaaaaa 8 21212112221122211211)1(pptaaaaaaaaaa.

其中: ① 是 的全排列,② 是 的逆序数,③ 是对所有 的全排列求和.

三阶行列式

333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa

其中:① 是 的全排列,② 是 的逆序数,③ 是对所有 的全排列求和.

.)1('32133323123222113121121nppptaaaaaaaaaaaa

其中:① 是 的全排列,② 是 的逆序数, 定理2 : 阶行列式为:

.)1(2112123222113121121nppptnnnnaaaaaaaaaaaa

其中t为nppp21的逆序数.

（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）

（补充）定理3 n阶行列式也可定义为 9 .)1(121211121232221131211nqpqpqptnnnnaaaaaaaaaaaa

其中nppp21和 nqqq21是两个n级排列,t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

练习: 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项.

③ 是对所有 的全排列求和.

例1.计算对角行列式: )24(0004003002001000

例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是i,未写出的元素都为0）

nn2121, nnnn2121211

证明: 按定义式

nn32121nn21213

nnn3211211nnn32111111nnn21211

例3.证明下三角行列式 10 nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110.

证明:按定义式得

nnnnaaaaaaaD32333222110nnnnaaaaaaa43433322110nnaaa2211.

以上, 阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.

11 回顾和小结 小结:

1.二三阶行列式的定义；

2.全排列及其逆序数；

3. 阶行列式的定义。

3. n阶行列式的定义。

复习思考题或作业题

思考题:

1.计算三阶行列式

654987321D

2.求排列54321的逆序数.

作业题:

习题一: 第1（1,3）、2（2,4,6）

实施情况及分析 1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；

2.对其逆序数等方面的应用有待加强.

12

第（ 2 ）次课 授课时间（ ）

教学章节 第一章第四节 学时 3学时

教材和

参考书 《线性代数》(第6版)同济大学编

1. 教学目的: 掌握 阶行列式的性质, 会利用 阶行列式的性质计算 阶行列式的值；

2. 教学重点: 行列式的性质；

3. 教学难点: 行列式的性质.

4. 教学难点：行列式的性质. 13 1. 教学内容: 对换；行列式的性质；

2. 时间安排: 3学时；

3. 教学方法: 讲授与讨论相结合；

4. 教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.

5. 教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

基本内容 备注

第四节 行列式的性质

转置行列式的定义

记

nnnnnnaaaaaaaaaD212222112111 TD=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111 (D)

行列式TD称为行列式D的转置行列式（依次将行换成列）

一、n阶行列式的性质

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同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102



解 381141102



2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(2)bacacbcba

解 bacacbcba

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

(3)222111

cbacba

解 222111

cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

(4)

yxyxxyxyyxyx



解

yxyxxyxyyxyx



x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2 yx3y3x3

2(x3y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序

数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3    (2n1) 2 4    (2n)

解 逆序数为2)1(nn

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

      (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3    (2n1) (2n) (2n2)    2

解 逆序数为n(n1) 

3 2(1个)

同济大学线性代数第六版答案(全) 2

同济大学线性代数第六版答案(全) 2

同济大学线性代数第六版答案(全)

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

*****

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3

y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式教学文稿

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同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 线性代数教学教案

第二章方阵的行列式

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第二章 第一节 行列式的定义 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 n阶行列式的定义、几类特殊行列式的值 教学难点 n阶行列式的定义

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解n阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；

会用对角线法则计算2阶、3阶行列式。

教 学 基 本 内 容

一、行列式的定义：

排列：从1,2,,Ln中任意选取r个不同的数排成一列，称为排列.

全排列： 将1,2,,Ln这n个不同的数排成一列，称为n阶全排列，也简称为全排列.

标准排列：12nL也是n个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列.

逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.

排列12niiiL的逆序数记为12niiiL. 标准排列的逆序数为0.

奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.

n阶行列式：由2n个元素(,1,2,,)ijaijnL排成n行n列的正方形的数表：

111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMOML，

由这个数表所决定的数 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 121212()12(1)nnnpppppnppppaaaLLL

称为由2n个元素(,1,2,,)ijaijnL构成的n阶行列式，记为

111212122212nnnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML，

线性代数(同济大学第六版)-第二章答案

线性代数(同济大学第六版)-第二章答案

线性代数（同济大学第六版）课后答案

第二章 矩阵及其运算

1 计算下列乘积

(1)127075321134

解 127075321134102775132)2(7111237449635

(2)123)321(

解 123)321((132231)(10)

(3))21(312

解 )21(31223)1(321)1(122)1(2632142

(4)20413121013143110412 

解

204131210131431104126520876 (5)321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx

解 321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx

(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)321xxx

322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa

2 设111111111A 150421321B 求3AB2A及ATB

解 1111111112150421321111111111323AAB