【高考数学大题核心考点专题训】统计概率比较两类方法或策略分析问题2类常考考点归纳(新高考)原卷及答案

2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。

2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。

本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。

一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。

尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。

对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。

2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。

对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。

3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。

对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。

对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。

4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。

2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。

3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。

4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。

2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：概率与统计2一．专题综述在中学数学里，排列、组合、二项式定理、概率统计相对照较独立，他们与实际生活联系较紧，解决本部份的问题也有比较独特的思维方式，高考对本部份考察的命题往往具有必然得灵气。

1.考纲要求（1）把握解决排列组合应用题的大体方式，会利用二项式定明白得决问题；（2）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；（3）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的大体公式计算一些等可能性事件的概率；（4）了解互斥事件与彼此独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与彼此独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；（5）会计算事件在n次独立重复实验中恰好发生k次的概率；（6）把握离散型随机变量的期望与方差，三种抽样方式，样本频率直方图及条形图，正态散布；（7）了解回归分析的原理及线性回归分析。

2.考题设置与分值从试题题型来看，（1）排列组合应用题与概率结合每一年1道客观题；（2）二项式定理每一年1道客观题，要紧考查二项式定理的通项应用或系数性质求系数和，（3）概率与统计以应用题为背景命题，有选择题，也有填空题，但更多是解答题，大体上是1小1大题，解答题将等可能事件的概率与独立事件或互斥事件问题综合在一路命题，或将概率与离散型随机变量散布列综合求数学期望与方差。

对本部份考察总分值约25分3.考试重点与难度：本专题内容从历年高考试题来看，考纲规定的考点都有考查。

概率应用问题仍是高考考查学生实践能力的热点问题.问题背景多联系生活实际，有时斗胆创新、构思新颖，综合考查多种分支知识及多种思想方式，在知识网络的交汇处设计试题. 一样通过模球类的问题、元素分派类问题、计数类问题等，来考查学生利用排列组合知识求等可能性事件的概率，和考查互斥事件、彼此独立事件、独立重复实验等概率问题的把握和应用.总起来将，高考对本部份内容的考察不管是客观题仍是主观题都属于中档题。

二．考点选讲【考点1】排列、组合的应用题排列、组合的应用题是每一年高考的必考点，几种典型的分析思路和典型的模型是咱们要把握的重点。

高中数学统计与概率知识点归纳高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。

首先，让我们来看看统计。

统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。

在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。

例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。

2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。

例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。

3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。

例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。

接下来，让我们来看看概率。

概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。

在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。

2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。

3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。

在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。

例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。

总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。

高中数学概率与统计知识点总结高中数学：概率与统计知识点总结一、前言在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。

例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。

高考数学中的概率统计关键知识点总结在高考数学中，概率统计是一个重要的考点之一。

学习概率统计并掌握其关键知识点，不仅有助于我们在考试中拿到好成绩，还可以在日常生活中帮助我们更好地理解和运用概率统计知识。

本文将总结高考数学中概率统计的关键知识点，希望能对广大考生有所帮助。

一、基本概率知识概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的小数来表示。

在概率计算中，我们需要掌握以下知识点：1.样本空间和事件：在一个随机试验中，所有可能结果构成的集合称为样本空间。

样本空间中的个体称为样本点。

事件是样本空间的一个子集，是由若干个样本点组成的。

2.事件的概率：事件A发生的概率P(A)定义为A中样本点数与样本空间中样本点总数之比。

3.互斥事件：如果两个事件A、B没有共同的样本点，则称它们是互斥事件。

4.独立事件：如果两个事件A、B的发生互不影响，则称它们是独立事件。

二、离散型随机变量离散型随机变量是指只能取一些有限或者可数个值的变量。

在学习离散型随机变量时，需要注意以下知识点：1.随机变量：设X是一个随机变量，其所有可能取值构成一个集合，称为随机变量X的全体取值，简称X的取值集。

2.概率函数：对于离散型随机变量X，其取值集为{x1，x2，...，xn}，其概率函数为f(x)=P(X=xi)，i=1,2,...n。

其中，f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；归一性，即sum[f(xi)]=1。

3.数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望定义为：E(X)=sum[xi*f(xi)], i=1,2,...,n。

三、连续型随机变量连续型随机变量是指可以取得任意一个实数的变量。

学习连续型随机变量时，有以下知识点需要注意：1.概率密度函数：对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；积分为1，即integral(f(x))dx=1。

高考数学中的概率与统计在高考数学中，概率与统计是两个非常重要的概念。

概率是指某件事情发生的可能性，而统计则是通过数据分析找出事情的规律。

本文将介绍高考中的概率和统计内容，以及对于考生应该如何应对这些考点。

一、概率概率是高考数学中的重点之一，它涉及到很多基本概念和计算方法。

我们先来看看常见的概率问题：1. 定义概率：概率是指某事件发生的可能性，通常用一个介于0 到 1 之间的数字表示。

比如说，掷一枚骰子，出现 1 的概率是1/6，出现偶数的概率是 3/6=1/2。

2. 事件的互斥：如果两个事件不能同时发生，就称它们互斥。

比如说，掷一枚骰子，出现 1 和出现 2 是互斥的事件。

此时它们的概率可以简单地相加。

3. 事件的独立：如果两个事件的发生不会互相影响，就称它们独立。

比如说，掷两枚骰子，第一枚出现 1 的概率是 1/6，第二枚出现 2 的概率也是 1/6。

此时出现 1 和 2 的概率就是它们的乘积。

4. 条件概率：条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。

比如说，从一副扑克牌中取出一张牌，它是红桃的概率是 1/4，如果告诉你它是一张面值为 A 的牌，那么这张牌是红桃的概率就变成了 1/2。

考生在备考概率时，需要将这些基本概念掌握清楚，并能够结合具体问题来进行计算。

此外，还需要注意一些细节问题，比如说事件是否独立、概率的范围等等。

二、统计统计是高考数学中的另一个重要考点，它用来描述数据的分布规律和相关性。

常见的统计问题有：1. 统计指标：统计学有很多指标，比如说平均数、中位数、众数、标准差等等。

这些指标用来描述数据的各种特征，可以通过计算得出。

2. 直方图：直方图是一种常用的数据可视化工具。

它将一段数据区间划分为若干个子区间，并计算每个子区间的数据量，然后将它们用矩形图形表示出来。

通过直方图可以看出数据的分布规律，比如说是否呈正态分布等等。

3. 散点图：散点图可以用来表示两个变量之间的关系。

高考概率统计知识点总结高考数学中的概率统计是一个相对独立的模块，但在学生中有着较高的难度和考查比重。

掌握好概率统计知识点对于提升数学成绩以及应对高考是至关重要的。

本文将从概率和统计两个方面，对高考中常见的概率统计知识点进行总结。

一、概率概率是概率统计中最为核心也是较为抽象的概念之一。

在考试中，概率通常通过计算概率值、事件的互斥、独立以及条件概率作为考点出现。

1. 概率值的计算：概率指某件事情发生的可能性大小。

常见的概率计算方式有两种，一种是频率概率，另一种是几何概率。

频率概率指的是事件发生的次数与总次数之间的比值；几何概率指的是事件发生的可能性与总可能性之间的比值。

2. 互斥事件与对立事件：互斥事件是指在同一次试验中，事件A和事件B不能同时发生；对立事件是指在同一次试验中，事件A发生与事件A不发生是互相对立的。

了解互斥事件和对立事件的性质，能够帮助我们更好地理解概率的计算。

3. 独立事件与非独立事件：独立事件是指在试验之间没有相互影响；非独立事件是指在试验之间相互影响。

对于独立事件和非独立事件，学生需要通过条件概率计算来确定它们之间的关系。

二、统计统计是概率统计中的另一个重要部分，它主要研究如何收集、整理、分析和解释大量数据的方法和技巧。

在高考中，统计通常通过抽样方法、频数分布、统计图表以及样本与总体的关系作为考点出现。

1. 抽样方法：抽样是指从总体中选取个别样本以代表总体。

在高考中，常用的抽样方法有随机抽样、分层抽样和整群抽样等。

了解各种抽样方法及其应用场景，可以帮助我们更好地分析总体特征。

2. 频数分布和统计图表：频数分布是指将一组数据按照数值大小进行整理和分类，以便观察数据的分布情况。

统计图表则是通过图像的方式将数据进行展示，包括直方图、折线图和饼图等。

掌握频数分布和统计图表的制作方法，可以更直观地观察数据特征。

3. 样本与总体的关系：样本是指从总体中选取的一部分数据，总体是指具有某种共同特征的个体或事物的集合。

掌握高考数学中的概率与统计题解题方法概率与统计是高考数学中的重要内容之一，许多学生在解答概率与统计题目时感到困惑。

本文将详细介绍高考数学中概率与统计题解题的方法，帮助学生掌握这一部分知识。

一、概率与统计题的分类在高考数学中，概率与统计题主要分为两类：概率题和统计题。

概率题是指要求计算某一事件发生的可能性；统计题是指要求根据给定的数据分析并得出结论。

接下来，将分别介绍这两类题目的解题方法。

二、概率题的解题方法概率题通常涉及到事件的概率计算，解题的关键在于理解题意并运用相应的公式进行计算。

1. 计算概率的基本公式- 若事件A发生的可能性为P(A)，则事件A不发生的可能性为1-P(A)。

- 若事件A、B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A) × P(B)。

- 若事件A、B不相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A) × P(B|A)。

2. 运用排列组合解决问题有时，概率题需要运用排列组合的知识进行计算。

比如，从n个元素中选取m个元素的组合数可表示为C(n,m)=n!/[(n-m)! × m!]。

3. 运用条件概率解决问题有时，概率题需要运用条件概率的概念进行计算。

条件概率表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。

三、统计题的解题方法统计题主要涉及到数据的分析和处理，解题的关键在于根据题目要求选择合适的统计方法和技巧进行计算。

1. 构建频数表和频数分布图对于给定的数据，可以通过构建频数表和频数分布图来更好地观察数据的分布情况。

频数表可以统计每个数值出现的次数，频数分布图可以直观地展示数据的分布情况。

2. 求解平均数、中位数和众数平均数表示数据的平均值，中位数表示数据的中间值，众数表示出现次数最多的数值。

这些统计量可以帮助我们更好地了解数据的特征。

3. 进行数据的比较和推断统计题中常常需要进行数据的比较和推断，这时可以运用假设检验等方法进行判断并得出结论。

数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。

掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。

本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。

一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。

在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。

1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。

掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。

1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。

掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。

1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。

理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。

二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。

掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。

2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。

了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。

三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。

掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。

3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。

在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。

四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。

高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ，d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=106=53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图树状图。

由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）=31点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是6的倍数的可能情况。

高考数学统计概率知识点数学是高考中一个重要的科目，其中统计与概率是一个重要的知识点。

统计与概率涉及到数据的收集、整理、分析以及概率的计算和应用。

在这篇文章中，我们将深入探讨高考数学中的统计与概率知识点，并帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 统计统计是指对收集到的数据进行整理、分析和解释的过程。

在高考数学中，统计主要涉及到以下几个方面的内容：1.1 数据收集数据收集是统计的第一步，它包括了数据的获取和整理。

数据可以通过调查问卷、实验和观察等方式进行收集。

在这个过程中，要注意数据的真实性和完整性，确保数据的可靠性。

1.2 数据的呈现数据的呈现是指将收集到的数据以图表或图像的形式展示出来，以便于更好地观察和分析。

常见的数据图表包括条形图、折线图、饼图等。

在绘制图表时，要注意选择适当的图表类型，确保数据的准确性和清晰度。

1.3 数据的分析数据的分析是统计的核心部分，它包括了对数据的计算、比较和解释等过程。

在进行数据分析时，可以运用各种统计指标和方法，如平均值、中位数、众数、方差等，以便更好地理解数据的特征和变化趋势。

2. 概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数学工具。

在高考数学中，概率主要涉及到以下几个方面的内容：2.1 随机事件与样本空间随机事件是指无法预测结果的事件，它可以用来描述一个随机试验的可能结果。

样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。

在计算概率时，需要明确随机事件和样本空间的定义，并根据实际情况确定随机事件的个数和样本空间的大小。

2.2 概率的计算概率的计算是指通过对随机事件和样本空间的分析，来确定某个事件发生的可能性大小。

常见的概率计算方法有等可能原则、频率方法和古典概型法等。

在进行概率计算时，需要注意计算的正确性和合理性，并注意纳入所有可能影响结果的因素。

2.3 概率的应用概率的应用是指通过概率的计算，来解决实际问题。

在高考数学中，概率的应用包括了生日问题、排列组合、事件的独立性和条件概率等内容。

概率与统计是高考数学中的一个重要的知识点，也是考察学生分析问题、统计数据以及进行概率计算的能力。

下面是2024年高考数学中概率与统计方面的热点问题解题指导，希望能对你备考有所帮助。

1.求二项式分布的期望和方差二项式分布可以描述在n次独立重复试验中，出现其中一事件的次数的概率分布。

求二项式分布的期望和方差是常见的题型。

对于n次独立重复试验中，事件A出现的次数X，其期望和方差分别为E(x) = np，Var(x) = np(1-p)，其中p为单次试验中事件A发生的概率。

2.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中的基本题型。

根据题目给出的条件，利用概率公式进行计算即可。

常见的题型有求交、并、互斥事件的概率，以及条件概率等。

3.求样本的点估计和区间估计在统计学中，样本是用来推断总体特征的重要依据。

对于样本中一些统计量，如平均值、比例等，可以利用它们作为总体特征的点估计。

而对于总体特征的区间估计，可以利用样本统计量的分布特性，计算出一个区间，该区间包含了总体特征的真值。

4.利用正态分布进行计算正态分布是概率与统计中最重要的概率分布之一，也是高考数学中的重点内容。

在许多情况下，可以使用正态分布来近似计算一些事件的概率或样本统计量的分布。

利用标准正态分布的概率表或计算器，可以方便地计算出正态分布的概率或分布的特征。

5.判断两个事件是否独立判断两个事件是否独立，可以利用概率的定义和条件概率的性质进行推导。

如果两个事件相互独立，则它们的联合概率等于事件的概率的乘积。

反之，如果联合概率不等于概率的乘积，则说明两个事件不独立。

6.利用抽样方法进行调查在概率与统计中，抽样是一种重要的数据收集方法。

通过合理地设计抽样方法和调查问卷，可以获得可靠的调查数据。

在解题时，需要注意抽样误差和样本的代表性等问题，以确保所得到的调查结果具有较高的可靠性。

以上是2024年高考数学概率与统计方面的热点问题解题指导。

在备考过程中，要牢固掌握概率与统计的基本概念和常用方法，多做相关的题目，提高解题能力。

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第四篇概率与统计专题07比较两类方法或者策略的分析问题类型对应典例利用方案的数学期望（均值）的大小进行决策典例1利用平均利润的大小进行比较方案典例2回归方程模型拟合效果好坏的判断典例3利用方差的大小进行方案的决策典例4根据变量的取值不同进行方案的决策典例5利用相关指数2R 判断拟合效果更好典例6【典例1】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =.试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【思路引导】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为p ,则每个人的血呈阴性反应的概率为1q p =-.由独立性事件概率性质可得k 个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为X 得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数()E x .当0.1p =时,0.9q =.将k 分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.【典例2】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当85M ≥时，产品为一级品；当7585M ≤<时，产品为二级品；当7075M ≤<时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020B 配方的频数分布表指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数510153040（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩，其中10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大【思路引导】（1）按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，可得从这5件产品中任取3件的取法及恰好取到1件的取法，可得答案；（2）分别将()E A 与()E B 用t 表示，计算出()()E A E B -的值，由10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得哪种配方的产品平均利润率较大.【典例3】新疆在种植棉花有着得天独厚的自然条件，土质呈碱性，夏季温差大，阳光充足，光合作用充分，生长时间长，这种环境下种植的棉花绒长､品质好､产量髙，所以新疆棉花举世闻名.每年五月份，新疆地区进入灾害天气高发期，灾害天数对当年棉花产量有着重要影响，根据过去五年的数据统计，得到相关数据如下表:灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨/公顷)3.22.421.91.7根据以上数据，技术人员分别借助甲､乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲: (1)4 1.1y x =+，方程乙:(2)264 1.6y x⋅=+.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:①完成下表；(计算结果精确到0.1)②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并比铰12,Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好?灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨公顷)3.22.42 1.91.7模型甲估计值 (1)iy 2.42.11.6残差(1)i e0.1-0.1模型乙估计值(2)ˆi y2.321.9残差(2)ˆi e0.100（2）根据天气预报，今年五月份新疆M 市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆M 市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)【思路引导】（1）根据已知模型计算，然后计算残差平方和，小的效果好；（2）利用模型2估算出灾害天气为6，7，10时的棉花产量X ，得X 分布列，由期望公式计算期望后可得．【典例4】2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p (01)p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -.（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求()1E X （用p 表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求()2E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.【思路引导】（1）1~(20,)X B p ，易求得期望值；（2）2X 只取两个值：2和-1.2，列出分布列，可得期望；（3）投资一的盈利期望为11(0.08)0.08()E X E X =，211(0.08)0.08()D X D X =，再计算出2()D X ，然后分类，12(0.08)()E X E X =时比较1(0.08)D X 和2()D X ，12(0.08)()E X E X >，12(0.08)()E X E X <．先盈利大的，盈利相同时选稳定的．【典例5】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15东入口●○○○○●○●●○●●●○●西入口○○●●○●○●○●○●●○○南入口○●○○○●○○○○○○○○●北入口●○○○●○○●○○○○○●○11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30东入口●○○●○○○●●○●○●○●西入口●○●●○●○●○●○●○●○南入口○○○●○○○○●○○○○○●北入口○○●○○○○○○○○○○●○（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为m（135175m <<，且140m ≠）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.【思路引导】（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得.（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析.【典例6】某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y （单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码113-分别对应2018年1月至2019年1月）.（1）试估计该市市民的购房面积的中位数0m ；（2）从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房中的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为X ，求X 的数学期望；（3）根据散点图选择 =+y a 和 ln y cd x =+ 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为 0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到一些统计量的值如下表所示：请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）（参考数据）ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，ln 23 3.14≈，ln 25 3.22≈141≈ 1.73≈ 4.80≈.（参考公式） ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y .【思路引导】（1）利用中位数两边矩形面积之和均为0.5可计算出中位数的值；（2）由题意可知，()~3,0.4X B ，然后利用二项分布的期望公式求出()E X 的值；（3）计算出两个回归模型的相关指数，选择相关指数较大的回归模型较好，然后将2019年12月份对应的代码24代入回归方程可求出2019年12月份的二手房购房均价的估计值.1.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．2.某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）3.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13.（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）4.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？5.高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A市出发到B市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由.6.有两种理财产品A 和B ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A ：投资结果获利50%不赔不赚亏损30%概率1351214产品B ：投资结果获利40%不赔不赚亏损30%概率p13q注：0p >，0q >（1）若甲、乙两人分别选择了产品,A B 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于34，求实数p 的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.7.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n N）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.参考答案【典例1】解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ,呈阳性反应的概率为1k q -.依题意可知11,1X k k =+,所以X 的分布列为：X1k 11k+Pkq 1kq -（2）方案②中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E x q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭,所以当2k =时,21()0.910.692E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为662次,3k =时,31()0.910.60433E X =-+=,此时960人需要化验的总次数为580次,4k =时,41()0.910.59394E X =-+=,此时960人需要化验的次数总为570次,即2k =时化验次数最多,3k =时次数居中,4k =时化验次数最少而采用方案①则需化验960次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当4k =时化验次数最多可以平均减少960570390-=次.【典例2】解：（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：(,,)a b x ，(,,)a b y ，(,,)a b z ，(,,)a x y ，(,,)a x z ，(,,)a y z ，(,,)b x y ，(,,)b x z ，(,,)b y z ，(,,)x y z 其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为63105=.（2）由题知A 配方生产的产品平均利润率22(1030)5(4020)()20.6100t tE A t t +⨯++==+，B 配方生产的产品平均利润率2225(1015)5(3040)() 1.30.7100t t tE B t t ++⨯++⨯==+，所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-，因为107t <<，所以()()E A E B <，所以投资B 配方的产品平均利润率较大.【典例3】解：（1）①完成表格如下:灾害天气天数x (天)23458棉花产量y (吨/公顷)3.22.42 1.9 1.7模型甲估计值(1)ˆi y3.1 2.4 2.11.9 1.6残差(1)ˆi e0.10.1-00.1模型乙估计值(2)ˆi y3.2 2.321.9 1.7残差(2)ˆi e0.1000②计算模型甲的残差平方和为22210.1(0.1)0.10.03Q =+-+=，模型乙的残差平方和为220.10.01Q ==，∴12Q Q >，模型乙的拟合效果更好.（2）设今年棉花的单位产量为X 吨公顷，则X 的分布列如下表:X1.78 1.73 1.66P0.50.40.1于是() 1.780.5 1.730.4 1.660.10.890.6920.166 1.75E X =⨯+⨯+⨯=++≈，所以何女士今年棉花的产量大约是1.751526.25⨯=吨【典例4】（1）解：由题意1~(20,)X B p 则盈利的天坑院数的均值()120E X p =.（2）若投资项目二，则2X 的分布列为2X 2-1.2P P1p-盈利的均值()22 1.2(1) 3.2 1.2E X p p p =--=-.（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.240%0.08⨯=（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为()10.08E X ()10.08E X =0.0820p =⨯ 1.6p =（百万元）.()()2110.080.08D X D X =20.0820(1)p p =⨯-0.128(1)p p =-()222(2 3.2 1.2)(1.2 3.2 1.2)(1)D X p p p p =-++--+-10.24(1)p p =-①当()()120.08E X E X =时，1.6 3.2 1.2p p =-，解得34p =.()()120.08D X D X <.故选择项目一.②当()()120.08E X E X >时，1.6 3.2 1.2p p >-，解得304p <<.此时选择项一.③当()()120.08E X E X <时，1.6 3.2 1.2p p <-，解得34p >.此时选择项二.【典例5】解：（1）将东、西、南、北四个主干道入口发生拥堵的情况分别记为事件A ，B ，C ，D ，则()()151302P A P B ===，()()61305P C P D ===.（2）对于方案二，设四个主干道聘请交通协管员的日总费用为X ，则X 的可能取值为0，400，800，1200，1600.()22111601125100P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211111140400112112225255100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-⨯+-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22222141414433800112212525255100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-+⨯⨯⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221111111012001212255225100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22111160025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()164033101040080012001600560100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元.对于方案一，四个主干道聘请交通协管员的日总费用为4m 元，当135140m <<时，4560m <，应该选择方案一；当140175m <<时，4560m >，应该选择方案二.【典例6】解：（1）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.050.10.20.35++=，前四组频率和为0.050.10.20250.6+++=，故中位数出现在第四组，且00.159010960.25m =+⨯=；（2）由频率分布直方图，可得每一位市民购房面积不低于100平方米的概率为0.20.150.050.4++=，那么由题意则知()~3,0.4X B ，从而可得所求期望为()30.4 1.2=⨯=E X ；（3）设模型0.9369y =+ 0.9550.0306ln =+y x 的相关指数分别为21R ，22R ，则210.00059110.006050R =-，220.00016410.006050R =-，显然2212R R <.故模型 0.95540.0306ln y x =+的拟合效果更好.由2019年12月份对应的代码为24，则 ()0.95540.0306ln 240.95540.03063ln 2ln 3 1.052=+=++≈y 万元/平方米.1.解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P P P C C C ξξξ=========所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：ξ123P153515131()1232555E ξ=⋅+⋅+⋅=因为2~(3,)3B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：η0123P127627122782716128()0123227272727E η=⋅+⋅+⋅+⋅=（Ⅱ）因为31412820(2),(2)555272727P P ξη≥=+=≥=+=所以(2)(2)P P ξη≥>≥从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．2.【思路引导】（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；（2）①由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中，估计年销售利润不低于270万的概率；②分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。

高考复习概率与统计知识点归纳总结概率与统计是高中数学中的一大重点和难点。

在高考中，这一部分的知识点占有相当大的比重，因此学生需要在复习阶段集中精力，深入理解和掌握相关的知识点。

本文将对高考概率与统计的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地复习和备考。

一、概率基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是对某一随机试验的结果的一种描述，样本空间是一个随机试验中可能出现的所有结果的集合。

2. 事件的概率：事件A发生的概率用P(A)表示，其计算公式为P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的结果总数。

3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件中一个必然发生，另一个必然不发生。

4. 事件的独立性：两个事件相互独立指的是一个事件的发生不受另一个事件的影响，它们的概率计算是相互独立的。

二、排列与组合1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按一定的顺序排列成一列。

公式为An^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。

2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排列顺序。

公式为Cn^m = n! / (m!(n-m)!)。

三、事件概率的计算1. 加法定理：对于两个事件A和B，其和事件A∪B的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

2. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，其积事件A∩B的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

3. 全概率公式：对于一组互斥事件A1、A2、...、An，其和事件A的概率为P(A) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An)。

4. 条件概率公式：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

四、随机变量与概率分布1. 随机变量：随机变量是随机试验结果的函数，它的取值是随机的。

概率统计高考知识点总结概率统计是高中数学中的一个重要分支，也是高考数学中的考点之一。

概率统计主要涉及到随机事件的概率计算以及数据的整理和分析。

在高考的数学试题中，概率统计题目一般是以实际问题为背景，通过概率统计的知识和方法来解决问题。

下面将对高考中的概率统计知识点进行总结。

1. 随机事件的概率计算随机事件是指具有一定的条件和对应的结果的事件。

概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

在高考中，常见的概率计算题目包括求单个事件的概率、多个事件的概率以及事件间的关系等。

求单个事件的概率主要是通过计算事件发生的次数与总次数的比值得出。

例如，某个班级有50位同学，其中15位喜欢足球，求从班级中随机抽取一位同学喜欢足球的概率。

解答时，可以先计算出喜欢足球的同学人数与总人数的比值，即15/50=0.3，所以概率为30%。

多个事件的概率可以通过计算事件交集的概率、联合事件的概率或者互斥事件的概率来求解。

例如，某班级男生有30人，女生有20人，从中随机抽取一位同学，请问该同学是女生或者是男生的概率是多少？解答时，可以根据事件的互斥性，计算出女生和男生的概率之和，即20/50+30/50=50/50=1，所以概率为100%。

事件间的关系可以通过计算事件的和、差、积、商等来求解。

例如，某次考试，甲、乙两位同学分别参加了数学和英语的考试，已知甲和乙两位同学都及格的概率分别为0.8和0.7，求甲和乙两位同学都及格的概率。

解答时，可以计算两个事件的积，即0.8×0.7=0.56，所以概率为56%。

值得注意的是，在计算概率时，要根据题目中给出的信息，配合使用概率的基本公式及其扩展，合理运用概率的性质和规律，避免使用错误的计算方法。

2. 数据的整理和分析概率统计还涉及到数据的整理和分析。

在高考中，常见的数据分析题目包括频数统计、频率统计、构造直方图、构造折线图等。

频数统计是指对数据中各个数值出现的次数进行统计。

例如，给定某班级学生的考试成绩，求分数为80分以上的人数。

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1）等可能性事件(古典概型)的概率：Ｐ(Ａ)=)()(I card A card =n m;等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件Ａ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(Ａ＋Ｂ)=P(Ａ)＋P （Ｂ）； 特例:对立事件的概率：Ｐ(A)+P(A )=P(A ＋A )=1. （3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)=P （A ）·Ｐ(B ）; 特例：独立重复试验的概率：Pn(ｋ）=kn k kn p p C --)1(．其中P 为事件Ａ在一次试验中发生的概率，此式为二项式[（1－Ｐ)＋Ｐ］n 展开的第k+1项．（4）解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。

例2． 若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示）.[解答过程]０.3提示：1335C 33.54C 102P ===⨯例２.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 .[解答过程］1.20提示：51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为０．8０.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为＿________＿.（精确到0.０1)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.［解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=．故填０.94.离散型随机变量的分布列 １．随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ,……,ix ,……，ξ取每一个值ix （=i 1，2，……）的概率P(i x =ξ)＝i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ,=i １,2，…;（２)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为０,1,2,…n,并且kn k kn k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下:称这样随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C k n k k n =- ．(２） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:例１．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家2０件产品中,其中有３件不合格,按合同规定该商家从中任取２件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取４件产品检验，其中至少有１件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=(Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===, ()11317220511190C C P C ξ===,()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=.记“商家任取２件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=.所以商家拒收这批产品的概率为2795.例１２．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注:本小题结果可用分数表示)［解答过程]解法一:(Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =,∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的可能值为123，，,11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=.ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =.∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=. （Ⅱ)同解法一．(3)离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(１）离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平．⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+. (4)若ξ~B(n,ｐ)，则 np E =ξ ; Ｄξ =npq(这里q ＝1-ｐ) ;如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则p E 1=ξ,D ξ =2p q 其中q=1-p.例1.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小．解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ,891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ;工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同,技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例２．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为２0０元；分2期或3期付款，其利润为25０元；分４期或5期付款,其利润为3００元.η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ）求事件A :“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ)求η的分布列及期望E η．［解答过程］（Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.（Ⅱ)η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元).抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为Ｎ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法． 2．系统抽样:当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取１个个体，得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样)． ３．分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地,样本容量越大,这种估计就越精确．总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布．当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图．当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 典型例题例1．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中Ａ种型号产品有1６件．那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量ｎ=1016802⨯=．例2．一个总体中有1０0个个体，随机编号０，1，2,…,99，依编号顺序平均分成１０个小组,组号依次为１,2，3,…，１0.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同,若6m =，则在第7组中抽取的号码是 .解答过程：第Ｋ组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+,…,(1)109k -+，当m ＝６时，第k 组抽取的号的个位数字为m+ｋ的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63.正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质(1)正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ>0,则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ)．（2）期望Ｅξ =μ,方差2σξ=D .(３）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称．②曲线在ｘ＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”. 三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ＋σ)中的概率为０．６５２6数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0．954４ﻫ数值分布在（μ—３σ,μ+３σ）中的概率为０.９974（4）标准正态分布当μ=０，σ＝１时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0,1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.(6)2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循．回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法．它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n 个样本数据（11,x y ），(22,x y )，…，（,n n x y ),其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==,其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数．例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ２），且E ξ＝3，D ξ=1，则Ｐ(－1＜ξ≤１=等于( ) A ．2Φ(１)－1 ﻩB.Φ（4)-Φ（2） C.Φ（2)-Φ(4) ﻩD.Φ(－4）-Φ（-2)解答过程:对正态分布，μ＝E ξ＝３，σ２＝D ξ=1,故P （－１＜ξ≤１)=Φ(1－3)－Φ（－１－３)=Φ（-２)-Φ（－4）＝Φ（4)－Φ（２)． 答案:B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃，液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N （d ，0.５2）. (1)若d=90°,则ξ<89的概率为 ;(2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d 至少是 ?(其中若η～N(0，1）,则Φ(2）=P （η<2）=0.９77２，Φ（-2.327)＝P(η<-2.327)=0.01)．解答过程:(1）Ｐ（ξ<８9）=Ｆ(８9)=Φ(5.09089-)=Φ（-2）＝1-Φ(2)=１-0.９７72=0.０228．（2)由已知d 满足0.99≤P(ξ≥80）,即1－P(ξ＜８０)≥１-０.01,∴P(ξ<８0)≤0.01.∴Φ(5.080d-）≤0．01=Φ（－2．32７）.∴5.080d -≤-2.３２7.∴d ≤81．1６３５. 故d 至少为81.１63５.小结:（1）若ξ～N(0,1),则η=σμξ-~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f(x ）为增函数,x>０时，f （x ）为减函数.。

如何备考高考数学统计与概率部分重点知识点及解题思路备考高考数学统计与概率部分是每位考生所面临的一项重要任务。

为了提高备考效果，考生需要明确重点知识点及解题思路，并采取相应的备考策略。

本文将为考生介绍备考高考数学统计与概率部分的重点知识点，以及提供解题思路和备考策略。

一、概率的基本概念与性质在备考高考数学统计与概率部分时，考生首先需要掌握概率的基本概念与性质。

考生需要了解事件、样本空间、随机事件、概率的定义以及概率的性质等基本概念。

此外，考生还需了解概率的加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯定理等概率的性质，以便在解题时能够准确运用这些概率原理。

二、随机变量与概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习随机变量与概率分布的相关知识。

随机变量是概率论中的重要概念，它可以通过数值来表示随机试验的结果。

考生需要了解离散型随机变量和连续型随机变量的性质与特点，并能够判断给定随机变量是离散型还是连续型，并给出相应的概率分布。

三、常用的离散概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生需要熟悉常用的离散概率分布。

例如，考生需要了解二项分布、泊松分布和几何分布等离散概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。

考生还需能够通过题目进行识别，根据给定的条件判断使用哪种离散概率分布，并运用相应的概率公式进行计算。

四、常用的连续概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要熟悉常用的连续概率分布。

例如，考生需要了解均匀分布、正态分布和指数分布等连续概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。

考生需要能够根据给定的条件判断使用哪种连续概率分布，并掌握相应的概率公式和计算方法。

五、抽样与统计推断备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习抽样与统计推断的相关知识。

考生需要了解抽样的目的与方法，并能够分析样本数据的特征与规律。

此外，考生还需要掌握点估计与区间估计的概念与计算方法，并能够应用于实际问题中。

六、假设检验备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习假设检验的相关知识。

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念1．平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．２．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．３．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。