2021届新高考高三数学新题型专题10 概率统计多选题 (解析版)

第十章概率单元测试卷一、单选题1．（2021·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程20x bx c++=有实数根的样本点个数为（）A．17B．18C．19D．20【答案】C【解析】【分析】直接列举即可得到.【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个；方程有实数根，需满足240b c-≥；样本点中满足240-≥的有（2，1）､（3，1）､（3，2）､（4，1）､（4，2）､（4，3）､（4，4）､（5，b c1）､（5，2）､（5，3）､（5，4）､（5，5）､（5，6）､（6，1）､（6，2）､（6，3）､（6，4）､（6，5）､（6，6），共19个.故选：C2．（2021·全国·高一课时练习）某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据基本事件的概念一一列举即可得出选项.【详解】解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个.故选：C3．（2022·湖南·高一课时练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝DD ．A ∪B ＝B ∪D【答案】D【解析】【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A ⊆D ，A ∪C ＝DB ，D 为互斥事件，B ∩D ＝∅；A ∪B ＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B ∪D 为必然事件，这两者不相等故选：D4．（2021·全国·高一单元测试）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A ．112 B ．16 C ．14 D ．13【答案】B【解析】【分析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.【详解】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，所有比赛的情况:：11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜三局；11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜两局；12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局；13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ，田忌获胜两局；13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为16P = 故选：B【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.5．（2021·全国·高一课时练习）10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A ．35B ．23C ．34D ．415【答案】B【解析】【分析】 根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率6293P ==. 故选：B.6．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12 B ．15 C ．14 D ．25【答案】C【解析】【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，方法有：123,124,134,234++++++++共4种，其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1236++=共1种，故所求概率为1 4 .故选：C7．（2021·黑龙江实验中学高二阶段练习）在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于15%-的概率为（）A．310B．12C．35D．710【答案】D【解析】【分析】利用列举法求解即可【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于15%-，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于15%-有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为7 10.8．（2022·全国·高三专题练习（理））抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．()23P A B +=D ．()56P A B += 【答案】C【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率．【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立， 事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==． 故选：C ．【点睛】 关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．二、多选题9．（2021·重庆·高三开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12 【答案】ACD【解析】【分析】 根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，对于A选项，2个球都是红球的概率为111326⨯=，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为1151326-⨯=，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为2121323-⨯=，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率1211232132⨯+⨯=，D选项正确.故选：ACD.10．（2021·广东佛山·高二阶段练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题.11．（2022·全国·高二单元测试）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（ ）A ．1234P P P P ===B ．312P P =C ．12341P P P P +++=D ．423P P =【答案】CD【解析】【分析】利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ， 根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的；由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的；由423P P =，故D 是正确的.故选：CD【点睛】本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.12．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二阶段练习）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()P A PB PC ==B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC =D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅= 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别求得(),(),()P A P B P C 可判断A ，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===， 由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =， 所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确； 综上可知正确的为ABD.故选:ABD ．【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.【答案】0.21##21100【解析】【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为,,A B C ，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C 则()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，则()0.21P B =故答案为：0.2114．（2021·全国·高一课时练习）从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.【答案】4【解析】【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.故答案为：4.15．（2021·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______【答案】0.686【解析】【分析】根据题意，先求得B与C至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中A正常工作的概率为0.7；B正常工作的概率为0.8,C正常工作的概率为0.9，---=，则B与C至少有一个正常工作的概率为1(10.8)(10.9)0.98所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；故答案为：0.686；【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．（2021·全国·高一课时练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，，第八组[]190195,，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件{}5E x y =-≤，求()P E ．【答案】(1)0.06；(2)平均数为174.1，中位数为1745.；(3)()715P E =． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为400850.=， ∴第七组的频率为()100850008200160042006006......--⨯⨯++⨯+=． (2)由直方图得，身高在第一组[)155160,的频率为00085004..⨯=， 身高在第二组[)160165,的频率为00165008..⨯=， 身高在第三组[)165170,的频率为004502..⨯=， 身高在第四组[)170175,的频率为004502..⨯=，由于0.040.080.20.320.5++=<，0.040.080.20.20.520.5+++=>，设这所学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<， 由()0040080217000405...m ..+++-⨯=得1745m .=，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ，平均数为157.50.04162.50.08167.50.2172.50.2177.50.065182.50.08187.50.06⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+192.50.0085174.1⨯⨯=．(3)第六组[)180185,的抽取人数为4，设所抽取的人为a ，b ，c ，d ， 第八组[]190195,的抽取人数为0.0085502⨯⨯=，设所抽取的人为A ，B ，则从中随机抽取两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB 共15种情况，因事件{}5E x y =-≤发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况．所以()715P E =． 18．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49；（2）1318.【解析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ，由已知列出()()()P A P B P C 、、的方程组可得答案；（2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案. 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是13，29，49.（2）由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个， 于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818-=. 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概率，一般地，如果事件A 1、A 2、…、A n 彼此互斥，那么事件A 1+A 2+…+A n 发生(即A 1、A 2、…、A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).19．（2021·全国·高一课时练习）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率. 【答案】（1）34p =，23q =；（2）512.【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得,p q ；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【详解】解：（1）设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，()P B q =. 设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB =，D AB AB =+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与B 相互独立，AB 与AB 相互互斥，所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()P D P AB AB =+()()()()()()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B =+=+=-+-.由题意可得()()1,2511,12pq p q q p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩即1,217.12pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得3,42,3p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,33.4p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于p q >，所以34p =，23q =.（2）设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2.由题意得，()11331344448P A =⨯+⨯=，()23394416P A =⨯=，()12112433339P B =⨯+⨯=，()2224339P B =⨯=.设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+. 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，所以()()()()()()()12211221349458916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512. 【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，设C={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则C AB=，D AB AB=+．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．20．（2021·海南·海口市灵山中学高二期中）某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．（单位：人次）满意度老年人中年人青年人自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐10分（满意）1212022015分（一般）22634120分（不满意）116232（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）110P=；（3）建议其选择自助餐．【解析】(1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论.(2)点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a），中年人2人（设为b，c），青年人2人（设为d，e），列出选2人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案. (3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大.【详解】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率115 19P=，中年人选择自助餐的频率23239P =， 青年人选择自助餐的频率32742P =， 则213P P P >>，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a ），中年人2人（设为b ，c ），青年人2人（设为d ，e ）． 从中选取2人，其基本事件有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个(,)b c 符合题意； 故两人都是中年人的概率为110P =． （3）由表可知，自助餐满意的均值为：1521012510058052121074x ⨯+⨯+⨯==++．点餐满意的均值为：241017550125417526x ⨯+⨯+⨯==++12x x >，故建议其选择自助餐．21．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25.（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i i i x x p ==∑（其中i x 表示第i 组的中间值，ip 表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可. 【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为： 700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般. （1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数.22．（2021·全国·高二课时练习）A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 【答案】（1）49；（2）604729.【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率． （2）根据对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：（1）设i A 表示事件:一个试验组中，服用A 有效的小鼠有i 只，0i =，1，2，i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小鼠有i 只“，0i =，1，2， 依题意有：1124()2339P A =⨯⨯=，2224()339P A =⨯=．0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=，所求概率为：010212()()()P P B A P B A P B A =++14141444949299=⨯+⨯+⨯= （2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率34604119729P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭；【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.。

课时作业64 古典概型一、选择题1．某地铁站有A ，B ，C 三个检票口，甲、乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为( C )A.19B.16C.13D.23解析：他们选择检票口的所有情况有n ＝3×3＝9(种)，他们选择同一检票口检票的情况有m ＝3(种)，∴他们选择同一检票口检票的概率P ＝m n ＝39＝13.故选C.2．已知x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，且x ＋y ＝7，则y ≥x2的概率为( B )A.13B.23C.12D.56解析：(x ，y )的所有可能情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，满足y ≥x2的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，故所求概率为46＝23，故选B.3．现有一个不透明的口袋中装有标号为1,2,2,3的四个小球，它们的大小、质地完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( D )A.16B.56C.38D.58解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的试验结果共有4×4＝16(种)，号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率P ＝1－616＝58，故选D.4．在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间的距离大于1的概率为( C )A.15B.25C.12D.35解析：在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又正五边形共有5条对角线，满足两个顶点间距离大于1，所以所求概率P ＝510＝12，故选C.5．某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有质地、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为( C )A.15B.310C.25D.35解析：总的取法有C 25＝10(种)，两球颜色相同的取法有C 22＋C 23＝4(种)，故所求概率P＝410＝25，故选C. 6．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是( D )A.15B.25C.35D.710 解析：从5名干部中随机选取2人有C 25＝10(种)选法，其中只选中A 没选中B 有C 13＝3(种)选法，只选中B 没选中A 有C 13＝3(种)选法，A 和B 均选中有1种选法，所以所求概率P ＝3＋3＋110＝710，故选D.7．2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为( B )A.12B.13C.16D.19解析：基本事件总数为C 13C 13＝9，他们选课相同的事件总数为C 13C 11＝3，∴他们选课相同的概率P ＝39＝13.故选B.8．(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( BCD ) A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12解析：对于A ，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P (甲获胜)＝13，P (乙获胜)＝13，故玩一局甲不输的概率是23，故A 错误；对于B ，不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115，故B 正确；对于C ，基本事件总共有6×6＝36种情况，其中点数之和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种情况，则所求概率是536，故C 正确；对于D ，记三件正品为A 1，A 2，A 3，一件次品为B ，任取两件产品的所有可能为A 1A 2，A 1A 3，A 1B ，A 2A 3，A 2B ，A 3B ，共6种，其中两件都是正品的有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3种，则所求概率为P ＝36＝12，故D 正确．故选BCD.二、填空题9．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是56.解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A )＝1－16＝56.10．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为25.解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.11．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的表征，从有2对不同表征的小鼠(白色斑块和短鼻子野生小鼠各1对)的实验箱中每次拿出1只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为23.解析：设四只小鼠分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中A 1，A 2为白色斑块小鼠，B 1，B 2为短鼻子小鼠，从四只小鼠中不放回地拿出2只，共有C 24＝6(种)方法，其中不是同一表征的有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，共4种，结合古典概型的概率计算公式可得，所求概率P ＝46＝23.12．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是14.解析：由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111,222.若用两种颜色有122,212,221,211,121,112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.三、解答题13．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.14．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取100人的成绩进行统计分析，制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C23＝3(种)，则至少有一名男生有C25－C23＝7(种)．故至少有一名男生的概率为P＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(D)A.114B.17C.528D.514解析：观察八卦图可知，含有3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为C 11×C 11＋C 13×C 13C 28＝514.故选D. 16．某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：包裹件 数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数 (近似处理) 50 150 250 350 450 天数6630126支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种情况中，有1种情况快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．。

新高考概率统计专题训练一、单选题1．（2022·广西玉林·模拟预测（文））2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共6人，随机派两人去执行某次抢救任务，则甲乙两人没有同去的概率为（）A．115B．35C．1415D．1313【答案】C【分析】利用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】6个人即为1，2，3，4，5，6代表，派遣的可能情形有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情形，甲乙同去占一种情形，则不同去的概率为15114 1515-=.故选：C.2．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A．32B．45C．64D．90【答案】D【分析】根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案.【详解】近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人，由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人.故选：D.3．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条B．12条C．9条D．7条【答案】B【分析】根据分步乘法计算原理即可求解.【详解】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分⨯⨯=条路径.步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212故选：B4．（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．（2020·全国·高考真题（文））设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A ．0.01 B ．0.1 C ．1 D ．10【答案】C 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2021·宁夏银川·模拟预测（理））在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（100m,N m *=∈N ），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，)2kA ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B 【分析】根据题目列出22⨯列联表，再根据列联表的数据计算2K 值，进而得到关于m 的关系式，求解即可. 【详解】由题可知，男女各50m 人，列联表如下：()22224100900400=450505050m m m K m m-=⨯⨯⨯，有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，410.828m ∴>，解得 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥，min 300N ∴=.故选：B7．（2021·江西·南昌市八一中学三模（文））已知变量y 关于x 的回归方程为0.5bx y e -=，其一组数据如表所示：若5x =，则预测y 值可能为（ ）A ．5eB ．112eC ．7eD ．152e【答案】D 【分析】将回归方程左右同时取对数得：ln 0.5y bx =-，看作回归直线的形式，由回归直线过样本中心点可构造方程求得b ，由此得到回归方程；将5x =代入回归方程即可求得结果. 【详解】 由0.5bx y e-=得：ln 0.5y bx =-，346ln ln ln ln 12340.544e e e e b ++++++∴=⋅-， 解得： 1.6b =，∴回归方程为 1.60.5x y e -=，若5x =，则1580.52y e e -==.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查非线性回归中的预估值的求解，解题关键是能够通过对指数型回归模型左右同时取对数，将其变为线性回归的形式来进行求解.8．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值.假如统计结果是60m =，那么π≈（ ） A ．165 B ．65C ．7825D ．14245【答案】A 【分析】通过实验结果可满足条件的面积为π142-，由几何概型计算公式所得出所取得点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值. 【详解】由实验结果可知200对正实数对(),x y 对应的区域面积为1，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y ，满足221x y +＜，且x 、y 都小于1，1x y +＞，此时面积为12， 满足条件的对数为m ，因而满足条件的面积为π142-，由几何概型计算公式所得出所取得点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即π16042200-=，估计π的值为165.故选：A.二、多选题9．（2021·广东实验中学模拟预测）以下四个命题中真命题是（ ）A ．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40B ．线性回归直线y bx a =+恒过样本点的中心(),x y C ．随机变量ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若在(),1-∞内取值的概率为0.1，则在()2,3内的概率为0.4D ．概率值为零的事件是不可能事件 【答案】BC 【分析】根据概率统计相关概念和性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A ，由800=2040，所以分段间隔k 为20，故A 错误； 对B ，根据线性回归方程的性质可知回归直线y bx a =+恒过样本点的中心(),x y ， 故B 正确度 ；对C ，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于2x =对称， 故在(,2)-∞内取值的概率为0.5，由在(),1-∞内取值的概率为0.1，所以在()1,2内的概率为0.4，由对称性可得故在()2,3内的概率为0.4，故C 正确； 对D ，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生， 并不是不可能事件，故D 错误. 故选：BC.10．（2021·山东烟台·二模）某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态，选取了他们最近10场常规赛得分制成如图的茎叶图，则从最近10场比赛的得分看（ ）A ．甲的中位数大于乙的中位数B ．甲的平均数大于乙的平均数C ．甲的竞技状态比乙的更稳定D ．乙的竞技状态比甲的更稳定【答案】AC 【分析】由茎叶图求甲乙的中位数、平均数、方差，即可判断各选项的正误. 【详解】由茎叶图知：甲的得分为8,12,15,21,23,25,26,28,30,34；乙的得分为7,13,15,18,22,24,29,30,36,38，A ：甲、乙中位数分别为2325242+=、2224232+=，即甲的中位数大于乙的中位数，正确；B ：甲的平均数812152123252628303422.210+++++++++=，乙的平均数713151822242930363823.210+++++++++=，甲的平均数小于乙的平均数，错误；C ：甲的方差1022111(22.2)61.5610i i s x ==-=∑，乙的方差1022211(23.2)92.5610i i s x ==-=∑，即2212s s <，甲的竞技状态比乙的更稳定，正确，故D 错误.故选：AC.11．（2022·全国·模拟预测）受疫情影响，全球经济普遍下滑.某公司及时调整产研策略，加大研发力度，不断推出新的产品，使2021年的经济由亏转盈，并健康持续发展.下表为2021年1月份至6月份此公司的经济指标(y 万元)与时间(x 月份)的关系:其中1236.5m m m ++=，其对应的回归方程为0.7y x a =+，则下列说法正确的有（ ） A ．y 与x 负相关 B ．0.2a =-C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2021年10月份的经济指标y 大约为6.8 【答案】BD 【分析】由线性回归方程可直接判断A ，由所给数据求出,x y （可判断C ），代入回归方程可求a ；将10x =代入求y 可判断D. 【详解】由回归方程中x 的系数0.7为正数，知y 与x 正相关，故A 选项错误﹔ 由题意可知()()12311123456 3.50.3 2.2 4.5 2.2566x y m m m =+++++==+++++=，所以 2.250.7 3.50.2,a =-⨯=-所以0.70.2y x =-，故B 选项正确； 回归直线过点(),x y ，即过点()3.5,2.25，故C 选项错误﹔ 令10,x =得0.7100.2 6.8y =⨯-=，故D 选项正确. 故选：BD.12．（2021·湖南·模拟预测）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分m 处（m 为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ） A ．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是34B ．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是14C ．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D ．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是14【答案】ACD 【分析】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列{}n a ，利用等差数列前n 项和公式得到{}n a 的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项. 【详解】由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列{}n a ，设其前n 项和为n S ， 则1545502a m ⨯+=，得1102a m =-．因为1a ，m 均为正整数，所以有如下几种情况：181a m =⎧⎨=⎩，162a m =⎧⎨=⎩，143a m =⎧⎨=⎩，124a m =⎧⎨=⎩共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表所列：由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是34；故选项A正确；为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是414=；故选项B不正确；为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是414=；故选项C正确；为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是14，故选项D正确；故选：ACD．三、填空题13．（2021·山东·高考真题）打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______．【答案】42【分析】由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可.【详解】从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10，第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯=.故答案为：4214．（2022·云南昆明·一模（理））抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是__________．【答案】4 15【分析】根据所得奖品的价值为6元可以确定红球、白球的个数，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】因为抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，所以当所得奖品的价值为6元时，必有一红一白，因此所得奖品的价值为6元的概率为：112226415C CC⋅=，故答案为：4 1515．（2021·全国全国·模拟预测）在某次篮球比赛中，运动员甲有两次定点投篮的机会，每次投篮投中得2分，投不中得0分.已知甲第一次定点投篮投中的概率为0.8，受心理因素的影响，若甲第一次投中，则第二次投中的概率将增加0.1；若甲第一次投不中，则第二次投中的概率将减少0.2.则这两次定点投篮中，甲总共获得2分的概率为___________.【答案】0.21 5【分析】利用互斥事件概率公式即得.【详解】甲总共获得2分说明两次投篮中甲恰好投中一次，记所求概率为p，则0.8(10.9)(10.8)0.60.2p=⨯-+-⨯=.故答案为：0.2.16．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】1623【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11 ,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111 236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111 (1)(1)233 -⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3 .故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.。

高考中概率问题的常考题型作者：***来源：《广东教育（高中）》2021年第10期概率是研究随机现象规律的数学分支，它为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，为统计学发展提供理论基础. 概率是新课程高考的重要内容，从2021年及2020年全国新高考Ⅰ卷对概率的考查，可以发现对此内容的考查有所拓展，比如对相互独立事件的考查，积事件的概率公式的应用等. 下面先分析和解答2021年全国新高考Ⅰ卷第8题，然后再全面了解必修课程中概率问题的考点和常考题型，希望对大家的复习备考有帮助.例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立解析：判断两个事件是否相互独立的两种方法：（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件;（2）定义法：通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.本题用方法1较难判断，所以采用方法2进行判断. 这6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6的球，从中有放回的随机取两次，可能的结果可以通过下表得到.解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（丁）==，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙）=.故选B.点评：判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立.例2.（2020年全国新高考Ⅰ卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选C.点评：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 本题也可以类似地通过集合中元素个数的公式得出结论（必修1第13页），即对于两个有限集合A，B，有：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.从以上两例新高考对概率的考查，我们发现，概率问题很重视慨念的考查，考查的内容符合新课程标准，符合新课程理念. 因此，我们很有必要认真学习新课程标准.一、课程标准对概率考查的内容要求在新教材中，对概率的学习分为两部分，一部分在必修课程中，另一部分在选择性必修课程中. 而目前高三学生使用的是老教材，命题却按新的课程标准进行命制，所以把新课程标准对概率的要求罗列出来，清楚新高考概率的内容要求，对于把握新高考概率的命题走向显得很有意义.1. 必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助考生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性. 具体来说，内容包括：“随机事件和概率”——有限样本空间与随机事件，事件的关系和运算，古典概型，概率的基本性质;“事件的相互独立性”;“频率与概率”——频率的稳定性，随机模拟;“概率的初步应用”.（1）随机事件与概率①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件并、交运算.②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概率模型中随机事件的概率.③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.④结合实例，會用频率估计概率.（2）随机事件的独立性结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 结合古典概型，利用独立性计算概率.2. 选择性必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其独立性的关系，能进行简单计算;感悟离散随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量;基于随机变量及其分布解决简单实际问题.内容包括：随机事件的条件概率，离散型随机变量及其分布列，正态分布.（1）随机事件的条件概率①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不對立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超幾何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同時发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.。

2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。

（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。

（）3. 任何两个实数的和都是实数。

（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。

（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。

2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。

3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。

4. 三角形内角和为______。

5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。

2. 什么是排列组合？请举例说明。

3. 请写出余弦定理的公式。

4. 简述概率的基本性质。

5. 举例说明平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。

2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。

专题10概率A 组基础巩固1．（2022·江苏高邮·高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．452．（2022·全国·高二课时练习）2021年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为()A ．14B ．34C ．110D ．3103．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.754．（2022·山东德州·高二期末）某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）．A ．1231B ．48125C ．1625D ．161255．（2021·辽宁·高二阶段练习）地面上现有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是（）A ．13B ．14C ．23D ．176．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知事件A ，B 相互独立，()0.8,()0.3P A P B ==，则()P A B =（）A ．0.24B ．0.8C ．0.3D ．0.167．（2021·重庆一中高三阶段练习）某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为45，两部分都及格概率为310，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（）A ．625B ．310C ．38D ．14258．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（理））设A ，B 是两个事件，且B 发生A 必定发生，0()1,0()1P A P B <<<<，给出下列各式，其中正确的是（）A ．()()P A B P B +=B ．()(|)()P A P B A P B =C ．(|)1P A B =D ．()()P AB P A =9．（2021·北京通州·高二期末）学校有A ，B 两个餐厅，如果王同学早餐在A 餐厅用餐，那么他午餐也在A 餐厅用餐的概率是34，如果他早餐在B 餐厅用餐，那么他午餐在A 餐厅用餐的概率是14，若王同学早餐在A 餐厅用餐的概率是34，那么他午餐在B 餐厅用餐的概率是（）A ．38B ．58C ．716D ．91610．（2022·全国·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A （A 的对立事件）存在如下关系：()()()(()P B P BA P A PB A P A =⋅+⋅∣∣．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.0511．（2021·全国·高二课时练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为111,,101520，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.212．（2021·全国·高二课时练习）2021年6月14日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =______．13．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为3 4，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________．14．（2021·湖南·高二期中）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5:3:2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________．15．（2021·全国·高二课时练习）某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是___________.16．（2021·全国·高二学业考试）某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.B 组能力提升17．（2021·福建省宁化第一中学高二期中）（多选题）骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算闯过第n 关，1,2,3,4n =.假定每次闯关互不影响，则()A ．直接挑战第2关并过关的概率为712B ．连续挑战前两关，至多过一关的概率为1924C ．若直接挑战第3关，设A =“三个点数之和等于15”，B =至少出现一个5点”，则()113P A B =D ．若直接挑战第4关，则过关的概率是35129618．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．()()|P A B P AB <B ．()()()|P A P A B P B =是可能的C ．()0|1P A B ≤≤D ．()|1P A A =19．（2022·山东临沂·一模）（多选题）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则（）A ．B 与1A 相互独立B ．1A ，2A ，3A 两两互斥C ．()225P B A =D ．()12P B =20．（2021·辽宁·模拟预测）（多选题）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A =C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．()914P B =21．（2022·湖南·高一课时练习）一个口袋装有两个白球和两个黑球，把“从中任意摸出一个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的三个球中任意摸出一个球，得到白球”记作事件B．(1)在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？(2)在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？(3)事件A与B是独立的吗？22．（2021·全国·高二课时练习）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？考察下面的解法：随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是12．好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是12．所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是12．这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是12．肯定什么地方出错了．请问：上述解法中，哪里出现错误呢？23．（2022·全国·高二课时练习）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招工的淘汰率；（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.24．（2022·全国·高二课时练习）如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．25．（2022·湖南·高二课时练习）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？26．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．(1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．。

第一篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题10 概率统计多选题1.下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【答案】ACD【解析】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确；B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD2.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】A BD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．3.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】 ABD【解析】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：ABD4.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】 AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A 正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B 错误； 因为 4.762 3.841k ≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C 正确,D 错误 故选：AC5.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】 ABD【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.6.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45C ．60D ．75【答案】 BC【解析】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n Kn n n n⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K≤<，即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n≤<，n N*∈，则n的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选：BC.7.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．8.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】 ABD【解析】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确； 对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C 错误； 对于选项D ，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确.故选ABD.9.设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 BC【解析】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC.10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A ．7()10P B =B ．9()10P A B ⋃=C ．()0P A B ⋂=D ．()()P A B P C ⋃=【答案】 ABC【解析】由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =则9()10P A B ⋃=，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.。

统计、概率练习试题 1、【2021高考山东】 (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.假设B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，那么A ，B 两样本的以下数字特征对应一样的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【答案】D2、【2021高考四川】交通管理部门为理解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。

假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，那么这四个社区驾驶员的总人数N 为〔 〕A 、101B 、808C 、1212D 、2021【答案】B3、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。

为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。

4、【2021高考陕西】对某商店一个月内每天的顾客人数进展了统计，得到样本的茎叶图〔如下图〕，那么改样本的中位数、众数、极差分别是 〔 〕A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53【答案】A.5、【2021高考湖北】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表那么样本数据落在区间[10,40]的频率为A 0.35B 0.45C 0.55D 0.652【答案】B6、【2021高考广东】由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，那么这组数据为 .〔从小到大排列〕【答案】1,1,3,37、【2021高考山东】右图是根据局部城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［，］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].样本中平均气温低于℃的城市个数为11，那么样本中平均气温不低于℃的城市个数为＿＿＿＿.【答案】98、【2021高考湖南】图2是某学校一名篮球运发动在五场比赛中所得分数的茎叶图，那么该运发动在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[来【答案】9、【2021高考江苏】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取名学生．【答案】15。

《计数原理与概率统计》一、单选题1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．453．（2021年全国高考乙卷数学（文））在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A．34B．23C．13D．164．（2021年全国高考乙卷数学（理）在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．295．（2021年全国高考甲卷数学（理））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.8二、多选题7．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样数据的样本极差相同 三、解答题8．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．9．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++10．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.。

概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分，考试时刻120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·安徽高考)已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，那么(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}【解析】 ∵A ＝(－1，＋∞)，B ＝{－2，－1,0,1}， ∴∁R A ＝(－∞，－1]，故(∁R A )∩B ＝{－2，－1}． 【答案】 A2．为了解某地域的中小学生视力情形，拟从该地域的中小学生中抽取部份学生进行调查，事前已了解到该地域小学、初中、高中三个学段学生的视力情形有较大不同，而男女视力情形不同不大．在下面的抽样方式中，最合理的抽样方式是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【解析】 不同的学段在视力状况上有所不同，因此应该依照学段分层抽样． 【答案】 C3．使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )图1【解析】设被污损的数字为a(0≤a≤9且a∈N)，那么由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a，解得8＞a，即得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P＝810＝45，故应选C.【答案】C5．(2021·山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，假设第一次输入的a的值为－，第二次输入的a的值为，那么第一次，第二次输出的a的值别离为( )图2A．, B．,C．, D．,【解析】第一次a＝－时，输出a＝.第二次a＝时，输出a＝.【答案】C6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率散布直方图是( )图3【解析】由于频率散布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.【答案】A7．体育课的排球发球项目考试的规那么是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，那么停止发球，不然一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，假设X的数学期望E(X)＞，那么p的取值范围是( )【解析】 X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2， ∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3， 由E (X )＞，即p 2－3p ＋3＞，得p ＜12或p ＞52(舍)，∴0＜p ＜12.【答案】 C8．(2021·安徽高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，假设f (x 1)＝x 1＜x 2，那么关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ；由已知x 1，x 2是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的不同两根， 当f (x 1)＝x 1＜x 2时，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点． 即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根． 【答案】 A 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2021·广东高考改编)假设i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，那么复数x ＋y i 的模是________． 【解析】 由题意知x ＋y i ＝3＋4i i ＝4－3i.∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝5. 【答案】 510．6位选手依次演讲，其当选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，那么不同的演讲顺序共有________种．【解析】 第一步先排甲，共有A 14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A 55种不同的排法，因此不同的演讲顺序共有A 14·A 55＝480(种)．【答案】48011．(2021·东北四市联考)已知x，y取值如下表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y＝＋a，那么a＝________.【解析】∵x＝4，y＝，因线性回归方程通过样本点中心(x，y)，故有＝×4＋a，∴a＝.【答案】12．(2021·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发觉其用电量都在50至350度之间，频率散布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．【解析】(1)依照频率散布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用电量落在[100,250)内的频率，即可求得月用电量在[100,250)内的户数．(1)由于4＋6＋0＋x＋4＋2)×50＝1，解得x＝4.(2)数据落在[100,250)内的频率是6＋0＋4)×50＝，因此月用电量在[100,250)内的户数为100×＝70.【答案】(1) 4 (2)7013．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)【解析】(x＋y)5展开式的通项是T r＋1＝C r5x5－r y r，令r＝3得T4＝C35x2y3＝10x2y3，∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.【答案】1014．(2021·东城模拟)已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．【解析】依题意，所有(x，y)的结果为C13C12＝6种．若a⊥b ，那么a·b ＝0，即3x －y ＝0，而知足a⊥b 的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P ＝16.【答案】 1615．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，那么这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4. 又s ＝ 14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝12x 1－22＋x 2－22＋4－x 2－22＋4－x 1－22＝122[x 1－22＋x 2－22]＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2.同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3三、解答题(本大题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时刻段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，取得下面的数据表：休闲方式看电视看书合计(1)设调查的3人在这一时刻段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的散布列和数学期望；(2)依照以上数据，咱们可否在犯错误的概率不超过的前提下，以为“在20：00－22：00时刻段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0) k 0【解】 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每一个男性在这一时刻段以看书为休闲方式的概率为P ＝56.依照题意可得X ～B (3，56)，∴P (X ＝k )＝C k 3(16)3－k (56)k ，k ＝0,1,2,3. ∴E (X )＝np ＝3×56＝52.(2)提出假设H 0：休闲方式与性别无关系． 依照样本提供的2×2列联表得K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝80×10×10－10×50260×20×20×60＝809≈>. 因为当H 0成立时，K 2≥的概率约为，因此咱们在犯错误的概率不超过的前提下，能够以为“在20：00－22：00时刻段性别与休闲方式有关”．17．(本小题总分值12分)(2021·北京高考)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天抵达该市，并停留2天．(1)求这人抵达当日空气质量优良的概率；(2)求这人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判定从哪天开始持续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，因此这人抵达当日空气质量优良的概率为613.(2)依照题意，事件“这人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“这人抵达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，因此这人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始持续三天的空气质量指数方差最大．18．(本小题总分值12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现别离从他们的强化训练期间的假设干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：,,,,,,, 乙：,,,,,,,(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从当选派一人参加奥运会封锁集训，从统计学角度，你以为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)假设将频率视为概率，对选手乙在尔后的三次竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于分的次数为ξ，求ξ的散布列及均值E (ξ)．【解】 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图： (2)因为x甲＝x 乙＝，又s 2甲＝，s 2乙＝，得s 2甲＜s 2乙，相对来讲，甲的成绩加倍稳固，因此选派甲适合．(3)依题意得，乙不低于分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么ξ～B (3，12)．因此P (ξ＝k )＝C k 3(12)3－k (1－12)k ＝C k 3(12)3，k＝0,1,2,3.因此ξ的散布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×8＝2.图619．(本小题总分值13分)如图6所示，已知椭圆E 通过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，核心F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A (2,3)．(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆E 上是不是存在关于直线l 对称的相异两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由．【解】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，4a 2＋9b 2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2， 解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且PQ 的中点为R (x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y2212＝1，①②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－16y 2－y 112x 2－x 1＝－1612×(－12)＝23， 即x 0y 0＝23，③ 又∵R (x 0，y 0)在直线l 上， ∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，因此点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20．(本小题总分值13分)(2021·福州调研)受轿车在保修期内维修费等因素的阻碍，企业生产每辆轿车的利润与该轿车第一次显现故障的时刻有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其第一次显现故障发生在保修期内的概率；(2)假设该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，别离求X 1，X 2的散布列；(3)该厂估量尔后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．假设从经济效益的角度考虑，你以为应生产哪一种品牌的轿车？说明理由．【解】 (1)设“甲品牌轿车第一次显现故障发生在保修期内”为事件A ，那么P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的散布列为X 2的散布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝(万元)，E (X 2)＝×110＋×910＝(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，因此应生产甲品牌轿车．21．(本小题总分值13分)(2021·四川高考)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)当n ＝i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望．【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127. 故ξ的散布列为因此E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.。

2021届山东省新高考高三优质数学分项解析专题10 概率统计古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向．预测2020年会有一大一小或一大二小.客观题较易.主观题有三种可能，一是通过一题考查统计案例及概率(文理兼顾，偏重理科)，难度控制在中等；二是只考查统计案例问题（文理一视同仁），难度中等；三是同去年一样，作为压轴题（偏重理科）.考查考生分析问题、解决问题的能力以及数学的应用意识.一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A．12B．13C．512D．162．（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（）A．13B．16C．19D．1363．（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A．166B．155C．566D．5114．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3206．（2020届山东省潍坊市高三上期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t ）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）A ．厨余垃圾投放正确的概率为23B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 7．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则1()2P ξ-<<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6二、多选题8．（2020届山东省日照市高三上期末联考）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前9．（2020届山东省德州市高三上期末）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25B ．45C ．60D ．7510．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．女生身高的极差为12B ．男生身高的均值较大C ．女生身高的中位数为165D ．男生身高的方差较小12．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.13．（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少14．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A ．游客至多游览一个景点的概率14B ．()328P X == C ．()1424P X ==D ．()136E X =15．（2019·山东高三月考）下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=；D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件.16．（2020届山东省烟台市高三上期末）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 三、填空题17．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知随机变量()21,XN σ，()110.4P X -<<=，则()3P X ≥=__________．18．（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 四、解答题19．（2020届山东省潍坊市高三上期末）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男女 1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1()()nix x y y r --=∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2≈21．（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13. （1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）22．（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围价格m 与产量x 的函数关系式优[)25.34,25.4634m x =-+中[)25.26,25.34 3255m x =-+差 []25.46,25.543205m x =-+以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.23．（2020届山东省九校高三上学期联考）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B 类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B 类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B 类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B 类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数学期望()E X ；（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B 类解答”，记该同学6个题中得分为()12345i x x x x x x <<<<的题目个数为i a ，()1,2,3,4,5i a N i ==，516ii a==∑，计算事件“1454a a a ++=”的概率.24．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p (01)p <<，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -.（1）若投资项目一，记1X 为盈利的天坑院的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 百万元，求()2E X （用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 25．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.26．（2020届山东省德州市高三上期末）某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x ty eλ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线y a bx =+中公式分别为：()()()121n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；②参考数据：308477=⨯9.4868≈， 4.499890e ≈.27．（2020·湖北高三期末（理））某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.附表：28．（2020届山东省滨州市高三上期末）近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人.（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的22⨯列联表，请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理”总计 男生10女生 25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ，求X 的分布列及期望.附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.82829．（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为221x y +=，1,0A ，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()1P A O =，()112P B =，()112P C =．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量n X ，求4X 的分布列和数学期望；（3）记()n n P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，其中1nn n a b c ++=．证明：数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求2020a .。

2021年新高考数学多项选择题专项练习（含详解）1．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ） A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项． 【答案】AD【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。

设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 则3411=()()r n r r r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

故答案选AD2．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大趋势 【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．故选：ABD ．3．已知三个数1,,9a 成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（ ）ABCD【答案】BC【解析】由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，则33e ==；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，5102e ==， 则离心率为：3或2．故选：BC ． 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【答案】ABCD【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案．对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=．故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项．对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD ．5若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A ．0.1q = B ．2EX=， 1.4DX =C ．2EX=， 1.8DX =D ．5EY =，7.2DY =【答案】ACD【解析】先计算q 的值，然后考虑EX 、DX 的值，最后再计算EY 、DY 的值． 因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确，故选：ACD ．6．下列说法中正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．B ．若A 、B 为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥．C ．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中．D ．若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关． 【答案】AD【解析】利用频率分布直方图和回归直线方程，以及互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解．对于A 中，在频率分布直方图中，据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；对于B 中，若A 、B 为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A 的对立事件与B 的对立事件不一定互斥，所以不正确；对于C 中，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正确的；对于D 中，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，据回归系数的含义，可得变量x 与y 正相关是正确的． 故选：AD ．7． 若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案．由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x y t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为故选BD ．若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<．8． 等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到,A B 正确；再由前n 项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解． 由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选ABD9． 下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l α D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α 【答案】ABD【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A 、B ，若直线的方向向量与平面α的法向量垂直，则线面平行，可判断C ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D ． 对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对； 对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n ===，则则直线l 与平面α所成角的正弦，故D 对； 故选：ABD ．10．在统计中，由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，那么下面说法正确的是（ ）A ．直线ˆˆˆy bx a =+至少经过点()11,x y ，()22,x y ，(),n n x y 中的一个点B ．直线ˆˆˆy bx a =+必经过点(),x yC ．直线ˆˆˆy bx a =+表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线D ．||1r ≤，且||r 越接近于1，相关程度越大；||r 越接近于0，相关程度越小 【答案】BCD【解析】理解回归直线的含义，逐项分析．A ．直线ˆˆˆy bx a =+由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A 错；B ．直线ˆˆˆy bx a =+必过样本点中心即点(),x y ，故B 正确；C ．直线ˆˆˆy bx a =+是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C 正确；D ．相关系数r 的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ）A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m 时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 【答案】ABD【解析】M 的坐标为(,)x y ，直线AP 的斜率为()11AP y k x x =≠-+，()11BM yk x x =≠- 由已知得，()111y ym x x x ⨯=≠±+- 化简得点M 的轨迹方程为()2211y x x m+=≠±-，对A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；对B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示椭圆，故B 正确；对C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；对D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示双曲线线，故D 正确；故选：ABD ．12． 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】ABD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列． 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =． 2311192484a a q ==⨯=，所以A 正确，由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，所以B 正确．211192962a a q ==⨯=，而6194.6964S =<，所以C 不正确．2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=，则后3天走的路程为378336=42-而且428=336⨯，所以D 正确． 故选：ABD13． 如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-=C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 【答案】AB【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断． 以顶点A 为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1，则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB ADAB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确．()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0，所以B 正确．向量11B C A D=，显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒．所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ，向量1B C 与1AA 的夹角是120︒，则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==6||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，，所以D 不正确．故选：AB14．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1．6，全年比赛失球个数的标准差为1．2；二队每场比赛平均失球数是2．2，全年失球个数的标准差是0．5．下列说法正确的是（ ）．A ．平均说来，一队比二队防守技术好B ．二队比一队技术水平更稳定C ．一队有时表现很差，有时表现又非常好D ．二队很少不失球【答案】ABCD【解析】根据平均值和方差的实际意义说明．一队每场比赛平均失球数是1．6，二队每场比赛平均失球数是2．2，所以从平均数的角度来说一队比二队防守技术好，A 正确．一队全年比赛失球个数的标准差为1．2，二队全年失球个数的标准差是0．5，所以二队比一队技术水平更稳定，B 正确．一队全年比赛失球个数的标准差为1．2，二队全年失球个数的标准差是0．5，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，C 正确．二队每场比赛平均失球数是2．2，全年失球个数的标准差是0．5，所以二队很少不失球，D 正确． 故选：ABCD ．15． 如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c >D ．2112e e +=E ．椭圆Ⅱ比椭圆I 更扁【答案】ABD【解析】先据已知的条件确定1a 和2a 的关系，以及1c 和2c 的关系，再判断正确选项． 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得212a a =，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得221a c c +=；因为112222a c a a c +=++，且22a c >，则112222222()a c a a c a c +=++>+，所以A 正确；因为11222222()a c a a c a c -=-+=-，所以B 正确；因为21222a a c c =，212222222()a c a c a a a c =+=+，则有22222222121222()0a c a a c a a c a a c c -=--=-<，所以C 错误；因为1211222122a c c e a e a +==+=，所以D 正确；因为12221122222222022a c a c c c c e a a a e a -=+--==>-，即12e e >，则椭圆I 比椭圆Ⅱ更扁，所以E 不错误，故选ABD ．16． 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且167671,12a a a a a >+>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中正确的选项是 A ．01q << B ．61a >C ．121T >D ．131T >【答案】ABC【解析】化简不等式67671a a a a +>+，由此判断出671,1a a ><，01q <<，进而判断出正确选项．由于等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且167671,12a a a a a >+>+>，所以()()67110a a --<，由题意得671,1a a ><，所以01q <<．因为6712a a +>，所以671a a >，()212121112671T a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=>，131371T a =<．故选ABC ．4． 已知随机变量X 服从正态分布N （100，102），则下列选项正确的是（ ） （参考数值：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0．6826），P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0．9544，P （μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0．9974） A ．E （X ）＝100B ．D （X ）＝100C ．P （X≥90）＝0．8413D ．P （X≤120）＝0．9987【答案】ABC【解析】据对称性，由题意可求出答案．∵随机变量X 服从正太分布N （100，102）， ∴曲线关于x ＝100对称，据题意可得，P （90＜x ＜110）＝0．6826，P （80＜x ＜120）＝0．9544，∴P （x≥90）＝0．5+6826.021⨯＝0．8413，故C 正确； P （x≤120）＝0．5+9772.09544.021=⨯，故D 错误．而A ，B 都正确．故选ABC ．17．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ）A ．月跑步里程逐月增加B ．月跑步里程最大值出现在9月C ．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 【答案】BCD【解析】根据折线图，判断A ，B ，D 选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断C 选项的正确性．根据折线图可知，7月跑步里程下降了，故A 选项错误． 根据折线图可知，9月的跑步里程最大，故B 选项正确．一共11个月份，里程中间的是从小到大的第6个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，故C 选项正确．根据折线图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D 选项正确．综上所述，正确的选项为BCD ． 故选：BCD18． 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ．90CFD ︒∠= B ．CMD △为等腰直角三角形C ．直线AB 的斜率为D ．AOB 的面积为4【答案】AC【解析】A ．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出CFD ∠的度数；B ．利用抛物线的焦半径结合||3||AF BF =，判断CMD △为等腰直角三角形的可能性；C ．根据||3||AF BF =，设出直线方程完成直线AB 斜率的求解；D ．取直线AB 的方程，联立抛物线方程求解出A B y y -的值，根据12AOBA B SOF y y =⋅⋅-求解出三角形面积． 过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ， 如下图所示：A ．因为AF AC =，所以AFC ACF ∠=∠，又因为OFC ACF ∠=∠，所以OFC AFC ∠=∠，所以FC 平分OFA ∠， 同理可知FD 平分OFB ∠，所以90CFD ︒∠=，故结论正确； B ．假设CMD △为等腰直角三角形，所以90CFD CMD ︒∠=∠=， 所以,,,C D F M 四点共圆且圆的半径为12CD MN =， 又因为3AF BF =，所以24AB AC BD MN BF+==，所以2MN BF=，所以CD =，所以CD AB =，显然不成立，故结论错误；C ．设直线AB 的方程为1x my =+，所以241y x x my ⎧=⎨=+⎩，所以2440y my --=，所以121244y ymy y +=⎧⎨=-⎩， 又因为||3||AF BF =，所以123y y =-，所以2222434y my -=⎧⎨-=-⎩， 所以213m =，所以1m =，所以直线AB的斜率为D ．取m =，由上可知12124y y y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以12yy -==， 所以1112233AOBA B SOF y y =⋅⋅-=⨯⨯=，故结论错误．19． 已知等比数列{}n a 中，满足11,2a q ==，则（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列 【答案】AC【解析】据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n na ，21n n S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列． 因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=- 20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列． 故选：AC ．20． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离．对选项A ：（方法一）以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D 、(1,0,0)A 、1(1,0,1)A 、1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．从而1(0,0,1)DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1AG AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且1D H AH ==1A D ，所以132AD HS∆==，而113948AD HAEFDS S==四边形△，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于111111112222224GEF EBGBEFGS S S∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭梯形，而11112228ECFS∆=⨯⨯=，而13A GEF EFGV S AB-∆=⋅，13A ECF ECFV S AB-∆=⋅，所以2A GEF A ECFV V--=，即2G AEF C AEFV V--=，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF 的距离的二倍．从而D错误．（方法二）假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，易知O不是CG的中点，故假设不成立，从而选项D错误．21．关于茎叶图的说法正确的是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大【答案】ACD【解析】根据选项依次求出甲的极差，甲的中位数，乙的众数，甲、乙的平均数，进而对选项进行判断即可．由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为37829-=，故A正确；将甲数据按从小到大的顺序排列之后，其中间位置的两个数为22，24，所以甲的中位数为1(2224)232⨯+=，故B错误；乙数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确；计算可知，21.4x=甲，16.9x=乙，因为21.416.9＞，所以甲的平均数大，D正确故选ACD．22．当3(,)44ππα∈时，方程22sin cos1x yαα+=表示的轨迹可以是（）A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】ACD【解析】将α分为ππππ3π,,,,42224ααα⎛⎫⎛⎫∈=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()11sin,,cos0,,2sin2cosαααα⎛⎫⎛⎫∈∈∈∈+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sinαα>>．方程22sin cos1x yαα+=可化为22111sin cosx yαα+=，表示焦点在y轴上的椭圆．当π2α=时，sin1,cos0αα==，方程22sin cos1x yαα+=化为21,1x x==±，表示两条直线．当π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(1sin ,sin αα⎫∈∈⎪⎪⎝⎭，(1cos ,0,,2cos αα⎛⎫∈-∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭．方程22sin cos 1x y αα+=可化为22111sin cos x y αα-=-，表示焦点在x 轴上的双曲线． 所以曲线不可能表示圆． 故选ACD ．23．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}()*n a n N ∈，其中是“差递减数列”的有（ ）A ．3n a n =B ．21n a n =+C．n aD ．ln1n na n =+ 【答案】CD【解析】分别求出四个选项中数列{}()*n a n N∈对应的{}1n n aa +-，再进行判断．对A ，若3n a n =，则13(1)33n n a a n n +-=+-=，所以{}1n n a a +-不为递减数列，故A 错误；对B ，若21n a n =+，则221(1)21n n a a n n n +-=+-=+，所以{}1n n a a +-为递增数列，故B 错误；对C，若n a1n n a a +-==，所以{}1n n a a +-为递减数列，故C 正确； 对D ，若ln1n na n =+，则121111lnln ln ln(1)2122n n n n n n a a n n n n n n++++-=-=⋅=+++++，由函数21ln(1)2y x x=++在(0,)+∞递减，所以数{}1n n a a +-为递减数列，故D 正确．故选CD．。

?2021年高考数学分类汇编?第十篇：计数原理、统计、概率一、选择题1.【2021全国一卷3】某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地理解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建立前经济收入构成比例 建立后经济收入构成比例那么下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建立后，种植收入减少B ．新农村建立后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建立后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.【2021全国一卷10】下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△AB C 的三边所围成的区域记为I ，黑色局部记为II ，其余局部记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，那么 A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 33.【2021全国二卷8】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中获得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．B ．C ．D ．4.【2021全国三卷5】的展开式中的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8030723=+112114115118522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x5.【2021全国三卷8】某群体中的每位成员使用挪动支付的概率都为，各成员的支付方式互相独立，设为该群体的10位成员中使用挪动支付的人数，，，那么6.【2021浙江卷7】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是那么当p 在〔0，1〕内增大时， A ．D 〔ξ〕减小B ．D 〔ξ〕增大C ．D 〔ξ〕先减小后增大D ．D 〔ξ〕先增大后减小二、填空题1.【2021全国一卷15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的选法共有_____________种．〔用数字填写答案〕2.【2021天津卷10】在5(x -的展开式中，2x 的系数为 .3.【2021江苏卷3.】5位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图如下图，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4.【2021江苏卷6】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为 ．5.【2021浙江卷14】二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 6.【2021浙江卷16】16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =7.【2021上海卷3】在7)1(x +的二项展开式中，2x 项的系数为 .〔结果用数值表示〕 8.【2021上海卷9】一样的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，那么这三个砝码的总质量为9克的概率是______〔结果用最简分数表示〕 三、解答题1.【2021全国一卷20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，那么更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果断定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品互相独立．〔1〕记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ,求)(p f 的最大值点0p ．〔2〕现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以〔1〕中确定的0p 作为p 的值．每件产品的检验费用为2元，假设有不合格品进入用户手中，那么工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．〔i 〕假设不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;〔ii 〕以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策根据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2.【2021全国二卷18】下列图是某地区2000年至2021年环境根底设施投资额〔单位：亿元〕的折线图．为了预测该地区2021年的环境根底设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2021年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型①：；根据2021年至2021年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型②：． 〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值； 〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．y y t t 1217，，…，ˆ30.413.5y t =-+t 127，，…，ˆ9917.5yt =+3.【2021全国三卷18】某工厂为进步消费效率，开展技术创新活动，提出了完成某项消费任务的两种新的消费方式．为比拟两种消费方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。