2020届 二轮(理科数学) 概率与统计 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,5,-3≤x<2,2x+1,x≥2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9n,即n=3时,等号成立.3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()A.S1>S2B.S1<S2C.S1≥S2D.S1≤S2,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.4已知m,n∈R,则1m >1n成立的一个充要条件是()A.m>0>nB.n>m>0C.m<n<0D.mn(m-n)<0>1n ⇔1m−1n>0⇔n-mmn>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:①ba>b-1a-1;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.其中不成立的是.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:l g(1+a+b2)12[lg(1+a)+lg(1+b)].+a)+lg(1+b)]=12lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,l g(1+a+b2)=lg(a+b+22).∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)]12≤a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.∴l g(1+a+b2)≥lg[(1+a)(1+b)]12,即l g(1+a+b2)≥12[lg(1+a)+lg(1+b)].8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1a +1b+1ab与8的大小关系是.a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2√>0,ab ≥2,于是得1ab≥4.又1a +1b+1ab=a+b+1ab=2ab=2·1ab≥8,故1a +1b+1ab≥8.+1b +1ab≥89(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,只需证√<√,只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18<a2-9a+20,只需证18<20,显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a2>b2C.ac<bcD.ac2<bc2a,b,c满足a<b且c≠0,对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.由c2>0,知ac2<bc2.故D成立.2已知0<a<1b ,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是.方法一)M-N=1+1−a−b=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b).由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.(方法二)MN =2+a+ba+b+2ab.∵0<a<1b,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.∴2+a+ba+b+2ab>1.又M>0,N>0,∴M>N.3若a>b>0,m>0,n>0,则ab ,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.a>b>0,m>0,n>0,知ba <b+ma+m<1,且ba<b+na+n<1,所以ab>a+nb+n>1,即1<a+nb+n<a b .<b+ma+m <a+nb+n<ab★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.-2<b<1,∴0≤|b|<2.∴-2<-|b|≤0.∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.-3,2)5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x2+1)与(x+12)(x2+x+1)的大小.(x+1)(x2+x2+1)=(x+1)(x2+x+1-x2)=(x+1)(x2+x+1)−x2(x+1),(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.二次函数y=f (x )的图象过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,∴6≤f (-2)≤10,即f (-2)的取值范围是[6,10].★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.)(13x +23y)2−(13x 2+23y 2)=−29x2−29y2+49xy=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,所以(13x+23y)2≤13x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0.所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。

2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

C ．123.3D ．126.7C 解析 由题意可知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组的频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ＝123.3.故选C 项．6．(20xx·山西实验中学模拟)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表所示．产品数x /个 10 20 30 40 50 产品总成本y /元62a758189由最小二乘法得到回归方程y ^＝0.67x ＋54.9，则a ＝________.解析 计算可得，x －＝30，y －＝307＋a 5，所以307＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.答案 687．为比较甲、乙两地14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两地该月14时的平均气温x甲，x乙的大小关系为________，标准差s 甲，s 乙的大小关系为________.解析 x －甲＝15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，x －乙＝15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，则x －甲<x －乙；由茎叶图知，乙地的气温相对比较集中，甲地的气温相对比较离散，所以甲地该月的标准差大于乙地该月的标准差，即s 甲>s 乙．答案 x －甲<x －乙 s 甲>s 乙8．为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

考点专训卷（11）概率与统计1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A.46041001CC- B.0413109010304100C C C CC+C.1104100CCD.1310304100C CC.2、在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( )A.310B.710C.25D.353、在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( )A.49B.827C.29D.1274、如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（）5、把半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在阴影内的概率为（）A.41π- B.π1π- C.π24- D.42π-6、在区间[]22-，上随机取一个数b ,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则a =( ).A.14 B.12C.1D.2 7、在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦种子,但有一粒带麦锈病的种子被混入其中,现从中随机取出32m 的种子,则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A. 14B. 18πC. 14πD. 114π-8、已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ）A. 3-B. 43C. 23-D. 59、已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ且P(ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.210、某人进行射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ则10ξ=,表示的试验结果是( )A.第10次击中目标B.第10次未击中目标C.前9次未击中目标D.第9次击中目标则常数的值为( )A.13 B. 23C. 23或13D. 1或1312、随机变量X 的取值为0,1,2，若10)=4P X =（，()1E X =，则()D X =( )A. 32B. 12 C . 14D. 113、设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3P X =等于( )A.516B.316 C.58 D.3814、甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为( )A.22313221()C ()()333+B.222322()C ()33+C.21212221()C ()()333+D.21112221()C ()()333+15、若已知随机变量1~(4,)3X B ,则(3)P X ==____________.16、如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为__________.17掷一枚不均匀的硬币,正面朝上的概率为,若将此硬币掷4次,则正面朝上3次的概率是 . 18、随机变量ξ的分布列如下：若13Eξ=，则Dξ= .19、在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是____________．20、现有一大批种子，其中优良种占30%，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质良种粒数，则X的期望是______ .21、私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469534(1).完成被调查人员的频率分布直方图;(2).若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(3).在第(2)问的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.22、2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.1.若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值。

单元质检十概率(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A.25B.35C.625D.19252.从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有2个红球的概率是()A.12B.25C.710D.353.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A.2144B.1522C.2150D.9254.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立,一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.48B.0.4C.0.32D.0.245.已知X~N(μ,σ2),P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,某次全市20 000人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布N(100,100),则本次考试120分以上的学生人数约有()A.1 587B.228C.455D.3 1736.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是()A.(0,712) B.(712,1)C.(0,12) D.(12,1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.一只碗内有五个汤圆,其中两个花生馅,三个黑芝麻馅.某人从碗内随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则P(B|A)= .8.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).10.(15分)张老师开车上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为12,23,若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为34,25,若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.11.(15分)在某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25,在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖,以后都在N处发射,用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为(1)求随机变量X的分布列;(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.单元质检十概率(B) 1.C解析∵X~B(100,p),∴E(X)=100p.又E(X)=24,∴24=100p,即p=24100=625.2.C解析从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,基本事件总数n=10,所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数m=7,∴所取的3个球中至少有2个红球的概率P=mm =710.3.A解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A, 则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,得P(A|B)=m(mm)m(m)=m(m)m(m)=0.420.88=2144.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C, 则P(C)=1-P(m)P(m)=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.6×0.70.88=2144.故选A.4.D解析由题得P=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24.故该选手只闯过前两关的概率为0.24.5.C解析依题意可知μ=100,σ=10.由于P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,所以P(80<X≤120)=0.9545,因此本次考试120分以上的学生约有20000×1-0.95452=455(人).6.C解析X的可能取值为1,2,3.∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)·p,P(X=3)=(1-p)2,∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,解得p<12(m>52舍去).故0<p<12.7.34解析依题意可得P(AB)=C32C52,P(A)=C22+C32C52,故P(B|A)=m(mm)m(m)=C32C22+C32=34.8.74解析因为6个定义域为R 的函数f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2中偶函数有f 2(x )=x 2,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2,共3个, 所以ξ的可能取值为1,2,3,4,P (ξ=1)=36=12,P (ξ=2)=36×35=310,P (ξ=3)=36×25×34=320,P (ξ=4)=36×25×14=120, ∴ξ的分布列为数学期望E (ξ)=1×12+2×310+3×320+4×120=74.9.解(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米. (2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35,∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P (A )=910. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且ξ~B (2,910).∴P (ξ=k )=C 2m (910)m (1-910)2-m(k=0,1,2),即∴E (ξ)=0×1100+1×18100+2×81100=1.8,或E (ξ)=np=2×910=1.8, D (ξ)=np (1-p )=2×910×110=0.18.10.解(1)走路线①,20分钟能到校意味着张老师在A ,B 两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P , 则P=12×23=13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.则P (ξ=0)=12×23=13,P (ξ=2)=12×23=13, P (ξ=3)=12×13=16, P (ξ=5)=12×13=16.故ξ的数学期望E (ξ)=0×13+2×13+3×16+5×16=2.设选择路线②的延误时间为随机变量η,则η的所有可能取值为0,5,8,13. 则P (η=0)=34×25=620,P (η=5)=34×35=920,P (η=8)=14×25=220,P (η=13)=14×35=320.故η的数学期望E (η)=0×620+5×920+8×220+13×320=5.因此选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟,选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟, 所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.11.解(1)设“该选手在M 处射中”为事件A ,“在N 处射中”为事件B ,则事件A ,B 相互独立, 且P (A )=0.25,P (m )=0.75,P (B )=q 2,P (m )=1-q 2.根据分布列知:当X=0时,P (mmm )=P (m )P (m )P (m )=0.75(1-q 2)2=0.03, 所以1-q 2=0.2,q 2=0.8.当X=2时,P 1=P (m B m ∪mm B )=P (m )P (B )P (m )+P (m )P (m )P (B )=0.75q 2(1-q 2)×2=0.24, 当X=3时,P 2=P (A mm )=P (A )P (m )P (m )=0.25(1-q 2)2=0.01, 当X=4时,P 3=P (m BB )=P (m )P (B )P (B )=0.75m 22=0.48,当X=5时,P 4=P (A m B ∪AB )=P (A m B )+P (AB )=P (A )P (m )P (B )+P (A )P (B )=0.25q 2(1-q 2)+0.25q 2=0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为P (m BB ∪B m B ∪BB )=P (m BB )+P (B m B )+P (BB )=2(1-q 2)m 22+m 22=0.896.故该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大.。

2020届二轮（理科数学） 选考部分 专题卷（全国通用） (3)1已知a ,b ,c 均为正数,且abc=27,则a+b+c 的最小值为( ) A.3 B.6 C.9D.27a ,b ,c 均为正数,∴a+b+c ≥3√abc 3=3√273=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c 的最小值为9.故选C .2函数f (x )=1x 2+2x(x >0)的最小值为( ) A.3B.4C.5D.6x>0,∴f (x )=1x 2+x +x ≥3√1x 2·x ·x 3=3,当且仅当1x 2=x =x,即x=1时,等号成立.故选A .3设x ,y ,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)lg x+lg y+lg z=lg(xyz ),而xyz ≤(x+y+z 3)3=23,∴lg x+lg y+lg z ≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.4设a ,b 是正实数,以下不等式恒成立的序号为( )①√ab >2aba +b;②a >|a −b|−b; ③a 2+b 2>4ab-3b 2;④ab +2ab >2. A.①③B.①④C.②③D.②④①,√ab −2aba+b =√ab (a+b )-2aba+b=√ab (a+b -2√ab )a+b=√ab (√a -√b )2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D .5设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1a +1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14√3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a +1b=a+ba+a+bb=2+(ba +ab)≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a +1b的最小值为4.6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,a2+b2,2ab中最大的是.a+b>2√ab,a2+b2>2ab.∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.7已知a∈R+,则2√a ,2√a+1,√a+√a+1从大到小的顺序为.√a+√a+1>√a+√a=2√a,√a+√a+1<√a+1+√a+1= 2√a+1,所以2√a<√a+√a+1<2√a+1.2√a >√a+√a+1>2√a+1>√a+√a+1>2√a+18若|a|<1,|b|<1,求证:|a+b1+ab|<1.,而结论也不易变形,即直接证明有困难,因而可联想反证法.|a+b1+ab|≥1,则|a+b|≥|1+ab|,∴a 2+b 2+2ab ≥1+2ab+a 2b 2. ∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0. ∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0. ∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴{a 2-1≥0,1-b 2≥0或{a 2-1≤0,1-b 2≤0,即{a 2≥1,b 2≤1或{a 2≤1,b 2≥1.与已知矛盾,∴|a +b1+ab|<1. 9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )不可能都大于1.a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )都大于1. ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, ∴2-b>0,2-c>0,2-a>0. ∵a (2-b )>1,b (2-c )>1,c (2-a )>1, 三式相乘,得a (2-b )·b (2-c )·c (2-a )>1.① 又0<a (2-a )≤(a+2-a 2)2=1,0<b (2-b )≤(b+2-b 2)2=1,0<c (2-c )≤(c+2-c 2)2=1,∴a (2-a )·b (2-b )·c (2-c )≤1.② 由于①②式相矛盾,故原命题成立.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?n 年后报废最合算,这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元, 则y =10+0.9n+0.2n+n (n -1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8x+y)(1x +ay)=1+a+axy+yx≥1+a+2√a=(√a+1)2,当且仅当yx=√a时,等号成立.∵(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站() A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处x km,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x ≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为() A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以4-2√3=a2+ab+ac+bc=1(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab +4ac +2bc +b2+c2), 当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2√3−2)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2√3−2.故选D .4函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 .y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1).∵点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. 又mn>0,∴m>0,n>0. 则(1m +2n )(2m +n)=2m+n m+4m+2n n=2+n m +4·m n+2≥4+2√n m ·4·mn =4+4=8,当且仅当m =14,n =12时,等号成立. 5(2017天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .a ,b ∈R ,且ab>0, ∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥4( 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1,即{ a 2=√22,b 2=√2时取等号). ★6若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .√ab =t(t >0),则由ab=a+b+3≥2√ab +3(当且仅当a=b 时,等号成立),得t 2≥2t+3,即t 2-2t-3≥0.解得t ≥3或t ≤-1(不合题意,舍去).∴√ab ≥3. ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立. +∞)7已知a ,b ,x ,y>0,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a+b=10,ax +by =1,x +y 的最小值为18,求a,b 的值.(x+y )(a x +by ) =a+b +bx y+ay x≥a+b+2√ab =(√a +√b)2,当且仅当bx y=ay x时,等号成立.故(x+y )min =(√a +√b)2=18, 即a+b+2√ab =18.① 又a+b=10,②由①②可得{a =2,b =8或{a =8,b =2.8已知a>b ,ab=1,求证:a 2+b 2≥2√2(a −b).a>b ,∴a-b>0. 又ab=1,∴a 2+b 2a -b =a 2+b 2-2ab +2ab a -b =(a -b )2+2aba -b=(a-b )+2a -b ≥2√(a -b )·2a -b =2√2. ∴a 2+b 2a -b≥2√2,即a 2+b 2≥2√2(a −b),当且仅当a-b =2a -b ,即a-b =√2(a −b =−√2舍去)时,等号成立. ★9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60 m 2,问当a ,b 各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A ,B 孔的面积忽略不计)“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y 与ab 成反比,又设比例系数为k ,则y =kab .由于受箱体材料多少的限制,a ,b 之间应有一定的关系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a,b为何值时,y=kab最小.y,由题意知y=kab,其中k为比例系数(k>0).∵据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-a2+a(由a>0,b>0可得a<30).∴y=kab =k30a-a22+a.令t=a+2(t>0),则a=t-2.从而30a-a 22+a =30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34−(t+64t),∴y=kab ≥34-2√t·64t=k18,当且仅当t=64t ,即a+2=64a+2时取等号.∴a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.y,依题意y=kab,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2√2ab(当且仅当a=2b时取等号),∴ab+2√2√ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。

2020年08月02197概率论与数理统计（二）试题及答案绝密★启用前2020年8月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计（二）试题答案及评分参考（课程代码 02197）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

1．A2．D 3．D 4．B 5．D 6．B7．C 8．C 9．B 10．C二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。

11．5812．9111 13．0.6 14．14 15．0.816．13 17．22e 5x ? 18．38(1e )(1e ) 19．3.8420．34 21．(1)t n ? 22．94 23．2(9)χ24．20σ25．0.1 三、计算题：本大题共2小题，每小题8分，共16分。

26．解 ()()()()()()()P B A B P AB P B A B P A P A == ，……2分()()()()0.8P A B P A P B P AB =+?= ，()()()()P AB P A AB P A P AB =?=?，……4分 ()()()0.2P AB P A P AB =?=，()()0.25P B A B = . ……8分27．解（1） 23 -23()d 016E X x x ==∫， 224 -2312()d 165E X x x ==∫， 2212()()[()]5D X E X E X =?=；……4分（2）{}12()()15P X E X D X P X ?<=<=. ……8分四、综合题：本大题共2小题，每小题12分，共24分。

28．解（1）由{1,0}3{10}2{0}525P Y X b P Y X P X b ========+，又8125a b ++=，得1425a =，325b =；……4分（2）0125173252525X P ，011782525Y P ；……8分（3）由于2{0,0}25P X Y ===，51717{0}{0}2525125P X P Y =?==?=，{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠=?=，故X 与Y 不独立.……12分 29．解（1）当0ρ=时，X 与Y 独立，(21)()2()11E X Y E X E Y ?+=?+=?，(21)()4()17D X Y D X D Y ?+=+=；……4分（2）[]22()()()5E Y D Y E Y =+=，Cov(,)1X Y ρ==?，()Cov(,)()()1E XY X Y E X E Y =+=?，……8分 22()()()6E Y XY E Y E XY ?=?=，……10分 (2)()4()4Cov(,)21D X Y D X D Y X Y ?=+?=.……12分五、应用题：10分。

（12）概率与统计1、用随机数表法从100名学生(其中男生40名)中抽取20名参加一项文体活动,某男生被抽到的可能性是( )A.110B.12C.15D.252、某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002， (999)从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生3、根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是（）A．前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B．前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C．整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D．整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数4、已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为( )A.63、64、66B.65、65、67C.65、64、66D.64、65、645、为研究变量x和y的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程1l和2l,两人计算知x相同, y也相同,下列正确的是( )A. 1l与2l重合B. 1l与2l一定平行C. 1l与2l相交于点(),x yD.无法判断1l和2l是否相交6、从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知()0.65P A=,()0.2P B=,()0.1P C=,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.37、《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著，若在这四大名著中任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. 23B.12C.13D.148、如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为2,以半径为直径画出两个半圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A.18B.π8C.14D.129、甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为2 3和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.51210、设随机变量,X Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ～，若()519P X ≥=，则()D Y =( )A ．4B ．5C ．6D ．711、某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：Pa k )的分组区间为12,1313,1414,1515,16[),[),[),[),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为__________.12、一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率__________.13、如图，在一个边长为1的正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在阴影区域内，则该阴影区域的面积约为___。

2020年普道高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的,1,已知集合U = {-2—323}, J = 人{L2},则"川可=A.卜冽B {-223}c> [-2-1:053)D {-2-1,0,23)2.若仪为第四象限角，则A.cos 2a >0B.cos 2a <0C.sin 2a > 0D.sin 2a <03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上箱售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者蔚跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05JO志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A. 10 名B.18 名C.24 名D.32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。

下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。

已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A.3699 块B.3474 块C.3402 块D.3339 块5.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-），-3 = 0的距离为A,正5B.空56.数列(4)中，《=2，%+〃〃，若4.1+《.2+…+q+10=2"-2'，则出=C,任5A. 2B. 3C. 4D. 5 7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x =。

专题四概率与统计第1讲概率、随机变量与其分布列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019古典概型·T6互斥事件、独立事件、离散型随机变量·T18独立重复试验的概率·T15随机变量的分布列、等比数列·T212018几何概型·T10古典概型·T8相互独立事件与二项分布·T8二项分布、导数的应用与变量的数学期望、决策性问题·T202017数学文化、有关面积的几何概型·T2二项分布的方差·T13频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18正态分布、二项分布的性质与概率、方差·T19(1)概率、随机变量与其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题或填空题和一道解答题．(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．考点一古典概型与几何概型1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.11162．(2019·市模拟考试)2019年1月1日，轨道交通1号线试运行，轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过地铁APP 抢票，小抢到了三体验票，准备从四位朋友小王、小、小、小中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小至多一人被选中的概率为( )A.16 B.13 C.23 D.563.(2019·市质量检测)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O ，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A.4π－6 3B.1－332πC.π－332D.332π4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34考点二 互斥事件、相互独立事件的概率1．(2019·市调研测试)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.292．(2019·市模拟(一))袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.16B.13 C.12 D.153．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．4．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．考点三随机变量的分布列、均值与方差题型一超几何分布与其均值与方差[例1](2019·模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)．(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．题型二相互独立事件的概率与均值与方差[例2](2019·市模拟(一))商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天无法售出，则食品过期作废，且两天的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(2)以两天该食品所获得的利润期望为决策依据，商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？题型三二项分布与其均值与方差[例3](2019·模拟)前不久，省社科院发布了2017年度“城市居民幸福排行榜”，市成为本年度“最幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数.(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列与数学期望．(2019·市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表．设备改造前样本的频率分布直方图设备改造后样本的频数分布表质量指标[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45) 值频数218481416 2(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据上表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．考点四正态分布[例4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)与X 的数学期望；(2)一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95用样本平均数x —作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.1，P(X≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800，1 200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)．考点五概率问题中的交汇与创新[例5](2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．1.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为13，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1＞0的解集为R的概率．2.某网络广告公司计划从甲、乙两个中选择一个拓展公司的广告业务，为此该公司随机抽取了甲、乙两个某月中10天的日访问量(单位：万次)，整理后得到如图所示的茎叶图.(1)请说明该公司应该选择哪个；(2)根据双方规定，该公司将根据所选的日访问量进行付费，付费标准如下：日访问量n (单位：万次) n <25 25≤n ≤35n >35 付费标准(单位：元/日)5007001 000哪个？【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·省适应性考试)在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为( )A.14B.13C.12D.232.(2019·八所重点中学联考)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.173．小、小钱、小、小到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.594．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )6．(2019·市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A.34B.58 C.716 D.916二、填空题7．(2019·市模拟(一))已知实数x ∈[0，10]，则x 满足不等式x 2－4x ＋3≤0的概率为________．8．我国数学家景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．9．(2019·期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.96)三、解答题10．(2019·模拟)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223，228](单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：微信群数量0至5个6至10个11至15个16至20个20个以上合计频数09090x 15300频率00.30.3y z 1(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X的分布列、数学期望和方差．12．(2019·市第二次质量检测)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年维修的次数，得下表：以这50X表示这2台机器超过质保期后延保的2年共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金与维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？B组1．(2019·市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．2．(2019·市质量检测)某地区为贯彻总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？3．(2019·市高三模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数5 6频数6040以200以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列与数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5，6}，以该客户的净水系统在使用期购买各级滤芯所需总费用的期望为决策依据，试确定m，n的值．4．(2019·四大名校模拟)超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡．某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1)．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.(ⅰ)试运用概率统计的知识，若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；(ⅱ)若p＝1－13e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.第2讲统计、统计案例[全国卷3年考情分析](1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以与变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．(2)统计与统计案例在解答题中多出现在第18或19题位置，考查茎叶图、直方图、数字特征与统计案例，多以计算为主．考点一抽样方法1．福利彩票“双色球”中红球的可以从01，02，03，…，32，33这33个两位中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球为()A.12B.33C.06D.16解析：选C被选中的红色球依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73 B.78 C ．77D.76解析：选B 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A.25，25，25，25B.48，72，64，16C.20，40，30，10D.24，36，32，84．某班共有学生56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．考点二用样本估计总体[例1](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数2358 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170 B.160，180C．160，170 D.180，1602．(2019·模拟)如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说确的是()A．该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高B．该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势C．该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D．该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元3．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 频数(2)求参赛选手初赛成绩的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？考点三 统计案例题型一 回归分析在实际问题中的应用[例2] (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例3](2019·市调研测试)2019年，在庆祝中华人民国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以某高校为了在学生中更广泛地推介普与军运会相关知识容，特在网络上组织了一次“我所知晓的军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1。

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题11 概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．n m n m3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作，满足P ()＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝，即 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量． 随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力． A A ⋅=nA P i 1)(试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ⋅=)()()(Ωn A n A P ΩA A P μμ=)(6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与、与B 、与也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于)()(A P B A P )()(A n B A n A A A B射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P ()求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P ()＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)， A B )()()(Ωn A n A P =(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而 (Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件由3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率(或)． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又，P (A ∩B )，所以或 ⋅==31186)(M P N N N 61183)(==N P ⋅=-=-=65611)(1)(N P N P ⋅3129A 6112291==A P 6184931=⨯=P 31)(=A P 61=⋅==213161)|(A B P(或)． (3)第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?”易求得 (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得 (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之2184)|(==A B P 1912A A 291217A A A 391227A A A ⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A AP ⋅=31P ⋅=167)(A P ⋅=6πP对应的区域A ；利用概率公式计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积． 例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝． 所以所求的概率为 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．)()()(ΩA A P μμ=⋅==43129)(A P ⋅=⨯⨯-⨯=3223221232(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (·)＝1－P ()·P ()＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (·))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为，连续抛掷6次是独立重复试验．解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以 (2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝， 根据独立重复试验概率公式有 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求： B C B C B C 21⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P 21⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 5352(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则(2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P =+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．751752753754⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率； (2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的分布列．具有性质：①p i ≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1． 离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和． 二点分布：如果随机变量的分布列为其中0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为==)(k X P(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n 次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为称这样的离散型随机变量X 服从参数为n 、p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为≤l ，其中l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平．称为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X ) 若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ； 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．正态曲线：函数，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定k n k k n q p C -m C C C m X P n Nmn MN m M ≤==--0()(i ini p X E xX D ⋅-=∑=21))(()()(X D ),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕσ2π1时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％． 【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且 ，，所求X 的分布列为=≤<)(b X a P dx x ba)(ϕ⎰,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==212010)6(3625====C C X P(2) (3) 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，＝＝，，，， 分布列为【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4． 例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望； ②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54.25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E )0(=X P ,42121054104505==⋅C C C )1(=X P 215210504103515==⋅C C C )2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ===⋅4101535)3(C C C X P 21050215=4212105)4(4100545==⋅==C C C X P 2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 31(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列． 【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6． 解：(1)①X 服从二点分布②X 服从二项分布，分布列为(2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝，ξ＝6表示射击6次都未击中目标， ．ξ的分布列为 (3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，表示前5次都没有击中目标，．η 的分布列为 【评析】要书写分布列，必须先弄清随机变量X 的含义以及取值情况，并准确定义事件“X ＝k ”．在计算满足⋅=31)(X E )6,,1,0()32()31()(),31,6(~66 ===-k C k X P B kkk.236)(=⨯=X E )5,,1,0(31)32(. =k k ==)6(ξP 6)32(==)(k P η6;31)32(.1=-ηk 5)32()6(==ξP二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平．【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析．解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率 (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P。

2020届高三毕数学第二轮复习训练题概率统计（一）（一） 考点与目标：概率主要考查：等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，超几何分布，条件概率，古典概型，几何概型，独立重复试验，离散型随机变量的分布列、期望值和方差，理解超几何分布、二项分布，正态分布．（二） 近3-5年考点分析 题型 考点命题方向年份/题号选填题古典概型 古典概率的应用 18年2卷8；几何概型 求几何概型的概率值 16年1卷4；17年1卷2； 16年2卷4；18年1卷10； 二项分布求方差17年2卷13；18年2卷8； 18年3卷8；解答题离散型随机变量的期望、方差常与概率相结合考查几种常见的概率分布的分布列、期望、方差16年1卷19；16年2卷19；17年3卷18；18年1卷20； 正态分布常与超几何、二项分布结合，考查正态分布的对称性及3σ原则应用17年1卷19；三、课内练习1．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|P B A 为（ ）（A ）13 （B ）32 （C ）41 （D ）522．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.33．（2018年全国I 卷）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 34．【2018年理新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5．【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.0080.09≈．6．【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？四、课后作业 1．【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则[来源:学科网ZXXK]A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 .4． 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 . 5．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲 箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出 1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (II)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.参考答案：三、课内练习1．【答案】C2.【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。

专题突破练22 专题六统计与概率过关检测一、选择题1.(2019全国卷3,理4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.242.(2019陕西第二次质检,理5)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台,号称“天下第一福地”,是我国著名的道教圣地,古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑,是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系,如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A.23B.12C.15D.253.(2019山东聊城一模,理5)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90D.从4日到9日,空气质量越来越好4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.805.(2019山东菏泽一模,理6)在区间-π4,π4上随机取一个数x,则sin 2x的值介于0到√32之间的概率为()A.34B.23C.12D.136.(2019全国卷2,理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差7.(2019四川成都二模,理5)为比较甲、乙两名篮球运动员近期的竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为()A.①③B.①④C.②③D.②④8.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.459.(2019山东济宁一模,理8)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图,小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位:套)与成交量(单位:套)作出如下判断:①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天;③认购量与日期正相关;④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅.则上述判断正确的个数为()A.0B.1C.2D.310.(2019福建漳州质检二,理10)已知边长为2√3的正方形ABCD的中心为点P,在正方形ABCD 内任取一点Q,则点Q满足|PQ|≤2的概率为()A.π+3√39B.π+3√312C.2π+√39D.2π+√31211.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.6012.(2019湘赣十四校联考二,文9)已知某水池的容积是20 m3,向该空水池注水的水龙头A和水龙头B的流速分别是1 m3/h与2 m3/h,它们在一昼夜内随机开0~24 h,则水池不溢出水的概率为()A.2572B.25144C.2536D.25288二、填空题13.(2019江苏卷,6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.14.(2019江苏卷,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.15.(2019重庆模拟)为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),根据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=150,由最小二乘法求得回归直线方程为y^=0.67x+54.9,则y1+y2+y3+y4+y5=.16.(2019山东济宁二模,理15)若从区间[0,2]内随机取两个数,则这两个数之积大于2的概率为.三、解答题17.(2019全国卷3,理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?19.(2019安徽“江南十校”二模,理19)某工厂生产加工某种产品,年初招收了工人100名,每个工人的工资由一个单位工作时间内的基本工资和计件工资组成,其中基本工资为80元,招收的工人试用期为一个月,试用期单位工作时间内加工产品平均件数不少于3件的工人转正留用,其他工人解除聘用.(1)根据试用期统计,单位工作时间内工人加工产品平均件数与相应人数可得到如下柱状图.①求从试用期工人中随机选取2名工人,则2人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于3件的概率;②若在试用期内,计件工资为20元/件,求试用期工人在一个单位工作时间的平均工资;(2)若工厂将转正留用工人进行技术培训,使转正留用工人每人在一个单位时间内比试用期平均多生产一件产品,由于节约了其他成本,工厂决定将留用工人的一个单位工作时间内的工资总额在试用期的工人工资总额的基础上提高20%,求转正留用工人的计件工资为每件多少元?(保留小数点后一位)20.(2019四川第二次诊断,理18)今年年初,习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济合作制度化,打造两岸共同市场,为发展增动力,为合作添活力,壮大中华民族经济.两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作,社会保障和公共资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召,在春节前夕特地从台湾购进优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量(单位:吨),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数;(2)在年平均销售量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取多少家?(3)在(2)的条件下,再从[240,260),[260,280),[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动,记恰有ξ家在[240,260)组,求随机变量ξ的分布列与期望和方差.21.(2019山东烟台模拟,理19)某房产中介公司2018年9月1日正式开业,现对其每个月的二手房成交量进行统计,y表示开业第x个月的二手房成交量,得到统计表格如下:(1)统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为,对于变量x,y,如果|r|∈[0.75,1],那么相关性很强;如果|r|∈[0.3,0.75],那么相关性一般;如果|r|≤0.25,那么相关性较弱.通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.计算(x i ,y i )(i=1,2,…,8)的相关系数r ,并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系(计算结果精确到0.01);(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^(计算结果精确到0.01),并预测该房产中介公司2019年6月份的二手房成交量(计算结果四舍五入取整数).(3)该房产中介为增加业绩,决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获6千元奖金;抽中“二等奖”获3千元奖金;抽中“祝您平安”,则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16,获得“二等奖”的概率为13,现有甲、乙两个客户参与抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求此二人所获奖金总额X (千元)的分布列及数学期望.参考数据:∑i=18x i y i =850,∑i=18x i 2=204,∑i=18y i 2=3 776,√21≈4.58,√31≈5.57.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -n ·x ·y∑i=1nx i 2-n ·x 2,a ^=y −b ^x ,r=∑i=1nx i y i -n ·x ·y √∑i=1n x i2-nx 2√∑i=1ny i2-ny 2.22.(2019湘赣十四校联考二,理19)我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为2,女性观众认3.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众(其中为《流浪地球》好看的概率为122男2女).(1)求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;(2)设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求ξ的分布列与数学期望.参考答案专题突破练22专题六统计与概率过关检测1.A解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.2.B解析现从五种不同属性的物质中任取两种,基本事件总数n=C52=10,取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P=mn =510=12.故选B.3.C解析由图知AQI不大于100的有6日到11日共6天,所以A正确;AQI最小的一天为9日,所以B正确;中位数是95+1042=99.5,C错;从图中可以看出4日到9日AQI越来越小,D正确;所以选C.4.C解析(2x-y)5的展开式的通项公式T r+1=C5r(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.D 解析所有的基本事件构成的区间长度为π4--π4=π2,由0≤sin2x ≤√32,x ∈-π4,π4,解得0≤2x ≤π3,则0≤x ≤π6,所以概率为P=π6-0π2=13.6.A 解析设9位评委的评分按从小到大排列为x 1<x 2<x 3<x 4<…<x 8<x 9.对于A,原始评分的中位数为x 5,去掉最低分x 1,最高分x 9后,剩余评分的大小顺序为x 2<x 3<…<x 8,中位数仍为x 5,故A 正确;对于B,原始评分的平均数x =19(x 1+x 2+…+x 9),有效评分的平均数x '=17(x 2+x 3+…+x 8),因为平均数受极端值影响较大,所以x 与x '不一定相同,故B 不正确;对于C,原始评分的方差s 2=19[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 9-x )2],有效评分的方差s'2=17[(x 2-x ')2+(x 3-x ')2+…+(x 8-x ')2],由B 易知,C 不正确;对于D,原始评分的极差为x 9-x 1,有效评分的极差为x 8-x 2,显然极差变小,故D 不正确.7.C 解析甲的中位数为29,乙的中位数为30,故①不正确;甲的平均数为29,乙的平均数为30,故②正确;从比分来看,乙的高分集中度比甲的高分集中度高,故③正确,④不正确.故选C .8.A 解析设某天空气质量优良为事件A ,随后一天空气质量优良为事件B ,由已知得P (A )=0.75,P (AB )=0.6,所求事件的概率为P (B|A )=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8,故选A .9.B 解析7天假期的楼房认购量为:91,100,105,107,112,223,276;成交量为:8,13,16,26,32,38,166.对于①,日成交量的中位数是26,故错;对于②,日平均成交量为:8+13+16+26+32+38+1667≈42.7,有1天日成交量超过日平均成交量,故错;对于③,根据图形可得认购量与日期不是正相关,故错;对于④,10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅,正确.故选B . 10.A 解析如图,以P 为圆心,2为半径作圆,与AB 边交于点M ,N ,作PO ⊥MN 于O.在Rt △PAD 中,由题意可知:|PM|=2,|PO|=√3,则∠MPO=π6,从而∠MPN=π3,|MN|=2,则阴影部分的面积为S=12×2π3×22+12×2×√3×4=4π3+4√3,故所求概率为P=S 阴S 正=4π3+4√312=π+3√39,故选A .11.C 解析由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i·x i =C 3i x 6-i (i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30.12.B 解析设水龙头A 开x h,水龙头B 开y h,显然,0≤x ≤24,0≤y ≤24,若水龙头不溢出水,则x+2y ≤20.记“水池不溢出水”为事件A ,则A 所占区域面积为12×20×10=100,整个区域的面积为24×24=576,由几何概型的概率公式,得P (A )=100576=25144.13.710解析由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C 52=10种选法.若选出的2人中恰有一名女生,有C 31×C 21=6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法. 所以所求的概率为P=6+110=710. 14.53 解析由题知,该组数据平均值为6+7+8+8+9+106=8,所以该数据方差为16[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.15.375 解析由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=150,得x =1505=30,设样本中心点为(x,y ),则y =0.67×30+54.9=75,∴y 1+y 2+y 3+y 4+y 5=75×5=375.16.1-ln22解析设从区间[0,2]内随机取两个数x ,y ,由题意,xy>2,即y>2x .如图所示,满足题意的两个数组成的点在图中的阴影部分,阴影部分的面积为∫212-2xd x=2-2ln2.因此所求概率P=2-2ln22×2=1-ln22.17.解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.18.解(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P (X=200)=2+1690=0.2,P (X=300)=3690=0.4,P (X=500)=25+7+490=0.4.因此X 的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n ; 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n ; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E (Y )=2n ×0.4+(1200-2n )×0.4+(800-2n )×0.2=640-0.4n. 当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n ; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E (Y )=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n )×0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.19.解(1)根据条形图可知,试用期100名工人中,在一个单位工作时间内加工产品平均件数少于3件的工人共有20名.①设“随机选取2名工人,则2人在一个单位时间内加工产品平均件数均少于3件”为事件A.由已知,P (A )=C 202C 1002=19495.②设一名工人单位工作时间的工资为X(元),则X的分布列为则E(X)=100×0.05+120×0.15+140×0.25+160×0.35+180×0.20=150(元).故一名生产加工该种产品的工人在一个单位工作时间的平均工资为150元.(2)由(1)可得,在试用期一个单位工作时间内,100名工人的工资总额为100×150=15000元.转正留用工人为80名,设转正后计件工资为x元/件,总支出为S元,则S=25×(80+4x)+35×(80+5x)+20×(80+6x)=6400+395x,由S=15000×(1+20%),解得:x≈29.4元.所以转正留用工人的计件工资为每件29.4元.20.解(1)由频率和为1,列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;=230.年平均销售量的众数是220+2402∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,∴年平均销售量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,即中位数为224.(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家),同理可求年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场有15,10,5家,所以抽取比例为1125+15+10+5=15,∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家),从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家),从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家);即年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取3,2,1家.(3)由(2)知,从[240,260),[260,280),[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家,所以ξ的可能取值分别为0,1,2,3,则P (ξ=0)=C 30·C 33C 63=120,P (ξ=1)=C 31·C 32C 63=920,P (ξ=2)=C 32·C 31C 63=920,P (ξ=3)=C 33·C 3C 63=120,ξ的分布列为:数学期望为E (ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32,方差为D (ξ)=0-322×120+1-322×920+2-322×920+3-322×120=920.21.解(1)依题意:x =4.5,y =21,r=∑i=18x i y i -8xy√∑i=1x i2-8x 2√∑i=1y i 2-8y 2=√204-8×4.52×√3776-8×212 =√42×√248=4×√21×√31≈944×4.58×5.57≈0.92.因为0.92∈[0.75,1],所以变量x ,y 线性相关性很强.(2)b ^=∑i=18x i y i -8xy∑i=18x i 2-8x 2=850-8×4.5×21204-8×4.52≈2.24,a ^=y −b ^x =21-2.24×4.5=10.92,则y 关于x 的线性回归方程为y ^=2.24x+10.92.当x=10,y ^=2.24×10+10.92=33.32≈33,所以预计2018年6月份的二手房成交量为33.(3)二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0,3,6,9,12千元.P (X=0)=12×12=14, P (X=3)=2×12×13=13, P (X=6)=13×13+2×16×12=518,P (X=9)=2×13×16=19, P (X=12)=16×16=136.所以,奖金总额X 的分布列如下表:E (X )=0×14+3×13+6×518+9×19+12×136=4(千元).22.解设X 表示2名女性观众中认为好看的人数,Y 表示2名男性观众中认为好看的人数,则X~B 2,12,Y~B 2,23.(1)设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,则P (A )=P (X=2,Y=1)+P (X=2,Y=0)+P (X=1,Y=0)=C 22122·C 212313+C 22122·C 20132+C 211212·C 20132=736. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P (ξ=0)=P (X=0,Y=0)=C 2122·C 20132=136, P (ξ=1)=P (X=1,Y=0)+P (X=0,Y=1)=C 211212·C 20132+C 20122·C 212313=16,P (ξ=2)=P (X=2,Y=0)+P (X=1,Y=1)+P (X=0,Y=2)=C 22122·C 20132+C 211212·C 212313+C 20122·C 22232=1336, P (ξ=3)=P (X=1,Y=2)+P (X=2,Y=1)=C 211212·C 22232+C 22122·C 212313=13,P (ξ=4)=P (X=2,Y=2)=C 22122·C 22232=19, ∴ξ的分布列为∴E (ξ)=0×136+1×16+2×1336+3×13+4×19=73.。

2020届二轮（理科数学） 条件概率 专题卷（全国通用）一、选择题1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.35 答案 B 解析 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5，6×6，共4个基本事件．所求概率为13. 2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.12答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P AB P A ＝11025＝14.故选B. 3．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45答案 A解析 ∵A ∩B ＝{2,5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，∴P (A |B )＝n AB n B ＝25. 4．在区间(0,1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜12，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 14＜x ＜34，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.13 D.34答案 A解析 P (A )＝121＝12.因为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 14＜x ＜12，所以P (AB )＝141＝14，P (B |A )＝P AB P A ＝1412＝12. 5．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为( )A ．75%B ．96%C ．72%D ．78.125%答案 C解析 记“任选一件产品是合格品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B .由于一级品必是合格品，所以事件A 包含事件B ，故P (AB )＝P (B )．由合格品中75%为一级品知P (B |A )＝75%；故P (B )＝P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96%×75%＝72%.二、填空题6．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．答案 16解析 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P AB P A ＝16. 7．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．答案 0.5解析 “该动物由出生算起活到20岁”记为事件A ，“活到25岁”记为事件B . P (A )＝0.8，P (AB )＝0.4，∴P (B |A )＝P AB P A ＝0.40.8＝0.5. 8．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．答案 114 解析 记“选出4号球”为事件A ，“选出球的最大号码为6”为事件B ， 则P (A )＝C 39C 410＝25，P (AB )＝C 24C 410＝135， 所以P (B |A )＝P AB P A ＝13525＝114. 三、解答题9．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79. (1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球个数为x .则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79， 解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)解法一：记“第1次取得白球”为事件B ，“第2次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 15C 110C 110＝2590＝518， P (B )＝C 15C 15＋C 15C 14C 110C 19＝25＋2090＝12. P (C |B )＝P BC P B ＝51812＝59. 解法二：由题意知事件B 所包含的基本事件的个数为C 15C 19＝5×9＝45，事件BC 所包含的基本事件的个数为C 15×C 15＝5×5＝25，所以P (C |B )＝P BC P B ＝2545＝59. 10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328. (2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514， P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528， P (B 3)＝C 23C 28＝328， P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49， 所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝514×69＋1528×59＋328×49＝712.。