4.2.2-等差数列的前n项和公式 教案(师生互动)

等差数列的前n项和教案一、教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的前n项和的公式。

2. 培养学生运用等差数列的前n项和公式解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

二、教学内容：1. 等差数列的概念及通项公式。

2. 等差数列的前n项和公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的概念，等差数列的前n项和公式。

2. 教学难点：等差数列的前n项和的性质。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究等差数列的前n项和公式。

2. 运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固等差数列的前n项和公式。

3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾等差数列的概念及通项公式。

2. 新课：讲解等差数列的前n项和公式，并通过案例分析让学生理解并掌握公式。

3. 练习：布置练习题，让学生运用前n项和公式解决问题。

4. 拓展：讲解等差数列的前n项和的性质，引导学生进行思考。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学活动：1. 课堂讨论：让学生举例说明在生活中哪些问题可以用等差数列的前n项和公式解决，促进学生对知识的理解和应用。

2. 小组合作：学生分组，每组选择一个实际问题，运用等差数列的前n项和公式进行解决，并展示解题过程和结果。

七、教学评价：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列的前n项和公式的掌握情况。

2. 课后作业：布置有关等差数列前n项和的练习题，评估学生对知识的吸收和运用能力。

3. 小组报告：评估学生在小组合作中的表现，包括问题选择、解题过程、结果展示等方面。

八、教学资源：1. PPT课件：制作包含等差数列前n项和公式的PPT课件，辅助教学。

2. 实际问题案例：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。

等差数列前n项和公式教学设计一、引言等差数列是数学中常见的数列类型之一，它的前n项和公式是数学教学中的重要内容。

本文将针对等差数列前n项和公式的教学设计进行讨论，旨在帮助学生理解和应用该公式。

二、教学目标通过本次教学，学生将能够：1. 掌握等差数列的定义和性质；2. 推导等差数列前n项和公式；3. 熟练应用前n项和公式解决实际问题。

三、教学内容1. 等差数列的定义和性质在开始介绍前n项和公式之前，首先向学生介绍等差数列的定义和性质。

教师可以通过提供具体的数列示例，并引导学生观察数列中的规律，以加深他们对等差数列的理解。

2. 推导等差数列前n项和公式为了引导学生主动参与教学过程，并提高他们对公式的理解程度，教师可以采用探究性学习的方法来推导等差数列前n项和公式。

以下是一种教学策略：（1）教师先给出一个等差数列，例如：2, 5, 8, 11, 14, ...（2）教师引导学生观察数列中的规律，如何由前一项得到后一项。

（3）学生通过观察和思考，可以发现每一项与前一项的差是相同的，即公差（d）。

（4）接下来，教师可以引导学生通过等差数列的通项公式（an =a1 + (n-1)d）来表示数列中的各项。

（5）通过代入相应的值，教师指导学生推导出等差数列前n项和的公式（Sn = (n/2)(a1 + an)）。

3. 应用前n项和公式解决实际问题为了提高学生的应用能力，教师可以设计一些实际问题，要求学生运用前n项和公式解决。

例如：（1）小明连续10天每天跑步，第一天跑了2公里，每天比前一天多跑3公里，问小明共跑了多少公里？（2）某商店连续7天的销售额分别是100元、110元、120元、...，每天比前一天增加10元，求7天的总销售额。

四、教学步骤1. 引导学生回顾等差数列的定义和性质；2. 通过探究性学习的方法，引导学生推导等差数列前n项和的公式；3. 提供实际问题，要求学生运用前n项和公式进行计算；4. 指导学生总结等差数列前n项和的公式；5. 练习巩固：提供更多练习题，让学生进行接触和熟练应用。

《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。

能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。

2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。

公式的熟练运用。

2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。

提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。

方法一：依次相加。

方法二：倒序相加。

设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。

＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。

4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

数列是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。

发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

课程目标学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质
及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值.
1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点：求等差数列前n项和的最值
难点：等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。

所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。

这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。

多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。

4.2.2-2 等差数列前n项和公式（二）课时教学设计（淮冰会）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）一、教学目标1. 知识目标：掌握等差数列前n项和公式，并能应用到各种实际问题中。

2. 技能目标：能够通过等差数列前n项和公式计算等差数列各种题型。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。

二、教学重点掌握等差数列前n项和公式及应用。

三、教学难点解决实际问题中的等差数列计算。

四、教学过程1. 课前导入出示一道小问题：“小明今年10岁，5年后他多少岁？”学生回答15岁。

过程中教师引导学生思考，不难发现这是一道“等差数列”问题。

2. 讲解“等差数列前n项和公式（二）”在此之前，教师先引导学生回顾等差数列前n项和公式（一）的公式：Sn=n×(a1+an)/2，然后再介绍等差数列前n项和公式（二）：Sn=n×[2a1+(n-1)d]/2。

3. 解题操作根据所学知识，教师在黑板上做出一道应用题，引导学生掌握等差数列前n项和公式的题目：某人从第1天开始每天增加2元花费，10天后共花费多少元钱？（1）找出a1=1，d=2，n=10，并代入公式Sn=n×[2a1+(n-1)d]/2中（2）得出Sn=10×[2×1+(10-1)×2]/2=1104. 课堂小结教师归纳总结等差数列前n项和公式的使用方法；同时也指导学生通过应用题来理解公式的实际应用性，激发学生的兴趣。

五、课后作业1. 完成课堂练习。

2. 分析生活中的实际问题，运用公式求解。

3. 预习下节课内容。

六、教学反思本节课以引导学生思考为切入点，引出等差数列前n项和公式的应用。

教师在授课过程中注重解释，操作简便，便于学生理解本节课的知识点，并通过教学案例的解析，引导学生理解等差数列的应用性和实用性；同时课上还针对应用题的解题方法和思路作了进一步讲解，让学生在运用公式的基础上能够更好地解决等差数列的实际问题。

4.2.2 等差数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？1．数列{|a n |}的前n 项和问题根据通项公式判断数列{a n }是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列前n 项和的性质(1)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(2)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)等差数列的前n 项和S n 一定是关于n 的二次函数．(×)(2)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√) (3)若两个等差数列的前n 项和分别为A n ，B n ，则一定有a n b n ＝A nB n.(×)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝______，S n 的最小值为______.0 －10 解析：a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，即a 1＋2d ＝－2，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－9n2.当n ＝4或5时，S n 最小，为－10.2．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且a 7b 7＝23，则S 13T 13＝________.23 解析：S 13T 13＝(a 1＋a 13)×132(b 1＋b 13)×132＝13a 713b 7＝a 7b 7＝23. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．4．已知等差数列{a n }，a n ＝2n －9，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.52 解析：由a n ≥0得n ≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋…＋a 10)＝－S 4＋S 10－S 4＝S 10－2S 4＝20－2×(－16)＝52.【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵a 1＝101也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n .②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. ∴T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35.已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤： (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：∵数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)17－1＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 令a n <0，即3n －63<0，解得n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和， 当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋n (n －1)2×3＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【例2】等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，数列{a n }前多少项和最大？解：(方法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.故前13项之和最大． (方法二)由方法一得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值．1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17A 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为其前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2，∴前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．常见的拆项公式(其中n ∈N *)： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④若等差数列{a n }的公差为d ， 则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________.2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d . 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，裂项可得1S k ＝2k (k ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，所以∑nk ＝11S k＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.探究题1 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且S n T n ＝2n ＋13n －2，求a 9b 9的值．解：∵S 2n －1＝2n －12(a 1＋a 2n －1)＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝2n －12(b 1＋b 2n －1)＝(2n －1)b n ， ∴a 9b 9＝S 2×9－1T 2×9－1＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝57. 探究题2 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为________．11 解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.探究题3 等差数列{a n }中，S m ＝n ，S n ＝m ，求S m ＋n . 解：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n ，①S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝m ，②①－②得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2d ＝n －m ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d＝－(m ＋n )．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12D ．13C 解析：因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零．又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 2＋a 8＝－6，则S n 的最小值等于( ) A ．－34 B ．－36 C ．－6D ．6B 解析：设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＋a 8＝－6，∴2a 1＋8d ＝－6. 又a 1＝－11，∴d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴当n ＝6时，S n 有最小值S 6＝－36.故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．42 B 解析：由于{a n }是等差数列，故S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，即2(10－4)＝4＋S 6－10，解得S 6＝18.故选B ．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：因为S 4＝2(a 2＋a 3)≥10，所以a 2＋a 3≥5.又S 5＝5a 3≤15，所以a 3≤3.而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当且仅当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.故选C ． 4．已知等差数列{a n }的公差为1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，试求a 3＋a 6＋…＋a 99的值． 解：由题意，等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－33×2d －33d ＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－99， 所以a 3＋a 6＋…＋a 99＝102＋993＝67.5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t 天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．(1)设11月n 日当天新感染人数为a n ，求{a n }的通项公式(用t 表示)；(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． 解：(1)由题意得， 当n ≤t 时是公差为50，首项为20的等差数列， 此时a n ＝20＋50(n －1)＝50n －30(1≤n ≤t )．当n ≥t ＋1时是公差为－30，首项为50t －30的等差数列，此时a n ＝50t －30－30(n －t ) ＝－30n ＋80t －30(t ＋1≤n ≤30)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50n －30，n ≤t ，－30n ＋80t －30，t ＋1≤n ≤30，n ∈N *.(2)由(1)可知，前t 日患者共有S t ＝(20＋50t －30)t 2＝(25t 2－5t )人．又第t ＋1日有－30(t ＋1)＋80t －30＝(50t －60)人，第30日有－30×30＋80t －30＝(80t －930)人．故t ＋1日至第30日共30－t 天的时间里共有S ′t ＝(50t －60＋80t －930)(30－t )2＝－65t 2＋2 445t －14 850.故1到30日共有S t ＋S ′t ＝25t 2－5t －65t 2＋2 445t －14 850＝－40t 2＋2 440t －14 850. 故－40t 2＋2 440t －14 850＝8 670⇒t 2－61t ＋588＝0即(t －12)(t －49)＝0，又1≤t ≤30 ，故t ＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．1．已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤 (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负；(3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．利用裂项相消法求数列前n 项和．课时分层作业(六)等差数列的前n 项和公式(第2课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求数列{|a n |}的前n 项和1．(5分)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝( ) A ．139 B ．153 C ．144D ．178B 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，d ＝2.∴S n ＝n 2－6n .∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a 15＝－S 3＋(S 15－S 3)＝S 15－2S 3＝153.2.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________． 60 解析：∵a 1>0，a 10·a 11<0， ∴d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 知识点2 等差数列前n 项和的最值问题3．(5分)已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( ) A ．98B ．94C ．1D ．0C 解析：∵a 2＝0，a 4＝－2，∴d ＝－1，∴a n ＝2－n .∴S n 的最大值为S 1＝S 2＝1.4．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝26－2n ，若使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14C 解析：由a n ≥0，得n ≤13，∴S 13＝S 12最大.5.(5分)已知等差数列{a n }，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得其前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 解析：∵d >0，∴|a 5|＝|a 9|可化为－a 5＝a 9. 即a 5＋a 9＝2a 7＝0.∴a 7＝0，∴a 6<0，a 8>0. ∴S 6＝S 7最小．知识点3 利用裂项相消法求数列的和 6．(5分)在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为(A) A ．4n n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n 2n －1D ．2n2n ＋1得分7.(5分)设数列{a n }满足对任意的n ∈N *，P n (n ，a n )满足P n P n ＋1＝(1,2)，且a 1＋a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n 为________． n2n ＋1解析：∵P n (n ，a n )，P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴{a n }为等差数列，d ＝2.∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. ∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝ 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.知识点4 等差数列前n 项和性质的应用8．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，则a 5b 5的值为( ) A ．2 B ．72C ．4D ．5C 解析：∵两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，∴a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝A 9B 9＝5×9＋39＋3＝4.故选C ． 9．(5分)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项C 解析：∵S 13<0，S 12>0，∴d <0. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0且|a 6|>|a 7|. ∴a 7的绝对值最小.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则( ) A ．d >0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值BD 解析：由S 5<S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5<a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6， ∴a 6>0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0. 同理由S 7>S 8可得a 8<0.若S 9>S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， ∴2(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然A ，C 项是错误的．11．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个D 解析：∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当n ＋1＝2,3,4,6,12，即n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是整数．12．(5分)(多选)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7BC 解析：∵在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，∴a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0.又d <0，∴a 5>0，a 7<0，∴使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是5或6.13.(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为________．10 解析：由S 19>0，S 20<0，可知{a n }为递减的等差数列．设其公差为d ，则d <0.由S 19＝19×(a 1＋a 19)2>0，S 20＝20×(a 1＋a 20)2<0，得a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以a 10>0，a 11<0.所以使S n 取得最大值的n 为10.14.(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n －1，则数列{|a n |}的前n 项和为________．n 2＋2n 解析：由题可知数列{a n }的各项均为负值，设数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则有S n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .15.(10分)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n >2 0202 021.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1. 令1－12n ＋1>2 0202 021，解得n >1 010，故取n ＝1 011. 16.(10分)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求a n .(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大值，并求出取最大值时n 的值． 解：(1)由已知，得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0. 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.所以2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)． 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 且a n ＝n .(2)由(1)可知a n ＝n .设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫n －522＋254. ∵n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，{c n }的最大项为6. 故{a n ·b n }的最大值为6，此时n ＝2或n ＝3.17.(10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)求n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值； (3)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)在等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16， ∴公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28≥0且n ∈N *，得n ≤9. ∴当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10(a 2＋a 20)2＝10a 11＝10×(－3×11＋28)＝－50. (3)由(1)得，当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ≤9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32n 2＋532n .当n >9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a n )＝2S 9－S n ＝2×(9×25－36×3)－⎣⎡⎦⎤25n －32n (n －1)＝32n 2－532n ＋234. 所以T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋532n ，n ≤9，32n 2－532n ＋234，n >9.重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀]数列的通项a n 及前n 项和S n 都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训]1．(5分)设a n ＝－n 2＋5n －6，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．34D ．0D 解析：此二次函数图象对称轴n ＝52∉N *.∴ 当n ＝2或3时，a n 取最大值，a 2＝a 3＝0.2．(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2D ．k >－3D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2， 即k >－(2n ＋1)对于任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，－(2n ＋1)取最大值－3， ∴k >－3.3.(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大． 易错点2| 不能正确进行a n 与S n 互化 [防范要诀]凡是已知S n 的表达式或S n 与a n 的关系式，都需要用到当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；另外，也不要忽视检验n ＝1是否也适合a n . [对点集训]4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列C 解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)． 当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0. ∴{a n }是常数列，各项均为0.5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：∵S n ＝n 2＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀]使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训]6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是否是等差数列．解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列.7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．解：∵S n ＝14(a n ＋1)2.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2. ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． ∴{a n }为等差数列，公差为2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝14(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0. ∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. 练疑难8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是( ) A ．12B ．23C ．34D ．1A 解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2， a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝12.9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B 解析：依题意得2 lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)， ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0， ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)， ∴x ＝log 25.10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫n －722－414. 令n ＝72，则n ＝494＝12.25.∵n ∈N *，∴当n ＝12时，a n 最小．11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325D 解析：由题可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，根据等差数列的通项公式可得⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，从而解得875<d ≤325.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是( ) A ．S 30是S n 的最大值 B ．S 30是S n 的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0D 解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20＝S 40可知S 60＝0，故选D ．13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________． －12 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，∴m ＝－12.经检验m ＝－12满足题设.14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，8a 1＋8×72d ＝－4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×(－1)＝－12n 2＋72n .(2)由(1)，得S n n ＝－12n ＋72，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝－12(n ＋1)＋72－⎝⎛⎭⎫－12n ＋72＝－12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝3，公差为－12的等差数列，故T n ＝3n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－14n 2＋134n .15.(10分)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， 即a n －1a n ＝－2n (看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0， ∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：作商比较，∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.又a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ，故数列{a n }是递减数列.16.(10分)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.(1)若a 2＝a 7，求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a 2＝a 7得k ＝－9，即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝⎛⎭⎫n －922－734. 因为n ∈N ＋，所以当n ＝4或5时，{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋k 22＋2－k24， 因为不等式a n ≥a 4恒成立，所以3.5≤－k2≤4.5，解得－9≤k ≤－7.所以实数k 的取值范围为{k |－9≤k ≤－7}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2.2.2 等差数列的前n 项和●教学目标知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值；过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

●教学重点熟练掌握等差数列的求和公式●教学难点灵活应用求和公式解决问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=. 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=. Ⅱ.讲授新课 一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++.当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+. 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p.对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=可化成式子： 2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式. 范例讲解：例1：在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 解：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50， 得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.例2：在等差数列{a n }中，(1)已知 a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝16，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15，∴S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a :当n a >0，d <0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值. 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2） 利用n S ： 由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭利用二次函数配方法求得最值时n 的值. Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++，公差是d =2p. 通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时当时.2．差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d <0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值. 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭利用二次函数配方法求得最值时n 的值. Ⅴ.课后作业课本习题.。

等差数列的前n 项和公式(第1课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和公式的推导方法．(难点)2．掌握等差数列的前n 项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3．掌握等差数列的前n 项和的简单性质．(重点、难点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学高斯在10岁时就发现了1＋2＋3＋…＋100的求和规律，而这正是等差数列前n 项和的算法．1．等差数列前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.(1)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a 3＝7，公差d ＝2，则S 20＝440. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a n ＝10，S n ＝72，则n ＝12. 2．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 6，S 12，S 18也成等差数列．(×) (2)若等差数列{a n }共有20项，则S 奇S 偶＝a 8a 10.(×)1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＝－2.若S 10＝S 9，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24A 解析：∵S 10＝S 9，∴S 10－S 9＝0，即a 10＝0. ∵a 10＝a 1＋9d ＝a 1－18＝0，∴a 1＝18.2．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30的值为( ) A ．456 B ．465 C ．930D ．654B 解析：S 30＝30×(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.3．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48B 解析：∵S 10＝10×(a 1＋a 10)2＝120，∴a 1＋a 10＝24.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列{a n }的通项a n ＝________.2n 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝12，S 3＝3a 1＋3d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .5．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 解析：∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2×5＝4＋(S 6－9)，∴S 6＝15.6．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________． 22 解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，所以数列{a n }的前11项和S 11＝(a 1＋a 11)×112＝(a 3＋a 9)×112＝22.【例1】(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 9＝________. (2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. (3)在等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________.(1)81 (2)15 (3)－171 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3，S 6＝6a 1＋6×52d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. (3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.【例2】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63C 解析：∵a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12；(2)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求d ；(3)S 5＝24，求a 2＋a 4.解：(1)由题意知S n ＝n ×32＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(3)(方法一)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，即得5a 1＋10d ＝24，∴a 1＋2d ＝245，a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(方法二)由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.探究题1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝310，S 20＝1 220，求S 30. 解：(方法一)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋12×10×9×d ＝310，20a 1＋12×20×19×d ＝1 220，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S 30＝30×4＋12×30×29×6＝2 730.(方法二)∵数列{a n }为等差数列， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即2×(1 220－310)＝310＋S 30－1 220， ∴S 30＝2 730.(方法三)设S n ＝A n 2＋B n (A ，B 为常数)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 310＝100A ＋10B ，1 220＝400A ＋20B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴S n ＝3n 2＋n .∴S 30＝3×900＋30＝2 730.(方法四)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)d 2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，∴S 1010，S 2020，S 3030成等差数列， ∴S 1010＋S 3030＝2×S 2020， ∴S 30＝30⎝⎛⎭⎫S 2010－S 1010＝30×(122－31)＝2 730.探究题2 项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.∴n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44， ∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(4)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－2，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，a 1＝－2， ∴7＝7×(－2)＋7×62d ，解得d ＝1.∴a n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.(2)S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝n －52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12.又S 11＝a 11＝－2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 5＝20，则{a n }的前6项的和为( ) A ．30 B ．40 C ．50D ．60D 解析：因为数列{a n }是公差不为0的等差数列， 且a 2＋a 5＝20，所以a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝20，则S 6＝a 1＋a 62×6＝202×6＝60.故选D ．2．若等差数列的前两项分别为1,3，则该数列的前10项和为( )A ．81B ．90C ．100D ．121C 解析：因为公差d ＝3－1＝2，所以该数列的前10项和为10×1＋10×92×2＝100.故选C ．3．记S n 为等差数列{a n }的前5项和为S 5＝25，a 3＋a 7＝18，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2D 解析：根据题意，等差数列{a n }中，若S 5＝25，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝25，则a 3＝5.又由a 3＋a 7＝18，则a 7＝13，则等差数列{a n }的公差d ＝a 7－a 34＝2.故选D ．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝36，则a 3＋a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．24B 解析：由S 9＝36，即9(a 1＋a 9)2＝36得a 1＋a 9＝8，故a 3＋a 7＝a 1＋a 9＝8.故选B ．5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝6，a 9＝17. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，(1)因为a 1＋a 3＝2a 2＝6，所以a 2＝3，所以d ＝a 9－a 29－2＝17－39－2＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋(n －2)×2＝2n －1. (2)a 1＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝n 2.1．(1)由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余的两个，即“知三求二”．(2)在运用等差数列的前n 项和公式求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，则用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知a 1及公差d ，则用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．(3)在运用公式S n ＝n (a 1＋a n )2求和时，要注意性质“m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用．2．等差数列的前n 项和S n 的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易．课时分层作业(五)等差数列的前n 项和公式(第1课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等差数列的前n 项和公式1．(5分)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝5a 1＋10d ＝25，a 2＝a 1＋d ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a 7＝a 1＋6d ＝13.2．(5分)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176B 解析：S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 4＋a 8)2＝88.3．(5分)设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝10a 1＋45d ＝20，a 5＝a 1＋4d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－7，d ＝2.4．(5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 5＝60，则a 5＝( ) A ．16 B ．20 C ．24D ．26A 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5， ∴3a 1＋3d ＝2a 1＋7d ，∴a 1＝4d . 又∵S 5＝5a 1＋10d ＝30d ＝60， ∴d ＝2，∴a 1＝8.∴a 5＝a 1＋4d ＝16.5.(5分)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________. 10 解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，即n 2＝100，解得n ＝10或n ＝－10(舍)．知识点2 等差数列前n 项和性质的应用6．(5分)含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A ．2n ＋1nB ．n ＋1nC ．n －1nD ．n ＋12nB 解析：∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2，又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B ．7．(5分)已知一个有限项的等差数列{a n }，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为( )A ．12B ．14C ．16D ．18B 解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，两式相加得a 1＋a n ＝30.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝30n 2＝210，所以n ＝14. 8.(5分)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝________. 210 解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即30,70，S 9－100成等差数列，∴140＝30＋S 9－100，∴S 9＝210.9.(5分)在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝________. －11 解析：由题意知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 11＝－11， 设公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，∴d ＝1， ∴S 1111＝－11＋10×1＝－1.∴S 11＝－11. 能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则( )A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40ACD 解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.由{a n }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.11．(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于( )A ．52B ．54C ．56D ．58A 解析：∵a 3＋a 7＋a 11＝12，∴a 7＝4，∴S 13＝13·(a 1＋a 13)2＝13a 7＝52. 12．(5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( ) A ．310B ．37C ．13D ．12A 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，∴a 1＝52d . ∴S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝48d 160d ＝310. 13.(5分)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.14.(5分)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等差中项为________．－6 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 1＋36d ＝－36，S 13＝13a 1＋78d ＝－104， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2. ∵a 5与a 7的等差中项为a 6，∴a 6＝4＋5×(－2)＝－6.15.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________. 2 3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)×12＝3，S n ＝na 1＋n (n －1)4＝152，得n 2－13n ＋30＝0，∴n ＝3或n ＝10.又当n ＝3时，a 1＝2>0；当n ＝10时，a 1＝－32<0，不合题意，舍去， 故a 1＝2，n ＝3.16.(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝2n ＋10.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2＋11n . 令n 2＋11n ＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).17.(13分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(2)是否存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，说明理由． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4.d ＝－6， ∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2. (2)存在．S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6. S n ＋2＝7(n ＋2)－3(n ＋2)2＝－3n 2－5n ＋2， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4. 若存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使S n，S n＋2＋2n，S n＋3成等差数列．。

《等差数列前n项和》教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列前n项和的定义及公式。

2. 培养学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过探究等差数列前n项和的性质，提高其数学思维能力。

二、教学内容1. 等差数列前n项和的定义。

2. 等差数列前n项和的公式。

3. 等差数列前n项和的性质。

三、教学重点与难点1. 重点：等差数列前n项和的定义、公式及性质。

2. 难点：等差数列前n项和的公式的推导及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列前n项和的定义及公式。

2. 利用案例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等差数列前n项和的性质。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识及数学交流能力。

五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的基本概念，引导学生思考等差数列前n项和的定义。

2. 新课：讲解等差数列前n项和的定义，推导出等差数列前n项和的公式。

3. 案例分析：运用等差数列前n项和公式解决实际问题，引导学生发现等差数列前n项和的性质。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固等差数列前n项和的公式及性质。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的重要性质。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问等方式了解学生对等差数列前n项和定义及公式的理解程度。

2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估学生对等差数列前n项和的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对等差数列前n项和性质的理解。

七、教学拓展1. 等差数列前n项和的公式在实际问题中的应用，如计算工资、奖金等。

2. 引导学生探究等差数列前n项和的公式的推导过程，提高学生的数学思维能力。

八、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。

2. 分析学生的学习情况，针对性地进行辅导，提高学生的学习效果。

九、课后作业1. 巩固等差数列前n项和的公式及性质。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的前n项和解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算方法。

三、教学难点1. 等差数列的性质的理解与应用。

2. 等差数列的前n项和的计算方法的推导与理解。

四、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：教师通过PPT或黑板，展示一些数列的例子，引导学生思考数列的规律。

2. 讲解：教师讲解等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法，通过示例进行解释和说明。

3. 练习：教师给出一些等差数列的问题，让学生独立解决，并给出答案和解析。

4. 应用：教师给出一些实际问题，引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题，并提供解答和解析。

5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的重要性和应用价值。

六、教学拓展1. 引导学生思考等差数列的前n项和的性质，如奇数项和偶数项的和是否相等。

2. 引导学生探索等差数列的前n项和的公式推导过程。

七、课堂小结1. 回顾本节课学习的等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 强调等差数列的前n项和在实际问题中的应用价值。

八、作业布置1. 完成教材或练习册上的相关习题，巩固等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 选取一道实际问题，运用等差数列的前n项和解决，并将解题过程和答案写下来。

九、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，观察学生对等差数列的概念、性质和前n 项和的计算方法的掌握程度。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和解题策略，为下一节课的教学做好准备。

十、教学评价1. 学生完成作业的情况，判断学生对等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的掌握程度。

等差数列前n项和的公式教案一、教学目标1.知道等差数列的定义；2.掌握等差数列前n项和的公式；3.能够运用前n项和的公式解决实际问题。

二、教学重点等差数列前n项和的公式三、教学难点如何运用前n项和的公式解决实际问题。

四、教学过程1. 导入新知识教师可以用一个具有代表性的例子导入等差数列这个概念，比如：有一个数列a1, a2, a3, …，知道其中第一个数为2，公差为5。

求第5个数 a5是多少？通过这个例子，学生可以理解等差数列的定义和公差的概念。

然后，教师可以引出等差数列前n项和的概念。

2. 讲解等差数列前n项和的公式让学生可以通过简单的推导得到公式，即：$$S_n = \\frac{(a_1 + a_n)n}{2}$$其中，S n表示前n项和，a1为等差数列的第一项，a n为等差数列的第n项。

3. 运用前n项和的公式解决实际问题在这一部分，教师可以给出一些实例，让学生通过前n项和的公式来解决问题。

比如：例1：一个等差数列的第一项为2，公差为3，求这个等差数列的前10项和。

答案：根据公式，$S_{10}=\\frac{(2+29)\\times10}{2}=155$。

例2：一个等差数列的前5项和为50，公差为3，求这个等差数列的首项。

答案：根据公式，$S_5=\\frac{(a_1+a_5)\\times5}{2}=50$，代入公差为3，得到a1=8。

4. 练习让学生自己编写几个例子，展示能否正确地使用前n项和的公式。

5. 总结归纳老师可以让学生自己总结等差数列前n项和的公式和运用方法。

五、教学反思本教案通过公式推导、实际例子演示和自主练习等途径，让学生掌握了等差数列前n项和的公式和运用方法。

同时，也为其后的数列计算打下了坚实的基础。

等差数列的前n项和（第一课）教学目标：1、掌握等差数列前n项和公式的推导方法．2、掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．3、掌握等差数列的前n项和的简单性质教学重点：等差数列的前n项和的应用教学难点：等差数列前n项和公式的推导方法核心素养：1、数学抽象：等差数列前n项和公式2、逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导3、数学运算：等差数列前n项和公式的运用4、数学建模：等差数列前n项和公式综合运用教学过程：一、情景导入问题情境：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题引导1：1+2+3+…+98+99+100=？1+100=2+99=3+98=•••=50+51=10150×(1+100)=5050高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.【通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。

发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

】问题引导2：1+2+3+…+98+99+100+101=？5151515010251)5250(...)1002()1011(=+⨯=+++++++问题引导3：你能计算1＋2＋3＋…＋n 吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论.[]2)1()12(2...)1(2)1(n n n n n n S n n +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++=时偶数时，有当[]2)1(2121)1(21)12(2...)1(2)1(+=++-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+++=n n n n n n n n n n Sn n 时奇数时，有当【让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。