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等可能概型的概率计算-

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1-4 等可能概型(古典概型)

1-4 等可能概型(古典概型)
n! 一共有 n !n ! n !种分法。(n1+n2+„+nk = n ) 1 2 k
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；

1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)

概率论1-4

概率论1-4

n
C3 100
k C926C41
P(C) C926C41 C3
100
练习：设在N 件产品中，有 D件次品，其余均为正 品．任取n件，问其中恰有k(k≤D)件次品的概率。
解：所求的概率为
P
C C k nk D ND CNn
上式为超几何分布的概率公式。
练习、课后习题第五题
古典概率的计算：投球入盒
分析 此问题可以用投球入盒模型来模拟
50个学生
50个小球
365天
365个盒子
P( A)
C 50 365

50!
36550
0.03
至少有两人生日相同的概率为
P( A) 1 0.03 0.97
例：一单位有5个员工，一星期共七天，
老板让每位员工独立地挑一天休息，
求不出现至少有2人在同一天休息的
概率。
b
----------与k无关
10
例、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中 至少有两只配成一双的概率是多少？
解、考虑4只鞋子是有次序是有次序一只一只取出
令A=“4只鞋子中至少有两只配成一双”
则 A “所取4只鞋子无配对” P( A) 1 P( A) 1 108 6 4 13 1098 7 21
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
试验 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
S ={1，2，3，4，5，6}
n=6
事件A
Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”={4，6} m=2
事件A的概率
P( A) m 2 1 n 63
例、掷一枚硬币三次，（1）设事件A1为“恰有一 次出现正面”，求P(A1 )；（2）设事件A2为“至少 有一次出现正面” ，求P(A2 )

概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)

概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)

利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N

7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4

2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!

CH1第4节 等可能概型(古典概型)

CH1第4节 等可能概型(古典概型)
9 6 3 3 (答案 : p 1 9 9 106 ) 1 3
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四

等可能概型(古典概型)

等可能概型(古典概型)
概率的取值具有非负性，即对于任何事 件A，都有P(A)>=0。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。

概率论与数理统计

概率论与数理统计
记下颜色, 重复 m 次.
E: 球编号, 一次取出 m个球, 记下颜色.
(或 Ab )1) #S P (a ,b)( a
k # A Cm Pak Pbmk ,
m ab
m ab
#b S n C , (a 1)
m ab
k mk # A Ca Cb ,
—— 超几何分布—— 注: 不放回地逐次取 m 个球与一次取 m 个球所得结果相同.
解: A = “取到的数被 6 整除”， B = “取到的数被 8 整除”.
则
P ( A) 333 , 2000 P ( B) 250 , 2000 P( AB) 83 , 2000
所求为：P( A
B ) P ( A B) 1 P ( A B )
1 [ P( A) P( B) P( AB )] 1 ( 333 250 83 ) 3 . 4 2000 2000 2000
1
例1. 一个盒中装有10个大小形状完全相同的球. 依次将球
编号为1-10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球 . 1. 样本空间 S = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 }?
2. 记 A = “摸到 2 号球”，则 P(A) = ?
A = { 2 },
P( A) # A 1 ; # S 10
5 1 9 4 6 7 2 3 10 8
3. 记 B = “摸到红色球”，则 P(B) = ? B = { 1 2 3 4 5 6 }, P( B) # B 6 . # S 10
第一章 概率论的基本概念
2
例2 (p.13 例6). 在 1~2000 的整数中随机地取一个数，求
该数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率.

等可能概型的概率计算


生日问题
例5：某班有n个学生，设一年有N天
他们的生日各不相同的概率为
P( A)

CNn n! Nn
至少有两人生日相同的概率为
P(
A)

1

CNn n! Nn
n 10 20 23 30 40 50
P( A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
• 例6：设有 k 个不同的球, 每个球等可能 地落入 N 个不同的盒子中（kN），
• 例8（约会问题）： 两人约定于早上8点至9点 在校门口见面。先到者等20分钟后离去。假定 两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间 是等可能的。问两人能见面的概率是多少？
解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的
分钟数。
则0≤x≤60,0≤y≤60
60
两人能见面，即|x-y|≤20
即图中的阴影部分
§1.3 等可能概型的概率计算
1、古典概型
(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。 (2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。
这种试验称为古典概型试验。
定义 若试验结果一共有n个基本事件组成，
且这些事件的出现具有相同的可能性，且事
件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的
概率为
P(A)

A包含的样本点数 样本点总数
B包含的样本点数为
P(B)
C17C128 C375
0.0000292
C67C128
例3：(抽签)设有8张票，其中有3张电影票。甲、 乙、丙、丁依次抽取，分别在有放回与不放回 的情况下计算甲、乙、丁抽到电影票的概率。
解：分别用A、B、D表示甲、乙、丁抽到电影票。

等可能条件下的概率(一)

2
(4)要使摸出的红球的概率是 1 ，则还需再加几个红球？
制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易 出错。有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所 以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的 。
刚才试验的结果有哪些特点？
试验结果具有有限性和等可能性
一射手射击打靶，“中靶”与“脱靶” 这两个事件是等可能的吗？
一箱灯泡有24个，合格率为80%，从中任意 拿一个是次品的概率为（ ） 20 1 A、 B、80% C、 24 D、1
5
．
一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，
2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的
展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的
1 数恰好等于朝下一面上的数的 的概率是 2
（ ）
1 A、 6
无论是试验的所有可能产生结果是有限 个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试 验结果才具有等可能性？ ①在试验中发生的事件都是随机事件
②在每一次试验中有且只有一个结果出现
③每个结果出现机会均等
抛掷一只均匀的骰子一次。 （1）点数朝上的试验结果是有限的还是无限的？ 如果是有限的共有几种？ （2）哪一个点数朝上的可能性较大？ （3）点数大于4与点数不大于4这两个事件中， 哪个事件发生的可能性大呢？ 4 2 2 1 P(大于4) P(不大于4) 6 3 6 3
书P199 1~4
1、从一副扑克牌中，任意抽一张。问： （1）抽到大王的概率是多少？ （2）抽到8的概率是多少？ （3）抽到红桃的概率是多少？ （4）抽到红桃8的概率是多少？ 2、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他 们三人中送出一人去帮助王奶奶干活，则小明被选 中的概率为______，小明未被选中的概率为_____。 3、抛掷一枚均匀的骰子，它落地时，朝上的点数为 6的概率为______。朝上的点数为奇数的概率为 _______ 。朝上的点数为0的概率为______，朝上 的点数大于3的概率为______。

概率论与数理统计-等可能概型

1 PB PC PBC
1 5n 8n 4n 9n 9n 9n
等可能概型
例 10 一部10卷文集，将其按任意顺序排放在 书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率． 解：设 A={ 10卷文集按先后顺序排放 }
将10卷 文 集 按 任 意 顺 序 排，放共 有10！ 种 不 同 的 排法（样本点总数）．
?200axxd?????????????????m几何概型xl?2sin?x??a2dasin200????????lxxa??????????22sin20aladldap??????????????????的面积的面积200axxd????????????????0几何概型思考题1某人午觉醒来发觉表停了他打开收音机想听电台报时过求他等待的时间不超过10分钟的
二
几何概型
几何概型
几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的 随机试验。
首先看下面的例子。
例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
几何概型
解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，
62
42 22
P(B)
0.556
62
P(C )
C41C
1 6
62
P(C) 1 P(C ) 1 22 0.889
62
无放回抽取:
C2 4
P( A) C2
6
P42 P62
P(B)
C 42
C
2 2
C
2 6
P42 P22 P62
P
(C
)
1
P(C
)

概率论等可能概型


决策理论
01
02
03
பைடு நூலகம்
决策理论是研究如何根 据不同的可能性选择最 优方案的学科，等可能 概型在决策理论中也有
着重要的应用。
在决策理论中，等可能 概型常用于描述风险决 策和不确定性环境下的
决策问题。
通过等可能概型，可以 计算期望值和期望效用 ，从而进行风险评估和 决策分析，帮助决策者
做出最优选择。
06
03
等可能概型的基本概率公式
概率的加法定理
互斥事件的概率加法定理
如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
完备事件的概率加法定理
如果事件A和B是完备的，那么P(A∪B)=1，且P(A)+P(B)=1。
条件概率
条件概率的定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的 概率定义为P(A∣B)=P(A∩B)P(B)。
04
等可能概型在概率论中具有广泛的应用，如排列组合、概率分布、随 机变量等。
等可能概型的未来发展
随着大数据和人工智能的兴起，等可能概型在 数据分析和机器学习等领域的应用将得到更深
入的研究和应用。
未来，等可能概型的研究将更加注重理论证明和实际 应用的结合，以更好地服务于各个领域的发展。
随着科学技术的不断发展和概率论的深入研究 ，等可能概型的应用范围将不断扩大。
概率论等可能概型
• 引言 • 等可能概型的定义与性质 • 等可能概型的基本概率公式 • 等可能概型中的随机变量 • 等可能概型的应用 • 结论
01
引言
主题简介
概率论等可能概型是概率论的一个重 要分支，主要研究在等可能性的前提 下随机事件发生的概率。
它涉及到随机试验、样本空间、事件 、概率空间等多个概念，是概率论的 基础。
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计算几何概率的关键是根据问题涉及的几 何度量将古典概型中的等可能性做适当引 申，然后就可用类似（1-9）的方法进行计 算.
y
60
10
O 10
60 x
图1.3
Ai i ， i1,2,,n,
（2）（等可能性）每个基本事件发生的可能 性都相同，即 P (A 1)P (A 2) P (A n), i1,2,,n,
则称这种随机试验的数学模型为古典概型. 这种模型是概率论发展初期的主要研究对 象，一方面，它相对简单、直观，易于理 解. 另一方面，它又能解决一些实际问题， 因此，至今在概率论中都占有比较重要的
§1.3 等可能概型的概率计算
在上一节，运用概率基本公式，可以 根据一些事件的概率计算另一些事件的概 率. 现在问题是这些已知概率又当如何获取 呢？或者说，怎样直接计算一些简单事件 的概率呢？本节在等可能概率模型下讨论 这一问题. 一、古典概型
若随机试验具有以下两个特征：
（1）（有限性）在试验或观察中，样本空间 只有有限个基本事件
可将其表为
于是
AA i1A i2A .
P ( A ) P ( A i 1 ) P ( A i2 ) P ( A ik)
k n
A中包含的样本点个数
样本点总数
二、几何概型
我们看到，古典概型要求全部试验结 果必须是有限的、等可能的，计算概率所 用的工具主要是排列组合. 不过，在某些情 况下，对试验结果无限多且都等可能的随 机现象，也可以建立相应的概率计算模型. 对于结果的无限性，常需借助一些几何度 量（如长度、面积、体积等）来计算概率， 故把这类模型称为几何概型，由此求得的 概率也称几何概率.
地位. 下面，我们给出古典概型中概率的计 算公式. 因为， A 1A 2A n 所以
1 P ( ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ) .
结合 P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n )，即知 P(Ai)1 n, i1,2,,n.
对古典概型中的任一事件 A{i1,i2,,ik}，