2013届高三数学二轮复习精品教学案：【专题一】数形结合思想(23页)

专题一】数形结合思想考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020 年可能有所加强。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休” 。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。

【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

专题复习课---《数形结合思想》教学设计一、课型：复习课二、授课教师：王宗岳授课对象：高三（7）班三、授课时间：2013年4月18日授课地点：多媒体教室四、教学目标（1）知识与技能①从不同角度探索数形结合思想在解题中的运用，理解数与形的相互转化；②理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质.（2）过程与方法①通过典型例子和变式迁移，让学生体会如何把代数问题通过数形结合进行转化。

②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生积极参与、大胆探索的精神和勤于思考、善于思考的学习习惯, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.五、教学重点：理解“数形结合”思想的实质，有效掌握该类问题的基本技能.六、教学难点：利用“数形结合”思想，通过“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.七、教学过程板书设计一、数形结合的概念：代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题可以代数化（以数促形）二、例题分析：例1 例2 ……教学反思：1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程． 2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性。

专题2数形结合思想数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.数形结合是历年高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其中“以形助数”是其主要方面，其方法的关键是根据题设条件和探求目标，联想或构造出一个恰当的图形，利用图形探求解题途径，对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果，对于解答题要重视数形转换的等价性论述，避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.1．设命题甲：0<x <3，命题乙：|x －1|<4，则甲是乙成立的________条件．2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均为坐标原点，它们的焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则椭圆的离心率的取值范围是________．3.设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上，f (x )＝________.4．若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系是________．5解析：作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象，如图，而f (x )x 的几何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知f (a )a <f (b )b <f (c )c.答案：f (a )a <f (b )b <f (c )c4解析：原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0<x <3)， 设y 1＝－(x －2)2＋1(0<x <3)，y 2＝m .在同一坐标系中画出它们的图象(如图)．由原方程在(0,3)内有两解，知y 1与y 2的图象只有两个公共点，可见m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)3解析：法一：由y ＝f (x )是最小正周期为2的函数，得到函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的图象为如图所示的线段BD .函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的图象是经过B (1,1)，D (2,2)的线段，由待定系数法，求得f (x )＝x (x ∈[1,2])．法二：当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－1,0]时，f (x )＝f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2(0≤－x ≤1)，由最小正周期为2，得当x ∈[1,2]时，f (x )＝f (x －2)＝(x －2)＋2＝x .答案：x2解析：如图，由题意知PF 1＝10， PF 2＝2c ，且PF 1>PF 2.双曲线的离心率e 双＝2c 2a 双＝2c PF 1－PF 2＝2c 10－2c ＝c5－c，又e 双∈(1,2)，所以1<c 5－c <2，得32<5c <2；椭圆的离心率e 椭＝2c 2a 椭＝2cPF 1＋PF 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c ＝15c ＋1，所以e 椭∈⎝⎛⎭⎫13，25. 答案：⎝⎛⎭⎫13，251解析：将两个命题用数轴表示，如图：从图中可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件．答案：充分不必要[典例1]已知a ，b 为不共线的向量，设条件M ：b ⊥(a －b )；条件N ：对一切x ∈R ，不等式|a －x b |≥|a －b |恒成立．则M 是N 的________条件．[解析] 法一：构造直角三角形OAB ，其中a ＝OA ―→，b ＝OB ―→，x b ＝OD ―→，则a －b ＝BA ―→，由b ⊥(a －b )得∠ABO ＝90°.当点D 与点B 不重合时，由斜边大于直角边得|a －x b |>|a －b |；当点D 与点B 重合时|a －x b |＝|a －b |.反之也成立，故M 是N 的充要条件．法二：将不等式|a －x b |≥|a －b |两边平方后转化为b 2x 2－2(a ·b )x ＋2a ·b －b 2≥0对于任意实数x 恒成立⇔Δ＝4(a ·b )2－4b 2(2a ·b －b 2)＝4(b 2－a ·b )2≤0，⇔b 2－a ·b ＝0⇔b ·(b －a )＝0⇔b ⊥(a －b )．[答案] 充要本题是判断向量条件与数量条件之间的关系，利用向量加、减运算的几何意义构造三角形，可使向量、数量关系具体化．[演练1]已知OA ＝(3，－4)，将OA 绕着原点逆时针旋转45°后得到向量OD ，则D 点的坐标为________．解析：法一：设D (x ，y )，OA 与OD的夹角为θ，由题意可得| OD |＝| OA |，cos θ＝22，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝25，3x －4y 25＝22，解得⎩⎨⎧x ＝722，y ＝－22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－722.又OD 是由OA 绕着原点逆时针旋转45°所得，由图可知D 坐标为⎝⎛⎭⎫722，－22. 法二：如图，将OA所在射线看作α的终边，x 正半轴看作始边，由三角函数定义可得A (5cos α，5sin α)，即OA ＝(5cos α，5sin α)，又将OA绕着原点逆时针旋转45°后得到向量OD，所以OD＝⎝⎛⎭⎫5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4，5sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫22(5cos α－5sin α)，22(5sin α＋5cos α)＝⎝⎛⎭⎫722，－22. 答案：⎝⎛⎭⎫722，－22 [典例2]已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点．求PF 1＋P A 的最大值和最小值．[解] 由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，PF 1＝2a －PF 2＝6－PF 2，∴PF 1＋P A ＝6－PF 2＋P A ＝6＋P A －PF 2. 如图：由|P A －PF 2|≤AF 2＝ (2－1)2＋(0－1)2＝2知－2≤P A －PF 2≤ 2.当P 在AF 2延长线上的P 2处时，右边取等号； 当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，左边取等号． 即P A －PF 2的最大、最小值分别为2、－ 2. 于是PF 1＋P A的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.圆锥曲线中与焦点有关的最值问题，求解时可作出图形，借助定义数形结合求解． [演练2]已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：点Q (2，－1)在抛物线y 2＝4x 的内部，要使点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值，根据抛物线的定义知，需使点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线准线距离之和取得最小，即PQ ⊥准线l 时最小．则P ⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－1 [典例3]函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值范围是________． [解析] 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )在区间(0,1)内总有一个交点．要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的整数恰有4个，则只要f (4)<g (4)且f (5)>g (5)即可．由⎩⎪⎨⎪⎧49<16a ，81>25a ，得4916<a <8125.[答案] ⎝⎛⎭⎫4916，8125当不等式的解集不易求出时，可构造函数，利用函数的图象直观寻找不等式成立的条件． [演练3]已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：易知a ≠0，由f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－12＝－1a x ，分别画出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1a x 的图象(如图所示)，由图易知当0<－1a <1或－1<－1a<0时，y 1和y 2的图象有两个不同的交点，即当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点． 所以a 的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[专题技法归纳] 1．数形结合，数形转化常应用于以下几个方面： (1)集合的运算及韦恩图；(2)函数与图象的对应关系，导数的几何意义；(3)解析几何中方程的曲线与方程的关系；(4)以几何元素和几何条件为背景建立的概念，如三角函数和向量； (5)所给代数式的结构含有明显的几何意义，如斜率、截距和距离等．2．数形结合的思想简而言之就是代数问题几何化，几何问题代数化，充分利用图形的直观性和代数推理的合理性和严密性研究问题．1．已知函数f (x )＝|2x －1|，若a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中必成立的是________．(填序号) ①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.2．设函数g (x )＝x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是________．3．已知u ≥1，v ≥1且(log a u )2＋(log a v )2＝log a (au 2)＋log a (a v 2)(a >1)，则log a (u v )的最大值为________，最小值为________．4．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．5．已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是________．6．(2012·江苏高考)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba 的取值范围是________．7．设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．8．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．9．函数u ＝2t ＋4＋6－t 的值域是________．10.如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB ＝90°，AC ＝2)沿x 轴滚动，设顶点A (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则f (x )在其相邻两个零点间的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为________．11.为加强安全防范，某商场在门前5 m 处的灯杆上B 处安装了一个监控探头，用来监视商场大门附近发生的情况．若商场门FG 的高为h m(0<h <4)，紧接门上有一高为1 m 的平面镜制的幕墙EF ，探头安装在距离地面x m(6≤x ≤9)处，设探头通过平面镜的监控宽度为C ′D ′，如图所示，记C ′D 的长为y m(y＝GD ′－GC ′)．(1)当门的高度h ＝3 m 时，求监控宽度y 关于x 的函数关系式并求出函数的最大值；(2)为了使探头通过平面镜EF 能监控到A 点，即灯杆的下端点A 在C ′，D ′之间(包括端点C ′，D ′)，C ，D 为C ′，D ′在平面镜中所成的像，问商场门的高h 在什么范围时可以实现．12．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋1(a 、b ∈R ，且b ≥－2)，当x ∈[－2，2]时，总有f ′(x )≤0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝－3f (x )＋mx 2－6x (m ∈R )，求证：当x ∈[0,1]时，|g ′(x )|≤1的充要条件是1≤m ≤ 3.12解：(1)由条件，得f ′(x )＝13·3x 2＋12a ·2x ＋b ＝x 2＋ax ＋b ，当x ∈[－2，2]时，总有f ′(x )≤0，结合f ′(x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，所以有⎩⎨⎧ f ′(－2)≤0，f ′(2)≤0.即⎩⎨⎧2－a 2＋b ≤0， ①2＋a 2＋b ≤0. ②由①＋②得，4＋2b ≤0⇒b ≤－2.又b ≥－2，∴b ＝－2.把b ＝－2代入①和②得⎩⎨⎧2－a 2－2≤0，2＋a 2－2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ≤0.所以a ＝0. 因此f (x )＝13x 3－2x ＋1.(2)证明：g (x )＝－3⎝⎛⎭⎫13x 3－2x ＋1＋mx 2－6x ＝－x 3＋mx 2－3， g ′(x )＝－3x 2＋2mx 是关于x 的二次函数，观察y ＝g ′(x )的图象因为g ′(0)＝0，所以当x ∈[0,1]时，|g ′(x )|≤1⇔⎩⎨⎧g ′(1)＝－3＋2m ≥－1，0≤m 3≤1，g ′⎝⎛⎭⎫m 3＝m 23≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝－3＋2m ≤1，m 3>1，或⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝－3＋2m ≥－1，m 3<0⇔1≤m ≤ 3.11解：由题意知，△ACB ∽△GCF ，所以FG AB ＝GCAC ，即h x ＝GC 5＋GC ，解得GC ＝5h x －h .又△GDE ∽△ADB ， 所以GE AB ＝GD AD ，即h ＋1x ＝GD 5＋GD ，解得GD ＝5h ＋5x －h －1.(1)当h ＝3 m 时，由于C ，D 为C ′、D ′在平面镜中所成的像，所以y ＝GD ′－GC ′＝GD －GC ，则y ＝20x －4－15x －3，即y ＝5xx 2－7x ＋12(6≤x ≤9)．y ′＝5(x 2－7x ＋12)－5x (2x －7)(x 2－7x ＋12)2＝－5(x 2－12)(x 2－7x ＋12)2.当x ∈[6,9]时，y ′<0，所以函数y ＝5x x 2－7x ＋12在[6,9]上单调递减，所以当x ＝6时，y max ＝202－153＝5.(2)若探头通过平面镜EF 能监控到A 点，即GC ′≤GA ≤GD ′.所以GC ′≤5≤GD ′，即5hx －h ≤5≤5h ＋5x －h －1在x ∈[6,9]上总成立，即⎩⎪⎨⎪⎧5hx －h ≤5，5h ＋5x －h －1≥5，解得2h ≤x ≤2h＋2.故⎩⎪⎨⎪⎧2h ≥6，2h ＋2≤9. 所以3≤h ≤3.5，即h 的范围为[3,3.5]．10解析：作出点A 的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示．其轨迹为两段圆弧，一段是以C 为圆心，CA 为半径的四分之一圆弧；一段是以B 为圆心，BA 为半径，圆心角为3π4的圆弧．故其与x 轴围成的封闭图形的面积为12×22×π2＋12×2×2＋12×(22)2×3π4＝2＋4π. 答案：2＋4π9解析：可令x ＝2t ＋4，y ＝6－t ，消去t 得：x 2＋2y 2＝16(0≤x ≤4，0≤y ≤22)，所给函数化为含参数u 的直线系y ＝－x ＋u ，如图知u min ＝22，当直线与椭圆相切于第一象限时u 取最大值，此时由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋u ，x 2＋2y 2＝16，得3x 2－4ux ＋2u 2－16＝0，由Δ＝0⇔u ＝±26，因直线过第一象限，∴u max ＝26，故所求函数的值域为[22，26]． 答案：[22，26]8解析：如图，设弦AC ，BD 的中点分别为P ，Q ，连结OP ，OQ ，OM ，则OP ⊥AC ，OQ ⊥BD ，又AC ⊥BD ，故四边形OPMQ 为矩形，设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD ＝2(4－d 21)(4－d 22)≤8(d 21＋d 22)＝5，当且仅当d 1＝d 2＝62时，等号成立． 答案：57解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 4＝4a 1＋6d ≥10，即2a 1＋3d ≥5，S 5＝5a 1＋10d ≤15，即a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ， 因此求a 4的最值可转化为在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，a 1>0，d >0下的线性目标函数的最值问题，作出可行域，如图可知当a 4＝a 1＋3d ，经过点A (1,1)时有最大值4. 答案：46解析：由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧3·a c ＋bc≥5，a c ＋bc ≤4，b c ≥e a c，令a c ＝x ，bc＝y ，则问题转化为约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y ≥e x ，求目标函数z ＝b a ＝yx的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y ＝e x 的切线，切线方程为y ＝e x ，切点P (1，e)在区域内．故当直线y ＝zx 过点P (1，e)时，z min ＝e ；当直线y ＝zx 过点C ⎝⎛⎭⎫12，72时，z max ＝7，故ba∈[e,7]． 答案：[e,7]5解析：由题间可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．答案：94解析：设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”．答案：23解析：令x ＝log a u ，y ＝log a v ，则已知式可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)．再设t ＝log a (u v )＝x ＋y (x ≥0，y ≥0)，则当线段y ＝－x ＋t (x ≥0，y ≥0)与圆弧(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)相切时，如图截距t 取最大值t max ＝2＋22(图中CD 位置)；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min ＝1＋3(图AB 位置)．因此log a (u v )的最大值是2＋22，最小值是1＋ 3.答案：2＋22 1＋ 3 2解析：依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－2－x ，－1≤x ≤2.由图象得f (x )值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 1解析：画出f (x )的图象如下：由图象可得：a <0，c >0，b 在(a ，c )之间，但符号不确定，排除①②，因为a <0<c ，f (a )>f (c )，所以－a >c ，所以2－a >2c ，排除③，故选④.答案：④。

高中数学复习专题讲座数形结合思想【思想介绍】数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学，简单的说就是“数”与“形”。

“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想。

它是数学中重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位。

数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。

在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。

正如著名数学家华罗庚所说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

”【考题展示】1.（2010年全国新课标卷理11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等， 且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是【答案】C(A) (1,10) (B) (5,6) (C ) (10,12) (D)(20,24)2.（2010年山东卷理16) 已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线:1y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 .【答案】-3=0x y +3.（2010年陕西卷理20) 如图，椭圆1:2222=+by a x C 的顶点 为,,,,2121B B A A 焦点为12,F F ，711=B A ，112211222A B A B B F B F S S =（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点,与椭圆相交于A,B 两点的直线，1||=OP ，是否存在上述直线l 使1=•PB AP 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

第四讲思想方法与规范解答(一)思想方法1．数形结合思想所谓数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数"，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想．［例1］（2012年高考辽宁卷）设函数f（x）(x∈R）满足f（－x)＝f(x)，f(x）＝f(2－x)，且当x∈［0，1]时，f（x)＝x3.又函数g(x）＝|x cos (πx）｜，则函数h(x）＝g（x）－f(x)在［－12，32］上的零点个数为（）A．5B．6 C．7 D．8[解析] 根据函数y＝f（x)的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数y＝f（x）是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f(x）＝x3，则当－1≤x≤0时，f(x)＝－x3，且g(x）＝｜x cos (πx)｜，所以当x＝0时，f（x)＝g（x)．当x≠0时,若0〈x≤12，则x3＝x cos (πx）,即x2＝｜cos πx|。

同理可以得到在区间［－错误!，0），(错误!，1］,（1，错误!]上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．［答案］B跟踪训练已知f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，a<b〈c,且f(a）＝f（b)＝f（c）＝0。

现给出如下结论：①f（0）f(1)〉0；②f(0)f(1）〈0；③f(0）f(3）>0；④f（0)f（3)〈0.其中正确结论的序号是( ）A．①③B．①④C．②③D．②④解析:利用函数的单调性及数形结合思想求解．∵f′(x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1)（x－3),由f′（x）<0，得1〈x〈3,由f′（x）〉0,得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1，3）上是减函数，在区间（－∞，1），（3,＋∞）上是增函数．又a〈b<c,f(a）＝f(b）＝f（c)＝0，∴y极大值＝f(1）＝4－abc>0，y极小值＝f（3）＝－abc<0,∴0〈abc<4.∴a，b，c均大于零,或者a<0，b〈0,c〉0。

姓名李鸿铭学生姓名张泽昕填写时间2013.3.07学科数学年级高三教材版本人教A版课题名称数形结合思想课时计划 2 上课时间2013.3.07 教学目标同步教学知识内容个性化学习问题解决教学重点教学难点教学过程教师活动第5讲数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y-+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于kkkxxx31322-=++分析：0)(32)(2=++=xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f=-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f>，()()02bf f ka-=-<10(10)k k-<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。