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实际问题与二次函数----拱桥问题(讲课)

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实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册

实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册

例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数

人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线精品课件

人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线精品课件

位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y=ax2
y
y
y=a(x-h)2
O
x
O
x
O
x
y=ax2+k
y=a(x-h)2+k 或y=ax2+bx+c
情境导入
生 活 中 的 抛 物 线
利用二次函数解决实物抛物线形问题
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，水面宽是4 米时，拱顶离水面2米。现在想了解随着水面宽度的变化，拱顶 离水面的高度怎样变化，就需要建立函数模型进行探究。你知 道如何合理地建立平面直角坐标系吗？
图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y 1 x2 0.5(450 x 450) 2500
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长. 49.5m 64.5m
y
-450
O
x 450
拓展训练
某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地 面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算 加以说明;若不能,请简要说明理由.
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
课堂检测
3.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥
面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。已知两端主塔之间的水平距离为900m，
两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如
y (1，2.25)
(0，1.25) A

专题22.3.3 实际问题与二次函数(拱桥问题)(课件)-2019-2020学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)

专题22.3.3 实际问题与二次函数(拱桥问题)(课件)-2019-2020学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)

2m
4m 0
x
情景思考（拱桥问题）
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽 4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
y
2m
0 4m
x
情景思考（拱桥问题）
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽 4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
y
2m
0
4m
x
随堂测试
1.如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。
1）水面上升1m, 水面宽度为多少？
2）水面宽度增加多少？
请用4种方法尝试解答பைடு நூலகம்
2m 4m
情景思考 2.抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面 5米．现有一辆集装箱车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算说明此
情景思考（拱桥问题）
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽
4m。水面下降y1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？ 0
x
2m
4m
新建坐标轴位置不同，所列方程不同
情景思考（拱桥问题）
如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽
4m。水面下降y1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？
人教版 数学九年级上册
中物理
第二十二章 二次函数
22.3.3 实际问题与二次函数 （拱桥问题）
前言 学习目标 1.根据实际问题，找出变量之间存在的关系，列出函数关系式并确 定自变量的取值范围。 2.通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。
重点 列出二次函数关系式，并确定自变量的取值范围。 难点 通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。

22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册

距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课 堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练 的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习 度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知 由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题3 如何确定a是多少？ 索 解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精 状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰 式 在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 训 向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能 力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；

人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)

人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)

合作探究 达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为: 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面 直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远 距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什 么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
合作探究 达成目标
探究点二 用二次函数解决生活中的实际问题
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究 达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为: ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究 达成目标
“二次函数应用”的思路 回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的 过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴 交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D B
y=-2x2
达标检测 反思目标
102
感谢关注！
创设情境 明确目标

二次函数实际问题之拱桥与运动问题+课件+++2024--2025学年人教版九年级数学上册+

二次函数实际问题之拱桥与运动问题+课件+++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
行车道，那么这辆货车能否安全通过？
1
1 2
解：∵y＝− 6x +2x+4=− (x-6)2+10
6
∴对称轴为直线x＝6，
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
∴当x＝2或x＝10时，y＝
∴这辆货车能安全通过.
22
＞6，
3
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果
三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象，为下
列选项中的( D )
A
B
C
D
例2
55页第3
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均
为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以
2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与
时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，


∴y＝ AM·HM＝ (20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．


叁 课堂练习
55页第6
城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通
道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2

2
解得a＝－ ，∴y＝－ x ，当水面下降1


m时，
2
即y＝－3时，－3＝－ x ，

解得x1＝－
∴
－(－
，x2＝
)＝2
，
．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2

人教版初中数学九年级上册 实际问题与二次函数(第3课时拱桥和运动中的抛物线问题)课件PPT




故抛物线的解析式是 = − ( − ) +、
当 = 时， = −


−
所以他不能把球投中、

+=


≠ ，
O
20
米
9
4米
4米
3米
x
随堂训练
1、如图所示,阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，
其解析式为 = − + + ，则水柱的最大高度是（ C ）
由、
解：如图，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系、
∵ = , ∴ −, ，(, )、
∵ = 、 ， ∴
(，、)
设抛物线的解析式为
= +、、、
∵抛物线过点(−, ), ∴ + 、 = ，∴ =
− 1、1、、
识表示它们吗？
3
温故知新
下面是同一个二次函数的图象，请你根据它不同的坐标系中
的位置，说出它的二次函数的解析式形式、
y
O
x
x
x
O
（1） =
y
y
（2） = +
O
（3） = ( − ) +
（4） = + +
4
知识讲解
1、利用二次函数解决实物中的抛物线形问题




（2）设 = − − + 2，将（0，0）代入，得 = − ，∴ = − −



+ 、
知识讲解
★解决抛物线形实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；

人教版九年级(上)3实际问题与二次函数拱桥问题PPT-公开课


间t（单位：s)的函数解析式是y=60t－ t2，则飞
机从着陆至停下来共滑行了
（D ）
A. 25 m
B. 50 m
C. 625 m
D. 750 m
【 名 师 示 范 课】人 教版九 年级上 册22.3 实 际问 题与二 次函数 拱 桥 问题课 件-公开 课课件 （推荐 ）
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2. 图F22-26-2中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 面4 m时，水面宽8 m．水面上升3 m，水面宽度 减少多少？
【 名 师 示 范 课】人 教版九 年级上 册22.3 实 际问 题与二 次函数 拱 桥 问题课 件-公开 课课件 （推荐 ）
2．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最 大值或最小值.
二次函数解析式的一般式、顶点式分别是什么？ 顶点在原点、x轴上、y轴上以及不在坐标轴上二次 函数的解析式分别可以记作什么？
探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水
面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加 了多少？
解法1
解法2
解法3
解 一
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 面直角坐标系，如图所示.
y轴，建立平
∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5 ∴这条抛物线所表示的二次函数为:
y0.5x2
当水面下降1m时,水面的纵坐 标为y=-3,这时有:

人教版九年级上册 22.3 实际问题与二次函数 第2课时 拱型桥问题 课件(16张PPT)

yax2 2
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 6:13:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
30.5x2 x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 (2 6 4)m
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示的 二次函数的解析式为:
运用 数学问题 数学知识 问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
10.5x22 x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 (2 6 4)m
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x
轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面

人教版九级上册 实际问题与二次函数 拱桥问题课件

人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
课后练习
A组
1. 某涵洞是抛物线形，截面如图F22-26-1所示.现
测得水面宽AB=1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为
2.4 m，在图中的平面直角坐标系内，涵洞所在抛
4a4.40
a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为
y1.1x24.4
当 x 1 .2 时 y 1 ， .1 1 .2 2 4 .4 2 .8 1 2 .7 6
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
∴汽车能顺利经过大门.
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
拓展提升：一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已 知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平 距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高 度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地 面3m. ①问此球能否投中?
(选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后 摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
当堂检测
2、某工厂大门是一抛 物线形的水泥建筑物,大门 底部宽AB=4m,顶部C离地 面的高度为4.4m,现有载满 货物的汽车欲通过大门,货 物顶部距地面2.7m,装货宽 度为2.4m.这辆汽车能否顺 利通过大门?若能,请你通过 计算加以说明;若不能,请简 要说明理由.
人 教 版 九 级 上册 实 际 问题 与二次 函数 拱 桥 问 题课件
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22.3实际问题与二次函数----拱桥问题班级：姓名：
一、课前预习：
某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽
AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，根据图中的
直角坐标系，你能求出涵洞所在的抛物线的解析式吗？
二、探究新知
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m .水面下降1m时，水面宽度是多少？
思考：还有其它建立坐标系的方法吗？选择一种解答出来.三、应用新知
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为y=−1
25
x2,当水位线在AB位置时,水面宽AB=30米,这时水面离桥顶的高度h 是米.
2.如图所示，有一建筑物从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面40
3
m，求水流落地点B离墙的距离OB.
3．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
四、当堂达标
某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:
(1) 建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式；
(2) 若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围有多宽.五、补偿提高
1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=−1
4
x2+4表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图,已知球在A处出
手时离地面20
9
m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?。