高三数学二轮专题复习--数列

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

高三数学二轮复习教学案——等差数列与等比数列一、【填空】1.已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝_______.2. 在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 011为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 006＋a 2 010＝__________________.3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝______________. 4．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为---------------5.等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝____________.6. 已知等比数列{}n a 中，214S ,23a 33==，则1a =_____________________. 二、【解答】7. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．8.设{}n a 数列为等比数列，{}n b 数列为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若{}n c 是1,1,2,, 求{}n c 的前10项和.9. 等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.10. 已知数列{a n}满足如下图所示的程序框图．(1)写出数列{a n}的一个递推关系式；(2)证明：{a n＋1－3a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(3)求数列{n(a n＋3n－1)}的前n项和T n.。

第二讲 数列● 高考风向标数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． ● 典型题选讲例１ 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ ）A ．67B ．57C ．37D ．17讲解 逐步计算，可得167a =,231251,771031,77a a =-==-=456,71251,...77a a ==-=这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以2075a =．应选B ． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例２ 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列.（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解 （１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列. （２）设{a n }的首项为a 1，公比为q由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 , ∴q=1或q=－21. 当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列. 当q=－21时, 2 S m+2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--++212121134211])21(1[2m m a a ,∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列． 综上得：当公比q=1时，逆命题为假； 当公比q ≠1时，逆命题为真．点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．例３ 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证，为等差数列，并求n b ．讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评 为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例４ 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.讲解 （１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列，∴)0(11>=-q q S S n n ．当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>Q∴2312a a a >+． 21211112,2(1)(1)2(1)n n n n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=- ∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上以上，我们可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.n n n q a a a ++>+<则点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩ 例５ 已知数列}{n a 满足n a >0，且对一切n ∈N x ，有3211, nninn i i i a S S a ====∑∑其中，(1) 求证：对一切n ∈N x ，有n n n S a a 2121=-++；(2) 求数列}{n a 的通项公式； (3) 求证：31<∑=nk k ka ．讲解 (1) 由321ni n i aS ==∑ ①得13211n in i aS ++==∑ ②②-①得 22131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1∵ a n +1 >0，∴n n n S a a 2121=-++ ．(2) 由n n n S a a 2121=-++，得122-=-n n n S a a (n ≥2)，两式相减，得(a n +1+ a n )( a n +1 - a n )= a n +1+ a n ， ∵a n +1+ a n >0，∴a n +1 - a n =1．(n ≥2)当n=1，2时易得，a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1) ．从而{ a n }是等差数列，其首项为a 1=1，公差d=1，故a n =n ． (3)1nnk k ===21nk =<+∑1122 3.2=++-<+< 点评 关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．例6 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过xx 秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n L ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+∴2114[35(21)]n a a n -=++++-L ＝241n -, 222114n n a a n -=+=.221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+．222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．（3）由2n c n n =+≤xx ，解得112n -≤≤，取最大得n=44,经计算，得44c ＝xx<xx ，从而粒子从原点开始运动，经过xx 秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例７ 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ . 讲解 （１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得 由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a Λ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n Λ经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)nn na b =-就有 122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n （３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a ).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++Λ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a ΛΛ .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ΛΛ 故任意整数m >4，有.8711154<+++m a a a Λ 点评 本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能． 针对性演练１ 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（ ） (A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼 2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则 ( )（A ）P =M S （B ）P ＞M S （C ）n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 （D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. xx 年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌M 可以杀死１个病毒N ，并且生成２个细菌M ，那么１个细菌M 和2048个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是 （ ）（A ）1024 （B ）2048 （C ） 2049 （D ）无法确定 4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为xx ，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为(A) xx (B) xx (C) xx (D) xx5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：而一旦植完，则不会被沙化. 问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？６． 已知正项数列{}n a 满足a a =1 （10<<a ），且.11nnn a a a +≤+求证 （1）();11an aa n -+≤（2）.111<+∑=nk kk a 答案１．C ２． C ３．C ４．A５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为xx 年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以xx 年沙化土地为200亩.同理xx 年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设xx 年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…，则n 年造林面积总和为：4002)1(1600⨯-+=n n n S n . 由题意：n S n 20024000+≥ 化简得012072≥-+n n ,解得： 8≥n .故8年，即到xx 年可绿化完全部沙地.６．（1）将条件n n n a a a +≤+11变形，得1111≥-+nn a a . 于是，有,1112≥-a a ,11123≥-a a ,11134≥-a a …………1111≥--n n a a . 将这n-1个不等式叠加，得,111-≥-n aa n 故 ().11an aa n -+≤（2）注意到10<<a ，于是由（1）得()nn aa n a a n 111111<-+=-+≤，从而，有 .1111111)1(11111<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+<+∑∑∑===n k kk k k a nk n k nk k。

高三二轮复习数列求和—裂项相消法教学设计内容教学目的掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.教学重点难点识别裂项相消求和的使用环境.如何裂项？如何相消？教学过程过程一、强调本微课学习内容，学习目标，重难点，易错点。

学习目标：掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.学习重点：识别裂项相消求和的使用环境.学习难点：如何裂项？如何相消？易错点：裂项时忘记配平，相消时留下哪些项？过程二、通过熟悉的典型例子入手，引导学生回顾裂项相消的具体类型。

裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.看下面两个例子：)211(2121+-=+nnnn）（⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯211121121211......513141213112121......531421311nnnnnn）（()()))2)(1(1)1(1(21211++-+=++nnnnnnn()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)2)(1(12121)2)(1(1)1(1......43132132121121211......543143213211nnnnnnnnn过程三、因为是二轮专题复习，学生经过一轮的复习，对于裂项的方法有一定的理解，在此基础上直接点出裂项的四种基本类型，并强调裂项的常用方法为通分的逆运算，分母有理化，对数的运算等。

本质是恒等变形，运用化归与转化思想、等式思想。

等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，其中a n≠0，d≠0. . （通分的逆运算）指数型：（a－1）a n（a n＋b）（a n＋1＋b）＝1a n＋b－1a n＋1＋b. （通分的逆运算）无理型：1a＋b＝1a－b(a－b)(a>0，b>0). （分母有理化）对数型：log n a n ＋1a n＝log n a n ＋1－log n a n (a n >0). （对数的运算法则）过程四、对照四种类型，分别用4道典型例题进行讲解与说明，并敲掉裂项时要配平，求和相消时要注意消去哪些项，剩下哪些项。

2023届新高考数学二轮复习：专题（数列中的复杂递推式问题）提分练习【总结】1、叠加法：+-=1()n n a a f n ；2、叠乘法：+=1()n na f n a ；3、构造法（等差，等比）：①形如+=+1n n a pa q (其中,p q 均为常数-≠(1)0pq p )的递推公式，()+-=-1n n a t p a t ，其中=-1qt p，构造+-=-1n n a t p a t，即{}-n a t 是以-1a t 为首项，p 为公比的等比数列．②形如+=+1n n n a pa q (其中,p q 均为常数，-≠()0pq q p )，可以在递推公式两边同除以+1n q ，转化为+=+1n n b mb t 型．③形如++=-11n n n n a a d a a ，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4、取对数法：+=1t n n a a ．5、由n S 和n a 的关系求数列通项（1）利用-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n ，化n S 为n a ． （2）当n a 不易消去，或消去n S 后n a 不易求，可先求n S ，再由-⎧=⎪⎨≥⎪⎩，-，111=2n n n S n a S S n 求n a ．6、数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和=⋅n n n c a b 型 （2）倒序相加法 （3）裂项相消法 常考题型数列的通项公式裂项方法【典型例题】例1．已知数列{}n a 满足14a =且121n n a a a a +++⋯+=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b ++⋯+的值是( ) A．20174038B．30254036C．20172018D．20162017例2．已知数列{}n a 的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S ，⋯，2019S 中，有理数项的项数为( )A．42 B．43 C．44 D．45例3．对于*n N ∈，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯+⋯+⨯=⨯⨯+ ．例4．设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201712017220172016log log log x x x ++⋯+的值为 ．例5．在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，*n N ∈．（1）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（2）2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋯+⋅= ．例6．数列{}n a 中，*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n++…恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【过关测试】 一、单选题1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，设235792023k a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=，则k =（ ）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如123在六进制下等于十进制的32162636306⨯+⨯+⨯=.若数列n a 在十进制下满足21n n n a a a +++=，11a =，23a =，n n b a =，则六进制1232022b b b b 转换成十进制后个位为（ ） A．2B．4C．6D．83．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列{}n a 中，11,0n a a =>，且()221110n n n n na a a n a ++--+=，则20a 的值为（ ） A．18B．19C．20D．214．（2023秋·江西·高三校联考期末）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，11a =，1n n a ba a +=+，*N n ∈，则下列选项正确的是（ ）A．当1a =，1b =-时，则101a =B．当2a =，1b =时，则22n S n n =-C．当0a =，2b =时，则2n n a =D．当1a =，2b =时，则21nn a =-5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足21112nn n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ）A．12021B．12022C．14043D．140446．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2023项的和为（ ） A．2023B．2024C．2696D．26977．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ） A．12021B．12022C．14043D．140448．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++-=，且1231a a ==，则7a =（ ） A．163B．165C．1127D．1129一、倒数变换法，适用于1nn n Aa a Ba C+=+（,,A B C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法①定义构造法。

数列的单调性所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.一、研究数列单调性的基本方法1、 作差法：例1、已知数列{a n }满足a n =n+12n ，证明：数列{a n }单调递减. 证明：∵a n =n+12n ∴a n+1=n+22n+1.则a n+1−a n =n+22n+1−n+12n =−n 2n+1<0恒成立故数列{a n }单调递减2、 作商法：例2、已知a n =(n +1)(1011)n (n ∈N ∗)，证明：数列{a n }先递增后递减.证明：令a n a n−1≥1(n ≥2) 即(n+1)(1011)n n∙(1011)n−1≥1整理得：n+1n≥1110，得n ≤10 同理，令a n a n+1≥1 即(n+1)(1011)n (n+2)∙(1011)n+1≥1整理得：n+1n+2≥1011，得n ≥9∴{a n }从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证.3、 函数法(导数法)例4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.解：（1）略（29n a n =-）（2） 方法一：我们可以借助一个二次函数函数()28,0f x x x x =-≥，很明显这个函数在[)0,4上单调递减，在[)4,+∞上单调递增，那么可以得到最小值()()min 416f x f ==-，从而2=8n S n n -的最小值为416S =-.方法二：由于数列{}n a 的通项公式29n a n =-，可以借助函数()29,0f x x x =-≥.在90,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()0f x <；在9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()0f x ≥，所以数列{}n a 的前4项均为负数，故而n S 的最小值为416S =-.变式:（1）如果一个数列的前n 项和为2=9n S n n -，那么求n S 取得最小值时序号n 是多少？很显然，4n =或5n =.(取得最值时为n =4.5，但n 只能取整数)（2）在（1）的前提下，求n nS 取得最小值时序号n 是多少？可以借助函数()329,0f x x x x =-≥，求导()'23183(6),0f x x x x x x =-=-≥.()f x 在[)0,6单调递减，在[)6,+∞上单调递增，从而()()min 6108f x f ==-.故而n nS 取得最小值时序号n 是6.例5、已知单调递增数列{}n a 的通项公式()2,4,01,6,4n n a n a a a a n a n -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且求a 的取值范围.解：这一个题我们很容易想到这样题目：设()y f x =在R 上是的一个增函数，且()()2,4,01,6,4x a x f x a a a x a x -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且 求a 的取值范围.只需要()4216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩，可以求得a 的范围是(]1,3.对于数列{}n a 就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的限制条件应该为34160a a a a >⎧⎪->⎨⎪<⎩，即()3216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪<-⋅-⎩，求得a 的范围是()1,4.变式：（1）设函数f (x )={(a −2)x ，x ≥2，(12)x −1，x <2，，a n =f(n)，若数列{}n a 是递减数列，求实数a 的取值范围.由题意()()2012a f f -<⎧⎪⎨>⎪⎩即可，可得a 的取值范围7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）已知数列{}n a 中，()()*11,,021n a n N a R a a n =+∈∈≠+-.对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围.由题意，可借助函数()()112112212f x a a x x =+=+-+-- 在2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减 再结合数列的离散性特点，可得限制条件2562a -<<，得到a 的范围为()10,8--. 总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即1n n a a +<），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.二、课后练习1、 已知c n =(n +1)1n+1，则数列c n 的最大值为：_______.2、已知f (x )={(3−a )x −3，x ≤7，a x−6，x >7，，数列a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则a 的取值范围为：_________.1、解：令f (x )=ln x x则f’(x)=1−ln xx2当x≥3时，ln x>1，1−ln x<0，f’(x)<0在[3，+∞)内，f(x)单调递减所以当n≥2时，{ln c n}单调递减即c n是递减数列又∵c1<c2，所以c max=c2=√33.2、解：由题意得：{3−a>0f(8)>f(7)，解得a∈(2，3)。

以数列为载体的情景问题一、单项选择题1．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天(4月1日为第1天)的储蓄总额为()A ．19903元B ．19913元C ．20103元D ．20113元2．《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增(即每天增加的数量相同).”若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布()A ．七尺五寸B ．八尺C ．八尺五寸D ．九尺3．现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i (i ＝1，2，…，16)匹马的日行路程是第i ＋1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为(取1.0517＝2.292)()A ．7750里B ．7752里C ．7754里D ．7756里4．[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1α1，b 2＝1＋1α1＋1α2，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1，2，…).则()A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 75.[2022·新高考Ⅱ卷]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC 1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.96．[2023·河北秦皇岛模拟]中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为()A ．2400B ．2401C ．2500D ．25017.[2023·安徽马鞍山模拟]风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架个数为()A ．161B ．162C ．163D ．1648．[2023·湖北武汉模拟]为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的43倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为()A ．325万元B ．581万元C ．721万元D ．980万元二、多项选择题9．[2023·山西大同模拟]《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下a 1尺，第二天截取剩下的一半后剩下a 2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a 5尺，则下列说法正确的是()A.a 5a 2＝14B ．a 3＝18C ．a 3－a 4＝116D ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝313210．某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产．设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a 1，a 2，a 3，…，则下列说法正确的是(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)()A ．a 1＝6千万元B ．{a n －3}是等比数列C ．{a n －3}是等差数列D ．至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元三、填空题11．《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂……若32个人的年龄(都为整数)依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为________岁．12.三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年(公元1089年)，每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△A 1B 1C 1，设△A 1B 1C 1的边长为a 1，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，设其边长为a 2，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列{a n }，若{a n }的前6项和为195316，则△A 1B 1C 1的边长a 1＝________．13．[2023·山东烟台模拟]欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数φ(n )：对于正整数n ，φ(n )表示小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，如φ(5)＝4，φ(9)＝6.那么，数列{nφ（5n ）}的前n 项和为________．14．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么.1．解析：设小方第n天存钱a n元，则数列{a n}从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为1＋1＋1＋200×1＋200×1992×1＝203＋19900＝20103元．故选C.答案：C2．解析：由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为{a n}，其前n项和为S n，则a2＝1.5，S15＝60，∵S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝60，∴a8＝4，∴数列{a n}的公差d＝a8－a26＝4－1.56＝512，∴a20＝a8＋12d＝4＋12×512＝9，即该女子第二十日织布九尺．故选D.答案：D3．解析：3151.05＝300，依题意可得，第17匹马、第16匹马……第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为300×（1－1.0517）1－1.05＝6000×(1.0517－1)＝6000×(2.292－1)＝7752(里).故选B.答案：B4．解析：方法一因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk ≤1，所以α1<α1＋1α2＋1α3＋1α4＋1α5，所以b1>b5，所以A错误．同理α3<α3＋1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8.设1α4＋1α5＋1α6＋1α7＋1α8＝t1，所以α2＋1α3>α2＋1α3＋t1，则α1＋1α2＋1α3<α1＋1α2＋1α3＋t1，所以b3>b8，所以B错误．同理α2<α2＋1α3＋1α4＋1α5＋1α6.设1α3＋1α4＋1α5＋1α6＝t2，所以α1＋1α2>α1＋1α2＋t2，所以b2<b6，所以C错误．同理α4<α4＋1α5＋1α6＋1α7.设1α5＋1α6＋1α7＝t3，所以α3＋1α4>α3＋1α4＋t 3，则α2＋1α3＋1α4<α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以α1＋1α2＋1α3＋1α4>α1＋1α2＋1α3＋1α4＋t 3，所以b 4<b 7，所以D 正确．故选D.方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．由αk ∈N *，可令αk ＝1，则b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.对比四个选项，可知选D.答案：D5．解析：设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9，故选D.答案：D6．解析：不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2－a 1＝3,a 3－a 2＝5，…，即各层小球之差是以3为首项，2为公差的等差数列．所以a n －a n －1＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2，n ∈N *).50－a 49＝9949－a 48＝972－a 1＝3，累加可得：a 50－a 1＝49×(3＋99)÷2＝2499，故a 50＝2499＋2＝2501.故选D.答案：D7．解析：设有n 个碳质骨架，n ∈N *，由已知可得n ＋1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ≥180，如果只有n －1个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以(n －1)＋1＋2＋3＋…＋(n －1)<180，所以n 2＋3n ≥360，且n 2＋n <362，又n ∈N *解得n ＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个．故选B.答案：B8．解析：根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为81，公比为43的等比数列，所以这五年投入的资金总额是81×[1－（43）5]1－43＝781(万元)；由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10的等差数列，所以这五年的旅游总收入是20×5＋5×42×10＝200(万元)，所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为781－200＝581(万元).故选B.答案：B9．解析：根据题意可得{a n }是首项为12，公比为12的等差数列，则a n ＝(12)n (n ∈N *)，a 5a 2＝q 3＝18，故A 错误；a 3＝18，故B 正确；a 3＝18，a 4＝116，则a 3－a 4＝116，故C 正确；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝12（1－125）1－12＝3132，故D 正确．故选BCD.答案：BCD10．解析：对于A ，由题意可知，a 1＝5×1.5－1.5＝6(千万元)，A 正确；对于B ，因为由题意可得a n ＋1＝1.5a n －1.5，所以a n ＋1－3＝1.5(a n －3)，又因为a 1－3＝3，则a n －3≠0，故a n ＋1－3a n －3＝1.5，所以{a n －3}是首项为3，公比为1.5的等比数列，B 正确，则C 错误；对于D ，由C 的分析可得a n －3＝3×1.5n －1，所以a n ＝3＋3×1.5n －1，令3＋3×1.5n －1>21，解得n －1>lg 6lg 1.5＝lg 3＋lg 2lg 3－lg 2≈4.42，所以n >5.42，所以至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：根据题意可知这32个人年龄之和为19×4×20＝1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者年龄为m ，则n ＋m2×32＝1520⇒n ＋m ＝95，设等差数列的首项为n ，公差为d ，则n ，m ，d ∈N *，则32n ＋32×312d ＝1520⇒2n ＋31d ＝95⇒2n ＝95－31d ，因为1≤n ≤30⇒2≤2n ≤60，则2≤95－31d ≤60，解得3531≤d ≤3，d ＝2时，n ＝332不满足题意，所以d ＝3，2n ＝95－31×3＝2⇒n ＝1，则m ＝95－1＝94.答案：9412．解析：根据题意，取△A 1B 1C 1每边的中点构成△A 2B 2C 2，则△A 2B 2C 2的各边均为△A 1B 1C 1对应的中位线，长度减半，由此a 2＝12a 1，依次类推可得a n ＝12a n －1，所以{a n }是首项为a 1，公比q ＝12的等比数列，故其前6项和S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝2a 11－（12）6＝195316，则a 1＝62.答案：6213．解析：在[1，5n ]中，与5n 不互质的数有5×1，5×2，5×3，…，5×5n －1，共有5n －1个，所以φ(5n )＝5n －5n －1＝4·5n －1，所以nφ(5n )＝(4n )·5n －1，设数列{nφ（5n ）}的前n 项和为S n ，所以S n ＝4×50＋8×51＋12×52＋…＋4n ×5n －1，5S n ＝4×51＋8×52＋12×53＋…＋4n ×5n ，两式相减可得－4S n ＝4＋4×(51＋52＋…＋5n －1)－4n ·5n ，所以S n ＝－1－(51＋52＋…＋5n －1)＋n ·5n＝－1－5（1－5n －1）1－5＋n ·5n ，即S n ＝(n －14)·5n ＋14.答案：(n －14)·5n ＋1414．解析：(1)由对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4种不同规格(单位dm 2)；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120(dm 2)，第n 次对折后的图形面积为n －1，对于第n 次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n ＋1种(证明从略)，故得猜想S n ＝120（n ＋1）2n －1，设S ＝错误!k ＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120(n ＋1)2n －1，则12S＝120×221＋120×322＋…＋120n2n－1＋120（n＋1）2n，两式作差得：1 2S＝240＋120(12＋122＋…＋12n－1)－120(n＋1)2n＝2401－12－120(n＋1)2n＝360－1202n－1－120(n＋1)2n＝360－120(n＋3)2n，因此，S＝720－240(n＋3)2n＝720－15(n＋3)2n－4.答案：5720－15(n＋3) 2n－4。

绝密★启用前高三数学二轮精品专题卷： 数列考试范围：数列（1）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个等差数列的前4项是a ，2x ，b ，x ，则ab 等于（ ） A ．21B ．31C ．3D ．22．已知数列{}n a 的前n项和n n S n 32+-=，若8021=++n n a a ，则n的值等于（ ） A ．5B ．4C ．3D ．23．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足431,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则3523S S S S --的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．51 D ．4 4．已知数列{}n a 是首项为41=a 的等比数列，且3512,,4a a a -成等差数列，则其公比q 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1或1-D ．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13434=-S S ，则数列{}n a 的公差是 （ ） A ．21B ．31C ．2D ．36．（理）对于数列{}n a ，“21,,++n n n a a a （n =1,2,3,…）成等差数列”是“221+++=n n n a a a ”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（文）在等比数列{}n a 中，“42a a ＞”是“86a a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则10321b b b b a a a a +⋯+++等于（ ） A ．1033 B ．1034C ．2057D ．20588．对等差数列{}n a 中，首项01=a 公差0≠d ，其前n 项和为n S ，如果9S a k =，那么=k（ ） A ．36B ．37C ．38D ．399．已知“*”表示一种运算，定义如下关系： ①1*1=a ②)*(3*)1(a n a n =+（n ∈N *）则=a n *（ ） A ．23-nB ．13+nC ．13-nD ．n 310．如果等比数列{}n a 的首项01＞a ，公比0＞q ，前n 项和为n S ，那么44a S 与66a S的大小为 （ ） A ．6644a S a S ≤B ．6644a S a S ＞ C ．6644a S a S ＜ D ．6644a S a S =二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．已知等差数列{}n a 中，13,1595==a S ，则11S = ． 12．已知等比数列{}n a 中，311=a ，且有27644a a a =，则=3a ． 13．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{}n a 是等积数列且21=a ，前21项的和等于62，则这个数列的公积等于 ．14．已知数列{}n a 满足2)1(1++=+n n a n na ，且21=a ，则数列{}n a 的通项公式是 ． 15．设数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，n S ，n T 分别为数列｝｛n a lg 与｝｛n b lg 的前n 项和，且12+=n nT S n n ，则=55log a b ．（1）解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知点),(n n x n P 在函数x y 2=的图象上． （1）求数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设nn x y n n 1lg lg ++=，求数列{}n y 的前n 项和n T ． ][来源: ]17．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，531=a ，112--=n n a a （n ≥2，n ∈N *），数列{}nb 满足：11-=n n a b （n ∈N *）． （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）试求数列{}n a 中的最小项和最大项，并说明你的理由．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点),(1+n n a S 在直线12+=x y 上,n ∈N *． （1）当实数t 为何值时,数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的结论下,设13log +=n n a b ,n T 是数列｝｛11+⋅n n b b 的前n 项和,求2011T 的值．[来源:金太阳新课标资源网]19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，132112132,1++=+⋯+++=n n a n na a a a a (n ∈N *)． （1）证明数列{})2(≥n na n 为等比数列；[来源: ]（2）求数列{}n a n 2的前n 项和n T ．[来源:金太阳新课标资源网 ]20．（本小题满分13分）宏伟机器制造有限公司从2012年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元的处罚．如果从2012年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境（改造设备时间不计）．按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示．（1）设)(n f 表示投资改造后的前n 个月的总收入，请写出)(n f 的函数关系式；（2）试问：经过多少个月，投资开始见效，也就是说，投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入?21．（本小题满分14分）（理）已知a 为实数，数列{}n a 满足a a =1，当2≥n 时，⎩⎨⎧≤--=----)4(5)4(41111n n n n n a a a a a ＞．（1）当200=a 时，填写下列表格；（2）当n 200（3）令nnn a b )2(-=，n n b b b T +⋯++=21，求证：当351＜＜a 时，有335a T n -＜． （文）已知数列{}n a 满足11=a ，且n n n a a 221+=-（n ≥2且n ∈N *）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项之和n S ，求n S ,并证明：322-n S nn ＞．2012届专题卷数学专题十一答案及解析1．【命题立意】本题以等差数列的定义立意，主要考查等差数列定义，中项公式，或者性质．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立3个字母的方程；（2）把a ,b 用x 表示．【答案】C 【解析】依题意得222x a x b x b x⎧+=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2232x a b b x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2133b a b b =-+=，于是有3=a b ．2．【命题立意】本题主要考查数列中n S 与n a 的关系，通项公式的求法以及解方程思想．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）利用n S 求n a 的方法)2(1≥-=-n S S a n n n ；（2）利用通项公式求数列 的项；（3）解方程的思想方法．【答案】A 【解析】由23n S n n =-+可得42n a n =-，因此12[42(1)][42(2)]n n a a n n ++=-+-+，即(1)20n n -=，解得5=n ，故选A ．3．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列与等比数列基本量的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下关键知识点：（1）等差数列的通项公式（2）等比数列的定义（3）n S 与n a 的关系．【答案】A 【解析】设{}n a 的公差为d ，则依题意有4123a a a ⋅=，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+，整理得2140a d d +=，由于0≠d ，所以14a d =-．故323534522S S a dS S a a d--===-+-． 4．【命题立意】本题以等比数列的立意，主要考查数列基本量的观点和方法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立方程；（2）求解方程，取舍值．【答案】C 【解析】依题意有513242a a a =-，即42111242a q a a q =-，整理得4220q q +-=，解得221(2q q ==-舍去），所以1=q 或1-=q ．5．【命题立意】本题以等差数列的立意，主要考查数列基本量的观点和方法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）建立方程，求公差；（2）解方程．【答案】C 【解析】由34143SS -=，即433412S S -=得12341233()4()12a a a a a a a +++-++=，即2326()4312a a a +-⋅=，所以326612a a -=，即126=d ，所以2=d ．6．（理）【命题立意】本题以等差数列的立意，主要考查充要条件．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）推理证明；（2）原命题，逆命题． 【答案】C 【解析】显然，如数列12,,n n n a a a ++（n =1,2,3,…）成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，得212n n n a a a +++=；反之，也成立．应为充要条件． （文）【命题立意】本题以等比数列、不等式的立意，主要考查充要条件．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）用基本量转化不等关系；（2）推理和证明．[来源:金太阳新课标资源网]【答案】C 【解析】C ．由24a a >得222a a q >，所以201q <<，由68a a >得266a a q >，所以201q <<，因此“24a a >”是“68a a >”的充要条件．7．【命题立意】本题以等差数列与等比数列立意，考查等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】解答本题要熟练掌握下列关键知识点：（1）等差数列与等比数列的通项公式；（2）等差数列与等比数列的前n 项和公式．【答案】A 【解析】由已知可得11,2n n n a n b -=+=，于是11221n n n b a a --==+，因此12101929(21)(21)(21)(1222)10b b b a a a +++=++++++=+++++ 101210103312-=+=-．8．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列的性质、通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下关键的知识点：（1）等差数列的基本性质；（2）等差数列的通项公式．【答案】B 【解析】因为95113799(4)3636S a a d d a d a ==+==+=，所以37=k ． 9．【命题立意】本题主要考查新颖情景的信息转换，等比数列通项．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）把新颖情景转化为数列的递推关系；（2）应用等比通项公式．【答案】C 【解析】设*n n a a =，于是有111,3n n a a a +==，则数列{}n a 是等比数列，所以，得1113*--===n n n q a a a n ．10．【命题立意】本题主要考查等比数列的通项，前n 项和公式，比较大小．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）转化为基本量首项1a 和公比q ；（2）对公比q 分类处理．【答案】C 【解析】当01q <≠时，有466411354611(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---255110(1)q qq q q ---==<-；当1=q 时，有6446460S S a a -=-<．综合以上，应当选C ． 11．【命题立意】本题以等差数列立意，主要考查等差数列的性质与求和．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等差数列的性质21(21)n n S n a -=-；（2）等差数列前n 项和公式．【答案】88【解析】由53515S a ==得33a =，又913a =，所以3911116a a a a +=+=，于是1111111()11168822a a S +⨯===． 12．【命题立意】本题以等比数列立意，考查等比数列的基本性质、等比数列的基本量运算．【思路点拨】解答本题要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的基本性质；（2）整体运算的思想方法．【答案】61【解析】由等比数列的性质可得2465a a a =，于是22574a a =，若设公比为q ，则2472514a q a ==，于是212q =，故231111326a a q ==⋅=．13．【命题立意】本题主要考查新定义的数列：“等积数列”，求和等知识．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分项数为偶数和奇数的情况进行计算；（2）应用分类处理的方法．【答案】8【解析】设这个等积数列的公积为m ，由于21=a ，所以22ma =，于是这个数列各项依次为：2,,2,,2,,222m m m，由于前21项的和等于62，所以21110622m ⨯+⨯=，解得8=m ． 14．【命题立意】本题主要考查累加法求数列通项公式、裂项相消法求数列和等知识．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）合理地堆递推关系式进行转化；（2）利用累加法求数列的通项公式；（3）利用裂项相消法求数列和．【答案】24-=n a n 【解析】将()112n n na n a +=++的两边同除以()1n n +，得()1211n n a a n n n n +=+++，令n n ab n=，有：()122n n b b n n +=++，且21=b ，从而()11111121122411n n n k k b b b k k kk n --==⎛⎫=+=+-=- ⎪++⎝⎭∑∑，故42n n a nb n ==-． 15．【命题立意】本题主要考查等比数列中项性质，对数换底公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用等比数列中项性质；（2）应用对数换底公式．【答案】199【解析】由题意知99129559912955lg()lg lg lg()lg lg S a a a a a T b b b b b ⋅===⋅ 559log 19b a ==． 16．【命题立意】本题主要考查等比数列定义和通项，等比、等差数列前n 项和和对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用点在曲线上，等比数列定义；（2）应用等比、等差数列前n 项和公式．【答案】（1）由题意，得2nn x =，（3分）所以()23121222222 2.12n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+==--（6分）（1）因为11lg 2lglg 2lg n n n n y n n n++=+=+，（8分）所以12n n T y y y =++⋅⋅⋅+)1lg2lg ()23lg 2lg 2()12lg 2(lg nn n +++⋯++++=（10分） )1lg 23lg 12(lg 2lg )21(nn n ++⋯++++⋯++=)12312lg(22lg )1(n n n n +⋅⋯⋅⋅++=)1lg(22lg )1(+++=n n n ．（12分）17．【命题立意】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的判断，以及数列最大、最小项的探求． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）针对1n n b b --进行计算；（2）构造函数，获知函数的单调性，据此探求数列{}n a 中的最大项与最小项． 【答案】（1）∵112n n a a -=-，∴111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111n n b a --=-，（3分）∴11111111n n n n n a b b a a -----=-=--（n ∈N +）．故数列{}n b 是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列．（6分） （1）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，所以5.311-=-n a n （8分）函数5.31-=x y 在x＜3.5时，y ＜0，在)5.3,(-∞上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，13-=a ；（10分）函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，在),,5.3(+∞上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3．（12分） 18．【命题立意】本题主要考查前n 项和与通项的关系，等比数列，对数知识，裂项求前n 项和． 【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用前n 项和与通项的关系；（2）应用裂项方法，求数列前n 项和．【答案】（1）由题意得121n n a S +=+，121n n a S -=+(2)n ≥,（2分）两式相减,得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，所以,当2≥n 时，{}n a 是等比数列，（4分）要使1≥n 时，{}n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ,从而得出1=t ．（6分） （2）由（1）得知13n n a -=，31log n n b a n +==，（8分）11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++,（10分） 201112201120121111111(1)()()22320112012T b b b b =+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-20112012=．（12分） 19．【命题立意】本题主要考查等比数列的定义、通项，数列的求和．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）应用等比数列的定义证明，等比数列通项；（2）应用错位相减法，等比数列前n 项和公式． 【答案】（1）因为)(21321321*+∈+=+⋅⋅⋅+++N n a n na a a a n n ，所以)2(2)1(321321≥=-+⋅⋅⋅+++-n a na n a a a n n ，（3分） 两式相减得n n n a na n na 2211-+=+，所以)2(3)1(1≥=++n na a n n n ，因此,数列{}n na 从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列．（6分） （2）由（1）知)2(322≥⋅=-n na n n ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-2,321,12n nn a n n ；于是当2≥n 时，2232-⋅=n n n a n ，所以,当2≥n 时，2103236341-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=n n n T ，（9分）121323)1(23433--⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+=∴n n n n n T ，两式相减得)2(3)21(211≥-+=-n n T n n ，又111==a T 也满足上式，所以)(3)21(211*-∈-==N n n T n n ．（12分） 20．【命题立意】本题主要考查数列的实际应用，等差数列和常数数列，以及不等式的有关推理和运算．考查学生的综合解题能力．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）将实际问题数列化，进行翻译转化之；（2）分类列出不等式，研究不等式的解．【答案】（1）设i a 表示第i 个月的收入，则由图得1011=a ，1095=a ，且数列{}n a 的前五项是公差为2的等差数列，第六项开始是常数列，（2分）所以)(n f =2100(5),(5)(5)[(5)(4)](5),n n n g n g g n ⎧+≤⎨+-->⎩（4分）即)(n f =2100(5),10920(5).n n n n n ⎧+≤⎨->⎩（6分）（2）不改造时的第n 个月累计纯收入:268n S n n =-；（8分）投资改造后的第n 个月累计纯收入:当n ≤5时，纯收入为2n +100n -400，由2n +100n -400＞268n S n n =-，解得n ＞－8+264，由－8+264＞－8+256=8，得n ＞8，即前5个月不效．（10分）当n ＞5时，纯收入400)20109(--n ，由400)20109(--n ＞268n S n n =-，得2414200n n +->，解得578.n而n =9适合上述不等式．所以，必须经过8个月后，即第9个月才见效．（13分）21．（理）【命题立意】本题主要考查分段数列，前n 项和，通项，等比数列，分类求前n 项和，不等式证明．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点： （1）应用已知关系填表；（2）分类求前200项和，前50项是等差数列，后面的奇数项均为1，偶数项均为4． （3）奇偶性分析法，求和，放大获得不等式证明． 【解析】（1）（4分）（2）当200=a 时，由题意知数列{}n a 的前50项构成首项为200，公差为4-的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4．（6分）从而200(200+196+192++4)(1+4++1+4)S =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅共50项共150项，∴2005475S =．（8分）（3）当351＜＜a 时，易知()5n a n a a n ⎧=⎨-⎩为奇数(为偶数)，∴()()252()2n nn nan a b a n ⎧-⎪⎪==⎨--⎪⎪⎩为奇数为偶数（10分）①当k n 2=（k ∈N *）时，124212555222222n k a a a a a a T b b b ---=+++=-+-++-+ 321242555()()222222k k a a a a a a ----=-+++++++ 151112444531111341144k kka a a ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--∵10114k ⎡⎤⎛⎫<-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴531531343k a a ⎡⎤--⎛⎫-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，（12分）②当12-=k n （k ∈N *）时，1221234212342125522222555532222223n k k k k aa a a a Tb b b a a a a a a a -----=+++=-+-++-----<-+-++-+<综上，有533n aT -<．（14分） （文）【命题立意】本题主要考查数列通项，前n 项和的探求，等差数列，等比数列，错位相减法求数列前n 项和．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）构造等差数列，求通项；2）应用错位相减法，求数列前n 项和．（3）恰当缩小，获得所要证明的不等式．【解析】（1）122(2,n n n a a n -=+≥ 且n ∈N *），11122n n n n a a --∴=+,即11122n n n n a a ---=(2n ≥,且n ∈N *),（3分）所以，数列{}2n n a是等差数列,公差1=d ,首项21，（5分）于是111(1)(1)1,2222n n a n d n n =+-=+-⋅=-1()22n n a n ∴=-⋅．（7分）（2）1231351222()22222n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 234113512222()22222n n S n +∴=⋅+⋅+⋅++-⋅ ②（9分）①-②得23111222()22n n n S n +-=++++--⋅ 23112222()212n n n +=++++--⋅- 12(12)1()21(32)23,122n n n n n +-=--⋅-=-⋅--（12分） (23)23(23)2,n n n S n n =-⋅+>-⋅2 3.2nnS n ∴>-（14分）。

高三数学总复习讲义——数列概念 知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。