解几试题((讲义与配套练习)

第2课时 解含有括号和分母的一元一次方程知识点 1 解含有括号的一元一次方程 1．解方程2x －3(4－2x )＝4时， 去括号，得____________＝4；移项，得2x ＋________＝4＋________； 合并同类项，得________＝________； 未知数的系数化为1，得________．2．解方程3－5(x ＋2)＝x 时，去括号正确的是( ) A ．3－x ＋2＝x B ．3－5x －10＝x C ．3－5x ＋10＝x D ．3－x －2＝x 3．方程3x ＋2(1－x )＝4的解是( ) A ．x ＝25 B ．x ＝56C ．x ＝2D ．x ＝14．[2016·包头] 若2(a ＋3)的值与4互为相反数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－72 C ．－5 D.125．当a ＝________时，方程(a －1)x ＝2x －4的解为x ＝3. 6．解方程：(1)5x ＋2＝3(x ＋2)；(2)4－3(x －1)＝x ＋12；(3)7－3(x＋1)＝2(4－x)．知识点 2 解含有分母的一元一次方程 7．[2017·石家庄一模]在解方程x －12－1＝3x ＋13时，两边同时乘6，去分母后，正确的是( )A ．3x －1－6＝2(3x ＋1)B ．(x －1)－1＝2(x ＋1)C ．3(x －1)－1＝2(3x ＋1)D ．3(x －1)－6＝2(3x ＋1)8．[教材习题A 组第2题变式]将方程2x －12－x －13＝1去分母，得到6x －3－2x －2＝6，错在( )A ．最简公分母找错B ．去分母时，漏乘出错C ．去分母时，分子部分没有加括号D ．去分母时，各项所乘的数不同9．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：3x －13＝1－4x －16，具体步骤如下：解：去分母，得2(3x －1)＝1－4x －1.(1) 去括号，得6x －1＝1－4x －1.(2) 移项，得6x －4x ＝1－1＋1.(3) 合并同类项，得2x ＝1.(4) 两边同乘12，得x ＝12.(5)小李在解题过程中开始出现错误的步骤是( ) A ．(2) B ．(1) C ．(3) D ．(4)10．方程2－x 3－x －14＝5的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝7D ．x ＝－711．若代数式4x －5与2x －12的值相等，则x 的值是( )A ．1 B.32 C.23D ．212．当x ＝________时，代数式18＋x3减去x －4所得的差为5.13．解方程：(1)5－3x 2＝3－5x3；(2)2x ＋15＝2－4x ＋32；(3)7－x ＋52＝2－x5－3x ；(4)x －13－x ＋26＝4－x2.14．当x 为何值时，代数式x －14与2x ＋16的差是1?15．下列解方程步骤正确的是( ) A ．由2x ＋4＝3x ＋1，得2x ＋3x ＝1＋4 B ．由7(x －1)＝2(x ＋3)，得7x －1＝2x ＋3 C ．由0.5x －0.7＝5－1.3x ，得5x －7＝5－13x D ．由x －13－x ＋26＝2，得2x －2－x －2＝1216．解方程45⎝ ⎛⎭⎪⎫54x －30＝7，较为简便的是( ) A ．先去分母 B ．先去括号 C ．先两边都除以45 D ．先两边都乘5417．已知x ＝2是关于x 的方程a (x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是________．18．某同学在解方程2x －13＝x ＋a3－1去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方程的解为x ＝2，则a 的值为________，原方程的解为________．19．设a ，b ，c ，d 为有理数，现规定一种新的运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则满足等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 x ＋132 1＝1的x 的值为________． 20．已知方程6x －9＝10x －45与方程3a －1＝3(x ＋a )－2a 的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求a 的值；(3)若[m ]表示不大于m 的最大整数，求[－13a －2]的值．21．已知3a －15－1＋a 2＝－1，求代数式2a 2－4a －3a 2＋a ＋1的值．22．已知关于x的方程a－3(x＋5)＝b(x＋2)是一元一次方程，则( )A．b＝2 B．b＝－3 C．b≠2 D．b≠－323．如图5－3－1①所示的是一个正方形，分别连接这个正方形各边中点得图5－3－1②，再分别连接图5－3－1②中小正方形各边中点得图5－3－1③.图5－3－1(1)填写下表：(2)(3)当三角形的个数为100时，是第几个图形？【详解详析】1．2x －12＋6x 6x 12 8x 16 x ＝2 2．B 3.C4．C [解析] 因为2(a ＋3)的值与4互为相反数，所以2(a ＋3)＋4＝0，所以a ＝－5. 5.536．解：(1)去括号，得5x ＋2＝3x ＋6. 移项、合并同类项，得2x ＝4. 系数化为1，得x ＝2.(2)去括号，得4－3x ＋3＝x ＋12. 移项，得－3x －x ＝12－4－3. 合并同类项，得－4x ＝5. 系数化为1，得x ＝－54.(3)去括号，得7－3x －3＝8－2x . 移项、合并同类项，得－x ＝4. 系数化为1，得x ＝－4. 7．D [解析]x －12×6－1×6＝3x ＋13×6， 所以3(x －1)－6＝2(3x ＋1)．故选D. 8．C 9.B10．D [解析] 去分母，得4(2－x )－3(x －1)＝60.去括号，得8－4x －3x ＋3＝60.移项、合并同类项，得－7x ＝49.系数化为1，得x ＝－7.11．B [解析] 根据题意，得4x －5＝2x －12.去分母，得8x －10＝2x －1.移项、合并同类项，得6x ＝9.系数化为1，得x ＝32.故选B.12.152 [解析] 18＋x 3－(x －4)＝5，解得x ＝152.13．解：(1)去分母，得3(5－3x )＝2(3－5x )． 去括号，得15－9x ＝6－10x . 移项、合并同类项，得x ＝－9.(2)去分母，得2(2x ＋1)＝20－5(4x ＋3)． 去括号，得4x ＋2＝20－20x －15. 移项，合并同类项，得24x ＝3. 系数化为1，得x ＝18.(3)去分母，得70－5(x ＋5)＝2(2－x )－30x . 去括号，得70－5x －25＝4－2x －30x . 化简，得45－5x ＝4－32x . 移项，得32x －5x ＝4－45. 合并同类项，得27x ＝－41. 系数化为1，得x ＝－4127.(4)去分母，得2(x －1)－(x ＋2)＝3(4－x )． 去括号，得2x －2－x －2＝12－3x . 移项、合并同类项，得4x ＝16. 系数化为1，得x ＝4. 14．解：由已知可列方程x －14－2x ＋16＝1，3(x －1)－2(2x ＋1)＝12， 3x －3－4x －2＝12，x ＝－17.15．D [解析] A 项，移项没有变号，错误；B 项，去括号时漏乘常数项，错误；C 项，方程变形时5漏乘了，错误；D 项，正确．16．B[解析] 考虑到45×54＝1，故采用先去括号的方法较为简便．故选B.17．[全品导学号：77122259]45 [解析] 把x ＝2代入方程，得(2＋1)a ＝12a ＋2，解得a ＝45.18．[全品导学号：77122260]2 x ＝0 [解析] 把x ＝2代入2x －1＝x ＋a －1，得a ＝2，所以原方程为2x －13＝x ＋23－1.去分母，得2x －1＝x ＋2－3，移项、合并同类项得x ＝0.19．[全品导学号：77122261]－10 [解析] 根据题意，得x 2－2（x ＋1）3＝1，去分母，得3x －4(x ＋1)＝6，去括号，得3x －4x －4＝6，移项，得3x －4x ＝6＋4，合并同类项，得 －x ＝10，系数化为1，得x ＝－10.20．[全品导学号：77122262]解：(1)6x －9＝10x －45， 移项，得6x －10x ＝－45＋9， 合并同类项，得－4x ＝－36， 解得x ＝9.即这个相同的解为x ＝9. (2)将x ＝9代入方程3a －1＝3(x ＋a )－2a ， 解得a ＝14.(3)[－13a －2]＝[－13×14－2]＝[－203]＝－7.21．[全品导学号：77122263]解：去分母，得2(3a －1)－5(1＋a )＝－10，去括号，得6a －2－5－5a ＝－10， 移项、合并同类项，得a ＝－3. 把a ＝－3代入，得2a 2－4a －3a 2＋a ＋1＝277.22．[全品导学号：77122264]D [解析] 将a －3(x ＋5)＝b (x ＋2)化简，得(b ＋3)x ＝a －15－2b.因为它是一元一次方程，所以b＋3≠0，即b≠－3.23．[全品导学号：77122265]解：(1)填表如下：(2)正方形的个数与图形序号一致，所以第n个正方形．第①个图形中有0个三角形，即(1－1)×4＝0(个)三角形；第②个图形中有4个三角形，即(2－1)×4＝4(个)三角形；第③个图形中有8个三角形，即(3－1)×4＝8(个)三角形；…(n－1)×4个三角形，即(4n－4)个三角形．(3)100个三角形．A ．B ．C ．D ．由(2)得出的结论有4x －4＝100. 移项，得4x ＝100＋4，合并同类项，把系数化为1，得x ＝26.所以，当三角形的个数为100时，是第○26个图形．2.1从生活中认识几何图形1.如图1-1-1中，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的实物．图1-1-1 2.下面图形中为圆柱的是（ ）3.图1-1-2所示立体图形中，（1）球体有____；（2）柱体有____；（3）锥体有____．4.将以下物体与相应的几何体用线连接起来．篮球魔方铅笔盒沙堆易拉罐圆柱圆锥球正方体长方体5.下面几种图形，其中属于立体图形的是（）①三角形②长方形③正方体④圆⑤圆锥⑥圆柱A．③⑤⑥B．①②③C．③⑥D．④⑤6.下列各组图形中都是平面图形的是（）A.三角形、圆、球、圆锥B.点、线、面、体C．角、三角形、正方形、圆D．点、相交线、线段、长方体7.棱柱的底面是（）A．三角形B．四边形C．矩形D．多边形8.如图1-1-3所示的立体图形中，不是柱体的是（）9.用51根火柴摆成7个正方体，如图1-1-4．试问，至少取走几根火柴，才能使图中只出现1个正方体？与同伴交流你的思路与体会．图1-1-410.一位父亲有一块正方形的土地，他把其中的14留给自己，其余的平均分给他的四个儿子，如图1-1-5所示，他想使每个儿子获得的土地面积相等，形状相同，这位父亲应该怎么分？试画出示意图，并加以说明.（考查4）图1-1-51.答案 : 埃及金字塔——三棱锥；西瓜——球：北京天坛——圆柱；房屋——长方体．点拨：只有观察出能反映物体形状主要的轮廓特征．才能够抽象出具体的立体几何图形，像大小、颜色、装饰品等属性．可忽略不予考虑，同时像北京天坛的顶部、房屋顶部都是次要结构，也可排除不看．那么，实物是什么几何形体，就不难抽象出来了．判断一个几何体的形状，主要通过观察它的各个面和面所在的线（棱）的形状特征来抽象归纳．2. B 点拨：圆柱的形状及特征为：上下两底是互相平行的两个等圆，侧面是曲面.A中是圆柱截去一部分后的剩余部分；C中是长方体；D中是圆台；只有B中是圆柱，所以选B.3. （1）⑦（2）①③⑤（3）②④⑥点拨：（1）球体最好识别，故先找出球体⑦；（2）有两个底面形状、大小一样且互相平行的是柱体，①③⑤；（3）有一个“尖”和一个底面的是锥体，②④⑥注意⑤是横向放置的柱体，而不是锥体，此类题只要按照某种标准进行合理的分类即可．4.点拨：篮球是球体，魔方是正方体，铅笔盒是长方体，沙堆是圆锥体，易拉罐是圆柱．本题主要应用抽象思维能力．通过对现实生活中立体图形的观察认识，结合所学几何体的特征，抽象出几何图形，能够培养空间观念．5. A 点拨：几何图形包括立体图形（几何体）和平面图形，像正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等都是立体图形；像线段、直线、三角形、长方形、梯形、六边形、圆等都是平面图形.6. C7. D 点拨：三棱柱的底面是三角形，四棱柱的底面是四边形，五棱柱的底面是五边形…，总之棱柱的底面一定是多边形.8. D 点拨：柱体的两个底面大小相同，而D中无论将哪两个面看成底面，大小均不相同，故选D.9. 答案：如答图1-1-1，这是一种取法，至少取走3根火柴，答图1-1-1点拨： 1个正方体有6个面，8个顶点，每个顶点都有3条棱，只有这些条件都具备，才是一个完整的正方体．本题要求通过取走3根火柴，而把7个正方体变成1个，则取走的火柴必须是“关键部位”——即与几个正方体有联系处的火柴．同学们不妨几个人一组，一起动手制作这个模型，看是否有其他的取法．这样多动手，多思考，多交流，不仅可帮助我们很好地认识立体图形，而且能使我们养成勤动手、善动脑的习惯，达到取人之长，补已不足的目的．观察图形结构，分析图形特征，找出图形的“共性”与“个性”，是解决图形问题的一大窍门．10.答图1-1-2如答图1-1-2 父亲和四个儿子分割一个正方形，父亲留14，•则所剩三个小正方形每一个再分割为四个小正方形，并且让出一个，土地面积就会相等．•所让的三个小正方形必有一条棱重合才能为一体，故如图所分就会形状相同．。

四年级下册数学配套答案四年级下册数学试题-第2讲-解决问题沪教版 (含答案）辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题解决问题教学内容 1．结合树状算图运用“综合——分析法”分析应用题的数量关系，能正确运用“综合——分析法”解决一些实际问题．（此环节设计时间在10—15分钟）案例：先划出各题不同的地方，再解答。

(1)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际6天就看完了，实际每天比计划多看几页？ (2)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际提前3天看完，实际每天比计划多看几页？ (3)小巧借来一本科幻小说，计划每天看12页，9天看完，实际6天就看完了，实际每天比计划多看几页？(4)小巧借来一本科幻小说，共108页，计划9天看完，实际每天看18页，实际每天比计划多看几页？参考答案：(1)6页(2)6页 (3)6页 (4)6页（此环节设计时间在40—50分钟）例题1:小巧在图书馆借了一本书，借期为一个星期，她算了一下，每天看30页，正好能如期归还。

如果她要提前1天归还，每天要看多少页？参考答案：30×7÷(7－1)=35(页) 试一试：小胖5分钟共写毛笔字80个，小丁丁每写一个毛笔字要用3秒，谁写字的速度快一些？参考答案：5分钟=300秒100>80 小丁丁速度快些例题2：小王、小李、小张和小周6天一共做了624个同样的零件，平均每人每天做了多少个零件？试一试：一本书共有280页，小丽5天看了140页。

照这样计算，小丽看完这本书需要多少天？例题3：花店里有百合花124枝，郁金香的枝数是百合花的3倍，玫瑰花的枝数比郁金香和百合花的总数还多76枝。

花店里有玫瑰花多少枝？试一试：三、四、五年级同学其植树108裸．三年级比四年级少植18棵，五年级比三年级多植30棵，三个年级同学各植树多少棵？教学说明：根据题意，把条件和问题反映在如图中．借助图形进行分析假设四、五年级植树棵数与三年级植树棵数同样多，根据条件找出总棵数的变化，先求出三年级植树的棵数，从而求出四、五年级各植树的棵数解：三年级植树棵数为 [108－(18＋30)]÷3＝20(棵)；四年级植树棵数为 20＋18＝38（棵）．五年级植树棵数为 20＋30＝50（棵）．例题4：小亚和小巧各拿出积攒的零花钱的三分之一去买学习用品，小亚用去30元，小巧用去20元，她俩谁的零花钱多？试一试：一堆煤，第一次用去它的，第二次用去它的，还剩下这堆煤的几分之几？此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. 用配方法解方程： （1）（2020•岳池县模拟）2x 2﹣4x ﹣3=0； （2）（2020春•泰山区期中）3x 2﹣12x ﹣3=0. 【思路点拨】方程(1) (2)的的次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为2()(0)mx n P P +=≥的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】 解：（1）∵2x 2﹣4x ﹣3=0，∴，∴，∴x ﹣1=±，∴．（2）3x 2﹣12x ﹣3=0，3x 2﹣12x=3， x 2﹣4x=1，x 2﹣4x+4=1+4， （x ﹣2）2=5， x ﹣2=，x 1=2+，x 2=2﹣；【点评】配方要注意一次项的符号决定了左边的完全平方式中是两数和的平方还是两数差的平方．举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=-2225535()()2424x x -+=-+ 251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭，即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【点评】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明． 举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 1204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. （2020春•宜兴市校级月考）若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】；【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣（b ﹣）2+．∵﹣（b ﹣）2≤0， ∴当b=时，k ﹣m 的最大值是．故答案为：．【点评】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【点评】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD 2a ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴. 4.【答案】A；【解析】OM最长是半径5；最短是OM⊥AB时，此时OM=3，故选A.5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．7．【答案】C ；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】21)a ； 2(222)a ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝2x ，∴ 22x x a +=，(21)x a=-，即正八边形的边长为(21)a-．222224[(21)](222)AELS S S a x a a a=-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n边形内角和为(n-2)180°，前n条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602nn-=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n条弧的弧长的和为121(2)(2)2n nππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，nα，则12(2)180nnααα+++=-…°，∴ n条弧长的和为1212111()180180180180nnαπαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n nππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S＝πr2，∴ 9π＝πr2，∴ r＝3．∴ h1＝4，∴2215l h r=+=，∴223523 3.5152136S S S rl rhπππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720Sππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BCAB CDEO12∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=A BCDEO 12345H.20. 【答案与解析】(1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵∠BON＝60°，∴∠1+∠2＝60°．∵∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，∴△BCM≌△CAN，∴ BM＝CM．如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

Unit 4 What’s the best movie theater?重点短语1. 电影院movie theater2. 离……近be close to…3. 服装店clothes store4. 在镇上in town5. 到目前为止so far6. 坐公共汽车10分钟的路程10 minutes by bus7. 才艺表演talent show8. 有相同特征的have …in common9. 世界各地；全世界around the world 10. 是……的职责；由……决定be up to11. 各种各样的all kinds of 稍微，有点kind of哪种类型的what kind of12. 编造（故事、谎言等）make up 13. 认真对待某事take sth. seriously14. 给某人某物give sb. sth.=give sth to sb 15. 使某人梦想成真make one’s dream come true16. 在…方面发挥作用/有影响play a role/ part in doing17. 舒适的座位comfortable seats 18. 得到一个非常不错的奖品get a very good prize19. 因做某事而感谢thanks for doing sth.20. 多亏thanks to21.看见某人做过某事see/watch sb. do sth.22. 看见某人正在做某事see/watch sb. doing sth.23. 迫不及待做某事can’t wa it to do sth等待wait for核心知识1. Can I ask you some questions?some意为＂一些＂，通常用于肯定句中，修饰可数名词的复数和不可数名词，但在提出建议、请求或期望对方作出肯定回答的疑问句中，也用some，不用any。

Can I borrow some of your books? 我可以借一些你的书吗?【知识拓展】any意为“一些”，常用于否定句或疑问句中。

[不等式及其解集]一、选择题1.下列式子:①2>0;②4x+y<1;③x+3≠0;④y-7;⑤m-2.5>3中,不等式有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.语句“a 的2倍与b 的平方的差是负数”可以表示为( )A .2a-b 2>0B .2a-b 2<0C .a 2-b 2<0D .a 2-2b<03.一辆匀速行驶的汽车在10:30距离A 地30 km,要在11:00之前驶过A 地,车速应满足什么条件?设车速是x km/h,依题意可列不等式为( )A .12x>30B .12x<30C .30x>30D .30x<304.下列各数中,是不等式x-5>6的解的是( )A .-5B .0C .8D .155.用不等式表示中的不等式的解集,其中正确的是( )A .x>-2B .x<-2C .x ≠-2D .x>26.疫情期间全国“停课不停学”,某初中生上网课,网课每节课a 分钟,每天六节课,则不等式6a<240表示的实际意义是( )A .每天上网课总时长等于240分钟B .每天上网课总时长大于240分钟C .每天上网课总时长小于240分钟D .每天上网课总时长小于2小时40分钟二、填空题7.在数-3,-2,0,-12,3,-0.5,4,15中, 是方程x-3=0的解; 是不等式x-3>0的解; 是不等式x-3<0的解.8.已知关于x 的不等式x<a+1的解集在数轴上的表示如图所示,则a 的值为 .三、解答题9.用不等式表示:(1)x 与y 的和大于1;(2)a 的9倍与b 的13的和是正数;(3)2与x的5倍的差是负数;.(4)x与2的和的3倍小于x的1310.下列各数中,哪些是不等式2x-1>1的解?哪些是不等式x+13<12的解? -9,2,-0.4,6,0,-5,2,5.1.711.直接写出下列不等式的解集:(1)x+3<5;　(2)x-2>2;　(3)2x>4.12.在数轴上表示下列不等式的解集:.(1)x<-2; (2)x>21213.写出数轴上表示的关于x的不等式的解集:(1)(2)14.由于“当x为任意正数时,都能使x+3>2成立”,因此,能不能说“不等式x+3>2的解集是x>0”?为什么?你认为不等式x+3>2的解集是什么?求不等式x+3<0,x+3>0的解集.我们可以从相应的方程x+3=0入手,方程x+3=0的解是x=-3,小于-3的所有的数都能使x+3<0成立,大于-3的所有的数都能使x+3>0成立,所以x+3<0的解集是x<-3,x+3>0的解集是x>-3.利用数轴能直观地反映它们之间的关系,方程x+3=0的解可以用数轴上的点A表示(如图①),点A将数轴上的其余点分成两部分:点A左边的点(如图②)表示的数是x<-3,它是不等式x+3<0的解集;点A右边的点(如图③)表示的数是x>-3,它是不等式x+3>0的解集.尝试用上述不等式与方程的这种关系,研究不等式2x+1<5的解集.答案1.D2.B3.A4.D5.A6.C7.3　4,15　-3,-2,0,-12,-0.5　8.1b>0.9.解:(1)x+y>1.　(2)9a+13(3)2-5x<0.　(4)3(x+2)<x.310.解:2,6,5.1是不等式2x-1>1的解;-9,-5是不等式x+13<12的解.11.解:(1)x<2.　(2)x>4.　(3)x>2.12.解:(1)如图所示:(2)如图所示:13.解:(1)x>3.　(2)x<2.14.解:不能.理由:因为当x在-1~0(不包括-1,但包括0)之间取值时,也能使不等式x+3>2成立,所以不能说不等式x+3>2的解集是x>0.不等式x+3>2的解集是x>-1.[素养提升]解:从相应的方程2x+1=5入手,方程2x+1=5的解是x=2,小于2的所有的数都能使2x+1<5成立,所以2x+1<5的解集是x<2.利用数轴能直观地反映它们之间的关系,方程2x+1=5的解可以用数轴上的点A表示(如图①),点A左边的点(如图②)表示的数是x<2,它是不等式2x+1<5的解集.。

教师讲义同步练习1某队有林场108公顷，牧场54公顷，现在要栽培一种新果树，把一局部牧场改为林场，使牧场面积只占林场面积的20%，改为林场的牧场面积是多少公顷？五、课堂小结学生总结，老师补充六、家庭作业一、选择题1、方程2x=1，那么的值为〔〕A、B、C、2D、﹣22、以下写法中正确的选项是〔〕A、直线a，b相交于点nB、直线AB，CD相交于点MC、直线ab，cd相交于点MD、直线AB，CD相交于m3、在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是〔〕A、27B、33C、40D、514、一种小麦的出粉率是80%，那么200千克这种小麦可出粉〔〕A、80千克B、160千克C、200千克D、100千克5、一批200千克的种子中有190千克出芽，照这样算发芽率应为〔〕A、5%B、95%C、190%D、100%6、一件风衣，按本钱价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件卖180元，这件风衣的本钱价是〔〕A、150元B、80元C、100元D、120元x+4＝〔40-x〕-8x+4＝32-xx+x＝32-42x＝28x＝14∴乙池原有水量为：40-x＝40-14＝26〔吨〕〔检验：甲池注水4吨后的水量：14+4＝18〔吨〕；乙池出水不吨后的水量为：26-8＝18〔吨〕，注出水之后，甲、乙池的水量相等，符合题意。

〕答：甲池原有14吨水，那么乙池原有26吨水。

【例8】解：设较小一块的面积为x平方米，那么较大一块的面积为5/3x平方米，根据题意，得：x+5/3x＝16008/3x＝1600x＝1600÷8/3x＝1600×3/8x＝600那么：较大的一块面积为5/3x＝5/3×600＝1000〔平方米〕答：较小一块的面积为600平方米，较大一块的面积为1000平方米.同步练习1解：设改为林场的牧场面积是x公顷，根据题意，得：54-x＝108×20%54-x＝＝x＝xx＝答：改为林场的牧场面积是公顷。

八年级数学 题解与练习题（三）【编号】ZSWD2023B01161. 例题 分解因式：(1) 2x²-9x+7;(2) 2x²+4x-3.解：(1) 对于方程2x²-9x+7=0,b²-4ac=(-9)²-4×2×7=25.这方程的两个实数根是所以，(2) 对于方程2x²+4x-3=0,b²-4ac=4²-4×2×(-3)=40.这方程的两个实数根是所以2. 例题把2x²-3xy-y² 分解因式解：把2x²-3xy-y²=0 看作关于x的一元二次方程，b²-4ac=(-3y)²-4·2(-y²)=17y².关于x的方程 2x²-3xy-y²=0 的两个实数根是即这个三项式中含有x、y两个字母，把它看作关于x的三项式，就是把x看作“主元”，这时y 如同通常的数.所以，3. 在实数范围内分解因式：(1) x²-8= ;(2) 4x²-7= ;(3) x²+3x-28= ;(4) x²-11x+30= .4 在实数范围内分解因式：(1) x²+4x+1; (2) 2x²+3x-1;(3) 3x²-6x+1;5. 在实数范围内分解因式：(1) x²-2ax-a²; (2) 2x²-8xy+5y².6. 例题一块长方形绿地的面积为1200 平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米?解:设这块长方形绿地的宽为x米，根据题意，得方程x(x+10)=1200.整理，得x²+10x-1200=0.即(x-30)(x+40)=0.解得x₁=30,x₂=-40.负数根不符合实际意义，应舍去.列方程解应用题时，要注意检验方程的根是否符合实际意义.所以x=30.x+10=40.答：绿地的长和宽分别是40米和30米.7. 例题某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用 120米长的铁栅栏围一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边.按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长.(1) 长方形的面积是1152平方米；(2) 长方形的面积是1800平方米;(3) 长方形的面积是2000平方米.解设长方形的一条边长为x米，则另一条边长为(120-2x)米.(1) 根据题意，得方程(120-2x)x=1152.整理，得x²-60x+576=0.解得x₁=12, x₂=48.经检验，x₁、x₂都符合实际意义.当x=12时,120-2x=96;当x=48时,120-2x=24.答：长方形相邻两边的长分别是96米和12米，或24米和48米.(2) 根据题意，得方程(120-2x)x=1800.整理，得x²-60x+900=0,即(x-30)²=0.解得x₁=x₂=30.经检验，x=30符合实际意义.当x=30时,120-2x=60.答：长方形相邻两边的长分别是30米和60米.(3) 根据题意，得方程(120-2x)x=2000.整理，得x²-60x+1000=0.因为△=-400<0,所以此方程无实数根.答：用120米长的铁栅栏按题中的要求围仓库，长方形的面积不可能是2000 平方米.8. 例题 某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元.如果每月产值的增长率相同，求这个增长率.解:设这个工厂每月产值的增长率为x. 根据题意，得方程100·(1+x)²=144,即(1+x)²=1.44.所以1+x=1.2 或1+x=-1.2(不合题意,舍去).得x=0.2=20%.答：这个工厂八、九两月的增长率为20%.9. 用100厘米长的铅丝，弯折一个长方形的模型.分别在下列条件下，求相邻两边的长：(1) 长方形的面积是525平方厘米；(2) 长方形的面积是625平方厘米；(3) 长方形的面积是700 平方厘米.10. 某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，求每次降价的百分率.11. 例题 解方程：解：(1) 解关于y的方程xy²-(2x²+1)y+(x³+1)=0. (方程的根用含x的式子表示)(2)由(1)中关于y的方程的根的表达式，还y的本来面目，即用替换y，就得到两个关于x的方程，再解所得的这两个方程.(3)写出原方程的根(即上述两个关于x的方程的根).12. 阅读下面的证明过程,说一说其中的因果关系.已知:如图,∠AOC与∠COB互为邻补角,OD平分∠AOC,OE平分∠COB.求证:∠DOE=90°.证明:因为OD平分∠AOC(已知),所以∠DOC=¹/₂∠AOC(角平分线的意义).同理∠COE=¹/₂∠COB.所以∠DOC+∠COE=¹/₂∠AOC+¹/₂∠COB=¹/₂(∠AOC+∠COB)( （等式性质）.因为∠AOC与∠COB互为邻补角(已知),所以∠AOC+∠COB=180°(邻补角的意义).所以∠DOC+∠COE=90°(等量代换).13. 已知:如图,点D、E、F分别是△ABC中边BC、AB、AC上的点,且DF∥AB,DE∥AC,试利用平行线的性质证明∠A+∠B+∠C=180°.14. 指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假：(1) 同旁内角相等，两直线平行.(2)全等三角形的对应边相等.(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.(4)在一个三角形中，等边对等角.(5)关于某个点中心对称的两个三角形全等.(6)等角的补角相等.15. 例题 已知:如图 17-3,AB∥CD,∠B+∠D=180°.求证:CB∥DE.证明 ∵ AB∥CD(已知),∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).又∵ ∠B+∠D=180°(已知),∴ ∠C+∠D=180°(等量代换).在证明的表述中，符号“∵”、“∴”分别读作“因为”、“所以”,并与其同义.∴CB∥DE(同旁内角互补,两直线平行).16. 例题 已知:如图17-4 ,点D、E、F分别是AC、AB、BC上的一点,DF∥AB,∠DFE=∠A. 求证: EF∥AC.证明 ∵ DF∥AB(已知),∴ ∠BEF=∠DFE(两直线平行,内错角相等).又∵ ∠ DFE=∠A(已知),∴∠BEF=∠A(等量代换).∴EF∥AC(同位角相等,两直线平行).17. 已知:如图,AC与BD相交于点O,∠A=∠AOB,∠C=∠COD.求证:AB∥CD.(1) 已知:AB=AC,DE∥BC.求证:AD=AE.(2) 已知:AB=AC, AD=AE.求证:DE∥BC.18. 例题如图 17-5,AC与BD相交于点O,OA=OD,∠OBC=∠OCB.求证:AB=DC.证明在△BOC中,∵∠OBC=∠OCB(已知),∴OB=OC(等角对等边).在△AOB与△DOC中,(对顶角相等)，∴△AOB≌△DOC(S. A. S).∴AB=DC(全等三角形的对应边相等).19. 例题 已知:如图 17-6,AB=AC,DB=DC.求证:∠B=∠C.证明 联结 AD(如图 17-7).在△ABD与△ACD中,(已知),(已知 公共边),∴ △ABD≌△ACD(S. S. S).∴ ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).本题的证明涉及到添辅助线.通过联结AD，构造了两个三角形，把“已知”和“求证”联系起来.20.（1）已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足为点 D.求证：△ABC 是等腰三角形.（2）已知:如图,AB=AC,AD=AE,AB、DC 相交于点 M,AC、BE相交于点 N,∠DAB=∠EAC.求证:∠D=∠E.（3）已知:如图,E、F是线段BC上的两点,AB∥CD,AB=DC,CE=BF.求证:AE=DF.21. 例题 已知:如图 17-9,AD、BC相交于点O,OA=OD,OB= OC,点E、F在 AD上,且 AE= DF,∠ABE =∠DCF.求证:BE∥CF.证明在△AOB 与△DOC中,（对顶角相等）∴△AOB≌△DOC(S. A. S).∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).又∵∠ABE=∠DCF(已知),∠1=∠A+∠ABE,∠2=∠D+∠DCF(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).∴∠1=∠2(等式性质).∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行).22. 例题 已知:如图 17-10,AD∥BC,E是线段 BC 的中点,AE=DE.求证:AB=DC.证明 ∵ AD∥BC(已知),∴ ∠1=∠3,∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).∵AE=DE(已知),∴∠3=∠4(等边对等角).∴∠1=∠2(等量代换).∵E是线段BC 的中点(已知),∴BE=CE(线段中点的定义).∴在△ABE与△DCE中,∴△ABE≌△DCE(S. A. S).∴AB=DC(全等三角形的对应边相等).23. 已知:如图,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别是点E、F. AF=CE,BE=DF.求证:AB=CD,AB∥CD.24. 已知:如图,DE∥BC,A是DE上一点,AD=AE,AB=AC.求证:BE=CD.25. 例题 已知:如图 17-11,DB⊥AB,DC⊥AC,且∠1=∠2.求证:AD⊥BC.证明∵ DB⊥AB,DC⊥AC(已知),在△ABD 与△ACD中,∴ △ABD≌△ACD(A. A. S).得 AB=AC(全等三角形的对应边相等).∵△ABC是等腰三角形,且∠1=∠2,∴ AD⊥BC(等腰三角形的三线合一).26. 例题 已知:如图 17-12,△ABD中, AC⊥BD,垂足为点 C,AC=BC.点 E在AC 上,且CE=CD.联结 BE 并延长交AD 于点 F.求证: BF⊥AD. +∠ACD=180°,又∠ACD=90°,因此只要证明∠1=∠2.证明∵AC⊥BD(已知),∴∠ACB=∠ACD=90°(垂直的定义).在△BCE 与△ACD中,∴△BCE≌△ACD(S. A. S).得∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).在△ACD中,∠2+∠D+∠ACD=180°(三角形的内角和等于180°),在△BFD中,∠1+∠D+∠BFD=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠1+∠D+∠BFD=∠2+∠D+∠ACD(等量代换).∴∠BFD=∠ACD=90°(等式性质).∴BF⊥AD(垂直的定义).27. 已知:如图,OA=OB,AC= BD,且 OA⊥AC,OB ⊥BD,点 M在CD上,∠AOM=∠BOM.求证:OM⊥CD.28. 用如下两种方法画出了互相垂直的两条直线，证明这两种画法的正确性.画法一：①画∠AOB;②以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA 于点C, 交 OB于点D;③分别以点 C 和点 D为圆心、大于CD的同样长为半径画弧，两弧相交于∠AOB内部一点P;④分别画射线 OP、线段 CD.则 CD与OP 互相垂直.29. 已知:如图17-13,在△ABC与中,求证:△ABC≌△A'B'C'.证明:不妨设边BC 最长.如图17-13,把△ABC与拼在一起，使边BC和重合，并使点A、A'在的两侧；再联结A'A.(已知),∴ ∠1=∠2,∠3=∠4(等边对等角).∴ ∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即在△ABC与中,30. 已知:如图 17-14,四边形 ABCD中,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.证明分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,∴ △ABC≌△DCB(S. A. S).得 AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,(公共边),∴△ABD≌△DCA(S. S. S).31. 已知:如图,AC与BD相交于点O,且AC=BD,AD=BC. 求证:OA=OB.32. 已知:如图,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.33. 例题 已知:如图 17-17,D是BC 上的一点,BD=CD,∠1=∠2.求证:AB=AC.证明 延长 AD到点 E,使 DE=AD,联结 CE(如图 17—18).在△ABD 与△ECD中,(对顶角相等)，∴ △ABD≌△ECD(S. A. S).得 EC=AB,∠E=∠1 (全等三角形的对应边相等、对应角相等).又∵ ∠1=∠2(已知),∴ ∠E=∠2(等量代换).得 EC=AC(等角对等边).∴ AB=AC(等量代换).本题证明中添辅助线的思考方法，是注意到点 D是 BC的中点,将中线AD延长一倍，联结 CE，实质是将△ABD绕点 D旋转180°.34.如图17-19,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°. D 是BC上的一点,AD=AB.求证:∠BAD=2∠C.证明 过点 A作 AH⊥BC,垂足为点 H(如图 17-19).∵ AD=AB(已知),∴ ∠BAD=2∠BAH(等腰三角形的三线合一).在△ABC中,∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于 180°),又∵ ∠BAC=90°(已知),∴ ∠B+∠C=90°.同理∠BAH+∠B=90°.∴∠BAH=∠C(同角的余角相等).∴∠BAD=2∠C(等量代换).35. 已知:如图,AD∥BC,点E是DC 的中点,AE平分∠BAD.求证:BE平分∠ABC.36. 已知:如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,BC=AC+AD.求证:∠A=2∠B.37. 例题求证：三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等. 根据命题，画出图形，再写已知、求证.已知:如图 17-20,AD是△ABC 的中线,CE⊥AD,垂足为E,BF⊥AD,垂足为 F.求证:CE=BF.证明 ∵ AD 是△ABC的中线(已知),∴ BD=CD(中线的定义).∵ CE⊥AD,BF⊥AD(已知),∴ ∠CED=∠BFD=90°(垂直的定义).在△BDF和△CDE中,∴△BDF≌△CDE(A. A. S).∴CE=BF(全等三角形的对应边相等).。

专题28.2解直角三角形及其应用典例体系(本专题共50题34页)一、知识点1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝=cosB=a c ，cos A ＝sinB=b c ，tan A ＝ab .3.解直角三角形的应用4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i ＝tan α.(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．5.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：二、考点点拨与训练考点1：由已知函数值求未知函数值典例：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，12sin 13B =，则tan A 的值为()．A ．513B ．1312C ．125D ．512方法或规律点拨本题考查互余两角三角函数的关系，其中涉及正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．巩固练习1．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是()A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB2．若锐角A 满足tan a ＝13，则sin a 的值是()A ．5B ．10C ．10D ．53．如果α是锐角，3sin 2α=，那么cosα的值是()A ．12B ．2C ．2D ．34．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为()A ．45B ．35C ．34D ．435．已知α是锐角，cosα＝13，则tanα的值是()A ．10B ．C ．3D ．6．已知：1sinα3=则cosα=()A ．13B ．23C ．89D ．7．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是()A ．35B ．45C ．53D ．548．已知sinαcosα=18，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为()A ．32B ．－32C ．34D ．±329．在Rt ABC △中，90C =∠，如果1cos 2B =，那么sin A 的值是()A ．1B ．12C ．32D ．3210．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4sin 5A =，则cosB 的值为()A ．43B ．34C ．35D ．4511．如图，3sin 5α=，则cos β等于()A ．35B ．45C ．925D ．162512．如果α是锐角，且3sin 5α=，那么cos α的值为_____．13．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，tan A =3，tanB=________14．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.【答案】3515．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosB 的值为_____.考点2：几何图形中应用锐角三角函数典例：在△ABC 中，AB ，tanB ＝45，AC ＝BC 的长为_____．方法或规律点拨本题主要考查了三角函数的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．巩固练习1．如图，已知Rt ABC ∆，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠，则点B 到射线AD 的距离是()A ．2BCD ．32．在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=23，那么AC 边的长是()A ．6B ．C ．D ．3．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，2AC =，下列结论中，正确的是()A ．2sin AB A =B ．2cos AB A =C ．2tan BC A=D ．2cot BC A=4．如图，Rt ABC 中，C 90∠=︒，4sin 5=B ，AB 10=．则tan =A ________．5．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC cm ，则AB 的长为_____．6．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是．7．在ABC ∆中，5AB =，25AC =，1tan 2B =，则BC 的长为______.8．(2020·河南期末)如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥，垂足为M ，交BC 于点E ，2AM CM =．(1)求sin B 的值：(2)若5CD =，求BC 的长．9．(2020·吉林长春·初三一模)(教材呈现)数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：(问题1)赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．(问题2)小明发现只利用直角三角板也可以作∠AOB 的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ＝ON ．②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为∠AOB 的平分线．(1)请写出小明作法的完整证明过程．(2)当tan ∠AOB ＝43时，量得MN ＝4cm ，直接写出MON △的面积．考点3：解直角三角形典例：如图，在Rt ABC 中，90,30,C A AC ∠=︒∠=︒=()1求AB 的长；()2求RtABC 的面积．方法或规律点拨本题考查了解直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．巩固练习1．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，若6AD =．3tan 2C =，12BC =，求cos B 的值．2．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．3．如图,在锐角三角形ABC 中,AB=4,BC=∠B=60°,求△ABC 的面积4．若A 为锐角，且tan 2A =，求3sin cos 4cos 5sin A AA A+-．5．(2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试)如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，14BC =，12AD =，4sin 5B =．(1)求线段CD 的长度：(2)求cos C ∠的值．6．(2020·华南师大(广东)教育文化传播有限公司月考)在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝6，∠B 为锐角且cosB ＝12．(1)求△ABC 的面积．(2)求tanC ．7．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=34，求sinC 的值．本考点4：解直角三角形的实际应用典例：如图，某海监船以60海里/时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30︒方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60 方同．(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之问的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．方法或规律点拨本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．巩固练习1．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度(或坡比)i＝1：0.75，坡长BC＝40米(建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直)，则信号发射塔AB的高约为()(参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48)A．71.4米B．59.2米C．48.2米D．39.2米2．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的()A ．南偏西40°B ．南偏西30°C ．南偏西20°D ．南偏西10°3．一座建于若干年前的水库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB 的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了_____平方米．4．汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸//EF GH ，小李在河岸GH 上点B 处用测角仪观察河岸EF 上的小树A ，测得45ABH ∠=︒，然后沿河岸走了50米到达C 处，再一次观察小树A ，测得65ACH ∠=︒，则可求出河的宽度为________________米．(参考计算：650.9sin ︒≈，650.42cos ︒≈，65 2.14tan ︒≈，结果精确到0.1米)．5．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，(图中i =DE 与水平宽度CE 的比)，60B ∠=，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________(结果保留三位有效数字，参考1.732= 1.414=)6．如图，在大楼AC 的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE ＝4米，坡角∠DEB ＝41°，小红在斜坡下的点E 处测得楼顶A 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶A 的仰角为45°，其中点B ，C ，E 在同一直线上求大楼AC 的高度．(，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87)7．如图是一矩形广告牌ACGE ，2AE =米，为测量其高度，某同学在B 处测得A 点仰角为45︒，该同学沿GB 方向后退6米到F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P 点仰角为37︒．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE 的高为2.25米，求广告牌的高度(AC 或EG 的长)．(精确到1米，参考数据：sin 370.6︒≈，tan 370.75︒≈)7．兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．问题提出：如何测量白塔的高MN ．方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A 处测得塔尖M 的仰角是30°，向前走了50米到达点B 处，又测得塔尖M 的仰角是60°．问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN(结果精确到1m ．9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60︒，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m 1.73≈)10．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与底面CD 垂直的OM 位置时的示意图，已知AC 0.66=米，BD 0.26=米，α30=︒(参考数据：1.414==)(1)求AB 的长(2)若ON 0.6=米，求M N 、两点的距离(精确0.01)11．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD 是高为1米的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40︒，向塔方向前进38米在E 处测得塔顶端A 的仰角为60︒，求二七纪念塔AB 的高度(精确到1米，参考数据400.64,400.77,403 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)．12．如图，小明的家在某住宅楼AB 的最顶层，他家对面有一建筑物CD ，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A 到地面的距离()AB 为16m ，又测得从A 处看建筑物底部C 的俯角α为30°，看建筑物顶部D 的仰角β为53︒且AB ，CD 都与地面垂直，点A ，B ，C ，D 在同一平面内．(1)求AB 与CD 之间的距离(结果保留根号)；(2)求建筑物CD 的高度(结果精确到1m )．参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 53 1.3︒≈3 1.7≈．13．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4︒．已知AC BC ⊥于点,C EG BC ⊥于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ．(结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos ≈︒≈，52.8 1.32,63.40.89tan sin ︒≈︒≈，63.40.45,63.4 2.00cos tan ≈︒≈)。

实际问题与二元一次方程组（一） 要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。