人教版最新高考理科数学专题复习---概率与统计Word版及解析

专题六概率、统计热点一概率的计算古典概型和几何概型的共同点是基本事件发生的可能性相同 ，不同点是古典概型要求基本事件个数有限，而几何概型要求基本事件个数无限 •在解题中要仔细分析，辨别所求的概率是什么类型的，然后选用相应的分式进行计算•例1 （2014 •乌鲁木齐质检）甲、乙两名工人生产的零尺寸记成如图所示的茎叶图 ，已知零件尺寸在区间（165,180）（单位:mm ）内的为合格品. （1）求甲生产的零件尺寸的平均值，乙生产的零件尺寸的中位数 ；（2） 在乙生产的合格零件中任取 2件，求至少有一件零件尺寸在中位数以上的概率【解析】 （1）甲生产的零件的尺寸的平均值为xr= 7^(165+169 十 169+171 + 175+173 + 178+186 + 180 + 193) = 176 (mm).⑵ 乙生产的合格零件共有 6件，其尺寸分别为：166,167,168,170,171,176 将它们依次记为a ,b ,c , ABC 其中在中位数169以上的有3件:从6件合格零件中任取 2件的不同取法分别为：ab , ac , aA aB aC bA bB, bC cA , cB, cC, AB ACBC 共有15种，其中至少有一件零件尺寸在 中位数以上的不同取法有：aAaB, aC,bA bB, bC cA, cB, cC, AB AC BC 共有12种,故基本事件所求概率1' 5 .热点二用导数研究函数的性质概率与统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等 ，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相乙虫产的零伴的尺寸的中僮数为1G8+1705关的计算.例2 (2014 •西安模拟)近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5 组：第1 组［20,25),第2 组［25,30),第3 组［30,35),第4 组［35,40),第5 组［40,45),得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人.(1) 求该组织的人数；(2) 若从第3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(3) 在(2)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.【审题】理解直方图以及频数、频率和样本容量的关系、分层抽样的特点是解题关键，计算古典概型的概率问题的关键是基本事件的列举，可以利用枚举法、列表法、树形图等方法计数基本事件•【求解】口)由题意得第2组的人数：35 = 5X0. 得到= 100,故该组织有100人.(2〉第3组的人数为CL3X 100=30,第4组的人数为0. 2X100 = 20-第5 组的人数为0* 1X100=10.因为第3.4-5组具有60主志愿者•所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者-毎组抽取的人救分别为第3组层*6 = 3;第4组瑶心=益第5组熄X 6=1. 所以应从第3*4’5组中分别抽取3人，2人」人.(3) 记第3组的3名志愿者为A, A, A,第4组的2名志愿者为B, B2,第5组的1名志愿者为G. 则从6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有(A,A),( A,A),( A,B),( A, B),( A, G),( A, A),( A, B),( A, R),( A, G),( A, B),( A, R),( A, G),( B, R),( B, G),( B, G),共有15 种.其中第3组的3名志愿者A,A,A,至少有一名志愿者被抽中的有(A,A),( A,A),( A,B),( A, B),( A i, C),( A, A),( A, B),( A, B),( A, C),( A, B),( A, B),(A G),共有12种.则第3组至冇一名志愿者祓抽中的概率为P=^| = y・1. (2014 •豫东测试)某中学招聘教师有笔试、面试两个环节，笔试成绩超过85分者才能进入面试环节，现已记录前来应聘的9位男教师和9位女教师的笔试成绩，成绩用茎叶图表示如下：(第1题)(1) 求男教师的平均成绩和女教师成绩的中位数；(2) 从进入面试环节的老师中随机挑选2名老师，求2位老师中至少有一位男教师的概率2. (2014 •成都质检)我国采用的PM25的标准是：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35~75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2 5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示•请据此解答如下问题：(1) 求m的值，并分别计算频率分布直方图中的［75,95］和［95,115］这两个矩形的高；(2) 通过频率分布直方图求出这m天的PM2 5日均值的中位数;(结果保留分数形式)(3) 若从［75,95)中任意抽取一个容量为2的样本来研究汽车尾气对空气质量的影响，求至少有一个数据在［80,90）之间的概率7■"344253 66 2 5 87 6 it 989 3 4昌9jn 6 7⑴⑵（第2题）3. （2014 •马鞍山质检）为了解某单位员工的月工资水平,从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查,得到如下频数分布表：（1）完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（第3题）（2）试由上图估计该单位员工月平均工资；⑶若从月工资在（25,35）和（45,55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率.4. （2014 •贵州联考）为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表（1）若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；⑵完成表3的2X 2列联表，并回答能否有90%勺把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；⑶从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取2人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3(ad-fr) (b+d)附: ，其中n=a+b+c+d.经典演练习题1. (1)男教师的平均成绩为69 + 78+77 + 87 + 86+89+92+94 + 95 --- 心8 5* 2*9女教师成绩的中位数为8乱(2)能进人面试环节的男教师冇6位+女教厢冇3位•记满足条件的 6位男教师分别为幻p 崇巧心V —满足条件的3位女教师分别 为 b\ «/?2 * *则从中任取2人的情况有(口］垃£ ) * (口］ * u 3 ) t (4)山| ) , ) , («! *<^g )* t ci ］ * b、)?〔“］勺 f^2)■*("］,) i(Ci ?中) •( Cl g * U .| )叩(2 • ° 5 丿 *( Ci g g )*( Ci g ・ b \ .)即(g 片 bg ) * (；(€43 牛4)耳(口3 ・“s )呻(“ 3 呻 £/\g .)耳("3 宇)+ ( Ci 3 * ”2) *( U3 *) $(£<』［中収 5 ) ■ ( €t 电 * £/ & ) * (£14 ■仃］几(口 璋导 l )2)*■( U* ■ A3 )i(<(5 t fi g) * ( 4( ♦ 6 ］)审(a 5 * b?)草(M 5 Jig ) !(£!§ * tfy ) * ( €i g ■方2)专(口6 * “3)t g“、g即基本事件共有36个,至少有一位男教师的墓本事件有記个，■■■; 11故2位老师屮至少有一位男数师的概率P=—=—.2.(1)因为丄=0 002 5X20.所以俎= 20.///9易知矩形［75,95］的髙为—=0. 022 5?400(2) 其中位数为75 + — = 81—.J J*(3) 易対在［75,95］屮共有9个数据. i 己这9个数据分別为Ci ］ 5 5，…，沟. 易妙总的基本事件个数共冇36个.苛虑问题的对立面即所取的两个数据都不&［80.90)之间的1$本事 件个数为10个.1 o 13所以所求的概率为p=i-—=4^-t3. (1)如图所示：参考答案与解析矩形曲冏的高为沽=0. n L（第3题）（2） 20 X 0. 1+30 X 0. 2+40 X 0. 3+50 X 0. 2+60 X 0. 1+70 X 0. 1=43（百元）.故该单位员工月平均工资估计为4300元.⑶由上表可知：月工资在［25,35）组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在［45,55）组的有四名女工，分别记作A, BCD.现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组:（甲, 乙）,（甲，A）,（甲，B）,（甲，C）,（甲，D,（乙，A）,（乙，B）,（乙，C）,（乙，D）,（A,Bl,（AC）,（A,D）,（BC）,（BD,（ C, D）,其中月工资差不超过1000 元，即为同一组的有（甲，7 P = ・乙）,（A,B）,（AC）,（AD,（BC）,（B, D,（C, D 共7 组，所以所求概率为4. （1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为X,T _ 30依据题意有7 5°1小），解得x=225,所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225,（2）根据题目所给数据得到如下列联表：2= 200X(60X30-40X70)-100X 100X130X70故没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.(3)因为男生中上网时间少于60分钟与不上网时间不少于60分钟 的人数之比为3 : 2,所以5人中上网时间少于60分钟的有3人，记 为A ・B,C,上网时间不少于60分钟的有2人，记为从中任取2 人的所有基本事件为(A,B), (A,C),(A,D 〉，(A,E),(B,C),(B, D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个，其中“至少有一人上网 时间超过60分钟"包含了 7个基本事件•所以P = =竺_~2・ 198<2. 706. 91。

重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。

概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。

取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。

解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

第1讲 概率高频考点高考预测随机事件、古典概型 概率模型多考查独立事件、条件概率、n 重伯努利试验、互斥事件和对立事件、而全概率公式、二项分布与正态分布则是新高考的热点，多以选择填空的形式出现.条件概率与全概率n 重伯努利试验与二项分布正态分布1. (2023·全国甲卷文科)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝C 24＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝C 12C 12＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝m n ＝46＝23.故选D.2. (2023·全国乙卷文科)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( A )A.56 B ．23 C ．12D ．13【解析】 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n ＝6×6＝36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m ＝A 26＝30，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P ＝m n ＝3036＝56.故选A. 3. (2023·全国甲卷理科)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( A )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1【解析】 根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A ，报乒乓球俱乐部为事件B ，则P (A )＝5070＝57，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的有50＋60－70＝40人，则P (AB )＝4070＝47，则P (B |A )＝P ABP A ＝4757＝0.8.故选A. 4. (2022·全国新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )A.16 B ．13 C ．12D ．23【解析】 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 27＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率P ＝21－721＝23.故选D.5. (2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( C )A.15 B ．13 C ．25D ．23【解析】 从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6种情况，故概率为615＝25.故选C.6. (多选)(2023·全国新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0＜α＜1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0＜β＜1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1，则译码为1)( ABD )A ．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1－α)(1－β)2B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－β)2C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D ．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】 采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为：(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A 正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1,0,1的概率为：(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B 正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C 23β(1－β)2＋(1－β)3，故C 错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P 1＝C 23α(1－α)2＋(1－α)3，单次传输发送0译码为0的概率P 2＝1－α，P 2－P 1＝(1－α)－C 23α(1－α)2－(1－α)3＝(1－α)[1－C 23α(1－α)－(1－α)2]＝(1－α)(2α2－α)＝(1－α)·α(2α－1)，当0＜α＜0.5时，P 2－P 1＜0，故P 2＜P 1，故D 正确．故选ABD.7. (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 635.【解析】 从正方体的8个顶点中任取4个，有n ＝C 48＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m ＝6＋6＝12个，故所求概率P ＝m n ＝1270＝635. 8. (2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 310.【解析】 从5名同学中随机选3名的方法数为C 35＝10，甲、乙都入选的方法数为C 13＝3，所以甲、乙都入选的概率P ＝310.9. (2022·全国新高考Ⅱ卷)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (2<X ≤2.5)＝0.36，则P (X >2.5)＝ 0.14⎝ ⎛⎭⎪⎫或750 .【解析】 因为X ～N (2，σ2)，所以P (X <2)＝P (X >2)＝0.5，因此P (X >2.5)＝P (X >2)－P (2<X ≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.核心考点1 随机事件的关系、古典概型核心知识· 精归纳1.概率的性质性质1：对任意的事件A ，都有P (A )≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝1，P (∅)＝0； 性质3：如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )__；性质4：如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝1－P (A )，P (A )＝_1－P (B )__； 性质5：如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )，由该性质可得，对于任意事件A ，因为∅⊆A ⊆Ω，所以0≤P (A )≤1；性质6：设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，有P (A ∪B )＝_P (A )＋P (B )－P (A ∩B )__. 2.古典概型一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝k n ＝n An Ω.其中，n (A )和n (Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数．多维题组· 明技法角度1：随机事件的关系1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D )A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治【解析】 从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A 错误；至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D 正确．故选D.2. (2023·徐汇区校级三模)某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”( D )A ．是对立事件B ．都是不可能事件C ．是互斥事件但不是对立事件D ．不是互斥事件【解析】 事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．故选D.角度2：古典概型的计算3. (2023·青岛模拟)将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为( C )A.45B ．25C ．23D ．13【解析】 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有C 46C 22＝15种，其中2个黄球不相邻的有C 25＝10种，所以所求事件的概率为1015＝23.故选C.4. (2023·射洪市校级模拟)形如413或314的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小．已知由1,2,3,4构成的无重复数字的三位数共24个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为( B )A.16 B ．13 C ．512D ．58【解析】 若三位数中间的数字为1，则有A 23＝6个，若三位数中间的数字为2，则有A 22＝2个，即“波浪数”共有6＋2＝8个；所以从中任取一数恰为“波浪数”的概率P ＝824＝13.故选B. 方法技巧· 精提炼古典概型中样本点个数的探求方法1．列举法：适合的样本点个数较少且易一一列举的问题；2．树状图法：适用于较为复杂的问题中样本点个数的探究，尤其是有序问题； 3．排列、组合法：在求解一些较为复杂的问题时，可利用排列、组合知识求出样本点个数．加固训练· 促提高1. (2023·宜宾模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则( B )A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选项A ，C ，D 错误，选项B 正确．故选B.2. (2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徴、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( B )A.12 B ．710 C ．920D ．1120【解析】 设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音阶，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 23A 25＝1－3×25×4＝710.。

专题13 概率与统计【高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求． (2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A 级要求． (3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B 级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B 级要求. 【重点、考点剖析】 1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝mn求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程. 【题型示例】题型一 古典概型问题例1、(·课标Ⅱ，18，12分，中)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.【举一反三】(·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析这两只球颜色相同的概率为16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案5 6【变式探究】(·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49 .(3)a＝11或a＝18.【感悟提升】1．古典概型的求解思路(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)根据公式P(A)＝mn＝A中所含基本事件数基本事件总数求出．【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．【解析】(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝2 5.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝815.题型二几何概型问题例2、(·课标Ⅰ，4，易)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【解析】B 由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P＝10＋1040＝12.【举一反三】(·课标Ⅱ，10，中)从区间0，1]随机抽取2n个数x1， x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn【解析】C 由题意知，mn＝π4，故π＝4mn，即圆周率π的近似值为4mn.【变式探究】(·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π. 答案 B【变式探究】(·湖北)由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.78【答案】D【解析】由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78，故选D.【感悟提升】几何概型的求解思路概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法．求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．其解析为：(1)判断所求几何概型的类型；(2)分别确定相关的区域长度(面积与体积)；(3)代入公式计算．【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14 B.12C.34 D.78答案 C题型三、抽样方法例3、(·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．167 B．137 C．123 D．93解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B.答案 B【变式探究】(1)(·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3(2)(·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10【命题意图】(1)本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解．(2)本题主要考查样本容量和分层抽样的概念及计算．要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力．【答案】(1)D (2)A【感悟提升】在解题时注意各种抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样． (1)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．(2)在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同．【变式探究】从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483【答案】C【解析】因为系统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为25，所以7＋(k －1)·25≤500，解得k≤51825，即k 取1,2,3，…，20，所以样本中最大的编号为7＋(20－1)·25＝482.题型四 频率分布直方图与茎叶图例4．(·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32解析 法一 由题意知， x 1＋x 2＋…＋x 10＝10x ，s 122212101[()()()]10x x x x x x -+-++-L则y ＝1n (2x 1－1)＋(2x 2－1)＋…＋(2x 10－1)] ＝1n 2(x 1＋x 2＋…＋x 10)－n ]＝2－1，所以S 222212101[(21)(21)(21)]10x y x y x y --+--++--L 22212104[()()()]10x x x x x x -+-++-L 2s 1，故选C.答案 C【变式探究】(·湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151]上的运动员人数是________．解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．答案 4题型五变量间的相关关系及统计案例例5．(·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，减少二氧化硫排放量的效果最显著B．我国治理二氧化硫排放显现成效C．以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【变式探究】(·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b ∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元D ．12.2万元解析 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ∧＝0.76，∴a ∧＝0.4，由y ∧＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y ∧＝11.8万元．故选B.答案 B【举一反三】(·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w821()ii x x =-∑821()ii ωω=-∑81()ii x x =-∑g()i y y - 81()ii ωω=-∑()i y y -表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝$µ1121()(),()n i i n ii u u v v a v u u u β==--=--∑∑. 解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于 $821821()()108.81.6()i i i ii y y d ωωωω==---=-∑∑＝68，＝y －$d ω＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为$y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为$y ＝100.6＋68x .。

概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。

3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。

二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。

2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。

3.有关正态分布的考题多为一道小题。

三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。

（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。

A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。

即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。

（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。