高考数学专题复习 概率

2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。

2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。

本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。

一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。

尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。

对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。

2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。

对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。

3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。

对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。

对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。

4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。

2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。

3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。

4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。

高考数学专题复习：概率一、单项选择题（共8小题）1．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，卡片上的数字恰好一奇一偶的概率是（）A ．52B ．53C ．31D ．322．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足x +y =4的概率为（）A ．91B ．92C ．31D ．943．二进制数字系统中，用两个不同的符号0（代表脉冲间隔）和1（代表有脉冲信号）来表示基数，每个0或1就是一个位（bit ）．如二进制数01001就是5（bit ）．一个5（bit ）的二进制数，由3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（）A ．32B ．21C ．53D ．524．已知随机变量X 的分布列为则随机变量X 的方差D(X)的最大值为（）A ．41B ．21C ．1D ．25．已知三个正态分布密度函数()()22221ii ii x e x σμσπϕ--=（x ∈R ，i =1，2，3）（其中，e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．321σσσ>=B ．21μμ>C ．32σσ<D ．21μμ=6．已㭚X ～B （n ，p ），若4P （X=2）=3P （X=3），则p 的最大值为（）A ．65B ．54C ．43D ．327．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）等于（）A ．81B ．41C ．52D ．218．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，设事件A=“x +y =7”，事件B=“xy 为奇数”，事件C=“x ＞3”，则下列结论正确的是（）A ．A 与B 对立B ．P(BC)＝61C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立二、填空题（共5小题）9．两个人通过某项专业测试的概率分别为21，32，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为__________．10．某校篮球队假期集训，集训前共有5个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），2个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．设第一次训练时取到的新球个数为ξ，则P(ξ=1)=__________；第二次训练时恰好取到一个新球的概率为__________．11．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+2)=__________．12．已知随机变量X 的分布列为则随机变量X 的数学期望E(X)=__________，方差D(X)=__________．13．已知随机变量X ～N （8，σ2），且P （6＜X ＜10）=a ，P （4＜X ＜12）=b ，则P(6＜X ＜12)=__________．三、解答题（共2小题）14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为31，乙每次投篮投中的概率为21，且各次投篮互不影响．（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．15．已知一袋中装有30个球，每个球上分别标有1，2，3，…，30的一个号码，设号码为n 的球重为12342+-n n （单位：克），这些球等可能的从袋中被取出．（Ⅰ）现从中不放回地任意取出2球，试求它们重量相等的概率；（Ⅱ）现从中任意取出1球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球．按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案题号12345678答案BCCACBBC9．3210．53；502711．412．3；113．()b a +2114．（1）8120；（2）271。

2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。

一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。

3. 频数：事件a发生的次数。

4. 频率：频数/总数。

5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。

概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。

6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。

7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。

8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。

二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。

数学期望又简称期望。

若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。

数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。

2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。

以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。

高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）高考数学第一轮复习概率专项练习（含答案）概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是高考数学第一轮复习概率专项练习，请考生掌握。

一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30，BC=4，若在菱形ABCD内任取一C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为()A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点，需=4a2-4(-b2+0，即a2+b22成立.而a，b[-]，建立平面直角坐标系，满足a2+b22的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为________. 答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y22的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x[-1,1]，都有f(x)0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且mn，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足mn的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率. 命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12n，即n2-7n+120.解得n3或n4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且mn)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为方程x2+2ax+b2=0有实根.当a0，b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为6400.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为400.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为400.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国节能减排战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.高考数学第一轮复习概率专项练习及答案解析的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以取得优异的成绩。

数学高考概率题型
以下是数学高考中可能出现的概率题型：
1. 事件概率计算：给定一个随机事件，求其发生的概率，可以根据基本概率公式或条件概率公式进行计算。

2. 互斥事件和对立事件：互斥事件指两个事件不可能同时发生，如掷两个骰子得到的点数为偶数和奇数；对立事件指两个事件中必有一个发生，如掷一枚硬币正反面的结果。

3. 独立事件：两个事件相互独立，指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，可根据乘法原理计算其概率。

4. 条件概率：指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率，可根据条件概率公式进行计算。

5. 全概率公式：指在一组互斥但不完全穷尽的事件中，对任意一个事件，求其发生的概率，可根据全概率公式计算。

6. 贝叶斯公式：指在已知某一事件的条件下，求另一事件发生的概率，可根据贝叶斯公式进行计算。

7. 随机变量和概率分布函数：随机变量指一个随机试验的结果，概率分布函数指随机变量的取值及其相应的概率。

8. 期望和方差：期望指随机变量的平均值，方差指随机变量取值与期望的差的平方的平均值。

9. 大数定律和中心极限定理：大数定律指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值；中心极限定理指在独立重复试验中，样本的平均值符合正态分布。

高考数学：条件概率问题总结复习1．条件概率的概念设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率．P (B |A )读作 发生的条件下 发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈ ．(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则 P (B ∪C |A )＝ .[一点通] 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n (AB )n (A )，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B |A )＝P (AB )P (A )，特别要注意P (AB )的求法．[例1] 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14.∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能 结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A ＝{2,3,5}，B ＝ {1,2,4,5,6}，则P (A |B )＝ ( )A.12B.15C.25D.35解析：P(B)＝56，P(A∩B)＝13，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝1356＝252．已知P(A|B)＝12，P(B)＝13，则P(AB)＝________.解析：∵P(A|B)＝P(AB) P(B)，∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝12×13＝16.3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)＝P(AB)P(B)＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.120.2＝0.60.探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？答按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2.小结已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率，这就是条件概率．例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝620＝310.(3)方法一由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题”的概率为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝31035＝12.方法二因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.小结利用P(B|A)＝n(AB)n(A)解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解方法一记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为P(AB)＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝415610＝49.方法二这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是4 9.探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？答条件概率具有一般概率的性质，即对P(B|A)来说有：①0≤P(B|A)≤1；②如果B，C为互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解设“第i次按对密码”为事件A i(i＝1,2)，则A＝A1∪(A1A2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＝110＋9×110×9＝15.(2)用B表示“最后一位按偶数”的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A1A2|B)＝15＋4×15×4＝25.小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解设事件A为“该考生6道题全答对事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510·C110C620＋C410·C210C620＝12 180C620∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P(A)P(D)＋P(B)P(D)＝C610C62012 180C620＋C510·C110C62012 180C620＝1358.所以他获得优秀成绩的概率是13581.某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．解析设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.2．1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（） A.18 B.14 C.25 D.12解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚值班的概率为________．解析设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”则P(A)＝C16C27，P(AB)＝1C27，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝16.4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)解Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，∴P(A|B)＝P(BA)P(B)＝13；P(B1)＝12，P(B1A)＝P(A)＝14，∴P(A|B1)＝P(B1A)P(B1)＝12.1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数高考数学重点：条件概率问题总结+题型详细分类解析。

高考数学概率知识点整理总结高考数学概率知识点整理一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高中数学概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式.高中数学古典概率公式P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算附：由概率定义得出的几个性质：1、02、P(Ω)=1，P(φ) =0[1]概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件(AB=φ)，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1 推论3： P(A)=1-P(A)推论4：若B包含A，则P(B-A)= P(B)-P(A)推论5(广义加法公式)：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]条件概率条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)0，P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

如何备考高考数学统计与概率部分重点知识点及解题思路备考高考数学统计与概率部分是每位考生所面临的一项重要任务。

为了提高备考效果，考生需要明确重点知识点及解题思路，并采取相应的备考策略。

本文将为考生介绍备考高考数学统计与概率部分的重点知识点，以及提供解题思路和备考策略。

一、概率的基本概念与性质在备考高考数学统计与概率部分时，考生首先需要掌握概率的基本概念与性质。

考生需要了解事件、样本空间、随机事件、概率的定义以及概率的性质等基本概念。

此外，考生还需了解概率的加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯定理等概率的性质，以便在解题时能够准确运用这些概率原理。

二、随机变量与概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习随机变量与概率分布的相关知识。

随机变量是概率论中的重要概念，它可以通过数值来表示随机试验的结果。

考生需要了解离散型随机变量和连续型随机变量的性质与特点，并能够判断给定随机变量是离散型还是连续型，并给出相应的概率分布。

三、常用的离散概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生需要熟悉常用的离散概率分布。

例如，考生需要了解二项分布、泊松分布和几何分布等离散概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。

考生还需能够通过题目进行识别，根据给定的条件判断使用哪种离散概率分布，并运用相应的概率公式进行计算。

四、常用的连续概率分布备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要熟悉常用的连续概率分布。

例如，考生需要了解均匀分布、正态分布和指数分布等连续概率分布的概念、性质和应用等方面的知识。

考生需要能够根据给定的条件判断使用哪种连续概率分布，并掌握相应的概率公式和计算方法。

五、抽样与统计推断备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习抽样与统计推断的相关知识。

考生需要了解抽样的目的与方法，并能够分析样本数据的特征与规律。

此外，考生还需要掌握点估计与区间估计的概念与计算方法，并能够应用于实际问题中。

六、假设检验备考高考数学统计与概率部分时，考生还需要学习假设检验的相关知识。

数学概率高考知识点一、概率的基本概念概率是研究随机现象发生的可能性大小的数学分支，是现代统计学的核心概念之一。

在高考中，概率相关的知识点主要包括实验、随机事件、样本空间、事件的概率等。

1. 实验与随机事件实验是对随机现象的一种模拟或观察，例如掷一个骰子、抽一张扑克牌等。

而随机事件则是实验中可能发生或者不发生的结果，通常用大写字母表示，如A、B、C等。

2. 样本空间与样本点样本空间是指实验的所有可能结果所组成的集合，用Ω表示。

而样本点则是样本空间中的一个具体结果，用ω表示。

3. 事件的概率事件的概率是指某个事件发生的可能性大小，用P(A)表示，其中A 为某个事件。

概率的取值范围在0到1之间，且概率之和为1。

二、概率的计算与性质1. 频率与概率频率是通过实验进行统计得到的某个事件发生的次数与实验总次数之比，频率逼近概率。

2. 等可能性原则如果样本空间Ω中的每个样本点发生的可能性相同，即各个样本点发生的概率相等，那么事件A含有的样本点数与Ω中的样本点数之比即为事件A发生的概率。

3. 加法定理对于两个事件A和B，它们同时发生的概率为P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。

4. 减法定理对于两个事件A和B，当A发生时，B发生的概率为P(A-B) = P(A) - P(A∩B)。

5. 乘法定理对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

三、排列与组合1. 排列排列是从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方式。

排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

2. 组合组合是从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方式。

组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

四、条件概率和独立事件1. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。

专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将T 2,T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X 的概率分布列和数学期望.7.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C 解析 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328. 3.B 解析 由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B . 4.1532 解析 T 2,T 3并联电路正常工作概率为1-1-34×(1-34)=1516,故电路不发生故障的概率为12×1516=1532.5.2572 解析 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P (A )=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P (X=0)=C 30C 74C 104=16,P (X=1)=C 31C 73C 104=12, P (X=2)=C 32C 72C 104=310,P (X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ,则P (A )=35×C 32×(12)2×(1-12)1+C 33×(12)3×(1-12)0=310. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ,X 可取0,1,2,3.则X~B (3,310),P (X=0)=C 30×(310)0×(1-310)3=3431 000, P (X=1)=C 31×(310)1×(1-310)2=4411 000, P (X=2)=C 32×(310)2×(1-310)1=1891 000, P (X=3)=C 33×(310)3×(1-310)0=271 000, 随机变量X 的分布列如下:E (X )=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910.[或E (X )=3×310=910]。

高考数学知识点概率概率是数学中一门重要的分支，广泛应用于各个领域。

在高考数学中，概率也是一个必考的知识点。

下面我们将详细介绍高考数学中涉及的概率知识点。

一、基本概念1.试验与事件试验是指对某个现象或问题进行观察、实验或调查的过程，其结果不确定。

试验的每个可能结果称为一个基本事件。

事件是试验结果的一个集合，事件可以是基本事件，也可以是由基本事件组成的事件。

2.概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。

对于一个事件A，其概率P(A)满足0≤P(A)≤1，且P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。

3.独立事件与互斥事件若两个事件A和B的发生与对方无关，则称它们是独立事件。

若两个事件A和B不可能同时发生，则称它们是互斥事件。

二、概率的计算1.等可能概型等可能概型是指在一个试验中，每个基本事件发生的可能性相同。

对于等可能概型的事件，可以用事件发生的基本事件数除以所有基本事件总数计算概率。

2.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率P(A|B)的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3.乘法公式和加法公式乘法公式表示若事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(AB)=P(A)×P(B)。

加法公式表示对于两个事件A和B，它们的和事件（A或B事件发生）的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A 和事件B同时发生的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

三、排列与组合1.排列排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序组成的序列数。

排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!2.组合组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照任意顺序组成的集合数。

组合的计算公式为Cnm=n!/[m!(n-m)!]。

高三总复习概率知识网络概率事件与概率古典概型随机事件的性质基本事件古典概型的定义及特征古典概型的计算公式几何概型随机事件及其概率随机数的含义几何概型的定义及特征几何概型的计算公式第1讲随机事件及其概率★知识梳理★1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5互斥事件:不可能同时发生的两个事件．一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．7．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.二．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B 是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.★重难点突破★1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。

高中数学高考综合温习专题三十三概率一、知识网络二、高考考点1、等可能性事件的概率问题；2、互斥事件有一个发生的概率问题；3、彼此独立事件同时发生的概率问题；4、上述概率公式的综合运用问题。

三、知识要点（一）随机事件的概率1．随机事件在必然的条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在必然的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在必然的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

2．随机事件的概率在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率老是接近于某个常数，并在它周围摆动，这时就把那个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率P（A）∈[0，1]。

提示：注意频率与概率的区别和联系。

设随机事件A在n次实验中发生了m次，那么比值叫做随机事件A的频率（或相对频率），在大量重复实验中，随实在验次数的增加，事件A发生的频率有稳固性——总在某个常数周围摆动，而且随实在验次数的不断增多，这种摆动的幅度愈来愈小，现在，那个常数即为随机事件A的概率，概率能够看做频率在理论上的期望值。

3．等可能性事件的概率（古典概型）（1）等可能性事件若是在随机实验中可能显现有限个不同的实验结果，而且这些实验结果显现的可能性都相等，那么这一实验中的某一事件A称为等可能性事件。

（2）古典概型公式（Ⅰ）大体事件一次实验连同可能显现的每一个结果称为一个大体事件。

认知：大体事件是不可能再分的事件，一次实验中只能显现一个大体事件。

通常一次实验中的某一事件A由几个大体事件组成。

（Ⅱ）概率公式若是一次实验中可能显现的结果有n个（即此实验由n个大体事件组成），而且所有结果显现的可能性都相等，那么每一个大体事件的概率都是，若是某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率（Ⅲ）集合说明在一次实验中，等可能显现的n个结果组成一个集合Ⅰ（这n个结果确实是集合Ⅰ的n个元素），各大体事件均对应于集合Ⅰ的含有1个元素的子集，包括m个结果的事件A对应于含有m个元素的子集A，那么。