2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十五“专题四”补短增分综合练理

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十一）“专题三”补短增分（综合练）A组——易错清零练1．（2018·洛阳模拟）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（) A。

错误!π B.错误!πC。

错误!πD．错误!π解析:选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2错误!.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2错误!，则球O的体积V＝错误!πR3＝错误!π，故选A.2。

（2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ）A．4πB．16πC．24πD．25π解析：选 C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2，4,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝错误!＝2错误!,则R＝错误!,故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C。

3．（2018·陕西模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵"．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4＋22C．4＋4错误!D．4＋6错误!解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC.A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝错误!，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2错误!）×2＝4＋4错误!,故选C。

4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图,设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为错误!＝错误!a，则其表面积为S2＝4×错误!×2a×2 a×sin60°＝2错误!a2。

课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若l 1⊥l 2，则a ＋a(a ＋2)＝0，即a(a ＋3)＝0，解得a ＝0或a ＝－3，所以“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332 C.3＋396D.1＋174解析：选C 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396.故选C. 3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k)2＝4，即(1－4k 2)x 2－8(1－2k)kx －4(1－2k)2－4＝0，(*) 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k)2＋16(1－4k 2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．4．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案：1或165．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA|， |MC 2|－|BC 2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x<0)．答案：x 2－y28＝1(x<0)B 组——方法技巧练1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM 和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52.2．(2018·兰州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：选D 依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0， 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]，∵t ＞0，∴t ∈[1,3]．3．(2018·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn|，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn|≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn|≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO|＝|AO|sin ∠APO ＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M(a ，a －4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝a 2＋－2，∴a 2＋－2－1≤2≤ a 2＋－2＋1，解得2－22≤a≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c≤4a＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2，|BF|＝y 2＋p2，|OF|＝p2， 由|AF|＋|BF|＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF|＝2p ，得y 1＋y 2＝p.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b21＋x 2a21＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：y ＝±22x C 组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．(2018·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜bax ，y ＞－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即ba＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 3．(2018·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB||OA|.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m －d ，|AB|＝m ，|OB|＝m ＋d.∵OA ⊥BF ，∴(m －d)2＋m 2＝(m ＋d)2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB||OA|＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.4．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点．△F 1PF 2中，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.当点P 在椭圆上运动时，求点R 的轨迹方程．解：如图，直线l 为∠F1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P ，Q 三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF 2|，所以|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a.连接OR ，因为O 为F 1F 2的中点，R 为F 2Q 的中点，所以|OR|＝12|F 1Q|＝a.设R(x ，y)，则x 2＋y 2＝a 2(y≠0)，故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y≠0)．5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA|＝|MB|.求证：1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值．解：(1)将(1,1)与⎝⎛⎭⎪⎫62，32两点代入椭圆C 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b2＝1，32a 2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y23＝1.(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点， 则点M 是椭圆的一个长轴顶点， 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2.同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点， 则点M 在椭圆的一个短轴顶点， 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx(k≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1k x ，设A(x 1，y 1)，则B(－x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2，∴|OA|2＝|OB|2＝x 21＋y 21＝＋k21＋2k2， 同理|OM|2＝＋k 22＋k2，∴1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2 ＝2×1＋2k2＋k 2＋＋k2＋k2＝2， 故1|OA|＋1|OB|＋2|OM|＝2为定值．。

高考数学二轮复习课时跟踪检测十五“专题四”补短增分综合练理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ课时跟踪检测（十五）“专题四”补短增分(综合练)A组——易错清零练１.（20１8·福建龙海程溪中学期末)3名男生、３名女生排成一排,男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ）Ａ.2 ﻩB.9Ｃ.72 Ｄ.3６解析:选C 可分两步：第一步,把3名女生作为一个整体,看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素,两个元素排成一排有A错误!种排法;第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列,女生“内部”的排法有A错误!种，男生“内部”的排法有Ａ错误!种.所以排法种数为A错误!×A错误!×A错误!＝7２.２．(2018·兰州模拟）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元)与销售额ｙ（单位:万元)之间有如下对应数据:ｘ2４56８y 30４０50m 70根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y与ｘ的线性回归方程为错误!＝6.５x+1７．5,则表中m的值为( ）A．45 ﻩＢ．５０C.5５ﻩD.６0解析:选D ∵错误!＝错误!＝５,错误!＝错误!=错误!,∴当错误!＝5时，错误!=6．5×５+17．5＝5０,∴＼f(190＋m,5)=50，解得m=60.3．为了了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示,由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a ，最大频率为0．32,则ａ的值为____＿___．解析:前三组人数为100－６2＝3８,第三组人数为38-(1．1＋０.5)×0.1×1００＝22,则a ＝2２+0.3２×1０0=５4.答案:544．在边长为2的正方形AB ＣD 内任取一点M ,满足错误!·错误!≤0的概率为________.解析：在边长为2的正方形ABCD 内任取一点Ｍ，满足错误!·错误!≤０即满足９0°≤∠AMB ≤18０°的点M 所在的区域为如图所示的阴影部分.根据几何概型的概率计算公式，得错误!·错误!≤0的概率为＼f(＼ｆ(1，2)×π×12，2×2）＝错误!.答案：π85.某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为１8和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25,则p ＝__＿_____.解析:记“系统甲发生故障”、“系统乙发生故障”分别为事件Ａ，B ,“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C ，则P (C )=Ｐ（错误!)P （B )＋P (A )P (错误!)=错误!·ｐ+错误!·(1－p )=０.2５，解得ｐ=错误!.答案：＼f(1,６)B 组——方法技巧练1.点（ａ，b）是区域错误!内的任意一点,则使函数f(ｘ）=ａx2－2ｂｘ+３在区间错误!上是增函数的概率为( )A．＼f(1,3) ﻩＢ.错误!C．＼f(1,２) Ｄ.错误!解析：选Ａ作出不等式组表示的平面区域如图所示,可行域为△OAＢ及其内部(不包括边ＯA,OB)，其中A（0,4）,B（4,0）．若函数f(ｘ)＝aｘ2－2ｂx＋3在区间错误!上是增函数,则错误!即错误!则满足条件的(a,b)所在区域为△ＯBＣ及其内部（不包括边ＯB)．由错误!得错误!∴Ｃ错误!，∴S△OBC=错误!×4×错误!＝错误!,又S△OAB＝错误!×4×４＝8，∴所求的概率P=错误!＝错误!.2.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的４个车位中恰好有3个连在一起,则不同的停放方法的种数为( ）A．16 B.１８Ｃ.３2 Ｄ．72解析:选Ｄ因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1２３４56７,先研究恰有3个连续空位的情况,若3个连续空位是１23或5６7，另一个空位各有3种选法,车的停放方法有A＼o＼al(３,3)种,故停放方法有２×３×A错误!=36(种)；若3个连续空位是234或345或４56，另一个空位各有２种选法，车的停放方法依然有A错误!种，因此此种情况下停放方法有3×2×A错误!＝３6(种），从而不同的停放方法共有７2种.3．（2０19届高三·皖南八校联考）将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”,B＝“至少出现一个6点”,则条件概率P(A｜Ｂ），P（B|Ａ)分别是( ）Ａ.错误!,错误!Ｂ．错误!,错误!C.5１８,错误!ﻩD.错误!，错误!解析：选A P (A ｜B )的含义是在“至少出现一个6点”的条件下,“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－５×５×5＝９1种情况,“至少出现一个６点,且三个点数都不相同”共有C 13×5×4=60种情况，所以P （A ｜B ）=错误!.P (B |Ａ)的含义是在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率,三个点数都不同，有6×5×4=1２０种情况,所以Ｐ(B |A )＝12．4．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被污损,记甲、乙的平均成绩分别为错误!甲,错误!乙，则错误!甲>错误!乙的概率是__＿＿＿___．解析：由茎叶图知错误!乙＝错误!=９0,错误!甲＝错误!=89+错误!.污损处可取数字0，1,２，…，９，共10种,而错误!甲>错误!乙时,污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种,故错误!甲＞错误!乙的概率为错误!＝错误!.答案：错误!C 组——创新应用练1．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和1２步，问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是( ）Ａ．错误! ﻩB.错误!C.＼ｆ(１２0，2８9） ﻩD.错误!解析：选C 如图，设R ｔ△ＡB Ｃ的两直角边长分别为a ,ｂ，其内接正方形CEDF的边长为x ，则由△ADF∽△AＢＣ，得＼ｆ(AＦ,ＡC)=错误!,即错误!=错误!，解得x=错误!.从而正方形CEＤF的面积为Ｓ正方形CEDF=错误!2，又Rt△ABC的面积为S△AＢC=错误!，所以所求概率P=错误!=错误!=＼ｆ(２×5×12，５+１22)=错误!,故选Ｃ．２.(201８·广东韶关调研）我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等1０部专著,有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献．这１0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的２部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A．错误!ﻩB.错误!C．2９D.错误!解析:选Ａ从１０部名著中选择2部名著的方法数为C错误!=４５(种)，所选的２部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C2７=21(种），只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C错误!C错误!＝21(种)，于是事件“所选的２部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P＝＼f(42,4５)＝错误!.3.国际教育信息化会议在山东青岛开幕，为了解哪些人更关注国际教育信息化会议，某机构随机抽取了年龄在25～75岁之间的100人进行调查，经统计“青年”与“中老年”的人数之比为9∶1１．(1)根据已知条件完成下面的2×２列联表，并判断能否有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关;关注不关注总计青年15中老年总计505０100(2)现从抽取的“青年”中采用分层抽样的方法选取9人进行问卷调查，在这9人中再选取3人进行面对面询问,记选取的3人中关注国际教育信息化会议的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k0）0.０5０.0100.０01k0 3.８41 6.6３510.828Ｋ2=错误!,其中n=ａ＋b＋ｃ＋d.解:（1)依题意可知,抽取的“青年”共有１0０×错误!=45(人)，“中老年”共有100-45＝５5（人）.补全2×2列联表如下:关注不关注总计青年153０４5中老年352０5５总计505０100则K2的观测值k=＼f(100×2０×15－3０×３52，50×5０×55×45)≈9．０91.因为9.0９1＞6.6３５，所以有９9％的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关．(2）根据题意知选出的9人中关注该会议的人数为９×＼f(15,45)=3,不关注该会议的人数为9-3＝6,在这9人中再选取3人进行面对面询问，则X的所有可能取值为0,1，2，3，P(X=0)=错误!＝错误!＝错误!,P(X＝1)＝错误!＝错误!=错误!，Ｐ（X=２)＝错误!=错误!=错误!，P(Ｘ=3)＝错误!=错误!.所以X的分布列为X 0１2 3P52１错误!3141８4E（Ｘ)＝0×错误!+1×错误!+2×错误!＋3×错误!=1.4.某校倡议为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入情况,列表如下：售出矿泉水量ｘ/箱7665 6收入y/元1６５1４2148１25150学校计划将所得的捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：综合考核前20名的特困生获一等奖学金5０0元;综合考核21～50名的特困生获二等奖学金3０0元;综合考核５0名以后的特困生不获得奖学金.(１）若x与ｙ成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预计捐款箱中的收入为多少元?(２)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为＼f（2，5)，获二等奖学金的概率均为错误!,不获得奖学金的概率均为错误!，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲、乙两名学生所获得奖学金之和Ｘ的分布列及数学期望.附:回归方程错误!＝错误!x＋错误!,其中错误!＝错误!，错误!＝错误!-错误!错误!.解：(1)由表得错误!＝错误!×(7+６＋６+5+６)=6，错误!＝错误!×(1６５＋142+148+125+150)=146,错误!错误!=４9+36+３6+25＋３6＝1８2，错误!iｙi=７×1６５＋6×１42+6×148＋５×1２5+6×1５0＝4 ４20,所以错误!＝错误!=错误!＝20,错误!＝错误!-错误!错误!=1４6-20×6=2６，所以线性回归方程为错误!=20x+26,当x=9时，错误!＝2０×9+26＝206，所以y的估计值为2０6元.(２)由题意得，X的可能取值为0,３00，500,60０,80０,１０0０,则Ｐ（Ｘ＝0)=415×错误!=错误!;P(X＝300)=2×＼ｆ（4,15)×错误!=错误!；P（Ｘ=5００)＝２×错误!×错误!=错误!；Ｐ(X=６00)＝＼ｆ(1,3)×1３=错误!;P(X=8０0)＝２×错误!×错误!=错误!；P（X＝1 00０)＝＼f(2,5)×错误!=错误!．则Ｘ的分布列为Ｘ00 1 0０0Ｐ１６2２５错误!错误!19415错误!所以E（Ｘ)=0×错误!+3０0×错误!+500×错误!＋600×错误!+８０0×＼f(４,15)+1 ０00×错误!＝600．。

课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1.(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l 1:ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0,l 2:x ＋ay ＋2＝0,其中a ∈R,则“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A 若l 1⊥l 2,则a ＋a(a ＋2)＝0,即a(a ＋3)＝0,解得a ＝0或a ＝－3,所以“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.故选A.2.已知双曲线Γ:x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0),过双曲线Γ的右焦点F,且倾斜角为π2的直线l与双曲线Γ交于A,B 两点,O 是坐标原点,若∠AOB ＝∠OAB,则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332 C.3＋396D.1＋174解析:选C 由题意可知AB 是通径,根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB,可知△AOB 为等边三角形,所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33,整理得b 2＝33ac,由c 2＝a 2＋b 2,得c 2＝a 2＋33ac,两边同时除以a 2,得e 2－33e －1＝0,解得e ＝3＋396.故选C. 3.(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l,使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点,这样的直线l 共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:选B 依题意,双曲线的渐近线方程是y ＝±12x,点P 在直线y ＝12x 上.①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝2,此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0),满足题意.②当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y －1＝k(x －2), 即y ＝kx ＋1－2k,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k)2＝4,即(1－4k 2)x 2－8(1－2k)kx －4(1－2k)2－4＝0,(*) 若1－4k 2＝0,则k ＝±12,当k ＝12时,方程(*)无实数解,因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时,方程(*)有唯一实数解,因此k ＝－12满足题意.若1－4k 2≠0,即k≠±12,此时Δ＝64k 2(1－2k)2＋16(1－4k 2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立,因此满足题意的实数k 不存在.综上所述,满足题意的直线l 共有2条.4.已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32,则m ＝________.解析:①当椭圆的焦点在x 轴上时, 则a 2＝4,即a ＝2.又e ＝c a ＝32,所以c ＝3,m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4,即b ＝2.又e ＝c a ＝32,故1－b 2a 2＝32,解得b a ＝12,即a ＝2b, 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上,m ＝1或16. 答案:1或165.已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________________.解析:如图所示,设动圆M 与圆C1及圆C 2分别外切于A 和B 两点.连接MC 1,MC 2.根据两圆外切的条件,得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA|, |MC 2|－|BC 2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|,所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|, 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1,C 2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大),可设轨迹方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0,x<0),其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x<0).答案:x 2－y28＝1(x<0)B 组——方法技巧练1.(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y 2＝2x 的焦点为F,点Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72B.3C.52D.2解析:选C 抛物线的准线方程为x ＝－12,过Q 作准线的垂线,垂足为Q′,如图.依据抛物线的定义,得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|,则当QM 和QQ′共线时,|QM|－|QQ′|的值最小,最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52. 2.(2018·兰州模拟)已知圆C:(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A(－t,0),B(t,0)(t ＞0),若圆C 上存在点P,使得∠APB ＝90°,则t 的取值范围是( )A.(0,2]B.[1,2]C.[2,3]D.[1,3]解析:选D 依题意,设点P(3＋cos θ,1＋sin θ), ∵∠APB ＝90°,∴AP ―→·BP ―→＝0,∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0, 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3,∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1],∴t 2∈[1,9],∵t ＞0,∴t ∈[1,3].3.(2018·惠州调研)设m,n ∈R,若直线l:mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为( )A.5B.4C.3D.2解析:选C 由直线与圆相交所得的弦长为2,得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n2＝3,所以m 2＋n 2＝13≥2|mn|,当且仅当m ＝n 时等号成立.所以|mn|≤16,又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ,所以△AOB 的面积S ＝12|mn|≥3,故△AOB 面积的最小值为3.4.已知圆O:x 2＋y 2＝1,圆M:(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P,过点P 作圆O 的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB ＝60°,则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22 C.[2－2,2＋2]D.()2－2，2＋2解析:选A 圆O 的半径为1,圆M 上存在点P,过点P 作圆O 的两条切线,切点分别为A,B,使得∠APB ＝60°,则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中,|PO|＝|AO|sin ∠APO ＝2,又圆M 的半径为1,圆心坐标为M(a,a －4), ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1, ∵|MO|＝a 2＋－2,∴a 2＋－2－1≤2≤ a 2＋－2＋1,解得2－22≤a≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 5.(2018·兰州模拟)已知双曲线C:x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线右支上一点,若|PF 1|2＝8a|PF 2|,则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.(1,3]B.[3,＋∞)C.(0,3)D.(0,3]解析:选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上,得|PF 1|－|PF 2|＝2a,设|PF 1|＝m,|PF 2|＝n,则m －n ＝2a,m 2＝8an,∴m 2－4mn ＋4n 2＝0,∴m ＝2n,则n ＝2a,m ＝4a,依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|,∴2c≤4a＋2a,∴e ＝ca≤3,又e ＞1,∴1＜e≤3,即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3].6.(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a －y2b ＝1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|＋|BF|＝4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2,|BF|＝y 2＋p 2,|OF|＝p2,由|AF|＋|BF|＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF|＝2p,得y 1＋y 2＝p.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b21＋x 2a21＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ,则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p , ∴b 2a 2＝12,故b a ＝22, ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案:y ＝±22x C 组——创新应用练1.在平面直角坐标系xOy 中,设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A,B 两点,O 为坐标原点,若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→,则r ＝( )A.210B.10C.2 5D.5解析:选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→,两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2,所以cos ∠AOB ＝－35,所以cos ∠AOB 2＝55,又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|2＝2,所以2r ＝55,解得r ＝10.2.(2018·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析:选B 依题意,注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x,且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜bax ，y ＞－ba x所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1＜2b a ,即ba＞12,因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 3.(2018·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别为l 1,l 2,经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1,l 2于A,B 两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且AF ―→与FB ―→反向,则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析:选C 设实轴长为2a,虚轴长为2b,令∠AOF ＝α,则由题意知tan α＝ba ,在△AOB中,∠AOB ＝180°－2α,tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB||OA|.∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴设|OA|＝m －d,|AB|＝m,|OB|＝m ＋d.∵OA ⊥BF,∴(m －d)2＋m 2＝(m ＋d)2,整理得d ＝14m,∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB||OA|＝m 34m ＝43,解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去),∴b ＝2a,c ＝4a 2＋a 2＝5a,∴e ＝ca＝ 5.4.已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上的一点.△F 1PF 2中,∠F 1PF 2的外角平分线为l,点F 2关于l 的对称点为Q,F 2Q 交l 于点R.当点P 在椭圆上运动时,求点R 的轨迹方程.解:如图,直线l 为∠F1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称,由椭圆的光学性质知,F 1,P,Q 三点共线.根据对称性,|PQ|＝|PF 2|,所以|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a.连接OR,因为O 为F 1F 2的中点,R 为F 2Q 的中点,所以|OR|＝12|F 1Q|＝a.设R(x,y),则x 2＋y 2＝a 2(y≠0),故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y≠0).5.(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,椭圆C 上一点M 满足|MA|＝|MB|.求证:1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值.解:(1)将(1,1)与⎝⎛⎭⎪⎫62，32两点代入椭圆C 的方程, 得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b2＝1，32a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y23＝1.(2)证明:由|MA|＝|MB|,知M 在线段AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B 关于原点对称.①若点A,B 是椭圆的短轴顶点, 则点M 是椭圆的一个长轴顶点, 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. 同理,若点A,B 是椭圆的长轴顶点, 则点M 在椭圆的一个短轴顶点, 此时1|OA|＋1|OB|＋2|OM|＝1a ＋1a ＋2b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②若点A,B,M 不是椭圆的顶点,设直线l 的方程为y ＝kx(k≠0),则直线OM 的方程为y ＝－1k x,设A(x 1,y 1),则B(－x 1,－y 1), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2,y 21＝3k 21＋2k 2,∴|OA|2＝|OB|2＝x 21＋y 21＝＋k21＋2k2, 同理|OM|2＝＋k 22＋k2,∴1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2 ＝2×1＋2k2＋k 2＋＋k2＋k2＝2, 故1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2为定值.。

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152 B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0， 则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)， 即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ， 于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)， 所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω， 所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题． 综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值． 解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1， 所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35， 所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若l 1⊥l 2，则a ＋a(a ＋2)＝0，即a(a ＋3)＝0，解得a ＝0或a ＝－3，所以“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332C.3＋396D.1＋174解析：选C 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e－1＝0，解得e ＝3＋396.故选C. 3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k)2＝4，即(1－4k 2)x 2－8(1－2k)kx －4(1－2k)2－4＝0，(*)若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k)2＋16(1－4k 2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．4．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案：1或165．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA|， |MC 2|－|BC 2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)， 可设轨迹方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x<0)．答案：x 2－y28＝1(x<0)B 组——方法技巧练1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM 和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52.2．(2018·兰州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：选D 依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0， 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]，∵t ＞0，∴t ∈[1,3]．3．(2018·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn|，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn|≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn|≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO|＝|AO|sin ∠APO ＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M(a ，a －4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝a 2＋－2，∴a 2＋－2－1≤2≤ a 2＋－2＋1，解得2－22≤a≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2，|BF|＝y 2＋p 2，|OF|＝p2，由|AF|＋|BF|＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF|＝2p ，得y 1＋y 2＝p.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a －y 22b ＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b21＋x 2a21＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：y ＝±22x C 组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．(2018·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜ba x ，y ＞－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 3．(2018·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB||OA|.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m －d ，|AB|＝m ，|OB|＝m ＋d.∵OA ⊥BF ，∴(m －d)2＋m 2＝(m ＋d)2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB||OA|＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.4．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点．△F 1PF 2中，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.当点P 在椭圆上运动时，求点R 的轨迹方程．解：如图，直线l 为∠F1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P ，Q 三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF 2|，所以|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a.连接OR ，因为O 为F 1F 2的中点，R 为F 2Q 的中点，所以|OR|＝12|F 1Q|＝a.设R(x ，y)，则x 2＋y 2＝a 2(y≠0)，故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y≠0)．5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA|＝|MB|.求证：1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值．解：(1)将(1,1)与⎝⎛⎭⎪⎫62，32两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b 2＝1，32a ＋34b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y23＝1.(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A ，B 关于原点对称． ①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点， 则点M 是椭圆的一个长轴顶点， 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点， 则点M 在椭圆的一个短轴顶点， 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx(k≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1k x ，设A(x 1，y 1)，则B(－x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2，∴|OA|2＝|OB|2＝x 21＋y 21＝＋k21＋2k2， 同理|OM|2＝＋k 22＋k2，∴1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2 ＝2×1＋2k2＋k 2＋＋k2＋k2＝2， 故1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2为定值．。

课时跟踪检测（二十六） “专题六”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·山东日照联考)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．4解析：选B 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ，即－2x 1－x＋a ＝12x1＋x＋a ，解得a ＝－1.故选B.2．已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x )解析：选 C 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.3．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x＋e －x－m cos x ，记a ＝－2f (－2)，b ＝－f (－1)，c ＝3f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝－m ＝0，即m ＝0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为R 上的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋e －x ，g (x )＝x (－e x ＋e －x)， 则g ′(x )＝－e x＋e －x＋x (－e x －e －x)≤0， 所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减．又a ＝g (－2)＝g (2)，b ＝g (－1)＝g (1)，c ＝g (3)， 所以c <a <b .故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋x ，|log 4x x，若关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23－2,23－2)B ．⎝⎛⎦⎥⎤23－2，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(23－2，＋∞)解析：选B 由题意可知，当x ≤0时，1<f (x )≤2，f (x )单调递增；当x >0时，f (x )≥0，f (x )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f (x )的图象，如图所示．设t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0有两个不同的实数根，且t ∈(1,2]．令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－12>0，g ＝1－a ＋＋3>0，g ＝4－a ＋＋3≥0，1<a ＋22<2，解得23－2<a ≤32，故选B.5．(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)解析：选D 函数f (x )＝e x－1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )>－1，－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2<b <2＋ 2.B 组——方法技巧练1．(2018·湖北八校模拟)已知函数f (x )＝e －x＋log 31x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 1>x 0，则f (x 1)的值( )A ．等于0B ．不大于0C ．恒为正值D ．恒为负值 解析：选D 由题意得f (x )＝e －x＋log 31x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ，方程f (x )＝0，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ＝0.则x 0为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与h (x )＝log 3x 图象的交点的横坐标，画出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x与h (x )＝log 3x 的图象(图略)，可知当x 1>x 0时，g (x )>h (x )，f (x 1)＝g (x )－h (x )<0，故选D.2．(2018·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：选 C 依题意，画出函数的大致图象如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．3．(2018·广西三市联考)已知函数f (x )＝e x(x －b )(b ∈R)．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，83 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，56D.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ 解析：选A 由f (x )＋xf ′(x )＞0，得[xf (x )]′＞0，设g (x )＝xf (x )＝e x(x 2－bx )，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )＞0成立．g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)＞0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即8－3b ＞0或54－32b ＞0，得b ＜83.4．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别为k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”．设曲线y ＝1x上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a (a >0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )>1恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为y ′＝－ 1x 2，所以k A ＝－1a2，k B ＝－a 2，又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ， 所以K (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1a 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ＝1a＋a 2>2，1K A ，B <22，所以由m >1K A ，B 得，m ≥22.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 5．(2018·山东烟台期中)已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋3x ＋1(a ∈R)．(1)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的值； (2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：(1)由题意可知f (x )＝a ln x ＋1x ＋1＋2，x ∈(0，＋∞)， 则f ′(x )＝a x －1x ＋2＝ax 2＋a －x ＋ax x ＋2，x ∈(0，＋∞)．因为f (x )在x ＝2处取得极小值，所以f ′(2)＝0，即4a ＋4a －2＋a ＝0，解得a ＝29.经检验a ＝29时，符合题意．故a 的值为29.(2)f ′(x )＝a x －1x ＋2＝ax 2＋a －x ＋ax x ＋2，x ∈(0，＋∞)．由f (x )存在单调递减区间，得当x >0时，f ′(x )<0有解，即当x >0时，ax 2＋(2a －1)x ＋a <0有解，即当x >0时，a <x x 2＋2x ＋1有解，问题等价于a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max ，x >0.因为xx 2＋2x ＋1＝1x ＋2＋1x≤14， 当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max ＝14.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14. 6．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝e x，其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝kx ＋b ，求k －b 的最小值； (2)当常数m ∈(2，＋∞)时，若函数g (x )＝(x －1)f (x )－mx 2＋2在[0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1＋ln 4e<x 2<m .解：(1)∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，e x 0)处的切线的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x 0，∴k ＝e x 0，b ＝－x 0e x 0＋e x 0，∴k －b ＝x 0e x 0.设H (x )＝x e x，则H ′(x )＝(x ＋1)e x，由H ′(x )＝0，解得x ＝－1. 当x >－1时，H ′(x )>0，∴H (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当x <－1时，H ′(x )<0，∴H (x )在(－∞，－1)上单调递减． ∴H (x )的极小值为H (－1)＝－1e ，∴k －b 的最小值为－1e .(2)g (x )＝(x －1)e x －mx 2＋2.由m >2，x ≥0，g ′(x )＝x (e x－2m )＝0， 解得x ＝0或x ＝ln 2m . ∴当x >ln 2m 时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增； 当0≤x <ln 2m 时，g ′(x )≤0， ∴g (x )在[0，ln 2m )上单调递减， ∴g (x )的极小值为g (ln 2m )．∵g (1)＝2－m <0，ln 2m >ln 4>1，∴g (ln 2m )<0. 又g (0)＝1>0，g (1)＝2－m <0， ∴∃x 1∈(0,1)，使得g (x 1)＝0. 易知当x →＋∞时，g (x )→＋∞， ∴∃x 2∈(ln 2m ，＋∞)，使得g (x 2)＝0， ∴x 2>ln 2m >ln 4，∴x 2－x 1>ln 4－1＝ln 4e ，即x 2>x 1＋ln 4e.易知m >ln 2m ，当x ＝m 时，g (m )＝(m －1)e m －m 3＋2，m >2. 令u (x )＝(x －1)e x －x 3＋2，x >2， ∴u ′(x )＝x e x －3x 2＝x (e x－3x )．令G (x )＝e x －3x ，∴当x >2时，G ′(x )＝e x－3>0， ∴G (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (2)＝e 2－6>0，∴u ′(x )>0在(2，＋∞)上恒成立，∴u (x )>u (2)＝e 2－6>0，∴当m >2时，g (m )>0. 又g (x 2)＝0，g (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增， ∴m >x 2.故x 1＋ln 4e<x 2<m 成立．C 组——创新应用练1．(2018·辽宁五校联考)若a 在[1,6]上随机取值，则函数y ＝x 2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )A.15 B ．25 C.35D.45解析：选 C ∵函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增．要使函数y ＝x 2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增，则a ≤2，得1≤a ≤4，又∵1≤a ≤6，∴P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35，故选C. 2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系可用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：选B 法一：取特殊值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，故选B.法二：设x ＝10m ＋n (0≤n ≤9)，当0≤n ≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<n ≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，故选B.3．(2018·陕西模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92 C.14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b的上确界为－92，故选A. 4．(2018·郑州模拟)数学上称函数y ＝kx ＋b (k ，b ∈R ，k ≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f (x )，在点x 0附近一点x 的函数值f (x )，可以用如下方法求其近似代替值：f (x )≈f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)．利用这一方法，m ＝ 4.001的近似代替值( )A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定解析：选A 依题意，取f (x )＝x ，则f ′(x )＝12x ，则有x ≈x 0＋12x 0(x －x 0)．令x ＝4.001，x 0＝4，则有 4.001≈2＋14×0.001，注意到⎝⎛⎭⎪⎫2＋14×0.0012＝4＋0.001＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14×0.0012>4.001，即m ＝ 4.001的近似代替值大于m ，故选A.5．(2018·陕西模拟)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D ∵f ′(x )＝ex －1＋1>0，∴f (x )＝ex －1＋x －2是增函数，又f (1)＝0，∴函数f (x )的零点为x ＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g (x )＝x 2－ax －a ＋3在区间[0,2]上有零点，由g (x )＝0得a ＝x 2＋3x ＋1(0≤x ≤2)，即a ＝x ＋2－x ＋＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2(0≤x ≤2)，设x ＋1＝t (1≤t ≤3)，则a ＝t ＋4t－2(1≤t ≤3)，令h (t )＝t ＋4t－2(1≤t ≤3)，易知h (t )在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h (t )≤3，即2≤a ≤3，故选D.6．设函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)当x ＝0时，f (x )＝0，对任意实数a ，均有f (x )≥0；当x >0时，f (x )≥0等价于a ≤e x－x －1x2， 令g (x )＝e x －x －1x 2(x >0)，则g ′(x )＝x e x －2e x＋x ＋2x3， 令h (x )＝x e x －2e x＋x ＋2(x >0)， 则h ′(x )＝x e x －e x ＋1，h ″(x )＝x e x>0，知h ′(x )在(0，＋∞)上为增函数，h ′(x )>h ′(0)＝0，知h (x )在(0，＋∞)上为增函数，h (x )>h (0)＝0，∴g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知，limx →0＋e x －x －1x 2＝lim x →0＋e x －12x ＝lim x →0＋ e x2＝12，故a ≤12.综上，知a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.。

课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若l 1⊥l 2，则a ＋a(a ＋2)＝0，即a(a ＋3)＝0，解得a ＝0或a ＝－3，所以“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332 C.3＋396D.1＋174解析：选C 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396.故选C. 3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k)2＝4，即(1－4k 2)x 2－8(1－2k)kx －4(1－2k)2－4＝0，(*) 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k)2＋16(1－4k 2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．4．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案：1或165．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA|， |MC 2|－|BC 2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x<0)．答案：x 2－y28＝1(x<0)B 组——方法技巧练1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM 和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52.2．(2018·兰州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：选D 依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0， 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]，∵t ＞0，∴t ∈[1,3]．3．(2018·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn|，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn|≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn|≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO|＝|AO|sin ∠APO ＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M(a ，a －4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝a 2＋－2，∴a 2＋－2－1≤2≤ a 2＋－2＋1，解得2－22≤a≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c≤4a＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2，|BF|＝y 2＋p2，|OF|＝p2， 由|AF|＋|BF|＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF|＝2p ，得y 1＋y 2＝p.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b21＋x 2a21＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p＝x 2＋x 12p， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：y ＝±22x C 组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．(2018·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜b ax ，y ＞－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 3．(2018·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB||OA|.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m －d ，|AB|＝m ，|OB|＝m ＋d.∵OA ⊥BF ，∴(m －d)2＋m 2＝(m ＋d)2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB||OA|＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.4．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点．△F 1PF 2中，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.当点P 在椭圆上运动时，求点R 的轨迹方程．解：如图，直线l 为∠F1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P ，Q 三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF 2|，所以|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a.连接OR ，因为O 为F 1F 2的中点，R 为F 2Q 的中点，所以|OR|＝12|F 1Q|＝a.设R(x ，y)，则x 2＋y 2＝a 2(y≠0)，故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y≠0)．5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)经过(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA|＝|MB|.求证：1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值．解：(1)将(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点代入椭圆C 的方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b 2＝1，32a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y23＝1.(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点， 则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点， 则点M 在椭圆的一个短轴顶点， 此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx(k≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1k x ，设A(x 1，y 1)，则B(－x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2，∴|OA|2＝|OB|2＝x 21＋y 21＝＋k21＋2k2， 同理|OM|2＝＋k 22＋k2，∴1|OA|＋1|OB|＋2|OM|＝2×1＋2k2＋k 2＋＋k2＋k2＝2， 故1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2为定值．。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：15Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·昆明模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，＝b ，则＝( )A.a ＋bB.a －bC ．－a －bD ．－a ＋b [解析] DE →＝＋CE → ＝＋34CA →＝(－)－34AC →＝－－＝－a －b ，故选C. [答案] C2．(20xx·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则＝( )A. B ．2 C ．－ D ．－2[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线，得＝，所以＝－，故选C.[答案] C3．(20xx·广东深圳第二次调研)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )A. B.53C. D ．2[解析] 因为M 是BC 的中点，所以＝，所以＝λ＋μBD →＝λ(＋)＋μ(－) ＝λ＋μ(－)＝(λ－μ)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μBC → ＝＋，即解得所以λ＋μ＝. [答案] B4．(20xx·陕西省××市高三一检)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C. D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12[解析] 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪(2，＋∞)，选A.[答案] A5．(20xx·云南省高三调研考试)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b|＝2，则|3a ＋b|等于( )A ．13＋6B ．25C. D.34[解析] 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，|3a ＋b|＝＝＝＝，选D.[答案] D6．(20xx·西安模拟)在△ABC 中，A ＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )A. B ．2 C. D ．6[解析] 因为·＝－1，所以bccos120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°＝b2＋c2＋bc≥3bc＝6，所以a≥，即||的最小值是.[答案] C7．(20xx·西安质量检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足＝2a ，＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b|＝1B ．a⊥bC ．a·b＝1D ．(4a ＋b)⊥BC →[解析] 由题意，＝－＝(2a ＋b)－2a ＝b ，则|b|＝2，故A 错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，又·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2cos60°＝2，所以a·b＝－1，故B ，C 错误．故应选D.[答案] D8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若＝x ＋(1－x)，则x 的取值范围是( )A. B.⎝⎛⎭⎪⎫0，13C. D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0[解析] 依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x)，且，不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈，知x∈，即x 的取值范围是.[答案] D 9.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若＝m ＋n(m>0，n>0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A. B.π3C. D.2π3[解析] 解法一：由题意mn≤2＝1，将＝m ＋n 平方得 1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)， ∵0<∠AOB<π，∴∠AOB 的最小值为.解法二：已知AB 与OC 的交点为M ，设λ＝＝m ＋n ，A ，B ，M 三点共线，则λ＝m ＋n ＝2，说明M 是OC 的中点，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，可知AB⊥OC 且互相平分，由平行四边形法则，四边形OACB 是菱形，且∠AOB＝，故选D.[答案] D10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C. D.2 2[解析] 解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，整理得2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.解法二：直接把(a－c)·(b－c)＝0按照数量积的运算法则展开，利用|a|＝|b|＝1，a·b＝0化简后解决．∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴由(a－c)·(b－c)＝0可得|c|2＝c·(a＋b)，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a＋b|＝.设a＋b与c的夹角为θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，即|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，所以|c|的最大值是.[答案] C11．(20xx·郑州适应性测试)已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是( )A.＋1B.＋1C.－1D.－1[解析] 设点M的坐标为(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，即x2＋(y＋2)2＝1，∴动点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，则|＋＋|＝，其几何意义为动点M(x，y)与点N(－1，－1)之间的距离，即圆C上的点与点N(－1，－1)的距离，∵点N(－1，－1)在圆C外部，∴|＋＋|的最大值是||＋1＝＋1＝＋1，故选A.[答案] A12．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )A．13 B．15 C．19 D．21[解析] 依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图．因为＝＋，所以点P(1,4)，B，C(0，t)．所以·＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t.因为＋4t≥2 ＝4，所以17－－4t≤17－4＝13，所以·的最大值为13，故选A.[答案] A二、填空题13．(20xx·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.[解析] 由题意知a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以|a＋2b|＝2.[答案] 2314．(20xx·南昌一模)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC 的面积为________．[解析] ∵||＝，||＝，·＝＋，∴cos∠BAC＝＝.∴sin∠BAC＝＝＝.∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝×××＝.[答案] 2－3215．(20xx·西宁模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．[解析] ∵＝＋，＝－，∴·＝2－·－2＝2，又AB＝8，AD＝5，解得·＝22.[答案] 2216．(20xx·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．[解析]如图，由＝2得＝＋，所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB＝3，AC＝2，∠A＝60°，所以B(3,0)，C(1，)，又＝2，所以D，所以＝，而＝λ－＝λ(1，)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此·＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.[答案] 3 11。

课时跟踪检测（十一） “专题三”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·洛阳模拟)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863πD ．1623π解析：选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.2.(2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．24πD ．25π解析：选C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R ＝22＋22＋42＝26，则R ＝6，故该球的表面积为4πR 2＝24π，故选C.3．(2018·陕西模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图，设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积为S 1＝6a 2.正四面体P ­ABC 的边长为a 2＋a 2＝2a ，则其表面积为S 2＝4×12×2a ×2a×sin 60°＝23a 2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.答案：3∶1B 组——方法技巧练1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选D 根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.2．(2018·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为12L 2，则圆锥底面半径与母线长的比r L的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析：选D 设圆锥的高为h ，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S ＝12L 2sin θ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L >r ≥L cos 45°＝22L ，所以22≤rL<1.3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于________．解：如图，连接BD1，易知D 1D 就是三棱锥D 1­ABC 的高，AD 1＝CD 1＝5，AC ＝22，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD 21－AO 2＝ 3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由VB ­D 1AC ＝VD 1­ABC ，即13S △D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC＝12×2×2＝2，所以h ＝63. 答案：634.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中，AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°，点B 在线段ED 上．(1)当点B 在何处时，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1；(2)点B 在线段ED 上运动的过程中，求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1表面积的最小值． 解：(1)由于三棱柱ABC ­A 1B 1C 1为直三棱柱，则AA 1⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .而AA 1∩AB ＝A ，只需BC ⊥平面A 1ABB 1，即AB ⊥BC ，就有“平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1”．在平行四边形ACDE 中，因为AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°. 过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ＝ 3. 若AB ⊥BC ，有BH 2＝AH ·CH . 由AC ＝4，得AH ＝1或3.两种情况下，B 为ED 的中点或与点D 重合．(2)三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC ­A 1B 1C 1其底面积和平面A 1ACC 1的面积为定值，只需保证侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和最小即可．过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ＝ 3.令AH ＝，则侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和等于4(AB ＋BC )＝4[x 2＋3＋34－x2]．其中x 2＋3＋34－x2可以表示动点(,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×12×4×3＋42＋4×27＝43＋87＋16.5.(2018·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P ­ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面ABFE 与侧面PCD 的交线为EF ，且满足S △PEF ∶S 四边形CDEF ＝1∶3.(1)证明：PB ∥平面ACE ；(2)当PA ＝2AD ＝2时，求点F 到平面ACE 的距离． 解：(1)证明：由题知四边形ABCD 为正方形， ∴AB ∥CD ，∵CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD .又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD ＝EF ， ∴EF ∥AB ，∴EF ∥CD .由S △PEF ∶S 四边形CDEF ＝1∶3知E ，F 分别为PD ，PC 的中点．如图，连接BD 交AC 于点G ，则G 为BD 的中点，连接EG ，则EG ∥PB .又EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE .(2)∵PA ＝2，AD ＝AB ＝1， ∴AC ＝2，AE ＝12PD ＝52，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥PA ， 又CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD . 在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝32.在△ACE 中，由余弦定理知cos ∠AEC ＝AE 2＋CE 2－AC 22AE ·CE ＝55，∴sin ∠AEC ＝255，∴S △ACE ＝12·AE ·CE ·sin ∠AEC ＝34.设点F 到平面ACE 的距离为h ，连接AF ，则V F ­ACE ＝13×34×h ＝14h .∵DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴DG ⊥平面PAC . ∵E 为PD 的中点，∴点E 到平面ACF 的距离为12DG ＝24.又F 为PC 的中点，∴S △ACF ＝12S △ACP ＝22，∴V E ­ACF ＝13×22×24＝112.由V F ­ACE ＝V E ­ACF ，得14h ＝112，得h ＝13，∴点F 到平面ACE 的距离为13.C 组——创新应用练1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选C 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为7的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为6，a ，b ，设长方体的各棱长分别为，y ，，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋y 2＝6，x 2＋z 2＝a 2，y 2＋z 2＝b2⇒a 2＋b 2＝8.所以a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故a ＋b 的最大值为4.2．(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A ．63πB ．72πC ．79πD ．99π解析：选A 由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为12×43π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.3．(2018·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为，若△PBD 的面积为f ()，则f ()的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD ，PQ ⊥QR .设AB ＝BD ＝CD ＝1，CP ＝(0≤≤1)，则CP AC ＝x 3＝PQ1， 即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32 ＝332x 2－23x ＋3，又由题知PR ⊥BD ， 所以f ()＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合选项知选A.4．(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r >0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0<r <6时，f ′(r )>0，f (r )单调递增，当r >6时，f ′(r )<0，f (r )单调递减，所以f (r )ma ＝f (6)＝108，所以V ma ＝13π×108＝23π.答案：23π5．(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则y 的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P ­ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABC ，BC ＝27，PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝2，所以y ＝102－[x 2272]＝128－x 2≤x 2128－x 22＝64，当且仅当2＝128－2，即＝8时取等号，因此y 的最大值是64. 答案：646．(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM ­DCP 与刍童ABCD ­A 1B 1C 1D 1的组合体中，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1.(1)证明：直线BD ⊥平面MAC ；(2)若AB ＝1，A 1D 1＝2，MA ＝3，三棱锥A ­A 1B 1D 1的体积V ′＝233，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题可知ABM ­DCP 是底面为直角三角形的直棱柱， ∴AD ⊥平面MAB ，∴AD ⊥MA ， 又MA ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ， ∴MA ⊥平面ABCD ， ∴MA ⊥BD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又MA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面MAC .(2)设刍童ABCD ­A 1B 1C 1D 1的高为h ，则三棱锥A ­A 1B 1D 1的体积V ′＝13×12×2×2×h ＝233，∴h ＝3，故该组合体的体积V ＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736.。