苏教版2017高中数学(必修二)学案:第2章第5课 两条直线的平行与垂直(1) (Word版)
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第5课时两条直线的平行与垂直(1)教学目标:1.掌握利用斜率判定两条直线平行的方法,感受用代数方法研究几何问题的思想;2.通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透,培养学生严谨、辩证的思维习惯.教材分析及教材内容的定位:解析几何研究的另一方面内容就是根据方程研究几何性质,本节课是初次接触这方面的内容,要让学生学会研究方程.教学重点:用斜率判定两直线平行的方法.教学难点:理解直线平行的解析刻画.教学方法:合作交流.教学过程:一、问题情境1.复习回顾:(1)直线方程的形式与标准方程;(2)各类标准方程的局限性2.本节课研究的问题是:如何利用直线的方程研究两条直线的位置关系,重点是平行.二、学生活动探究:两条直线平行,即倾斜程度相同,那么它们的斜率如何?如果倾斜程度相同,不妨设直线l1,l2(斜率存在)所对应的倾斜角分别为α1,α2,对应的斜率分别为k1,k2.因为倾斜程度相同,则倾斜角相等,即α1=α2.根据倾斜角与斜率的关系,我们知道当倾斜角不是直角时,斜率存在,从而有k1=tanα1,k2=tanα2,于是有k1=k2.此时,若两直线平行,则两直线的斜率相等.反之,如果两直线(不共线)的斜率相等,即k 1=k 2,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角相等,从而说明它们互相平行.三、建构数学两条直线的平行.一般地,设直线l 1,l 2(不共线,斜率存在)所对应的斜率分别为k 1,k 2, 则l 1∥l 2⇔ k 1=k 2.说明:(1)如果直线l 1,l 2的斜率都不存在,那么它们都与x 轴垂直,从而l 1∥l 2;(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时,一定要注意前提条件,即斜率存在,因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.(3)若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,A 2,B 1,B 2全不为零)平行,那么两直线平行的等价条件为:12211221AB A B BC B C =≠且.四、数学运用例1 求证:顺次连结A (2,-3),B (5,27-),C (2,3),D (-4,4)四点所得的四边形是梯形.例2 求过点A (2,-3),且与直线2x +y -5=0平行的直线的方程.变式练习:1.求过点A (0,-3),且与直线2x +y -5=0平行的直线的方程.2.若直线l 与直线2x +y -5=0平行,并且在两坐标轴截距之和为6.求直线l 的方程.3.若直线l 平行于直线2x +y -5=0,且与坐标轴围成的三角形面积为9,求直线l 的方程.例3 已知两条直线:(3+m )x +4y =5-3m 与2x +(5+m )y =8,m 为何值时,两直线平行.变式练习:4.直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与l 2:mx +3y -2=0平行,求m 的值.五、要点归纳与方法小结两条直线平行的等价条件是什么?——斜率相等.。
课时24 两条直线的平行与垂直(1)【学习目标】1、理解并掌握两条直线平行与垂直的条件;2、会运用条件判定两直线是否平行或垂直.【课前预习】(一)知识学点若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,则(1)直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=-1.若l 1和l 2都没有斜率,则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l 1⊥l 2.(二)练习1、过点(-1,3)且垂直于直线x -2y +3=0的直线方程为 ;2、过点(—1,3)且与直线x -2y +3=0的垂直的直线方程为 ;3、已知两条直线2-=ax y 和1)2(++=x a y 互相垂直,则=a ;4、经过点(2,—3)且平行于过两点M (1,2)和N (—1,—5)的直线的方程为 ;【课堂探究】例1 试确定M 的值,使过点A (m + 1,0),B (–5,m )的直线与过点C (–4,3),D (0,5)的直线平行.例2 求过点A (2,—3)且与直线052=-+y x 平行的直线的方程例3 已知三角形的顶点为A(2,4),B(1,—2),C(—2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。
【课堂巩固】当0<a<2时,直线l1:ax-2y=2a-4,直线l2:2x+a2y=2a2+4与坐标轴围成一个四边形,求使该四边形面积最小时a的值.【课时作业24】1.过点(3,2)A ,且平行于直线420x y +-=的直线方程是 .2.直线l 与直线250x y +-=平行,且在两坐标轴上的截距之和为32,则直线l 的的方程为 .3. 若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行,则m = .4. 直线082=++y ax 与直线063=--y x 平行,则=a .5. 已知)2,3(),1,1(),5,1(C B A -,则平行四边形ABCD 的两边AD 和CD 所在直线的方程分别是______________,________________.6. 如果直线1l :012=-+my x 与2l :01)13(=---my x m 平行,那么实数m 的值为___________.7. 若直线1l :013=++y ax 与2l :01)1(2=+++y a x 互相平行,求实数a 的值.8. 求与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程.9.(探究创新题)求经过点)1,2(-M ,且与点)0,3(),2,1(B A -距离相等的直线方程.10.已知直线ax+2y+2=0与直线3x -y -2=0平行,求系数a 的值.【疑点反馈】(通过本课时的学习、作业之后,还有哪些没有搞懂的知识,请记录下来)课时24 两条直线的平行与垂直(1)【课堂探究】例1【解析】由题意得:0531,5(1)60(4)2AB CD m m k k m m --====--+---- 由于AB ∥CD ,即k AB = k CD ,所以162m m =--,所以m = –2. 例2 012=-+y x例3 01453=+-y x 【课堂练习】解:直线l 1交y 轴于A (0,2-a ),直线l 2交x 轴于C (a 2+2,0),l 1与l 2交于点B (2,2).则四边形AOCB 的面积为S =S △AOB +S △OCB =21·(2-a )·2+21(a 2+2)·2=a 2-a +4=(a -21)2+415, 当a =21时,S 最小. 因此使四边形面积最小时a 的值为21. 【复习巩固】1. 4140x y +-=.2. 210x y +-=解析:直线250x y +-=的斜率为2-,故直线l 的斜率为2-,设直线l 的方程为2y x b =-+,由0,2b y x ==得,所以3,122b b b +==,所以直线l 的方程为210x y +-=.3. 1解析:由题意得:0(2)21()1,5232(1)21AB PQ m m k k m m ----+====---+,所以12,,1213AB PQ m k k m m +===+即解得. 4. 6-5. 042,0194=--=+-y x y x6. 0或61.解析:当0m =时, 直线1l :1x =,直线2l :1x =-,所以12//l l .当0m ≠时,12131,2m k k m m -=-=,由12k k =,解得16m =. 7.解:○1当1a =-时,两直线不平行;○2当1a ≠-时,122,31l l a k k a =-=-+,21//l l Θ,12l l k k ∴=,(1)60a a ∴+-=, 即062=-+a a ,解得3-=a 或2=a ,当3a =-时,两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行,当2a =时,两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合,2a ∴=不符合,3a ∴=-.8. 解法一:由于与直线3410x y ++=平行,设直线l 的方程为340x y m ++=,令0x =,得y 轴上截距4m b =-;令0y =,得x 轴上截距3m a =-;故7()433m m -+-=, 解得:4m =-,所求直线l 的方程为3440x y +-=解法二:设直线l 的方程为1,x y a b +=则7334a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得:431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所求直线l 的方程为3440x y +-=9.解:设所求的方程为l ,则由已知条件可知:l //AB 或l 过AB 的中点)1,1(。
第6课时 两条直线的平行与垂直【学习导航】知识网络两条直线(斜率都存在):1l :11,y k x b =+2l :22,y k x b =+学习要求1.掌握用斜率判定两条直线平行的方法,并会根据直线方程判断两条直线是否平行;2.通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用,培养学生思维的严谨性和辨证性.自学评价判定直线1l 与2l 平行的前提是____________________________________;如果1l 、2l 斜率都存在,则直线平行能得到_________,反之,_____________________;如果1l 、2l 斜率都不存在,那么两直线都垂直于x 轴,故它们___________.【精典范例】例1:已知直线方程1l :,0742=+-y x 2l :052=+-y x ,证明:1l //2l .例2:求证:顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形. 例3:(1)两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 . (2)若直线1l :013=++y ax 与2l :01)1(2=+++y a x 互相平行,则a 的值为 . 例4:求过点(2,3)A -,且与直线250x y +-=平行的直线方程.追踪训练一1.若过两点(6,)P m 和(,3)Q m 的直线与直线250x y -+=平行,则m 的值为( ) ()A 5 ()B 4 ()C 9 ()D 02. 直线0mx y n +-=和10x my ++=平行的条件是( ) ()A 1m = ()B 1m =±()C 11m n =⎧⎨≠-⎩ ()D 11m n =⎧⎨≠-⎩或11m n =-⎧⎨≠⎩3. 平行于直线38250x y -+=,且在y 轴上截距为2-的直线方程是__________________.4. 若直线2(23)1y a a x =-+-与直线(7)4y a x =++平行,则a 的值为____________.思维点拔:课本中是在两条直线的斜率都存在的前提下,得出两直线平行的等价条件的.在具体解题时,应注意考虑直线斜率不存在的情形(如例3(2)、追踪训练一第2题).另外,在判定两直线平行时,还要注意出现两直线重合的情况.追踪训练二1.若直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,求实数m 的取值范围是________________.2.与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为_________________.3.求与直线3490x y ++=平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程.。
两条直线的平行和垂直教材分析:本节内容选自苏教版高中教材必修二第二章第一节,是用坐标系研究平面内根本图形点、线之后,进一步通过坐标系,利用代数方程精确研究线与线的位置关系。
在教学中要突出坐标法思想,即建立坐标系,把几何对象转化为代数对象,把几何问题转化为代数问题,利用代数的工具、方法研究并获得结论;然后再解释几何现象。
学情分析:本节内容蕴含了数形结合、分类讨论、坐标法等重要的数学思想方法,对思维的严谨性有较高要求。
学生易于掌握线线平行垂直的斜率关系,但是对于直线平行问题中的重合和斜率不存在问题容易考虑全面。
教学目标:1掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法,能够判断简单的线线位置关系;2让学生进一步感受坐标法思想在研究几何问题的重要作用;3通过分类讨论和数形结合的思想方法的运用,培养学生思维的严谨性教学重点:掌握两条直线平行和垂直时斜率的关系。
教学难点:直线平行时需要考虑直线重合和斜率不存在情况;直线垂直需要考虑斜率不存在。
教学过程设计:【引入】问题1:前面我们已经利用坐标系研究了平面几何中的根本图形点、线,把几何对象点、线转为代数对象有序实数对,方程表示。
研究完根本图形后,那接下来我们可以研究那些内容?〔在立体几何中我们研究了点线面的位置关系,那在平面里我们可以研究什么?学生说:点线的位置关系,提醒比方点与点的位置关系〕生:可以研究点与线的位置关系,线与线的位置关系。
设计意图:平面几何是学生初中研究的内容,学习完根本图形点、线后,就研究点线的位置、线线的位置关系。
学生能够类比指出可以在坐标系中研究的内容。
让学生提出本节课的课题,能够引起学生学习的兴趣。
师:这些都是我们接下来要研究的内容,本节课我们首先研究线与线的位置关系。
线与线的位置关系有哪些?生:线线平行,线线相交,线线重合。
师:本节课我们主要研究线线平行,垂直。
〔书写课题:两条直线的平行与垂直〕【建构概念】师:观察图像,直线和直线的位置关系是什么?生:平行。
2.1.3 两条直线的平行与垂直如右图,在平面四边形ABCD中,由∠A+∠B=90°+90°=180°可知AD∥BC.或因为∠B=90°,可知AB⊥BC;可由∠A=90°,得到AD⊥AB,依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中,我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直.那么,在解析几何中,又如何证明或判断直线的这些关系呢?1.通过初中的学习我们知道“两直线平行,则两直线的倾斜角相等”,同样,两条直线平行,如果它们的斜率都存在,则它们的斜率相等.反之也成立,即:已知直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.特别地,若两不重合直线的斜率不存在,由于它们的倾斜角都是90°,所以它们互相平行.2.当直线l1,l2都垂直于x轴且不重合时,由于垂直于同一条直线的两条直线平行,可推得:l1∥l2,因此,两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1和l2的斜率都不存在或k1=k2且b1≠b2.3.两直线的斜率都存在时,若两直线垂直,则它们的斜率k1,k2的乘积k1k2=-1,反之也成立,即:l1⊥l2⇔k1k2=-1.4.两条直线l1,l2,若一条直线的斜率不存在,同时另一条斜率为0,则两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定的一般结论就是:一条直线的斜率不存在,同时另一条斜率为0或k1k2=-1.,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,①两条直线平行的条件为:l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;②两条直线垂直的条件为:l1⊥l2⇔k1k2=-1;③两条直线l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法.判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线.同学们要特别谨记:同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行,分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直.若两条直线的方程是一般式l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则常有以下判定方法:①l 1与l 2平行⇔A 1B 2-A 2B 1=0且(B 1C 2-B 2C 1)2+(A 2C 1-A 1C 2)2≠0或A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0);②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2+B 1B 2=0;③l 1与l 2重合⇔A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0)或A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2(A 2B 2C 2≠0).基础巩固知识点一 两条直线平行1.已知过点A (-2,m )和B (m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则m 的值为________.解析:kAB =4-m m +2,∵过AB 的直线与2x +y -1=0平行,∴4-m m +2=-2,解得m =-8. 答案:-82.已知直线l 1:(k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2:2(k -3)x -2y +5=0平行,则k =________.解析:∵l 1∥l 2,∴-2(k -3)-2(4-k )(k -3)=0,解得k =3或5,经检验k =3或5时,l 1∥l 2.答案:3或53.已知点A (3,1)、B (0,-1)、C (1,3),则点D 满足什么条件时,可以使得AB ∥CD . 解析:设D (a ,b ),则kAB =1-(-1)3-0=23,kCD =b -3a -1.∵AB ∥CD ,∴b -3a -1=23.∴2a -3b +7=0. ∴当点D 在直线2x -3y +7=0上时,AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4.过点A (-1,0)和B (1,-1)的直线与过M (0,k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2,0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________.解析:kAB =-1-01+1=-12,kMN =0-k -k 2-0=2, ∴kAB ·kMN =-12×2=-1,即AB ⊥MN . 答案:垂直5.已知点A (2,2)、B (1,-2),若点P 在坐标轴上,且∠APB 为直角,则这样的点P 有________个.解析:若点P 在y 轴上,则点P 只有一个;若点P 在x 轴上,则点P 有两个.故满足条件的点p 共有3个.答案:36.已知直线l 1经过点A (-2,0)和点B (1,3a ),直线l 2经过点M (0,-1)和点N (a ,-2a ),若l 1⊥l 2,试确定实数a 的值.解析:(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在,即a ≠0时,直线l 1、l 2的斜率分别是k 1=a ,k 2=1-2a a. ∵l 1⊥l 2,∴a ·1-2a a=-1. ∴a =1.(2)当a =0时,k 1=0,k 2不存在,此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知,若l 1⊥l 2,则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7.已知点A (-4,2)、B (6,-4)、C (12,6)、D (2,12),下面四个结论中正确的是________(填序号).①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析:由题意得kAB =-35,kAD =53,kCD =-35,kAC =14,kBD =-4,∴kAB =kCD ,kAB ·kAD =-1,kAC ·kBD =-1.∴AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AC ⊥BD ,①②④正确.又kAB ·kBD ≠-1,∴③错误.答案:①②④8.若已知直线l 1上的点满足ax +2y +6=0,直线l 2上的点满足x +(a -1)y +a 2-1=0(a ≠0),当a 为何值时:(1)l 1∥l 2;(2)l 1⊥l 2.解析:k 1=-a 2,k 2=-1a -1. (1)l 1∥l 2时,k 1=k 2,即-a 2=-1a -1, 解得a =2或a =-1.当a =2时,l 1的方程为2x +2y +6=0,即x +y +3=0,l 2的方程为x +y +3=0,则l 1与l 2重合.∴a =-1.(2)l 1⊥l 2时,由k 1k 2=-1,得⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a -1=-1,解得a =23. 综上可知,a =-1时,l 1∥l 2;a =23时,l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9.在直角坐标平面内有两个点A (4,2)、B (1,-2),在x 轴上有点C ,使∠ACB =90°,则点C 的坐标是________.解析:设C (x 0,0),由AC ⊥BC ,得0-2x 0-4·0+2x 0-1=-1,∴x 0=0或x 0=5. 答案:(0,0)或(5,0)10.若点A (1,2)在直线l 上的射影为B (-1,4),则直线l 的方程是________. 解析:∵AB ⊥l ,kAB =4-2-1-1=-1,∴kl =1.又l 过点B ,∴l :y -4=x +1,即直线l 的方程为x -y +5=0.综合点二 平行与垂直的综合应用11.已知两点A (2,0)、B (3,4),直线l 过点B ,且交y 轴于点C (0,y ),O 是坐标原点,且O ,A ,B ,C 四点共圆,那么y 的值是________.解析:由题意知,AB ⊥BC ,∴kAB ·kBC =-1,即4-03-2·4-y 3-0=-1,解得y =194. 答案:19412.过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1),(3,k +1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆,则实数k 为________.解析:若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆,则l 1⊥l 2,而kl 1=73-7=-13,kl 2=k +1-13-2=k .而kl 1·kl 2=-1,得k =3. 答案:3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13.已知直线l 1:x +y -1=0,现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置,若l 1,l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4,求l 2的方程.解析:∵l 1∥l 2,∴设l 2的方程为x +y -m =0.设l 1与x 轴,y 轴分别交于点A 、D ,l 2与x 轴,y 轴分别交于点B 、C ,易得:A (1,0)、D (0,1)、B (m ,0),C (0,m ).又l 2在l 1的上方,∴m >0.S 梯形=S Rt △OBC -S Rt △OAD ,∴4=12m ·m -12×1×1. ∴m 2=9,m =3.故l 2的方程是x +y -3=0.。
2.1.3 两条直线的平行与垂直第一课时一、基础过关1. 已知点A (1,2),B (m,1),直线AB 与直线x =0平行,则m 的值为________.2. 两直线2x -y +k =0和4x -2y +1=0的位置关系是____________.3. 下列说法中正确的有________.①若两条直线斜率相等,则两直线平行;②若l 1∥l 2,则k 1=k 2;③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.4. 若直线l 1:2x +my +1=0与直线l 2:y =3x -1平行,则m =________.5. 直线Ax +4y -1=0与直线3x -y -C =0重合,则A =________,C =________.6. 若直线mx +4y -1=0与直线x +my -3=0不平行,则实数m 的取值范围是___________.7. 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程:(1)(-1,2),y =12x +1; (2)(1,-4),2x +3y +5=0.8. 已知两直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0.试确定m 、n 的值,使(1)l 1与l 2相交于点P (m ,-1);(2)l 1∥l 2.二、能力提升9. 设集合A ={(x ,y )|y -3x -1=2},B ={(x ,y )|4x +ay -16=0},若A ∩B =∅,则a 的值为__________.10.P 1(x 1,y 1)是直线l :f (x ,y )=0上一点,P 2(x 2,y 2)是直线l 外一点,则方程f (x ,y )+f (x 1,y 1)+f (x 2,y 2)=0所表示的直线与l 的关系是________.11.已知直线l 1:(m +3)x +y -3m +4=0,l 2:7x +(5-m )y -8=0,问当m 为何值时,直线l 1与l 2平行.12.求与直线3x +4y +9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程.三、探究与拓展13.是否存在m ,使得三条直线3x -y +2=0,2x +y +3=0,mx +y =0能够构成三角形?若存在,请求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.答案1.12.平行或重合3.③4.-235.-12 -146. m ≠±27.解 (1)因为所求直线与已知直线平行,所以可设所求直线为y =12x +b .由于所求直线过点(-1,2),代入方程,得b =52.因此所求方程为y =12x +52.即x -2y +5=0. (2)设所求的直线方程为2x +3y +D =0.由于所求直线过点(1,-4),代入方程,得D =10,因此,所求直线方程为2x +3y +10=0.8.解 (1)∵m 2-8+n =0且2m -m -1=0,∴m =1,n =7.(2)由m ·m -8×2=0,得m =±4.由8×(-1)-n ×m ≠0,得n ≠∓2.即m =4,n ≠-2或m =-4,n ≠2时,l 1∥l 2.9. 4或-210.平行11.解 当m =5时,l 1:8x +y -11=0,l 2:7x -8=0.显然l 1与l 2不平行,同理,当m =-3时,l 1与l 2也不平行.当m ≠5且m ≠-3时,l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧-(m +3)=7m -53m -4≠85-m ,∴m =-2.∴m 为-2时,直线l 1与l 2平行.12.解 ∵直线3x +4y +9=0的斜率为-34, ∴设所求直线方程为y =-34x +b , 令x =0,得y =b ;令y =0,得x =4b 3, 由题意,b >0,4b 3>0,∴b >0, ∴12×b ×4b 3=24,∴b =6, 故所求直线方程为y =-34x +6,即3x +4y -24=0. 13.解 存在能够使直线mx +y =0,3x -y +2=0,2x +y +3=0构成三角形的m 值有无数个,因此我们考虑其反面情况,即三条直线不能构成三角形,有两种可能:有两条直线平行,或三条直线过同一点.由于3x -y +2=0与2x +y +3=0相交,且交点坐标为(-1,-1),因此,mx +y =0与3x -y +2=0平行时,m =-3;mx +y =0与2x +y +3=0平行时,m =2;mx +y =0过3x -y +2=0与2x +y +3=0的交点时,m =-1.综上所述,三条直线不能构成三角形时,m =-3或m =2或m =-1.满足题意的m 值为{m |m ∈R 且m ≠-3且m ≠2且m ≠-1}.。
2.1.3 两条直线的平行与垂直(2)教学目标:1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法,感受用代数方法研究几何问题的思想;2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透,培养学生严谨、辩证的思维习惯.教材分析及教材内容的定位:本节课和上节课研究的内容有类似之处,都是通过方程研究几何性质的.教学重点:用斜率判断两直线垂直的方法.教学难点:理解直线垂直的解析刻画.教学方法:探究合作.教学过程:一、问题情境1•复习回顾:(1)利用直线的斜率关系判断两条直线平行;(2)利用直线的一般式方程判断两条直线的平行.2 •本节课研究的问题是:一一两条直线垂直,两条直线垂直,那么他们的斜率之间有什么关系,体现在方程有何特征?二、学生活动探究:两条直线垂直,即倾斜角的差为直角,那么他们的斜率如何?不妨设直线丨1,丨2(斜率存在)所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2.因为两条直线相互垂直,不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系,我们知道当倾斜角不是直角时,斜率存在,从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2,于是根据诱导公式有1k1 tan 1 tan (90° 2)tan 2即k i k2=—1 .此时,若两直线平行,则两直线的斜率乘积为一1.反之,如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数,即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角,从而说明它们互相垂直.三、建构数学两直线垂直.一般地,设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2,则11 I2 k i k2 1说明:(1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在,那么其中有一条直线(不妨设为I 1 )与X轴垂直,此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0;(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时,一定要注意前提条件,即斜率存在,因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.(3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12:Ax+ By + C2= 0,那么两条直线垂直的等价条件为:A1A2 B1 B20 .四、数学运用例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证:AB丄CD3 2(2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』412 ,求实数a的值.例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线.例3在路边安装路灯,路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线?(精确到0. 01m)练习:1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程.2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直,且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方程.3. 若直线(a+ 2)x + (1 —a)y —3 = 0 与(a—1)x + (2a+ 3)y+ 2= 0 互相垂直,则实数a4. 已知直线l i:mx^y —(n+1) = 0 与12:x+my-2m= 0 垂直,求m的值.5. 已知三条直线的方程分别为:2x—y+ 4= 0, x—y+ 5 = 0与2mx- 3y+ 12= 0.若三条直线能围成一个直角三角形,求实数m的值.五、要点归纳与方法小结两条直线垂直的等价条件是什么?课后思考题:已知三条直线的方程分别为:2x—y+ 4 = 0, x—y + 5 = 0与2mx- 3y + 12= 0.若三条直线能围成一个三角形,求实数m的取值范围.。
【关键字】高中课时25 两条直线的平行与垂直(2)【学习目标】1、理解并掌握两条直线平行与笔直的条件;2、会运用条件判定两直线是否平行或笔直.【课前预习】(一)知识学点设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2=≠A1B2=A2B1,A2≠A1.(2)l1与l2相交≠A1B2≠A2B1.(3)l1与l2重合==A1B2=A2B1,A2=A1.(4)l1⊥l2+B1B2=0.(二)练习1、若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合,则a的值是____________.2、△ABC中,a、b、c是内角A、B、C的对边,且lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则下列两条直线l1:(sin)x+(sinA)y-a=0,l2:(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是____________.3、两直线的位置关系是;4、已知点A(2,2),B(—1,0),线段AB的笔直平分线的方程是;【课堂探究】例1 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D的坐标.例2 已知两直线l1:x +m2y +6=0,l2:(m -2)x +3my +=0,当m 为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?例3在△ABC 中,已知BC 边上的高所在直线的方程为x -2y+1=0,∠A 的平分线所在直线的方程为y=0.若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标.【课堂巩固】已知直线07)4()3(:,042)4(:21=++-+=+++y m x m l my x m l ,当m 为何值时:(1)21//l l ;(2)21l l ⊥;【课时作业25】1.经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 .2.过原点作直线l 的垂线,垂足为)32(,,则直线l 的方程是____________.3. 已知直线1l :与02=+-a y ax 2l : (21)0a ay a -++=互相垂直,则实数a 的值为 .4.已知直线l 的方程为01243=-+y x ,直线'l 与l 垂直,且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6.则直线'l 的方程为 .5. 已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ,则第四个顶点D 的坐标为 .6. 已知点),(b a P 和)1,1(+-a b Q 是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程为 .7.已知),(13A ,),,(),,(1211C B --求ABC ∆的BC 边上的高所在的直线的方程.8. 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -,其垂心(三条高的交点)为(3,2)H -,求顶点A 的坐标.9.(探究创新题)已知直线024=-+y ax 与直线052=+-b y x 互相垂直相交于点),(c 1。
两条直线的平行与垂直(2)【学习导航】学习要求1.掌握两条直线垂直的判定方法,并会根据直线方程判断两条直线是否垂直;2.理解两条直线垂直条件的推导过程,注意解几思想的渗透和表述的规范性,培养学生的探索和概括能力.【课堂互动】自学评价(1)当两条直线的斜率都存在时,如果它们 互相垂直 ,那么它们的斜率的乘积等于1-,反之,如果它们的斜率的乘积等于1-,那么它们 互相垂直 .(2)若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在,则另一条斜率为 0 时,12l l ⊥.【精典范例】例1:(1)已知四点(5,3),A (10,6),(3,4),(6,11)B C D --,求证:AB CD ⊥.(2)已知直线1l 的斜率为134k =,直线2l 经过点2(3,2),(0,1)A a B a -+,且12l l ⊥,求实数a 的值. 【证明】(1)由斜率公式得:63311(4)5,1055633AB CD k k ---====----,则1AB CD k k ⋅=-, ∴AB CD ⊥.(2)∵12l l ⊥,∴121k k ⋅=-,即231(2)1403a a+--⨯=--, 解得1a =或3a =,∴当1a =或3a =时,12l l ⊥.点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.例2:已知三角形的三个顶点为(2,4),A (1,2),B -(2,3)C -,求BC 边上的高AD 所在的直线方程.分析:由BC 和AD 垂直,求出AD 的斜率,利用直线的点斜式便可求出高AD 所在的直线方程.【解】直线BC 的斜率为3(2)5213BC k --==---, ∵AD BC ⊥, ∴35AD k =,根据点斜式,得到所求直线的方程为34(2)5y x -=-, 即35140x y -+=.点评:一般地,与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ,其中m 待定. 例3:在路边安装路灯,路宽23m ,灯杆长2.5m ,且与灯柱成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h 为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线?(精确到0.01m )【解】记灯柱顶端为B ,灯罩顶为A ,灯管为AB ,灯罩轴线与道路中线交于点C .以灯柱底端O 为原点,灯柱OB 为y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 点B 的坐标为(0,)h ,点C 的坐标为(11.5,0), ∵120OBA ∠=,∴直线BA 的倾斜角为30, 则点A 的坐标为(2.5cos30, 2.5sin 30h +),即( 1.25h +),CA BA ⊥∴1CA BA k k =-1tan 30=-=-由直线的点斜式方程,得CA的方程为( 1.25)yh x -+=-, 灯罩轴线CA 过点(11.5,0)C ,∴( 1.25)h -+=-,解得 14.92()h m ≈ 答:灯柱高h 约为14.92m .点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1. 以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是 (B ) (A )锐角三角形 (B )直角三角形 (C )钝角三角形2.(2000京皖春,6)直线(23-)x +y =3和直线x +(32-)y =2的位置关系是 ( B )(A )相交不垂直 (B )垂直 (C )平行 (D )重合3. 过原点作直线l 的垂线,若垂足为(2,3)-,则直线l 的方程是23130x y -+=. 4. 已知两直线0742:1=+-y x l ,2:250l x y +-=,求证:21l l ⊥.【选修延伸】例4:(课本第91页 习题 第12题)直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=,其中11,A B 不全为0,22,A B 也不全为0,试探究:(1)当12//l l 时,直线方程中的系数应满足什么关系? (2)当12l l ⊥时,直线方程中的系数应满足什么关系? 分析:由于1l 和2l 的斜率可能不存在,因此分类讨论. 【解】(1)①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时,不妨设10B =,则必有10A ≠,此时直线1l 垂直于x 轴,其方程为110A x C +=,由12//l l 知2l 也垂直于x 轴,其方程可以为220A x C +=,此时满足1221A B A B =;反之也成立. ②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时, 直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -,22A B -,由12//l l 得1212A A B B -=-,即1221A B A B =.反之也成立.综合①②可知:当12//l l 时,1221A B A B =. (2)①当两直线方程中,x y 的系数有一个为0时,不妨设10B =,则必有10A ≠,此时直线1l 垂直于x 轴,其方程为110A x C +=,由12l l ⊥知,直线2l 平行于x 轴,故其方程为220B y C +=,满足,12120A A B B +=;反之也成立. ②当两直线方程中,x y 的系数均不为0时,直线1l 和2l 的斜率分别为11A B -,22A B -,由12l l ⊥知,1212()()1A AB B --=-,∴12120A A B B +=.反之也成立. 综合①②可知:当12l l ⊥时,12120A A B B +=.点评:斜率是否存在的讨论是本题的难点所在.另外,分类讨论的数学思想也得到了充分的体现.思维点拔:1.求直线方程时,与y kx b =+或0Ax By C ++=平行的直线可分别设为1y kx b =+或10Ax By C ++=(其中11,b C 为待定系数);与y kx b =+或0Ax By C ++=垂直的直线可分别设为()110y x b k k=-+≠或10Bx Ay C -+=(其中11,b C 为待定系数).2.在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.追踪训练二1.若直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直,则实数a 的值为11a =-或.2.由四条直线:210x y +-=,210x y --=,2410x y ++=,4210x y -+=围成的四边形是 ( D )()A 等腰梯形()B 梯形 ()C 长方形()D 正方形3.过点(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程是250x y +-=.4.分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行,当它们之间的距离达到最大时,求这两条直线的方程. 答案:经过,A B 的直线分别是10x y +-=及2100x y +-=.两条直线的平行与垂直(2)分层训练1. 若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直,则,a b 满足 ( ) (A) 20a b += (B) 20a b -= (C) 20ab += (D) 20ab -=2.已知两点(2,0),(0,4)A B -,则与直线AB 垂直的直线方程可写成 ( ) (A) 20x y m ++= (B) 20x y m -+= (C) 20x y m ++= (D) 20x y m -+=3.已知两点(1,3),(3,1)A B -,点C 在坐标轴上.若2ACB π∠=,则这样的点C 有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4. 原点在直线l 上的射影是(2,1)P -,则l 的方程为 ( ) (A) 20x y += (B) 240x y +-= (C) 250x y -+= (D) 230x y ++=5. 已知直线420mx y +-=和250x y n -+=互相垂直,且垂足为(1,)p ,则m n p -+的值是 ( )(A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) 4- 6. 根据条件,判断直线1l 与2l 是否垂直:(1)1l 的倾斜角为45,2l 的方程是1x y +=: ;(2)1l 经过点(1,0),(4,5)M N ,2l 过点(6,0),(1,3)R S --: . 7.直线l 在y 轴上的截距为2,且与直线':320l x y +-=垂直,则l 的方程是 .8. 已知直线420Ax y +-=和直线20x y C -+=垂直且垂足的坐标为(1,)m ,则A = , C = ,m = .9.求经过点(2,1),且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程.10.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,求以A 为端点的两边所在直线的方程.拓展延伸11.已知直线1:(2)(3)50l a x a y +++-=和2:6(21)50l x a y +--=,求当a 为何值时12l l ⊥.12.若三角形的一个顶点是(2,3)A ,两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=,试求此三角形三边所在直线的方程.。
2.1.3 两条直线的平行与垂直(1)
教学目标:
1.掌握利用斜率判定两条直线平行的方法,感受用代数方法研究几何问题
的思想;
2.通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透,培养学生严谨、辩证的思
维习惯.
教材分析及教材内容的定位:
解析几何研究的另一方面内容就是根据方程研究几何性质,本节课是初次接触这方面的内容,要让学生学会研究方程.
教学重点:
用斜率判定两直线平行的方法.
教学难点:
理解直线平行的解析刻画.
教学方法:
合作交流.
教学过程:
一、问题情境
1.复习回顾:(1)直线方程的形式与标准方程;(2)各类标准方程的局限性
2.本节课研究的问题是:如何利用直线的方程研究两条直线的位置关系,重点是平行.
二、学生活动
探究:两条直线平行,即倾斜程度相同,那么它们的斜率如何?
如果倾斜程度相同,不妨设直线l1,l2(斜率存在)所对应的倾斜角分别为α1,α2,对应的斜率分别为k1,k2.
因为倾斜程度相同,则倾斜角相等,即α1=α2.根据倾斜角与斜率的关系,我们知道
当倾斜角不是直角时,斜率存在,从而有k 1=tan α1,k 2=tan α2,于是有k 1=k 2.此时,若两直线平行,则两直线的斜率相等.
反之,如果两直线(不共线)的斜率相等,即k 1=k 2,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角相等,从而说明它们互相平行.
三、建构数学
两条直线的平行.
一般地,设直线l 1,l 2(不共线,斜率存在)所对应的斜率分别为k 1,k 2,
则l 1∥l 2⇔ k 1=k 2.
说明:
(1)如果直线l 1,l 2的斜率都不存在,那么它们都与x 轴垂直,从而l 1∥l 2;
(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时,一定要注意前提条件,即斜率存在,因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.
(3)若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,A 2,B 1,B 2全不为零)平行,那么两直线平行的等价条件为:12211221AB A B BC B C =≠且.
四、数学运用
例1 求证:顺次连结A (2,-3),B (5,2
7-
),C (2,3),D (-4,4)四点所得的四边形是梯形.
例2 求过点A (2,-3),且与直线2x +y -5=0平行的直线的方程.
变式练习:
1.求过点A (0,-3),且与直线2x +y -5=0平行的直线的方程.
2.若直线l 与直线2x +y -5=0平行,并且在两坐标轴截距之和为6.求直线l 的方程.
3.若直线l 平行于直线2x +y -5=0,且与坐标轴围成的三角形面积为9,求直线l 的方程.
例3 已知两条直线:(3+m )x +4y =5-3m 与2x +(5+m )y =8,m 为何值时,两直线平行.
变式练习:
4.直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与l 2:mx +3y -2=0平行,求m 的值.
五、要点归纳与方法小结
两条直线平行的等价条件是什么?
——斜率相等.。