河北省涞水波峰中学人教A版高中数学必修五导学案：2.2等差数列

必修5 §2.2.2等差数列的性质 学案【课时安排】：1课时【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质；3．掌握等差数列的性质及其应用．【学习重难点】1．学习重点：等差数列的性质及证明；2．学习难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】1．等差数列的定义：在等差数列{}n a 中，对任意*n N ∈，1n n a a +-= ；2．等差数列的通项公式：n a = = ；3．若a ，A ，b 成等差数列，则称A 为a ,b 的 且 ；在等差数列{}n a 中满足：对任意*n N ∈，都有 ；【自学导引】一、探究发现：根据等差数列{}n a ：-1,2,5,8,11,…… 思考下列问题：1．等差数列{}n a 的通项公式是： ；2．请在函数的角度观察等差数列的通项公式结构，你能发现它有些什么性质？（1）（2）3．在这个等差数列中，请计算下列结果：27a a += ，36a a += ，45a a += ．（1）在上述算式中，你能得出什么结论吗？请写出来，并加以证明．（2）任意等差数列也有类似的性质吗？请写出来，并加以证明．二、活动交流：根据任意等差数列的项及其通项公式，思考、交流下列活动．1．除了上面的性质，你能发现等差数列还有些什么性质？请把你的发现写下来，并加以证明．2．将你发现的性质与同小组的同学交流，互相验证．并把本组求证的正确结论记录下来．三、应用举例：例1．填空：（1）在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为 ；（2）等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是 ．例2．若数列{}n a 为等差数列，158a =，6020a =，求75a 的值．例3．在数列{}n a 中，2n a kn qn =+(k ,q R ∈，*n N ∈)．（1）数列{}n a 能成为等差数列吗？若能，需要满足什么条件？若不能，请说明理由．（2）求证：对任意k ,q R ∈，数列1{}n n a a +-均为等差数列．【当堂检测与变式】课堂发布于101平台．【自学反思】1．学习本节内容的收获有哪些？2．你还有哪些疑问？【拓展延伸】1．已知等差数列{}n a ：5,8,11,… 和等差数列{}n b ：3,7,11,…．（1）在两个等差数列的前100项中，有多少个相等的项？（2）把两个等差数列中的相等项按从小到大的顺序组成一个新数列{}n c ，试求{}n c 的通项公式．2．等差数列的基本性质可以判定等差数列吗？判定一个数列是等差数列有些什么方法？。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，3,,,3a d a d a d a d --++. 当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2019-2020年新人教A 版数学必修5§2.2等差数列(一)精品导学案课时目标1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2.3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 答案C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13. 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 B解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10. 二、填空题7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________________________________________________________________________． 答案 38．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．答案 a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1.9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d2＝13n －m14n －m ＝43. 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定 答案 B解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．(1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{a n}中的项，是第11项．1．判断一个数列{a n}是否是等差数列，关键是看a n＋1－a n是否是一个与n无关的常数．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.。

【学习目标】1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 【重点难点】重难点：等差数列性质的灵活应用。

【知识链接】（预习教材P 39 ~ P 40，找出疑惑之处） 复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？【学习过程】 ※ 学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2、在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a =，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化. ※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？【学习反思】 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）a a d -=；（2）(0)n a pn q p =+≠；（3）2n S an bn =+. 【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 【拓展提升】1. 若 12530a a a +++=， 671080a a a +++=， 求111215a a a +++.2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.。

第2课时等差数列的性质1．复习巩固等差数列的概念及其通项公式．2．掌握等差中项的应用．3．掌握等差数列的性质，并能解决有关问题．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．定义还可以叙述为：在数列{a n}中，若a n＋1－a n＝d(n∈N*)，d为常数，则数列{a n}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．(2)通项公式：a n＝____________，a1为首项，d为公差．【做一做1－1】等差数列{a n}的公差d＝2，a1＝2，则a n等于( )A．2 B．2n－2 ．2n D．2n＋2 【做一做1－2】在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________2．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的______．由a，A，b成等差数列，得A－a＝b－A，所以A＝a＋b2反过，如果A＝a＋b2，那么2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．【做一做2】＋1与y－1的等差中项为10，则＋y等于( )[] A．0 B．10 ．20 D．不确定答案：1．(1)同一个常数公差(2)a1＋(n－1)d【做一做1－1】【做一做1－2】 132．等差中项【做一做2】1．等差数列的性质剖析：若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1)当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．(2)d＝a n－a1n－1＝a－a－(，n，∈N*)．(3)a n＝a＋(n－)d(，n∈N*)．(4)若＋n＝p＋q(，n，p，q∈N*)，则a＋a n＝a p＋a q(5)若＋n2＝，则a＋a n＝2a(，n，∈N*)．(6)若数列{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a i＋1＋a n －i＝…(n，i∈N*)．(7)数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为的项a，a＋，a＋2，…(，∈N*)组成公差为d的等差数列．(9)若数列{b n}也为等差数列，则{a n＋b n＋b}(，，b为常数)是等差数列．由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个．[]证明性质(5)：∵a n＝a1＋(n－1)d，∴a＝a1＋(－1)d，a＝a1＋(－1)d，∴a＋a n＝2a1＋(＋n－2)d＝2a1＋(2－2)d＝2a1＋2(－1)d＝2[a1＋(－1)d]＝2a证明性质(7)：∵a n＝a1＋(n－1)d，且λ，b为常数，∴λa n＋b＝λ[a1＋(n－1)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－1)λd，λa n－1＋b＝λ[a1＋(n－2)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－2)λd，∴(λa n＋b)－(λa n－1＋b)＝λd(常数)，∴数列{λa n＋b}也是等差数列，公差为λd2．对问题“等差数列{a n}中，若＝p＋q(，p，q∈N*)，则a＝a p ＋a q不成立”的理解剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列{a n}中，当，n，p，q∈N*，＋n＝p＋q时，a＋a n＝a p＋a q”的推导中．事实上，由于a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d＝n＋b(，b为常数)，所以我们有a＝＋b，a p＝p＋b，a q＝q＋b，则a p＋a q＝(p＋q)＋2b，令＋b＝(p＋q)＋2b，注意到＝p＋q，所以b＝0这告诉我们，当且仅当b＝0，即a1＝d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1≠d因此等差数列{a n}中，若＝p＋q，则a＝a p＋a q不一定成立．这个事实告诉我们，在习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移．题型一等差数列性质的应用【例题1】设{a n}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8分析：方法一：依性质“若＋n＝p＋q，则a＋a n＝a p＋a q”求解即可．方法二：将a3＋a4＋a5＋a6＋a7用a1，d表示，再将a2＋a8用a1，d表示，从中寻找关系解决．反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因此要注意灵活运用性质解题．(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带极大的方便，如本题方法一．题型二等差中项的应用【例题2】已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．分析：充分利用等差中项的定义求解未知量．反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本题解法一；也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d，再进一步解题，如本题解法二．题型三等差数列的综合问题【例题3】一个等差数列的首项为125，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．分析：从第10项起每一项都大于1是指错误!转化为解不等式组．反思：等差数列是关于n的一次函数(d＝0时为常数函数)，对于有关单调性、取值范围的问题，可先结合已知条件利用通项公式，得到一个以a1和d为未知数的方程或不等式，再利用函数、不等式的有关方法解决．题型四易错辨析【例题4】设数列{a n}是等差数列，a p＝q，a q＝p(p≠q)，试求a p＋q错解：∵数列{a n}是等差数列，∴a p＋q＝a p＋a q＝p＋q错因分析：性质a＋a n＝a p＋a q中必须是两项相加等于两项相加，如a7＋a8＝a6＋a9，并不是下标和相等即相等，如a15＝a7＋8≠a7＋a8反思：利用等差数列的性质解决问题时，所用的性质必须是经过证明成立的，才能应用，否则不能应用．答案：【例题1】解：方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180方法二：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a 1＋4d ＝90∴a 2＋a 8＝a 1＋d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋8d ＝180 【例题2】 解法一：设这三个数为a ，b ，c ，则由题意，得2222,18,116,b a c a b c a b c ⎧=+⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝4，b ＝6，c ＝8[] 故这三个数是4,6,8解法二：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ， 由已知，得222()()18,()()116,a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩①②由①，得a ＝6代入②，得d ＝±2 ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去． ∴这三个数为4,6,8【例题3】 解：设等差数列为{a n }， 由d ＞0，知a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…， 依题意，有错误! 即错误!错误!解得875＜d ≤325，即公差d 的取值范围是错误!【例题4】 正解：设数列{a n }的公差为d ， ∵a p ＝a q ＋(p －q )d ， ∴d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q＝－1 从而a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0， ∴a p ＋q ＝1已知等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，则a 3＝__________2已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 5＋a 9－a 13＋a 17＝117，则a 3＋a 15＝__________3在数列{a n }中，a 1，a 12是方程25x -＝0的两根，若{a n }是等差数列，则a 5＋a 8＝__________4在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＞31，求公差d 的取值范围．5已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．答案：1．4 22344．解：由题意，可知11410,1131.a d a d +=⎧⎨+>⎩解得d ＞3所以d 的取值范围是(3，＋∞)．5．解：由题意，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则()()15,()()9,a d a a d a d a d -+++=⎧⎨-+=⎩解得5,4a d =⎧⎨=⎩或5,4.a d =⎧⎨=-⎩所以，当d ＝4时，这三个数为1,5,9； 当d ＝－4时，这三个数为9,5,1[。

教学设计（一）教学目标1.知识与技能：了解公差的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.2.过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程.3•情感态度与价值观：通过等差数列概念及通项公式的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意识.（二）教学重点和难点重点：等差数列的概念及通项公式的应用.难点：等差数列通项公式的推导.（三）教学方法采用自主探究与合作交流的教学方法，借助多媒体辅助教学，增强课堂活动的生动性，调动学生参与知识形成过程的主动性与积极性.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入课题［问题1］以下儿个数列有什么共同的特点？(1)1, 2, 3, 4, 5 ...........(2)1,0, 1, 2, 3 ..............(3)1, 1, 1, 1, 1 ...........(4)4, 5, 6, 7, 8 .............(5)2, 0,-2,-4,-6 ........... 学生思考，教师通过多媒体举例让学生分析.通过具体数列体会“等差”特征，激发学生的探究欲望，使学生主动学习.概念形成等差数列的定义(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.(2)符号语言：色一色-1 =d(n>2)a n+\~a n=d 引导学纶通过定义写出符号语言.引导学牛主动参与，去发现新知.概念深化回到引例，让学生分析等差数列的特点. 学生思考后回答，教师举反例让学生体会定义中关键词的作用.让学生抓住本节重点.应用举例例1:判断下列数列是否是等差数列？如果是，说出公差是多少•如果不是，说出为什么.(1)1, 3, 5, 7, 9, .............(2)6, 4, 2, 0, -2, ...........(3)1, 2, 4, 6, 8, .............(4)0, 0, 0, 0, 0, .............例2：已知数列｛©｝满足学生自主思考，回答.教师总结方法，用定义判断或证明一个数列是等差数列.学生独立完成，强化对等差数列本质属性的认识.%1=2,兀詠,则这个数列是等差数列吗？概念形成例3：根据规律填空2, 5, 8, 11, 14,(),() ......... 问7。

2.2等差数列（二）【教学目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2等差数列（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理等差数列的性质阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n 相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n ＝a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．三、合作探究问题1 已知等差数列{a n}的首项a1和公差d能表示出通项a n＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项a n?提示：设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝a m－(m－1)d，则a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.问题2 由思考1可得d＝a n－a1n－1，d＝a n－a mn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示：等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点．d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a mn －m .问题3 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？提示：利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….问题4 若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？提示：∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．探究点1 等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式．提示：因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2.又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.名师点评：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．探究点2 等差数列与一次函数的关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？提示：取数列{a n}中任意相邻两项a n和a n－1(n>1)，求差得a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．由于a n＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.名师点评：本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．探究点3 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．提示：方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，②解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n ＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?提示：设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q＋a r＋a s＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s.2．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝______.提示：∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.名师点评：解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．四、当堂检测1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－32．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C.32D ．－32提示：1．B 2.C 3.A五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。

2.2 等差数第 1 课时等差数列的观点及通项公式案【学目】1．正确理解等差数列、等差中的观点，掌握等差数列通公式的求解方法，能熟用通公式解决等差数列的有关.2．通等差数列观点的研究和通公式的推，领会数形合思想、化思想、思想，培育学生数学的察、剖析、归纳和的能力.3．激情参加、惜高效，利用数列知解决详细，感觉数列的用价.【要点】：等差数列的观点及等差数列通公式的推和用.【点】：等差数列中“等差”特点的理解、掌握和用.【学法指】1.研究本上的基知，初步掌握等差数列通公式的求法;2.达成教材助置的，而后合本的基知和例，达成自； 3.将中不可以解决的出来，并写到后边“我的迷惑” .Ⅰ . 有关知1.数列有几种表示方法？2.数列的与数有什么关系？3函数与数列之有什么关系？Ⅱ . 教材助1. 一般地，假如一个数列从第起，每一与它的前一的差等于常数，那么个数列就叫做等差数列，个常数叫做等差数列的，公差往常用字母表示。

2.由三个数a、 A、b 成的数列能够当作最的等差数列。

A 叫做 a 与 b 的等差数列即3. 假如数列 { a n }是公差 d 的等差数列，a2a1，a3a1，a4a1a5a1,......, a n a14．通公式a n=an+b（a,b常数）的数列都是等差数列？反之，建立？【自】1.等差数列 a 2d ，a, a 2d ⋯⋯.的通公式是（）A．a n a(n 1)d B.a n a (n 3) dC．a n a2(n2) d D.a n a2nd2. 已知数列 {a n}的通公式a n32n，它的公差（）A． 2 C.2 D.33．已知a11， a 与 b 的等差中3， b3224. 在等差数列 { a n } 中，已知a310, a928, a12【我的迷惑】研究案Ⅰ. 疑研究——疑解惑、合作研究研究点一：等差数列的观点和通公式1：等差数列观点的理解（ 1）怎样用数学符号来描绘等差数列？（ 2）若把等差数列观点中的“同一个”去掉，个数列_______等差数列 . （填“是”或“不是” ）（ 3）d等差数列 {a} 的公差，当＞ 0， {a} ______数列；n n当 d＜0， { a } ______数列；当d=0 ， { a } _____数列 .n n【规律方法总结】研究二：怎样推导等差数列n在应用等差数列的通项公式解题时 ,对这四个{a } 的通项公式？量 , 知道此中量就能够求余下的量.【拓展提高】已知等差数列 { a } 的公差不为零，a，a是方程n12研究三：等差中项的理解x2-3 4 0的根，求数列{a n}的通项公式.a x+a =在等差数列中，从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外 ) 都是它的前一项与后一项的___________；反之，假如一个数列从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a n+1= ___________ ，那么这个数列是 ___________.【归纳总结】1.等差数列的观点是的主要依照 .2.推导通项公式时不要忘掉查验的状况（特别是叠加法） .研究点3：等差数列实质应用（重难点）3.通项公式的说明：【例 3】梯子的最高一级宽33 cm, 最低一级宽110 cm, 中间还有10 级，各（ 1）在a =a +( n-1) d 中，已知就能够求级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.n1出（方程思想） .（2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即研究点 1：等差数列的判断方法（要点）【例 1】判断数列 { an} 能否为等差数列：（ 1）a n=2n-1 ；（ 2）a n=(-1)n；（3） a n=an+b( a, b 为常数).【规律方法总结】（ 1）在实质问题中，若波及一组与次序有关的数的问题，可经过解决；若这组数平均地递加或递减，则可经过解决 .（ 2）用数列解决实质问题时，必定要分清等要点词.【规律方法总结】判断数列 { a n} 是等差数列的方法：（ 1）定义法：；（ 2）等差中项：( n≥ 2, n∈N* ) ；（ 3）研究点 2：求解通项公式（重难点）【例 2】在等差数列 { a n} 中 , 已知a5=10, a12=31，求：（1）首项a1与公差d；（2）通项公式a n.Ⅱ . 我的知识网络图观点等差数列判断方法案一、基稳固 ------ 把的事做好就叫不！1 ．等差数列 { a n} ：— 3，— 7，— 11，⋯⋯⋯ . 的通公式（）A．a n4n1 B.a n4n7 C.a n4n 1 D.a n4n 72 ．已知等差数列 {a } 的首2，末 62，公差4，个数列共有（）nA． 133.已知等差数列{a n } 中， a10=10， a12=16，个数列的首是（）A ．-6B． 6C．-17 D． 174．等差数列 {a n} 中，已知a114 ， a n33 ，n等于（， a2 a5）3A． 485 ．已知数列 a， --15 ， b，c， 45是等差数列，a+b+c 的是（）A． --56．等差数列 {a } 中，a160 ， a n1 a n 3。

2.2等差数列第1课时等差数列的概念及简单的表示学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*).2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.[提示]插入的数分别为3，2，a＋b2，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d．思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？[提示]还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…a n－a n－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得a n－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴a n＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴a n＝a1＋(n－1)d(n∈N*).4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd ＋(a1－d).(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？[提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式a n＝a1＋(n－1)d即可．1．已知等差数列{a n}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝()A.4－2n B．2n－4C.6－2n D．2n－6C[a n＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝．3[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有个．3[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．] 4．lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项是．0[lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项为：lg （3＋2）＋lg （3－2）2＝lg [（3＋2）（3－2）]2＝lg 12＝0.]等差中项【例1】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解]∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *).[跟进训练]1．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝ ．21 [由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列．∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.]等差数列的通项公式及其应用【例2】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ； (2)已知数列{a n }是等差数列，a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d .思路探究：设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)∵a 4＝7，a 10＝25， 则⎩⎨⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *). (2)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝1.1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）d ＝a ，a 1＋（n －1）d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其他项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．[跟进训练]2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ [解] (1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20， 得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明 [探究问题]1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列． 2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．【例3】 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2.(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .思路探究：①要判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，是否要先求1a n ＋1－1a n 的表达式？②能否求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式？[解] (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n .1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”换为“a 1＝4，a n＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2”． (1)试证明数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2（a n －2）－1a n －2＝a n －22（a n －2）＝12.又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2.2．(变条件)将例题中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”换为“a 1＝1，a 2＝2，2a n＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)”试判断数列{a n }是否是等差数列．[解] 当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32，但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列； (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A.1 B ．－1 C.±1D ．±2C [由已知得，⎩⎨⎧a 1（a 1＋2d ）＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.]3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为 ． 3 [a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]4．已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)， 所以a n －a n －1＝2(常数).又n ≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2， 而a 2－a 1＝0≠a 3－a 2， 所以数列{a n }不是等差数列．。

2.2.1等差数列学案一、预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。

2、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。

3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。

4、等差数列的通项公式：=n a 。

5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ②1，1，2，3，4，5是等差数列； （ ） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； （ ） ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列； （ ） ⑤数列{}12+n 是等差数列； （ ） ⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列； （ ）⑦若()*1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列； （ ） ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列； （ ）⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。

（ ）6、思考：如何证明一个数列是等差数列。

二、实战操作：例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)401-是不是等差数列 ,13,9,5---中的项？如果是，是第几项？（3）已知数列{}n a 的公差,4315,4330==a d 则=1a例2、已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n +=，其中q p ,为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为985求这5个数。