华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第2课时 仰角、俯角问题【含答案】

第2课时俯角与仰角￿※教学目标※【知识与技能】￿1.了解仰角、俯角、方位角的概念.￿2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.￿【过程与方法】￿能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.￿【情感态度】￿感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义.￿【教学重点】￿解直角三角形在实际中的应用.￿【教学难点】￿将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.※教学过程※一、复习引入￿1.什么是解直角三角形？￿2.解直角三角形的依据是什么？￿二、探索新知￿1.仰角、俯角.￿（1）几个概念：①铅垂线；￿②水平线；③视线；④仰角:视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；⑤俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.￿（2）应用.￿【例1】如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.（精确到0.1米）￿解：在Rt△CDE中，￿∵CE=DE×tanα￿=AB×tanα￿=10×tan52°￿≈12.80(米)，￿∴BC=BE+CE=DA+CE￿≈1.50+12.80=14.3(米).￿￿答：旗杆BC的高度约为14.3米.￿￿2.方位角.￿【例2】如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面B处生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向的C处，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？￿￿分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里.￿￿解：过A作AE⊥BC延长线于E，设AE=EC=x,则BE=x.￿∵BC=2×40=80,￿∴BC=BE-CE=(-1)x=80.￿∴x=40(+1)≈109.3<120.￿答：A城会受台风影响.￿￿三、巩固练习￿1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）￿A.250mB.250m￿C.mD.250m￿2.￿两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.（精确到0.1米）￿3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）.请求出旗杆MN的高度.（参考数据：≈1.4,≈1.7,结果保留整数）￿￿答案：1.A￿2.由题意知，在矩形ADCE中，CE=AD，AE=CD=50.4米.在Rt△ADC中，∠DAC=90°-β=55°，￿则AD=≈35.3(米).在Rt△ABE中，∠BAE=20°,AE=50.4米,则BE=AE×tan20°=50.4×tan20°≈18.3(米).故CB=CE+BE=AD+BE≈35.3+18.3=53.6(米).答：建筑物DA的高约为35.3米，CB的高约为53.6米.￿￿3.12m￿四、归纳小结￿1.解决仰角、俯角、方位角有关的问题时，常用的两个基本图形.￿￿2.通常学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体地说，就是利用正切解直角三角形，从而把问题解决.￿※课后作业※￿教材第117页习题24.4第3、4题.。

课题 24.4 第2课时 仰角、俯角问题主备人课型新授课课时安排 1 总课时数 1 上课日期学习目标 1.理解仰角、俯角的概念2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题学习重难点重点：理解仰角、俯角的概念难点：能够解决与仰角、俯角有关的实际问题教·学过程 札记一．导当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______．二．思阅读课本完成探究一探究点：利用仰角、俯角解决实际问题【问题1】 如图，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，从B 出发沿着BC 方向向前走1000 m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山的高度AC (结果保留根号)．【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解． 【问题2】 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么旗杆AB 的高度是( )A ．(82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．【针对训练】1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC .2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m 的E 处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38).三、检测1．如图某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞机高度AC ＝b （m ），从飞机上看地面上挥台B 的俯角为α，则飞机A 到指挥台B 的距离为（ ） A ．cos bαmB ．cos b αmC ．sin b αm D ．sin b αm第1题图 第2题图2．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，若测角仪的高度是1.6m，则旗杆AB的高度约为（）（精确到0.1m，参考数据：3＝1.73）A．8.6m B．8.7m C．10.2m D．10.3m3．为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE ＝100米（A，B，E在同一直线上），点C与点D分别在E的两侧（C，E，D在同一直线上），BE⊥CD，CD之间的距离1000米，点D处测得通信塔顶A的仰角是30°，点C处测得通信塔顶A的仰角是45°（如图），则通信塔AB的高度约为（精确到1米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732）.A．350B．270C．200D．150第3题图第4题图4．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米（结果保留根号）．5．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．6．如图，无人机A的高度为270m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，求这栋大楼的高度BC．能力提升7．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．四、课堂小结、形成网络（一）小结仰角俯角问题图解在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角。

课题24.4.2仰角与俯角授课时间授课班级教学目标知识与技能：1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.过程与方法：通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.情感态度与价值观：在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.重点难点重点：理解仰角和俯角的概念.难点：能解与直角三角形有关的实际问题.自主学习内容预习教材113——114页，找出疑问的地方.教学步骤教学内容教法学法二次备课创设情境导入新课如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？复习形式导入师生合作探究新知知识运用小结作业仰角、俯角的概念.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.分层作业：A层：P114，1B、C层：P114，2学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.学生独立完成教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.教学反思。

24.4 第2课时仰角、俯角问题（说课稿）一、教材分析本节课是初三数学华东师大版上册九年级数学教材中的第24.4节，主要内容为仰角、俯角问题的学习与探讨。

本节课是在平面直角坐标系中，以角度的概念为基础，引入仰角、俯角的概念，并通过具体问题进行实际运用。

学生在初中阶段已经掌握了平面直角坐标系的基本知识，对角度的概念也有一定的了解。

因此，本节课的内容相对简单，但需要学生运用已学知识进行复杂的问题分析和解决。

二、教学目标1.知识与技能：–了解仰角、俯角的概念及其在实际问题中的应用；–能够根据已知条件，求解仰角、俯角的大小。

2.过程与方法：–通过讲解和示范，引导学生理解仰角、俯角的概念；–组织学生进行实例分析和讨论，培养其问题分析和解决能力；–引导学生运用已学知识，进行问题求解。

3.情感态度价值观：–培养学生对数学问题解决的兴趣和信心；–培养学生的合作意识和团队精神；–培养学生的实际运用数学知识的能力。

三、教学重点和难点1.教学重点：–仰角、俯角的概念及其应用；–运用角度知识解决实际问题。

2.教学难点：–运用已学知识解决复杂问题；–培养学生的问题分析和解决能力。

四、教学准备1.学具准备：–白板、黑板、彩色粉笔；–教学PPT和示例题目卡片。

2.教材准备：–九年级上册初三数学华东师大版教材；–初三数学华东师大版配套练习册。

3.学生准备：–学生已预习相关知识点，做好课前准备。

五、教学过程1. 导入（5分钟）通过提问学生对角度的概念进行复习和回顾，引导学生思考角度在数学中的重要性，并与平面直角坐标系相结合，引出本节课的主题：仰角、俯角问题。

2. 讲解与示范（15分钟）通过教学PPT，讲解仰角、俯角的概念，以及其在实际问题中的应用。

通过示例图形和具体问题，引导学生理解仰角、俯角的含义，并掌握如何根据已知条件求解仰角、俯角的大小。

3. 实例分析与讨论（20分钟）教师组织学生分组，发放示例题目卡片，要求学生在小组内讨论和分析问题，并给出解答思路和步骤。

ABCD用解直角三角形解视角问题一、学习目标理解仰角、俯角、方向角并会解直角三角形的知识解与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。

二、学习重点重点: 应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。

难点：把实际问题转化为数学问题？ 三、自主预习（一）知识回顾1.如何构建直角三角形？如何作辅助线？2直角三角形的边角关系？3.仰角与俯角4.方向角45︒南北西东60︒ADC B70︒O（1）如图方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． （2）东南、西南可以表示哪个方向？ 四、合作探究1．如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。

2. 一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°方向行驶40海里到达C 地，求A 、C 两地相距？五、巩固反馈CBA北北1.王英同学从A 地沿北偏西060方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ）A 、503mB 、100mC 、150mD 、1003m2.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西300方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是 海里/时。

3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点看大树顶端C 的仰角为35°；(2)在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；(3)量出A 、B 两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(结果保留3个有效数字)北东MP NABCD第3题图中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）．x…1-12…y…1-74-2-74-…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点【答案】B【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上 则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.2．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a 小时及以内，免费骑行；超过a 小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】B【解析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数， 故选B ．【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

第2课时俯角和仰角的问题1．理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题．2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力．重点理解仰角和俯角的概念．难点能解与直角三角形有关的实际问题．一、情境引入教师展示课件，引出问题．如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了．(精确到0.1米) 你知道小明是怎样算出的吗？二、探究新知教师结合展示的引例，结合图片，引导学生观察，分析，归纳仰角、俯角的概念．想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念．现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的．【分析】在Rt△CDE中，已知一个角和一条边，利用解直角三角形的知识即可求出CE 的长，从而求出CB的长．解：在Rt△CDE中，∵CE＝DE·tanα＝AB·tanα＝10×tan52°≈12.80，∴BC＝BE＋CE＝DA＋CE≈1.50＋12.80＝14.3(米)．答：旗杆的高度约为14.3米．教师再展示例题，引导学生思考、分析，关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决．例如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)解：过点D 作DE⊥AB 于点E ，则∠ACB＝∠β＝43°24′，∠ADE ＝∠α＝35°12′，DE ＝BC ＝32.6.在Rt △ABC 中，∵tan ∠ACB ＝AB BC， ∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m )．在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE ＝AE DE， ∴AE ＝DE·tan ∠ADE ＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m )．∴DC＝BE ＝AB －AE＝30.83－23.00≈7.8(m )．答：两个建筑物的高分别约为30.8 m ，7.8 m .三、练习巩固教师利用多媒体展示练习题，可由学生自主完成，小组交流，代表上台展示，教师点评．1．如图，一只运载火箭从地面L 处发射，当卫星达到点A 时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km ，仰角为43°，1 s 后火箭到达B 点，此时测得BR 的距离是6.13 km ，仰角为45.54°，这个火箭从点A 到点B 的平均速度是多少？(精确到0.01 km /s )2．如图，当小华站在镜子EF 前A 处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B 处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°，求小华的眼睛到地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)四、小结与作业小结1．这节课你学到了什么？你有何体会？2．这节课你还存在什么问题？布置作业从教材相应练习和“习题24.4”中选取．本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题．在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，养成交流与合作的良好习惯．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心．。

2 解直角三角形一、课题：解直角三角形的应用——方位角问题二、学习目标：1.会根据直角三角形中元素，正确应用勾股定理、锐角三角函数求其他未知元素。

2.从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义及方位角类型的应用题的解法。

三、重点、难点1.重点：利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题。

2.难点：方位角。

四、知识准备1.特殊锐角三角函数值。

2. 方位角。

五、预习案1．预习指导〔测试〕：〔1〕小明家在学校的北偏东20°方向，那么学校在小明家的______方向。

〔2〕西北方向即北偏西_______度，东南方向即东偏南_____度，西南方向即南偏西______度，东北方向即东偏北_______度。

〔3〕小明从A点出发向东走100m，再沿北偏西30°方向走100m，那么小明在A点_________方向，距A点_________m。

例1：某省将地处A、B的大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地间修一条笔直的公路，经测量，在A 地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的公园，问该公路是否穿过公园？为什么？例2：一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°方向，货轮以20海里/小时的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°方向，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？例3：一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以30海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求灯塔M与渔船B的距离是多少？2．我的疑惑：六、探究案：探究过程：讲解例题，解答疑惑。

七、小结通过这一节的学习，大家掌握了方位角类型的应用题的相应解法，在今后的做题中，希望大家能够做到举一反三。