最新华东师大版九年级上册数学知识总结培训资料

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．B【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC各边中点，∴DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF，∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形，∵点D、点F是斜边AB、AC中点，∴DH=DA，HF=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，即∠DAF=∠DHF ， ∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度． 【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ， ∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6， ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点， ∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形． 举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定 【答案】B ；解： 连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变， ∴ 线段EF 的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形． 【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC ∴AB=DC ，EH=FH ∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC ∴∠2=∠4，∠1=∠3 ∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180° ∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD＝2，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形． 设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点， 则EH∥BD， 同理GH∥AC， 又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形． （2）连接EG ． 在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点， ∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中，∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ， ∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口． 举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD 和AC ，当BD 、AC 满足何条件时，四边形EFGH 是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形．理由：连接AC ，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴EF∥AC，且EF ＝12AC ， 同理，HG∥AC，且HG ＝12AC ，∴EF∥HG，且EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）当BD ＝AC ，且B D⊥AC 时，EFGH 是正方形． 理由：连接AC ，BD ，∵E、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴EF＝GH ＝12AC ，EH ＝FG ＝12BD ，EH∥BD，GH∥AC， ∵BD＝AC ，BD⊥AC，∴EH＝EF ＝FG ＝GH ，EH⊥GH，∴四边形ABCD 是菱形，∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形．。

1 / 11 / 1 第21章 二次根式
1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．
2. 二次根式的性质：
（1）=2)(a （a ≥0）；（2a 0(a≥0)；（3）⎪⎩
⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a
3. 二次根式的乘除：
计算公式：___(0,0)
___(0,0)a b a b a a b b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩
乘法运算：除法运算： 4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)
同类二次根式：
5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式．
6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：
根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．
7. 二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．
（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。

最新华师大版九年级上册数学全册知识点总结或减去一个数使得方程左边成为一个完全平方，最后使用完全平方公式解方程．3)公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法．求根公式：对于一元二次方程ax2bx c0，它的两个根分别为：x1,2b b24ac2a其中，b24ac叫做判别式．当b24ac0时，方程有两个不等实数根；当b24ac0时，方程有两个相等实数根；当b24ac0时，方程没有实数根．4)因式分解法：将一元二次方程变形，使其成为两个一次因式的乘积，然后利用积零原理”解方程．5)图像法：利用二次函数的图像解一元二次方程的方法．将一元二次方程化为二次函数的标准式y ax2bx c，然后根据二次函数的图像，求出方程的实数根．3.一元二次方程的应用：1)利用一元二次方程解决实际问题．2)利用一元二次方程的图像分析实际问题．1.一次项系数的一半的平方可以配成完全平方公式。

2.公式法是一种用求根公式解一元二次方程的方法，其中一元二次方程ax+bx+c=(a≠)的求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

3.因式分解法是一种利用因式分解求解方程的方法，其步骤为将方程右边化为0，然后利用提取公因式、公式法或十字相乘等方法将其化为乘积的形式。

4.一元二次方程的根的判别式为△=b²-4ac，其中当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相同的实数根；当△<0时，方程没有实数根。

5.XXX定理指出，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

6.一元二次方程可以用二次函数来表示，当y=0时就构成了一元二次方程，而在平面直角坐标系中，一元二次方程的解就是二次函数与X轴的交点。

7.比例式中，a、d为外项，b、c为内项，b=c时，b为a、d的比例中项。

8.比例具有基本性质、更比性质、合比性质和等比性质。

九年级上第二十一章 二次根式1．二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，它的平方等于a ，即有：（1）)0(0≥≥a a （2）())0(2≥=a a a形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。

二次根式的性质：⎩⎨⎧<-≥=)0()0(2a a a a a2．二次根式的乘法两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．积的算术平方根积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。

主要用于二次根式的化简。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab4．二次根式的除法两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

)0,0(>≥=b a baba 1． 商的算术平方根商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。

主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。

)0,0(>≥=b a ba ba7．最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。

8．二次根式化简主要包括两方面（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。

9．同类二次根式像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。

二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。

其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。

2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法（4）公式法 ()042422≥--±-=ac b aacb b x 3．一元二次方程的判别式，ac b 42-=∆当0>∆时，方程有两个不等的实根。

第21章 二次根式知识点1 二次根式（重点）知识解读1)0a ≥a 称为被开方数（式）．要点精析：（1）二次根式的定义是从代数式的结构形式．．．．上界定的，必须含有二次根号的根指数为22”一般省略不写．（2）被开方数a 可以是一个数．．．，也可以是一个含有字母的式子．．；但前提是．．．a 必须大于或等于0．（3）形如)0a ≥的式子也是二次根式．2．易错警示：（1（2()10a ≥这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式． 知识点2 二次根式有意义的条件（重点）知识解读1．二次根式有意义．．．的条件是被开方数（式）为非负数．．．；反之也成立，0a ⇔≥． 2．二次根式无意义．．．的条件是被开方数（式）为负数．．；反之也成立，0a ⇔<． 要点精析：（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．．．．．．．．．．．； （2）如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的．．．．．．被开方数是非负数．．．．．．．．；分式的分母不等于．．．．．．．．0．； （3）如果一个式子中含有零指数或责整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为．．．．0．．方法规律（1）本例通过式子有意义的隐含条件，求出点的横、纵坐标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程，体现了“数形结合思想”．（2）当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都是先根据定义建立关于未知数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定未知数的值或范围．知识点3 二次根式的性质（重难点）知识解读1．二次根式的性质：（1a≥≥即一个非负数的算术平方根是一个非负数；（2）()2a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；（3()()0,0,a aaa a≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．要点精析：（1．．．．．：①0a≥≥．（22的区别与联系：区别：a为全体实数，2中0a≥；先平方后开方，2是先开方后平方；③运算结果不同：()()0,0,a aaa a≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩2a=．联系2均为非负数，且当0a≥2=．2．易错警示a=化简时，易忽略字母a的取值范围．方法规律本例与前面的例3都属于“数形结合思想”的经典例题，它们的不同点：例3是由“数”的符号确定“形”的位置；而本例则由“形”的位置来确定“数”（式）的符号；它充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机结合体；解答利用二次根式的性质化简题的关键是确．保去掉根号后的结果是非负数．．．．．．．．．．．．．．方法规律常见的非负数的类型有三种：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们的和．为．0．时，必须满足其中的每一项．．．都等于．．．0．．方法规律形如（4）这类题目应充分运用分类讨论思想．另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方（不一定带根号）的形式，如242=，2164=，()22211x x x++=+等．方法规律解这类题的依据是二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．．．．．．．．，，它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件；b（其中被开方数x a-与a x-互为相反数）的式子的值是b．方法规律此题运用转化思想，把二次根式问题转化为绝对值问题，去绝对值符号时运用了分类讨论思想．当绝对值符号内的代数式大于或等于0时去掉绝对值符号后是它本身，当绝对值符号内的代数式小于o 时去掉绝对值符号后是它的相反数．此题有两处绝对值，故要分三种情况讨论，即：两个都小于0；一个大于0，另一个小于0；两个都大于0．等于0和这三种情况中任何一种合并都可以，只不过分段讨论时，同一个数不重复讨论，在一处出现即可．方法规律先通过二次根式的定义求自然数n 的范围，再由二次根式的性质确定12n -是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数n 的值．方法规律a =进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号．．．．．．，而去绝对值符号的关键是判．断绝对值符号内的代数式的符号．．．．．．．．．．．．．．；因此一定要结合具体问题：如数轴、几何图形特征等，先确定其符号，然后进行化简．21.2 二次根式的乘除知识点1 二次根式的乘法（重点）知识解读1)0,0a b =≥≥．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．要点精析：（1）法则中被开方数a 、b 既可以是数．，也可以是代数式．．．，但都必须是非负数．．．； （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数；（3）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；（4）如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．．．．．．．．．． 拓展：（1）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，)0,0,0a b c =≥≥≥；（2）几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．（3）易错警示：不要把字母表示正数误认为含该字母的式子就是正数．知识点2 积的算术平方根（难点）知识解读1)0,0a b ≥≥，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．要点精析：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件．．．．是乘积中的每个因数（式）必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外．2．易错警示：积的算术平方根性质中的每个因式可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式都必须满足因数（式）都是非负数，才能运用性质进行化简或计算． 知识点3 二次根式的除法（重点）知识解读1)0,0a b =≥>．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．要点精析：（1）法则中的被开方数a 、b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的．．．且．b ．不．为．0．；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比．．单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数（式）之商作为根号外商的因数（式）；被开方数之商作为被开方数．2．易错警示：（1)0,0a b =≥>中，特别注意0b >，若0b =，则代数式无意义；（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；（3这样的错误；（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．方法规律利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知识解读1)0,0a b=≥>．这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．要点精析：（1）商的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的除法法则； （2）应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；（3）商的算术平方根的性质的作．用是化简二次根式．．．．．．．．，将分母中的根号化去． 2．分母有理化：（1）定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程称为分母有理化；（2）依据：分式的基本性质及()20a a =≥；（3）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．拓展：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；（2）常用的有理化因式a a ；3．易错警示：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数应不含开得尽的因数（式），同时分母不含二次根式．方法规律分每有理化一般经历如下三步：“一移．．”，即将分子、分母中能尽方的因数（式）移到根号外；“二乘．．”，即将分子、分母同时乘以分母的有理化因数（式）；“三化．．”，即化简计算．知识点5 最简二次根式（重点）知识解读1．定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（式）；（2）被开方数中每个因数（式）的指数都小于根指数2；即每个因数（式）的指数都是1．2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：（1）“一分”，即利用因数（式）分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（式）的幂的乘积形式；（2）“二移”，即把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；（3）“三化”，即将分母有理化一化去被开方数中的分母．3．易错警示：（1）分母中含有根式的式子不是最简二次根式；（2）去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；（3）去根号后漏掉括号．方法规律二次根式乘除法的混合运算与整式乘除法的混合运算方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中同样适用．．．．，在运算中要注意符号和顺序；最后的结果要注意将所含的二次根式化为最简二次根式．．．．．．．．．．．．．．．．．，且分母中不含二次根式说明：对于二次根式的混合运算，也可先对每一个二次根式进行化简，再计算，能使计算简便，请读者试一试．方法规律本例利用探究规律法将蕴涵在数中内在的排列规律，猜想探究问题的结果用代数式表示．21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式知识解读1．我们把像、-要点精析：（1）同类二次根式必须符合两个条件：①最简二次根式；②被开方数相同．（2）判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关．2．易错警示：判断两个二次根式是否为同类二次根式，不化简而直接判断易出错．方法规律判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化为最简二次根式；（2）看被开方数是否相同．知识点2 二次根式的加减知识解读1．法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．=+即：(m n2．二次根式加减运算的步骤：（1）“化”：将每个二次根式化成．．最简二次根式；（2）“找”：找出．．同类二次根式；（3）“并”：将同类二次根式合．并．成一项．3．整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．4．易错警示：（1）合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；（2）不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；（3）二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．方法规律二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化为最简二次根式．．．．．．，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数成分数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．．．．．方法规律本例是一道集“数”与“形”为一体的经典题，解答本例经过由非负数之和为零得方程（组），从方程（组）得到三条线段的长；再由任意两线段之和大于第三条线段；任意两线段之差小于第三条线段；得出这三条线段符合组成三角形的条件；最后求三角形的周长． 知识点3 二次根式的混合运算（难点）知识解读1．二次根式的混合运算：（1）运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算．（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．要点精析：（1）二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式（或整式）的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，并且分母中不含二次根式；（2）进行二次根式的开方运算时应使开出的因数（式）是非负数（式）．2．二次根式的运算律：（1）实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用．（2）在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．3．易错警示：（1）对被开方数相同的二次根式理解不透彻导致合并不彻底．（2）在计算过程中，忽略隐含已知条件中的字母的取值范围，导致出现符号错误． 方法规律二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方．．．，再乘除．．．，最后再加减．．．．．，在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用． 方法规律=，即它们是可以合并的二次根式，也就是说它们是被开方数相同的二次根式．．．．．．．．．．．，利用这一特征解决问题，如按思维习惯把已知等式两边平方，这样一个等式两个未知量是无法求出a 、b 的．方法规律由5x y +=-，6xy =解出x ，y 的值比较困难，因此可以考虑用整体思想求解． 方法规律本题运用数形结合思想．先根据实数所对应的点在数轴上的位置，得出每个数的正负情况以及大小关系，再运用二次根式的性质和绝对值的性质来解决问题．方法规律本题运用了“．0．”点取值法．．．．．，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分情况化简．体现了分类讨论思想的运用．方法规律参数法的实质是．．．在解题过程中，适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系量（参数），以此作为媒介．．，再进行分析和综合，从而解决问题．例如本例中的y 就是一个参数． 方法规律此例体现了从特殊到一般的思想，采用了归纳法来解题．仔细观察，找出规律是关键． 方法规律此例运用了反向推理法，对于一些题目，当我们从正面．．不好解答时，不妨从它的反面．．来考虑，可能有意想不到的效果．第22章 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念知识解读1．定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．要点精析：（1）理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2．（2）一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2．2．易错警示：在判断一个式子是否是一元二次方程时常出现以下几种错误：（1）不整理合并直接判断；（2）不看是不是整式方程；（3）未知数的个数不是1或未知数的最高次数不是2．方法规律判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：（1）整理前足整式方程且只含一个未知数；（2）整理后未知数的最高次数是2；本例⑤()222322x x x -=-中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误．方法规律已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最髙次数是2．当二次项系数是待定系数时还要考虑二次项系数不等于0．知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）知识解读1．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 次项系数，c 是常数项．2．理解要点：（1）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程才是一元二次方程，但b ，c 可以是0．（2）将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．（3）指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起．（4）二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条件，也是一个隐含条件．3．易错警示：（1）忽略一元二次方程20ax bx c ++=中二次项系数0a ≠的条件．（2）确定一元二次方程各项系数时，不要忽略各项前面的符号．方法规律1．化一般形式一般要经历一去（去分母去括号）二移三并这三步；2．当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．方法规律在一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=中，0a ≠是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为零．方法规律在由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为0列式求出．知识点3 建立一元二次方程的模型知识解读1．一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．2．建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x ；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．3．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长（利润）率、行程问题、工程问题等．4．易错警示：一元二次方程求得实际问题的解要检验，看其是否符合实际意义． 知识点4 一元二次方程的根（解）（难点）知识解读1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）． 要点精析：（1）判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等．（2）根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．（3）一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根．方法规律检验一个数是否为方程的根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否相等．在找根时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个． 方法规律如果0x 是方程20ax bx c ++=的根，则有式子2000ax bx c ++=成立．当求含有0x 的代数式的值时，找出该代数式与2000ax bx c ++=相类似的结构进行整体代入求值． 方法规律判断未知数的值是否为所给一元二次方程的根的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等．22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法知识点1 用直接开平方法解一元一次方程（重点）知识解读1．定义：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方法求方程的解的方法：（1）()20x p p x =≥→=2）()()20x a p p x a +=≥→=；（3）()()20,0mx n p p m x +=≥≠→= 3．易错警示：直接开平方法是利用平方根的意义，所以要注意两点：（1）常常只取正的平方根而遗漏负的平方根；（2）只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提条件是2x p =中0p ≥． 方法规律用直接开方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知识点2 用因式分解法解一元二次方程知识解读1．定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理方程，使其右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．3．常用的因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）()()()2x a b x ab x a x b +++=++．4．易错警示：（1）当方程没有化成一般形式时，不能把左边进行因式分解；（2）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．方法规律用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程化为一般形式，要结合方程特点适当变形，发现并提取公因式或运用公式．方法规律采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因式，各求解． 方法规律用直接开平方的方法解一元二次方程，如果方程化成()20x p p =≥的形式，则方程的两根互为相反数．方法规律本题运用了换元法，运用换元法解方程时，要'注意还元．如本题最后是要解出未知数x ，而不是未知数t ，所以先换元然后再还元．方法规律元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，即()()120,x a x b x a x b --=⇔==．方法规律确定三角形的三边长时，要考虑三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．22.2.2 配方法知识点1 用配方法解一元二次方程知识解读1．定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．要点精析：（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项_系数必须为1）．（2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式．配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．2．用配方法解一元二次方程的步骤：简言之：一化二移三配四开方，即（1）化：①将方程化成一般形式；②将二次项系数化为1．（2）移：将常数项移到方程的另一边．（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程变为()2x m n ±=的形式．（4）开方：如果n 为非负数，直接开平方求根．3．易错警示：利用配方法解一元二次方程时：易忘记二次项系数化为1或方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．方法规律（1）二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．（2）当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．方法规律方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤的重要前提．方法规律当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方式的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数的和为零的情形，从而将一个方程化成多个方程来分别求解．22.2.3 公式法22.2.4 一元二次方程根的判别式知识点1 公式法解一元二次方程知识解读1．求根公式的定义：方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为)240x b ac =-≥，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式．2．用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式；（2）确定公式中a 、b 、c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）若240b ac -≥，则把a 、b 及24b ac -的值代入求根公式求解，当240b ac -<时，方程无实数解．方法规律用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a 、b 、c 后，先计算24b ac -的值，当240b ac -≥时，再用求根公式解．方法规律解含字母系数的一元二次方程时，与解一般的一元二次方程一，一，先将方程化成一般形式，然后利用公式法求出方程的解．方法规律利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则方程可化成()()()1200a x x x x a --=≠的形式，因此()()()2120ax bx c a x x x x a ++=--≠，所以利用公式法进行代数式()20ax bx c a ++≠的因式分解时，可以先构造一元二次方程20ax bx c ++=，然后求出一元二次方程的两根，再代入()()()120a x x x x a --≠完成因式分解．知识点2 一元二次方程根的判别式知识解读1．式子24b ac -叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用符号∆表示，即24b ac ∆=-．2．一元二次方程根的个数的判断方法：（1）当0∆>时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根．（2）当0∆=时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．（3）当0∆<时，方程没有实数根．要点精析：（1）利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围；（2）计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a 、b 、c 后再计算；（3）一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即0∆≥． 方法规律（1）关于一元二次方程根的情况的问题一般都与24b ac -有关，抓住24b ac -与零的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解题的关键．（2）判断方程根的情况的方。

华东师范数学九年级知识点数学作为一门重要的学科，不仅在学校教育中占有重要地位，更是在日常生活中起着不可忽视的作用。

作为学习数学的一部分，华东师范数学九年级的知识点涵盖了各个方面的数学知识，包括代数、几何、概率等。

在本文中，我将从不同的角度探讨一些重要的数学知识点，以及其在实际生活中的应用。

首先，我们来探讨代数方面的知识点。

代数是数学中的一个重要分支，它涉及到数的运算、方程和函数等概念。

在数学九年级中，我们将学习到关于一元一次方程组的解法，通过代数方法解决实际问题。

这些问题可以是关于时间、距离、价格等方面的实际应用。

例如，一列火车和一辆汽车在同一时刻从不同的地点出发，以不同的速度行驶，我们可以利用代数方程组的解法求出它们相遇的时间和位置。

其次，几何方面的知识点也是数学九年级中重要的一部分。

几何是研究空间、形状和位置关系的学科。

在数学九年级中，我们将学习到三角形、四边形、多边形以及圆的性质和计算方法。

这些知识点可以应用在建筑、绘图、地理等方面。

例如，在城市规划中，我们可以利用几何知识来设计道路的交叉口、公园的形状等，使城市更加美观和便利。

概率是数学中一个充满魅力的分支，它研究的是事件发生的可能性。

在数学九年级中，我们将学习到基本的概率概念、概率的计算方法和概率模型等知识。

这些知识点在生活中有着广泛的应用。

例如，在赌场中，我们可以利用概率的知识来提高自己的胜率；在商业领域，我们可以利用概率模型来预测销售额或者市场趋势，做出更明智的决策。

数学九年级中的知识点还包括数据分析、函数和图像等方面的内容。

数据分析是研究数据的收集、分类、整理和分析等方面的知识。

在数学九年级中，我们将学习到统计数据的处理和分析方法，包括平均数、中位数、众数等。

这些知识点在科学研究、市场调研等领域有着广泛的应用。

函数是代数中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

在数学九年级中，我们将学习到一元二次函数、指数函数、对数函数等知识。

九年级数学华东师版知识点数学是一门抽象而又具有实际应用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。

作为九年级数学学科教材的华东师版，它涵盖了许多重要的知识点。

本文将就其中的一些重要知识点展开讨论，以期帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。

九年级数学华东师版教材中，代数是一个非常重要的章节。

在这个章节中，我们学习了关于代数式和方程的基本概念和性质。

通过学习代数式的展开和因式分解，我们可以将复杂的表达式简化为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

代数方程则是数学中的重要工具，通过解方程，我们可以找到未知数的取值，从而解决实际问题。

解一元二次方程、一次不等式等内容，都是九年级数学中的重点。

几何是数学中的另一个重要分支，九年级数学华东师版教材中也有专门的章节来介绍几何知识。

在这个章节中，我们学习了平面几何和空间几何的基本概念和性质。

平面几何研究的是二维图形，例如点、线、面等；空间几何则研究的是三维图形，例如点、线、面、体等。

通过学习平行线与垂直线的性质、三角形的性质等内容，我们可以更好地理解和掌握几何形状之间的关系，进而解决实际问题。

例如，通过学习三角形的相似性质，我们可以利用三角形相似的特点解决许多实际应用问题，如测量高楼的高度等。

除了代数和几何外，概率和统计也是九年级数学中的重要内容。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，统计则是研究数据收集、整理和分析的数学分支。

通过学习概率和统计的知识，我们可以更好地理解事件发生的规律，从而做出合理的预测和决策。

概率与统计的应用非常广泛，例如在购彩中我们可以根据概率来选择号码，在社会调查中我们可以根据统计数据来分析事态发展趋势等。

另外，九年级数学华东师版教材还涵盖了函数与图像、消费与税收等内容。

函数是一种重要的数学工具，它描述了输入和输出之间的关系。

通过学习函数与图像的知识，我们可以更好地理解和分析实际问题。

消费与税收则是财务管理中的重要内容，通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用金融知识，做出明智的消费和财务决策。