【解析】宁夏银川市第二中学2020届高三一模数学(文)试题

宁夏银川市兴庆区长2020届高考一模数学文科试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（）A．（﹣1，0] B．[0，4）C．（0，4] D．[﹣1，0）2．已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．63．已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．5．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．236．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．167．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）8．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．D．32π9．正项等比数列{an }中，a2016=a2015+2a2014，若aman=16a12，则+的最小值等于（）A．1 B．C．D．10．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=111．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．412．已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设，向量，，若，则tanθ= ．14．已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是．三、解答题（17-21题每小题满分60分，选做题10分，共70分）17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn =log2an，求数列{}的前n项和Tn．19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），三棱锥E﹣ADC的体积与三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积之比为1：12，求实数m的值．20．（12分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时写出题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+x，其中a＞0（1）当a=1时，求不等式f（x）≥x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．宁夏银川市兴庆区长2020届高考一模数学文科试卷答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（）A．（﹣1，0] B．[0，4）C．（0，4] D．[﹣1，0）【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即M=（﹣1，4），∵N=[﹣5，0]，∴M∩N=（﹣1，0]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．【解答】解：化简可得复数==，由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，解得a=6故选：D【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题．3．已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，则p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，故选：A．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道基础题．4．已知tanθ=2，且θ∈，则cos2θ=（）A．B．C． D．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，且θ∈，∴cosθ===，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），=4+3=7，所以zmin故选B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】直线过定点，由椭圆定义可得 AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1， T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故选D．【点评】本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．8．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．B．16πC．D．32π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球O 的半径为R ，则OA=OB=OC=R ，所以三棱锥O ﹣ABC 的体积为，利用三棱锥O ﹣ABC 的体积为，求出R ，即可求出球O 的表面积． 【解答】解：设球O 的半径为R ，则OA=OB=OC=R ， 所以三棱锥O ﹣ABC 的体积为．由，解得R=2．故球O 的表面积为16π． 故选：B ．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．9．正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则+的最小值等于（ ） A ．1B ．C ．D ．【考点】7F ：基本不等式；88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，由条件可得m+n=6，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值． 【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）， 由a 2016=a 2015+2a 2014，得q 2=q+2， 解得q=2或q=﹣1（舍去）．又因为a m a n =16a 12，即a 12•2m+n ﹣2=16a 12， 所以m+n=6． 因此=≥（5+2）=，当且仅当m=4，n=2时，等号成立． 故选：B ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题．10．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．【点评】本题考查直线和圆相切的条件：d=r，双曲线的性质：渐近线，考查联立方程组求交点，以及待定系数法求方程的方法，属于中档题．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD==．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得a的不等式组，解出可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）﹣3（﹣x）=﹣（2sinx﹣3x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f'（x）=2cosx﹣3＜0，∴f（x）单调递减，f（ma﹣3）+f（a2）＞0可化为f（ma﹣3）＞﹣f（a2）=f（﹣a2），由f（x）递减知ma﹣3＜﹣a2，即ma+a2﹣3＜0，∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，ma+a2﹣3＜0恒成立，则，解得﹣1＜a＜1，故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设，向量，，若，则tanθ= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出tanθ的值．【解答】解：设，向量，，若，则•=0﹣cosθ+2sinθ=0∴=tanθ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．14．已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=13 ．【考点】J1：圆的标准方程．【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心为C，∵A（﹣1，4），B（3，﹣2），∴圆心C的坐标为（1，1）；∴|AC|==，即圆的半径r=，则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．【点评】此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，∴三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故答案为：60°．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3] ．【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得 b+c ≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得 2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得 b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．【点评】本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．三、解答题（17-21题每小题满分60分，选做题10分，共70分）17．（12分）（2017•河南二模）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…（2分）即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…（4分）又因为A∈（0，π），所以．…（6分）（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…（8分）即，解得或，…（10分）又，所以．…（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•汕头一模）已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn =log2an，求数列{}的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由题意和an =Sn﹣Sn﹣1化简已知的式子，由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，并求出公比和首项，由等比数列的通项公式求出an；（2）由（1）和对数的运算性质化简bn，代入化简后，利用裂项相消法求出前n项和Tn．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，∴当n≥2时，an=Sn﹣1+2，两式相减得，an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，则an+1=2an，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，满足，∴数列{an}是以2为公比、首项的等比数列，则an=2•2n﹣1=2n；（2）由（1）得，bn =log2an=log22n=n，∴==，∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，数列的前n项和与通项之间关系，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力．19．（12分）（2017•兴庆区校级一模）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）若点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（m∈R），三棱锥E﹣ADC的体积与三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积之比为1：12，求实数m的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接A1C交AC1于F，则F为AC1的中点，由三角形中位线定理可得A1B∥DF，再由线面平行的判定可得A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）由A1E=mEC，可知E在直线A1C上，过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，设EM=h，利用三棱锥E﹣ADC的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比为1：12求得，可知E为AC1的中点，故m=1．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C交AC1于F，则F为AC1的中点，连接DF，则A1B∥DF，而DF⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）解：∵A1E=mEC，过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，设EM=h，则=，即，∴E为AC1的中点，故m=1．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，是中档题．20．（12分）（2013•湛江一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率．【考点】KB：双曲线的标准方程；J7：圆的切线方程；KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解得a=b，结合c==2算出a=b=，可得该双曲线方程；（2）设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出m=．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2，将A的坐标代入圆方程，算出点A（c， c），将此代入双曲线方程，并结合c2=a2+b2化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0，再根据离心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：（1）∵双曲线的渐近线方程为y=∴若双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得=1，解之得a=b∵c==2，∴a=b=由此可得双曲线方程为；（2）设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k==，即m=…①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2∴将①代入圆方程，得3n2+n2=c2，解得n=c，m=c将点A（c， c）代入双曲线方程，得化简得： c2b2﹣c2a2=a2b2，∵c2=a2+b2∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得c4﹣2c2a2+a4=0两边都除以a4，整理得3e4﹣8e2+4=0，解之得e2=或e2=2∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e=（舍负）【点评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率和双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．21．（12分）（2017•兴庆区校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时写出题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•宝鸡一模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•河南模拟）设函数f（x）=|x﹣a|+x，其中a＞0（1）当a=1时，求不等式f（x）≥x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件可得|x﹣1|≥2，即 x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，由此求得x的范围．（2）不等式即|x﹣a|≤2x，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥x+2，即|x﹣1|+x≥x+2，即|x﹣1|≥2，∴x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，求得 x≥3，或x≤﹣1，故不等式f（x）≥x+2的解集为{x|x≥3，或x≤﹣1}．（2）不等式f（x）≤3x，即|x﹣a|+x≤3x，即|x﹣a|≤2x，可得，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得=2，∴a=6．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号，是解题的关键，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}09|2≤-=x x A ，{})12ln(|2++-==x x y x B ，则B A ⋂= A ．{}33|≤<-x x B ．{}02|≤<-x xC ．{}02|<<-x xD ．{}320|≠><x x x x 且或2．复数z 满足，则z 等于A ．i 31-B ．1C ．i 2321-D ．i 2123-3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则 B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则 C ．,m m n αβ=⊥且,n αβα⊥⊥则D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则4．已知21log 3=a ，31log 21=b ，31)21(=c ，则 A ．a b c >> B ． a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 5．已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a = A ．1B ．eC ．1eD ．06．若函数2()xf x bx c=++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x的图象是7．如果执行右面的程序框图，输入46==mn，，那么输出的p等于A．720 B．360 C．240 D．1208．已知)0,0()cos()(>>+=ωϕωAxAxf的图象如图所示，为得到)6sin()(πω+-=xAxg的图象,可以将)(xf的图象A．向右平移65π个单位长度B．向右平移π125个单位长度C．向左平移65π个单位长度D．向左平移π125个单位长度(8题图) (7题图)9．公差不为零的等差数列{}n a的前n项和为n S.若4a是3a与7a的等比中项，168=S，则10S等于A．18 B．24 C．30 D．6010．已知,是单位向量，,的夹角为90，若向量满足c2||=--，则||的最大值为A．22-B．2C．2 D．22+11．已知函数21(1)()2(1)ax xf x xx x x⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R上单调递增，则实数a的取值范围是A．[]0,1B．(]0,1C．[]1,1-D．(]1,1-12．已知1F，2F分别是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若21MFF∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是A．),2(∞+B．),2(∞+C．)2,1(D．)2,1(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数z=2x+3y 的最小值为 .14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 .15．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则||||QM CQ ⋅的最大值为 . 16．已知实数b a ,满足11,10<<-<<b a ，则函数b ax ax y ++=2331有三个零点的概率为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）设函数21cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （1）求)(x f 的最小正周期及值域；（2）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，3=a ，3=+c b ，求AB C ∆的面积．18．（本题满分12分）绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣。

2020届宁夏银川一中文科数学高考三模试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁R B）＝（）A．{x|x＜0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|x≥﹣1}2．（5分）若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．3x±4y＝0D．4x±3y＝04．（5分）在区间（0，4]内随机取两个数a、b，则使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若向量与平行，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．4B．C．D．37．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β8．（5分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．9．（5分）已知函数，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．（5分）已知数列{a n}的通项公式是，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A．﹣1B．C．D．012．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣mx有4个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，3﹣2）C．（，3﹣2）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）221282293305314323402合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18．（12分）（开放题）在锐角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周长l的范围．在①＝（﹣cos，sin），＝（cos，sin），且•＝﹣，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③f（x）＝cos x cos（x﹣）﹣，f（A）＝注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19．（12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥DC，ED＝EF ＝CD＝1，∠EAD＝30°．（Ⅰ）求证：AE⊥FC；（Ⅱ）求点D到平面BCF的距离．20．（12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y＝k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x﹣2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．。

宁夏银川市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B 【解析】 【分析】由2xy =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解 【详解】由函数2xy =是R 上的增函数，知命题p 是真命题． 对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>； 当10x +<，即1x <-时，11x x +=--， 由1x x --≤，得12x =-，无解，因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B 【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 2．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A 51 B ．2C 3D 5【答案】A 【解析】 【分析】设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(,)22a c b+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出ca的值，即可得答案. 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，∴MF 的中点坐标为(,)22a cb +.代入方程可得2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，∴22()544a c a +=，∴2240e e +-=，∴1e =（负值舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程.4．已知双曲线22214x y b-=（0b >0y ±=，则b =（ ）A ．BC ．2D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程22214x y b-=（0b >）0y ±=得到b a =. 【详解】因为双曲线22214x y b -=（0b >），所以2a =0y ±=，所以2b ba ==，所以b =故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.6．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.7．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2Tx x -=可判断④.【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x ∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 8．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

银川二中2019-2020学年第一学期高三年级文科数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|＜0}，B＝{x|y＝lg（2x﹣3）}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜＜} B．{x|x＞1} C．{x|x＞2}D．{x|＜＜}2．记复数z的共轭复数为，若（1﹣i）＝2i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．B．1 C．2D．23．若直线a和b异面，直线b和c异面，则直线a和c（）A．异面或相交B．异面或平行C．异面或平行或相交D．相交或平行4．“a＝0”是“函数f（x）＝sin x a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．25π6．在等差数列{a n}中，a3，a9是方程x2+24x+12＝0的两根，则数列{a n}的前11项和等于（）A．66 B．132 C．﹣66 D．﹣1327．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知，则（）A．B．C．D．9．函数的图象可由y＝2cos2x的图象如何变换得到（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则（）A．B．C．D．11．如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知函数，＜，，则方程f（x）＝kx+1有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．，C．，D．（0，+∞）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点额单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则sin2θ＝．14．已知向量，，，，θ为两个向量的夹角，则cosθ＝．15．记数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝3a n+2n﹣3，则数列{a n}的通项公式为a n＝．16．如图边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c，f（C）＝0．若sin B＝2sin A，求a，b的值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．19．已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．20．已知数列{a n}满足：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），数列{b n}中，b n，且b1，b2，b4成等比数列；（1）求证：{b n}是等差数列；（2）S n是数列{b n}的前n项和，求数列{}的前n项和T n．21．已知函数f（x）ax2﹣（2a+1）x+2lnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝0时，证明：f（x）＜2e x﹣x﹣4（其中e为自然对数的底数）．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（Ⅱ）设P（﹣2，﹣1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23．[选修4-5：不等式选讲]已经f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m、n、p为正实数，且m+n+p＝f（3），求证：mn+np+pm≤12．答案详解：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D2．3．C4．C5．C6．D7．C8．A9．B10．D11．D12．B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．平面直角坐标系xOy中，点A，B均在圆心为原点的单位圆上，已知点A 在第一象限的横坐标为，点B（1，0）设∠BOA＝θ，则cosθ，sinθ，则sin2θ＝2sinθcosθ，14．向量，，，，则两个向量的夹角余弦值为cosθ．15．S n＝3a n+2n﹣3，可得n＝1，a1＝S1＝3a1﹣1，即a1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝3a n+2n﹣3﹣3a n﹣1﹣2n+2+3，即有a n a n﹣1﹣1，由a n+λ（a n﹣1+λ），解得λ＝﹣2，可得{a n﹣2}为为首项，为公比的等比数列，即有a n﹣2＝﹣（）n，则a n＝2﹣（）n，16．边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则P A，PE，PF两两垂直，∴P A⊥平面PEF，∴V A﹣PEF，设P到平面AEF的距离为h，∵S△AEF，∴，∴，解得h．∴四面体P﹣AEF的高为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（1）∵f（x）sin2x﹣cos2x，x∈R．sin2x＝sin（2x）﹣1∴Tπ∴由2kπ2x2kπ，k∈Z可解得：x∈[kπ，kπ]，k∈Z∴f（x）单调递减区间是：[kπ，kπ]，k∈Z（2）f（C）＝sin（2C）﹣1＝0，则sin（2C）＝1∵0＜C＜π，∴C∵sin B＝2sin A，∴由正弦定理可得b＝2a①∵c，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab＝3②由①②可得a＝1，b＝2．18．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．19．（1）因为{a n}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以，即，解得a1＝1．………………所以a n＝a1+（n﹣1）d＝n．………………………………………（2），（6分）两式相减得（8分）所以（11分）所以．…………………………………20．（1）证明：a n≠1，a n+1＝2（n∈N*），可得a n+1﹣1＝1，1，即有b n+1＝1+b n，可得{b n}是公差均为1的等差数列；（2）b1，b2，b4成等比数列，可得b22＝b1b4，可得（b1+1）2＝b1（b1+3），解得b1＝1，即S n＝n n（n﹣1），可得2（），则前n项和T n＝2（1）＝2（1）．21．（1）∵f（x）x2﹣3x+2lnx，x＞0，∴f′（x）＝x﹣3，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝2，当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1或x＞2，当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，∴单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）当a＝0时，由f（x）＜2e x﹣x﹣4，只需证明e x＞lnx+2，令h（x）＝e x﹣lnx﹣2（x＞0），h′（x）＝e x，故h′（x）递增，h′（1）＝e﹣1＞0，h′（）2＜0，故存在x0∈（，1），使得h′（x0）＝0，即0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故x＝x0时，h（x）取得唯一的极小值，也是最小值，h（x）的最小值是h（x）lnx0﹣2x0﹣2＞0，（0＜x0＜1，）．另解：构造不等式，e x﹣1＞x≥lnx+1（x＞0），即可证明．22．（Ⅰ）曲线C：ρcos2θ＝4a sinθ（a＞0），转换为直角坐标方程为：x2＝4ay（a＞0）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线x2＝4ay．得到：，（t1和t2为M、N对应的参数）所以：，t1t2＝8（a+1），由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，故：，整理得：32（a+1）2＝40（a+1），解得：a．23．（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x ＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x ＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（3）＝6，∴m+n+p＝f（3）＝6，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝36≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤12．故证毕．。

普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}09|2≤-=x x A ，{})12ln(|2++-==x x y x B ，则B A ⋂= A ．{}33|≤<-x x B ．{}02|≤<-x xC ．{}02|<<-x xD ．{}320|≠><x x x x 且或2．复数z 满足(13)|13|z i i +=+，则z 等于A ．i 31-B ．1C ．i 2321-D ．i 2123-3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则 B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则 C ．,m m n αβ=⊥I且,n αβα⊥⊥则D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则4．已知21log 3=a ，31log 21=b ，31)21(=c ，则 A ．a b c >> B ． a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >> 5．已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a = A ．1B ．eC ．1eD ．06．若函数2()xf x bx c=++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x的图象是7．如果执行右面的程序框图，输入46==mn，，那么输出的p等于A．720 B．360 C．240 D．1208．已知)0,0()cos()(>>+=ωϕωAxAxf的图象如图所示，为得到)6sin()(πω+-=xAxg的图象,可以将)(xf的图象A．向右平移65π个单位长度B．向右平移π125个单位长度C．向左平移65π个单位长度D．向左平移π125个单位长度(8题图) (7题图)9．公差不为零的等差数列{}n a的前n项和为n S.若4a是3a与7a的等比中项，168=S，则10S等于A．18 B．24 C．30 D．6010．已知,是单位向量，,的夹角为ο90，若向量满足c2||=--，则||的最大值为A．22-B．2C．2 D．22+11．已知函数21(1)()2(1)ax xf x xx x x⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R上单调递增，则实数a的取值范围是A．[]0,1B．(]0,1C．[]1,1-D．(]1,1-12．已知1F，2F分别是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若21MFF∠为锐角，则双曲线离心率的取值范围是A．),2(∞+B．),2(∞+C．)2,1(D．)2,1(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分35里程（公里）组距频率0.002m0.005 0.00850 100 150 200 250 300 13．设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数z=2x+3y 的最小值为 .14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 .15．已知点M 是半径为4的圆C 内的一个定点，点P 是圆C 上的一个动点，线段MP 的垂直平分线l 与半径CP 相交于点Q ，则||||QM CQ ⋅的最大值为 .16．已知实数b a ,满足11,10<<-<<b a ，则函数b ax ax y ++=2331有三个零点的概率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）设函数21cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （1）求)(x f 的最小正周期及值域；（2）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，3=a ，3=+c b ，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣。