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北京市西城区重点中学-第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 解决问题的思路更加简明、清晰. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度分析图形, 更容易发现不变量和特殊图形.一、《考试说明》的要求二、图形变换在近年中考中的呈现方式显性: 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.隐性: 解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考, 并能适当添加辅助线构造所需图形.三、对图形变换的认识过程1. 掌握图形变换的概念和性质;2. 对已学图形和常用辅助线的再认识:(1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.(2) 从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质.3. 掌握基本辅助线:(1) 中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线(2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短;(3) 平行四边形、梯形——平移;(4) 正多边形、共端点的等线段——旋转;4. 利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题, 用变换的观点研究函数的平移和对称.四、复习建议1. 基本概念明晰平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.(2) 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心.2 对应点到旋转中心的距离相等. 对称点所连线段被对称中心所平分.3 旋转前、后的图形全等. 关于中心对称的两个图形是全等图形2. 三种变换之间的一些联系.①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.②以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.③以两相交直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现旋转变换.例: 已知△ABC, 直线PQ、PR, 作△ABC关于PQ的对称图形△A'B'C', 再作△A'B'C'关于PR的对称图形△A''B''C'', 则△ABC与△A''B''C''的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A''B''C'' . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.3. (1) 常见的平移有: 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.(2) 涉及到“对称”均可考虑对称变换.如沿等腰三角形的底边上的高翻折, 沿角的平分线翻折等.(3) 常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60º, 绕正方形的一个顶点旋转90º、绕等腰三角形的顶点旋转, 旋转角等于等腰三角形的顶角等.五、专题复习平移变换1. (湖北黄冈) 如图, 把Rt △ABC 放在直角坐标系内, 其中 ∠CAB =90°, BC =5, 点A 、B 的坐标分别为(1, 0) 、(4, 0) , 将△ABC 沿x 轴向右平移, 当点C 落在直线y =2x -6上时, 线段 BC 扫过的面积为( C ) A . 4 B . 8 C . 16 D . 822. 如图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠B =90°, ∠C =45°, AD =1, BC =4, E 为AB 中点, EF //DC 交BC 于点F , 求EF 的长．2233. (北京) 如图, 已知△ABC .(1) 请你在BC 边上分别取两点D , E (BC 的中点除外) , 连结AD , AE , 写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件, 并表示出面积相等的三角形; (2) 请你根据使(1) 成立的相应条件, 证明AB +AC > AD +AE . 4. 如图, 在Rt △ABC 中, AD =BC , CD =BE . 求∠BOE 的度数? 45︒轴对称变换BO ADCEABCOyxABCCBDEA●轴对称计算．5. (怀柔二模) 如图(a ) , 有一张矩形纸片ABCD , 其中AD =6cm , 以AD 为直径的半圆, 正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠, 使点A 落在BC 上, 如图(b ), 则半圆被覆盖部分(阴影部分) 的面积为___π23349+_____.6. (江苏南京) 如图, 菱形纸片ABCD 中,∠A =60︒, 将纸片折叠, 点A 、D 分别落在A'、D' 处, 且A'D' 经过B , EF 为折痕, 当D' F ⊥CD 时, FDCF的 值为( A ) A . 213- B . 63 C . 6132-D .813+7. (1) 如图, 在直角坐标系中, 将矩形OABC 沿OB 对折, 使点A 落在点A '处, 若OA =3, 1=AB , 则点A' 的坐标是多少? (23,23) (2) 如图, 把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中, 使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结OB , 将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在A' 的位置, 若OB =5,21tan =∠BOC , 则点A' 的坐标是多少?●最短路径问题．(a )CBFE AA'DD'基本图形已经归纳总结在总复习书中8.(天津)在平面直角坐标系中, 矩形OACB 的顶点O 在坐标原点, 顶点A 、B 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上, 3OA =, 4OB =, D 为边OB 的中点.(Ⅰ) 若E 为边OA 上的一个动点, 当△CDE 的周长最小时, 求点E 的坐标; (1, 0)(Ⅱ) 若E 、F 为边OA 上的两个动点, 且2EF =, 当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标. (31, 0), (37, 0)9. 如图1, 已知等边△ABC 的边长为1, D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点(均不与点A 、B 、C 重合) , 记△DEF 的周长为p .(1) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点, 则p =_____;23(2) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点, 则p 的取值范围是 .23≤ p < 3 小亮和小明对第(2) 问中的最小值进行了讨论, 小亮先提出了自己的想法: 将△ABC 以AC 边为轴翻折一次得1AB C △, 再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △, 如图2所示. 则由轴对称的性质可知, 112DF FE E D p ++=, 根据两点之间线段最短, 可得2p DD ≥. 老师听了后说: “你的想法很好, 但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化, 所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说: “那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法, 写出你的答案.●轴对称证明题．A B CO DD'Ey xxy C B DOA10. (西城)已知: 在如图1所示的锐角三角形ABC 中, CH ⊥AB 于点H , 点B 关于直线CH 的对称点为D , AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A , 直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证: BF ∥AC ;(2) 若AC 边的中点为M , 求证: 2DF EM ;(3) 当AB =BC 时(如图2) , 在未添加辅助线和其它字母的条件下, 找出图2中所有与BE 相等的线段, 并证明你的结论．旋转变换●旋转变换的常见应用(一) 以等边三角形为背景的旋转问题11.如图, C 为BD 上一点,分别以BC , CD 为边向同侧作等边△ABC 与△ECD , AD , BE 相交于点M . ①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?②当△ECD 绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE 和AD 有何关系. 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?③如图, A 、D 、E 在一直线上, △ABC 、△CDE 是等边三角形, 若BE =15cm, AE =6cm, 求CD 的长度及∠AEB 的度数. 9cm, 60°12. 如图, D 是等边△ABC 内一点, 将△ADC 绕C 点逆时针旋转, 使得A 、D两点的对应点分别ABCD EM AB EDCAB CDEM图1图2为B 、E , 则旋转角为_60︒_, 图中除△ABC 外, 还有等边三角形是_△DEC __.13. 已知E 为正△ABC 内任意一点. 求证: 以AE 、BE 、CE 为边可以构成一个三角形. 若∠BEC =113︒, ∠AEC =123︒, 求构成三角形的各角度数. 63︒, 53︒, 64︒14. 如图, △ABC 是等边三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM 的最大值、最小值. 5, 1(二) 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题15. 如图①, B ,C ,E 是同一直线上的三个点, 四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形.连接BG ,DE . (1) 探究BG 与DE 之间的大小关系, 并证明你的结论; (2) 当正方形CEFG 绕点C 在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时, 线段BG 和ED 有何关系? 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?16. 如图1, 已知点D 在AC 上, △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, 点M 为EC 的中点.图①图②MCAMCA第12题图 第13题图A B C DE FGAB CDEF G(1) 求证: △BMD 为等腰直角三角形.(2) 将△ADE 绕点A 逆时针旋转︒135, 如图2, (1)中的“△BMD 为等腰直角三角形”成立吗?. (3) 我们是否可以猜想, 将△ADE 绕点A 任意旋转一定的角度, 如图3, (1)中的“△BMD 为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由) .(三) 以一般等腰三角形为背景的旋转问题17. (1)如图①, 已知在△ABC 中, AB =AC , P 是△ABC 内部任意一点, 将AP 绕A 顺时针旋转至AQ , 使∠QAP =∠BAC , 连接BQ 、CP . 求证: BQ = CP . (2) 如图②,将点P 移到等腰三角形ABC 之外, (1)中的 条件不变, “BQ =CP ” 还成立吗?18. 在等腰△ABC 中, AB =AC , D 是△ABC 内一点, ∠ADB =∠ADC . 求证: ∠DBC =∠DCB .小结: (1) 只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.(2) 当旋转角是60︒时, 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90︒时, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系.●旋转变换在综合题中的应用ABCPQABCP Q图①图②图1图2图319. 在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, tan ∠BAC = 21, 点D 在边AC 上(不与A , C 重合) , 连结BD , F 为BD 中点.(1) 若过点D 作DE ⊥AB 于E , 连结CF 、EF 、CE , 如图1． 设CF kEF =, 则k = ; 1 (2) 若将图1中的△ADE 绕点A 旋转, 使得D 、E 、B 三点共线, 点F 仍为BD 中点, 如图2所示. 求证: BE - DE = 2CF ;(3) 若BC =6, 点D 在边AC 的三等分点处, 将线段AD 绕点A 旋转, 点F 始终为BD 中点, 求线段CF 长度的最大值. 4 −5320. △ABC 和△DBE 是绕点B 旋转的两个相似三角形, 其中∠ABC 与∠DBE 、∠A 与∠D 为对应角. (1) 如图1, 若△ABC 和△DBE 分别是以∠ABC 与∠DBE 为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一直线上的位置时, 请直接写出线段AD 与线段EC 的关系; 垂直相等 (2) 若△ABC 和△DBE 为含有30︒角的两直角三角形, 且两个三角形旋转到如图2的位置时, 试确定线段AD 与EC 线段的关系, 并说明理由; AD ⊥EC , 33=EC AD(3) 若△ABC 和△DBE 为如图3的两个三角形, 且∠ACB = α, ∠BDE = β, 在绕点B 旋转的过程中, 直线AD 与EC 夹角的度数是否改变? 若不改变, 直接写出用含α、β 的式子表示夹角的度数; 若改变, 请说明理由. 180° − α – β21. (北京) 请阅读下列材料:ABEDCABCDE30︒30︒图1 ABCDE图2 图3BCA DE FBDEA FC BAC 1图2图备图问题: 如图1, 在菱形ABCD 和菱形BEFG 中, 点A , B , E 在同一条直线上, P 是线段DF 的中点, 连结PG , PC . 若∠ABC = ∠BEF = 60︒, 探究PG 与PC 的位置关系及PCPG的值. 小聪同学的思路是: 延长GP 交DC 于点H , 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题: (1) 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG的值; (2) 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转, 使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变(如图2) . 你在(1) 中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明.(3) 若图1中∠ABC =∠BEF = 2α (0︒ < α < 90︒), 将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度, 原问题中的其他条件不变, 请你直接写出PCPG的值(用含α的式子表示) .函数与变换22. (房山二模) 已知关于x 的一元二次方程 x 2 – 3x + k – 1 = 0有实数根, k 为正整数. (1) 求k 的值;(2) 当此方程有两个不为0的整数根时, 将关于 x 的二次函数y = x 2 – 3x + k – 1的图象向下平移 2个单位, 求平移后的函数图象的解析式; (3) 在(2) 的条件下, 将平移后的二次函数图象 位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折, 图象的其余 部分保持不变, 得到一个新的图象G . 当直线 y = 5x + b 与图象G 有3个公共点时, 请你直接写出b 的取值范围.23. (北京)已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等.ECBG F APDE图1 图2(1) 求二次函数的解析式;(2) 若一次函数y = kx + 6的图象与二次函数的图象都经过点A (3-, m ) , 求m 与k 的值; (3) 设二次函数的图象与x 轴交于点B , C (点B 在点C 的左侧 ) , 将二次函数的图象B , C 间的部分(含点B 和点C ) 向左平移n (0n >) 个单位后得到的图象记为G , 同时将(2) 中得到的 直线y = kx + b 向上平移n 个单位.请结合图象回答: 平移后的直线与图象G 有公共点时, n 的取值范围.24. (丰台二模) 如图, 经过原点的抛物线 y = -x 2 + bx (b > 2) 与x 轴的另一交点为A , 过点P (1,2b) 作直线PN ⊥x 轴于点N , 交抛物线于点B . 点B 关于抛物线对称轴的 对称点为C . 连结CB , CP .(1) 当b = 4时, 求点A 的坐标及BC 的长; (2) 连结CA , 求b 的适当的值, 使得CA ⊥CP ;(3) 当b = 6时, 如图2, 将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转, 得到△CB'P', CP 与抛物线 对称轴的交点为E , 点M 为线段B'P' (包含端点) 上任意一点, 请直接写出线段EM 长度 的取值范围.图1图2。
Day7 图形的变换一、几何变换（轴对称、平移、旋转、折叠）1、图形的平移：2、图形的轴对称：对称，如图直线L是这两个图形的对称轴，点A和点E是对称点★记忆：简单来说就是能使得两个图形重合的直线就是对称轴。
要区分“对称轴”和“轴对称图形”。
“对称轴”是一条直线，“轴对称图形”是两个全等的图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线如图▲ABC和▲EFG是以直线L为对称轴的轴对称图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线3、图形的翻折翻折前后图形全等（对应线段和对应角都分别相等）4、图形的旋转转动一个角度，’、5、中心对称（特殊的旋转）二、视图、展开图、位似作图1、投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.由一点（光源）（位似变换），2、三视图：主视图、俯视图、左视图①看得见的部分画成实线，被遮挡而看不见的部分画成虚线3、展开图有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
注意：不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开。
4、位似作图（1）几何作图：对应点到位似中心的距离之比等于位似比★记忆：位似即位置相似，位置距离成比例位似又分为同侧位似和异侧位似★注意：位似比，即位似图形的相似比，指的是题目要求画的新图形与参照的原图形的相似比，所以以不同的图形为参照图，所得的位似比不同。
如上面左图同侧位似中，如果题目的意思是“以▲ABC为参照的原图，▲DEF为新图形，求出位似比”，则此时的位似比=DOAO= 95；而如果题目的意思是“以▲DEF为参照的原图，▲ABC为新图形，求出位似比”则此时的位似比=AODO= 59总之位似比总是原图形的数值作分母，口诀：位似比即旧分之新（位似比=新旧）（2）代数作图：如果以原点为位似中心，位似比为k，则原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（一kx，一ky）★记忆：如果是同侧位似则位似对应点的坐标是（kx，ky），如果是异侧位似则位似对应点的坐标是（一kx，一ky）。
中考总复【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转【典型例题】类型一、平移变换1.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．（1）证明△A′AD′≌△CC′B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．【思路点拨】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．∴∠D′A′C′=∠BCA．∴△A′AD ′≌△CC′B．（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，∴C′D′=CD=AB．由（1）知AD′=C′B．∴四边形ABC′D′是平行四边形．在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，∴BC′=12 AC．而∠ACB=30°，∴AB=12 AC．∴AB=BC′．∴四边形ABC′D′是菱形．【总结升华】本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握，考查2．操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为【答案与解析】（1）点A′：-3×13+1=-1+1=0，设点B表示的数为a，则13a+1=2，解得a=3，设点E表示的数为b，则13b+1=b，解得b=32；故答案为：0；3；32.（2）根据题意得，-313202a ma ma n+=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得12122amn⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴12x+12=x，12y+2=y，解得x=1，y=4，所以，点F的坐标为（1，4）．【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，若将边长为cm2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个【答案】根据题意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴∠A′PC=∠B=90°，∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，∴△A′PC是等腰直角三角形，∵△A′PC的面积是1cm2，∴S△A′PC=12A′P•PC=1（cm2），∴A′P=PC=2cm，∴A′C=2cm，由于原等腰直角三角形的斜边是22cm，所以平移的距离是：22-2（cm）．类型二、轴对称变换3．（2016•贵阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．【思路点拨】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．【答案与解析】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案为：4；（2）如图2，连接CC′，∵点C′在AB的垂直平分线上，∴点C′在DC的垂直平分线上，∴CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，设CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的长为2；（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，设EC=y，则C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，设EC=z，则C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，综上所述：CE的长为9±3．【总结升华】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是举一反三：【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在（1）求MP的长；（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于13.【答案】（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．∴BQ垂直平分PC，BC=BP．又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且四边形ABCD是正方形，∴BP=PC．∴BC=BP=PC．∴△PBC是等边三角形．∵PN ⊥BC 于N ，BN=NC=12BC=12，∠BPN=12×∠BPC=30°， ∴PN=32，MP=MN-PN=232-．（2）证明：由折法知PQ=QC ，∠PBQ=∠QBC=30°． 在Rt △BCQ 中，QC=BC •tan30°=1×33=33， ∴PQ=33． ∴以PQ 为边的正方形的面积为13． 4.已知：矩形纸片ABCD 中，AB=26厘米，5.18=BC 厘米，点E 在AD 上，且6=AE 厘米，点P 是AB 步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P 作,AB PT ⊥交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图（2）所示）； （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“＞”、“=”、“＜”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点,1Q ,1Q 点的坐标是（ ， ）； ②当6=PA 厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（ ， ）；③当12=PA 厘米时，在图（3）中画出MN ，PT （不要求写画法）并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；（3）点P 在在运动过程中，PT 与MN 形成一系列的交点,1Q 2Q ，3Q …观察，猜想：众多的交点形成的图象是什（1） （2） （3） 【思路点拨】（1）根据折叠的特点可知△NQE ≌△NQP ，所以PQ=QE ．（2）过点E 作EG ⊥Q 3P ，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形．设Q 3G=x ，则Q 3E=Q 3P=x+6．利用Rt △Q 3EG 中的勾股定理（3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式：y=112x 2+3【答案与解析】 （1）由折叠的特点可知△NQE ≌△NQP ，所以PQ=QE ．（2）①（0，3）；②（6，6）． ③画图，如图所示．过点E 作EG ⊥Q 3P ，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形． ∴GP=6，EG=12．设Q 3G=x ，则Q 3E=Q 3P=x+6． 在Rt △Q 3EG 中，∵EQ 32=EG 2+Q 3G 2∴x=9． ∴Q 3P=15． ∴Q 3（12，15）（3）这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式：y=112x 2+3（0≤x ≤26）． A B C D P EM N B C（P ） （A ） B CDE x N 1Q O6 12 18 24 61218 2Q y【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点类型三、旋转变换5.（2016•本溪）已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是；（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立（3）如图③，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．【思路点拨】（1）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质再用中位线即可；（2）作出△ABC绕点A顺时针旋转90°，利用旋转的性质，和等腰三角形的性质，再用中位线即可；（3）同（1）（2）的方法作出辅助线，利用平行线中的基本图形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角【答案与解析】解：（1）如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，连接BB'，∵AC⊥BC，∴点C在BB'上，且CB'=CB，依题意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案为：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如图2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，连接BB'，∵AC⊥BC，∴点C在BB'上，且CB'=CB，依题意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如图3，设BC=2x，则AC=5x，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AB'C'，连接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延长BC交C'Q于N，∴四边形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根据勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【总结升华】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质，旋转的性质，中位线的性6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．OO和小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即1OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于12扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运 动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC 按上述方法经过5次旋转，求顶 点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是_______________? 请你解答上述两个问题．【思路点拨】求出正方形OABC 翻转时点O 的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第4n 次旋转，顶点O 没有移动.【答案与解析】解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段圆弧11223OO ,O O ,O O ，所以顶点O 在此运动过程中经过的路程为9019022211801802πππ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线2l 围成图形的面积为()2290290122111360360πππ⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅=+. 正方形纸片经过5次旋转，顶点O 运动经过的路程为： 90190232318018022πππ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.问题②：∵ 正方形纸片每经过4次旋转，顶点O 运动经过的路程均为：9019022211801802πππ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 又412022201222πππ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，而2π是正方形纸片第4n +1次旋转，顶点O 运动经过的路程. ∴正方形纸片OABC 按上述方法经过81次旋转，顶点O 经过的路程是412022π+. 【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积. 举一反三：【变式】 如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边A (1)请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积S ．BP A(M)QN DC【答案】(1) 点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图：(2) 弧AA 1与AD ，A 1D 围成图形的面积为：14圆的面积（半径为1）=4π； 弧A 1A 2与A 1D ，DN ，A 2N 围成图形的面积为： 14圆的面积（半径为2）＋正方形的面积（边长为1）=12π+； 弧A 2A 3与A 2N ，NA 3围成图形的面积为：36012090536012--=圆的面积（半径为1）=512π；其他三块小面积分别与以上三块相同.∴点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积S 为：5721=242123ππππ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.。
第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
图形的变换与计算【第一部分平移】【知识点】1、平移的概念．2、理解“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本特征；能够按照要求画出简单平面图形平移后的图形；能利用平移进行简单的图案设计．3、平移变换的确定：给定了平移方向和平移的距离，就确定了平移．4、图形在平移下的不变性和不变量．平移把任一线段变成与它平行且相等的线段，即在平移下，任一线段保持方向和长度不变；平移把任一个角变成与它相等的角，即在平移下，任一个角保持大小不变．【基础训练】一、选择题1．下列几种运动属于平移的有（）①水平运输带上的砖在运动；②升降机上下做机械运动；③足球场上足球的运动；④超市里电梯上的乘客；⑤平直公路上行驶的汽车A.2种B.3种C.4种D.5种2．点A(1,2)向右平移2个单位得到对应点A’,则点A’的坐标是( )A.(1．4)B.(1．0) C．(-l，2) D.(3，2)二、填空题1．如图5-1-1所示，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC移到了△A′B′C′的位置，则平移的方向是，平移的距离是个单位长度．2．如图5-1-2所示，△ABC平移到△A′B′C′的位置，则与AA′平行的线段有，与AA′相等的线段是．【提高训练】一、选择题1．如图所示5-1-3，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（）A.12格B.11格C.9格D.8格2．如图5-1-4所示：边长分别为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的大致图象应为（）二、解答题A．B．C．D．图5-1-3图5-1-4图2FD EA BC图1图5-1-5 图5-1-1 图5-1-21．已知如图5-1-5所示，图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.（1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2．在平面直角坐标系中，直线l 过点M(3,0)，且平行于轴.(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)，△ABC 关于轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是(,0)，其中，点P 关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长.3．如图5-1-7（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合。
[中考解题技巧,：几何变换法]中考几何题解题技巧中考解题技巧：几何变换法中考解题技巧：几何变换法几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
1.平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。
一般有2种方法：(1)平移已知条件(2)平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。
几何题多数都是逆向思考的。
例：在三角形ABC中，BD=CE,求证：AB+AC大于AD+AE。
这是典型的平移条件问题。
解：我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。
这里用了BD=EC 的条件。
设AB与FD交于P 这样，容易构造两个全等的三角形AEC,FBD 由于PA+PD大于AD PF+PB大于BF 两式相加PA+PB+PD+PF大于AD+BF 又因为BF= AE，AC= FD 所以AB+AC大于AD+AE 2.旋转变换把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 例：如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90,M,N为斜边BC上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2解：要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。
考虑到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM 绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到△ACD，则△NCD 为直角三角形只需证明MN=ND即可因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45 ，即∠NAD=45 又因为AM=AD 所以△AND≌△AMN 所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2 3.对称变换通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。
当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。
图形的变换一、平移1.定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2.性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动。
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
二、轴对称1.定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2.性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3.判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
三、旋转1.定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
四、中心对称1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2.性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
五、坐标系中对称点的特征1.两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）一、选择题1．在图形的平移中，下列说法中错误的是（）A．图形上任意点移动的方向相同；B．图形上任意点移动的距离相同C．图形上可能存在不动点；D．图形上任意对应点的连线长相等2．如图所示图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是（）A．（1）（4）B．（2）（3）C．（1）（2）D．（2）（4）第4题图3.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（）①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A.△COD B．△OAB C．△OAF D．△OEF5.下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；B．两个位似图形的面积比等于位似比；C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比；D．位似图形的周长之比等于位似比的平方6.下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.等边三角形B．等腰梯形C．五角星D．菱形7.下列图形中对称轴的条数多于两条的是（）A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．等边三角形8.在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）9.钟表上2时15分，时针与分针的夹角是（）A．30°B．45°C．22．5°D．15°二、填空题10.一个正三角形至少绕其中心旋转________度，就能与本身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合．11.如图，可以看作是由一个三角形通过_______次旋转得到的，每次分别旋转了__________．12.如图，在梯形ABCD中，将AB平移至DE处，则四边形ABED是_______四边形．13.已知等边△ABC，以点A为旋转中心，将△ABC旋转60°，这时得到的图形应是一个_______，且它的最大内角是______度．14.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形的周长为30cm，则较大图形周长为________．15.将如左图所示，放置的一个Rt△ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是右图所示四个图形中的_______（只填序号）．16.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是_______第16题图第17题图17.如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，•沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_______个不同的四边形．三、解答题18.如图，平移图中的平行四边形ABCD使点A移动至E点，作出平移后的图形．19.如图，作出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°、180°、270°后的图案，看看得到的图案是什么？20.如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．21.如图所示，四边形ABCD是正方形，E点在边DE上，F点在线段CB•的延长线上，且∠EAF=90°．（1）试证明：△ADE≌△ABF．（2）△ADE可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF的位置．（3）指出线段AE与AF之间的关系．22.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD 折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中的阴影部分）．若∠A=120°，•AB=4cm，求梯形ABCD的高CD．23.如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，•证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连结PP′）。
第25讲图形的相似考点1 相似图形的有关概念相似图形①相同的图形称为相似图形.【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.考点3 平行线分线段成比例考点4 相似三角形的判定⑩于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.三边⑪的两个三角形相似.考点5 相似三角形的性质考点6 位似【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定4)或再找夹边成比例(用判定3).(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.例1 (益阳)如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.【思路点拨】在△ABD和△CBE中，有一个公共角，再根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC即可证明两三角形相似.【解答】方法归纳：证明两三角形相似时，要善于结合已知条件来选择最恰当的判定方法.1.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是( )2.(本溪模拟)如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.ABBD=CBCDD.ADAB=ABAC3.(贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条例2 (1)如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为.(2)(聊城)如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为( )A.aB.12a C.13a D.25a【思路点拨】(1)从条件看可以证明△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的长;(2)由∠DAC=∠B，可知△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质可求△ACD的面积.方法归纳：求线段的长，利用相似三角形对应边的比相等来计算；求面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.1.(重庆B卷)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.42.(凉山)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为( )A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.13.(长春)如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为( )A.34B.43C.2D.34.(长沙)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于.例3 (滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)【思路点拨】利用梯形常用的辅助线，把EF的长放到三角形中，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可求解. 【解答】方法归纳：利用三角形相似解决实际问题关键扣住两点：一是构造三角形相似；二是灵活地利用相似三角形的性质.1.(台州)如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为( )A.25 cmB.50 cmC.75 cmD.100 cm2.(济宁)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中的图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为cm.例4 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是( )【思路点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分别计算出两种情况下B′的坐标.方法归纳：已知一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况，避免出现遗漏.1.如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A.点MB.点NC.点OD.点P2.如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD∶OD1= .1.(温州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，ADDB=34，则EC的长是( )A.4.5B.8C.10.5D.14(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个3.(宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)4.(宁波)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为( )A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.2∶35.(东营)下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.A.②③B.①②C.③④D.②③④6.(北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( ) A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m7.(滨州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则ADAB= .8.(六盘水)如图，添加一个条件：，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)9.(天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为.10.(福州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝12BC，若AB＝10，则EF的长是.11.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m.12.(长沙)如图，在△ABC中，DE∥BC，DEBC=23,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为.13.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.(1)求证：AB=AF；(2)当AB=3，BC=5时，求AEAC的值.14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明三角形△ABC为直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似.15.(资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB=2，AC=AE的长.16.如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )A.16B.13C.12D.2317.(宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上，∠BCA=90°，y=3x(x>0)的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE.当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为.18.(滨州)如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？参考答案考点解读①形状②相等③成比例④边⑤相等⑥成比例⑦全等⑧成比例⑨平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例⑩平行⑪成比例⑫成比例⑬相等⑭相等⑮成比例⑯相等○17成比例○18相似比○19平方○20相似○21一点○22中心○23位似○24k或-k各个击破例1在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.题组训练 1.B 2.C 3.C例2 (1)10 (2)C题组训练 1.B 2.D 3.B 4.1∶2例3 过点C 作CM ∥AB ，交EF,AD 于N,M ，作CP ⊥AD ，交EF,AD 于Q,P .由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN=AM=BC=20 cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm). 由题意知CP=40 cm ，PQ=8 cm ， ∴CQ=32 cm.∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD. ∴NF MD =CQ CP ，即30NF =3240.解得NF=24. ∴EF=EN+NF=20+24=44(cm). 答：横梁EF 应为44 cm. 题组训练 1.D 2.18 例4 D题组训练 1.D 2.1∶2 整合集训1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.28.AD AEADE C AED B AC AB∠=∠∠=∠=或或 9.7 10.5 11.5.5 12.1813.(1)证明：∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠AFB=∠FBC.∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠ABF=∠FBC. ∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.(2)∵∠AEF=∠CEB ，∠AFB=∠FBC ， ∴△AEF ∽△CEB.∴AE EC =AF BC =35.∴AE AC =38.14.(1)根据勾股定理，得BC=5，显然有AB 2+AC 2=BC 2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；(2)△ABC 和△DEF 相似.根据勾股定理，得BC=5，∵AB DE =AC DF =BCEF ，∴△ABC ∽△DEF. (3)如图，△P 2P 4P 5.15.(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°.又∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAD.∵∠ABD=∠BDO=∠CDE ，∴∠CAD=∠CDE.又∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CAD.(2)在Rt △OAC 中，∠OAC=90°，∴OA 2+AC 2=OC 2，即122=OC 2，∴OC=3，∴CD=2.又由△CDE ∽△CAD ，得CD CE =CA CD ，即2CE =2，∴∴16.B17. 提示：设E(a,3a ）,D(b,3b ),过D 作DF ⊥BE 于F ，则F(a,3b ).由等腰直角三角形的性质得a-b=-3b=3b -3a ,所以、b>0).故E .18.(1)∵ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，CD=AB=20，AD=BC=10，∠ADC=∠ABC=90°.∴∠APQ=∠CDQ ，∠PAQ=∠DCQ ，.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当t=5时，DP ⊥AC.∵∠ADC=90°，∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°.又∵∠DAQ=∠CAD ，∴△ADQ ∽△ACD.∴ADAC =AQ AD，则AQ=2AD AC 2∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC ，∴△AQP ∽△ABC.∴AQAP =AB AC ，解得t=5. 即当t=5时，DP ⊥AC.。
