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4.3 周期信号的频谱及特点

4.3 周期信号的频谱及特点
A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：

4.2周期信号的频谱

4.2周期信号的频谱

2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统

周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t

4.2-5

f (t )
0

2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2

周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱

信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统

《测试技术》教学课件 1.2周期信号与频谱分析

《测试技术》教学课件 1.2周期信号与频谱分析

3,功率 频谱图 2 为横坐标, 为纵坐标画图,则称为功率谱. 以f为横坐标,An 为纵坐标画图,则称为功率谱.
五,周期信号频谱的特点: 周期信号频谱的特点:
1,周期信号的频谱是离散的. 2,每条谱线只出现在基波频率的整数倍上. 3,谱线幅度变化趋势呈收敛状 ,它的主要能 量集中在第一零点内.(谱线高度表示该谐波 的幅值或相位) 简单的说,就是具有离散性,谐波性和收敛性.
式中令: 式中令:
cn
1 = ( a n jb n ) 2
1 c n = ( a n jb n ) 2
a n + jbn = a n jb n
式中令: 式中令:
cn
∞
1 = ( a n jb n ) 2
1 c n = ( a n jb n ) 2
1 1 jnω 0 t jnω 0 t x( t ) = a0 + ∑ (a n + jbn )e + (a n jbn )e 2 2 n =1
x(t ) = ∑ bn sin nω0t
n =1 ∞
(n = 1,2,3, )
a0 = 0
an = 0
2 T2 bn = ∫ x(t ) sin nω0tdt T T 2
② 偶函数
x(t ) = a0 + ∑ an cos nω0t
1 a0 = ∫ x(t )dt T T 2
n =1 T 2 ∞
(n = 1,2,3, )
1 1 jn ω 0 t jn ω 0 t x ( t ) = a 0 + ∑ ( a n + jb n )e + ( a n jb n )e 2 2 n =1
an 为偶函数,所以 an = a n ,bn 为奇函数,所以 bn = b n 为偶函数, 为奇函数,

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点
1、周期信号频谱的特点
(1)周期信号频谱是指周期信号的函数X（t）的傅里叶变换结果。

它由若干不同的频率的正弦波组成，这些正弦波的频率正是信号的基本频率。

正弦波的幅值与其相应的频率乘积成正比，而每种频度的信号都有一个相应的幅值谱和一个同频率相等的相位谱。

(2)对小波周期信号出现的情况而言，它的频谱具有带状分布特点。

假设一个小波信号X（t）的基本频率为F0，它的频谱X（f）的分布范围接近[F0, 2F0]之间，其中最大的幅值在F0处，幅值谱有一个主峰，而且相位谱空间分布也同样有一个主峰。

(3)小波周期信号具有连续宏观理论谱线的特点，实际谱线与理论谱线相比会有一个谷底，其图形模型会形成一回带状，理论上谷底深度接近0.
(4)周期信号频谱中有定向性，主要表现在除脉冲信号以外的其他周期信号中。

针对某一个方向发射信号，其谱仍然会有以频率以F0作为中心呈现梯度变化和微小平移的特点。

如果从不同方向发射信号，最终得到的谱会有一定的差异，但其趋势仍然相同。

2、周期信号频谱的作用
(1)周期信号频谱是信号分析的基础，它包括了信号的基本指标，包括信号的频率、幅值谱和相位谱，可用于分析信号的特性和特征。

(2)有了周期信号频谱，可以更准确地测量一个周期信号的实际频率，利用其中的相位谱可以判断信号之间是否存在某些相关性。

(3)频谱可以用于检测信号中的杂波，如果周期信号频谱发现不属于原有频率的有害信号，则说明信号中出现了一些杂波，可以使用滤波等方法对这部分信号进行处理，从而提高信号的有效性。

(4)同时，周期信号频谱也可以用来研究信号强度分布情况，可以查看赋予信号的频率和相位，从而进行有效的信号处理。

第13讲 周期信号的频谱及其特点

第13讲 周期信号的频谱及其特点

号的调制与解调等等。
精选版课件ppt
2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
精选版课件ppt
3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
精选版课件ppt
14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
精选版课件ppt
13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点

周期信号频谱的特点
1.频谱中存在基波和谐波：周期信号的频谱中不仅包含了基波分量，还包括了各个谐波分量。

基波分量对应信号的基本周期，而谐波分量则是基波频率的整数倍。

基波和谐波分量在周期信号频谱中呈现出一定的规律性，即谐波分量的幅值逐渐减小，但频率却逐渐增大。

2.频谱具有离散特性：周期信号频谱中的频率值是离散的，即频谱中只有一系列离散的频率分量。

这是因为周期信号具有固定的周期，其频谱中的各个频率值与基波频率和谐波频率有关。

3.频谱对称性：周期信号频谱在频率轴上具有对称性。

具体而言，当周期信号是实值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。

当周期信号是复值信号时，其频谱是共轭对称的，即频谱图中的正频率部分与负频率部分关于频率轴对称。

4.频谱幅度递减：周期信号频谱中各个频率分量的幅度递减性质。

基波分量的幅度最大，而谐波分量的幅度逐渐减小。

如果周期信号中存在无穷多个谐波分量且每个谐波分量的幅度适当，则可以近似地表示任意的周期信号。

5.频谱包含整个频率范围：周期信号频谱中包含了整个频率范围，即从直流成分到无限大频率。

直流成分对应于基波分量，而高频成分对应于谐波分量。

因此，周期信号的频谱图是一个连续的、无缺口的频率分布。

总之，周期信号频谱的特点可以概括为：包含基波和谐波分量，具有离散特性，具有对称性，谐波分量幅度递减，频率范围包含整个频域。

通过对周期信号频谱的分析，可以了解信号的频率分布情况，从而更好地理解和处理周期信号。

《周期信号的频谱》PPT课件


n
n0
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
fT (t)
A
T
T
t
2
2
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
S
a(n1)＝A
2T
sinn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)dt0.2
T T/2
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
F n
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t d t
1
T 2
( t ) e d jn 1t t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T (t )
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波

4-2 信号的频域分析-周期信号频域分析

16
分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点
1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 (离散，衰减) 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用
17
离散Fourier级数（DFS）
DFS的定义 常用离散周期序列的频谱分析 周期单位脉冲序列d N[k] 正弦型序列 周期矩形波序列 DFS的性质

0 2π / T
n 0
3
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
4 3 2 1 3 2 1 1 3 2
0
1
2
3
n
解： 由图可知 C 0 4
f (t ) C n e jn 0 t
n
C 1 3
C 2 1
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t ) C n e j n 0 t
n =
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
10
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
f (t )
A
T


2

2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为
Cn A T Sa ( n 0 2 )
将A=1，T=1/4， = 1/20，0= 2/T = 8 代入上式

信号与系统 周期信号频谱特点

周期信号频谱的特点
第一、离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二、谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含 有非Ω的谐波分量。
第三、收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐 减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
Fn
E 5
＝2T
2
4
❖－脉τ2 冲o τ宽2 度相T同，频谱2T 包络t 线的零o 点 所在位置不变； (a)
❖周期增长，相邻谱线的间隔减小，谱线变密；
f(t)
Fn
❖周E期趋于无穷时，相邻谱线的间E 隔将趋＝于2T 零。
10
2
4
－τ o τ
T
t
o
22
不同 T
(b)
(a) T=5τ; (b) T=10τ
频谱分析表明：
• 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越 大，谱线越密。
• 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
• 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。
• 过零点为 2m
T
• 主要能量在第一过零点内。带宽：
2 B (rad / s) 或
1
Bf
( Hz )
周期信号频谱的特点： 三性——离散性、谐波性、收敛性 一集中——能量集中于低频带。
脉冲宽度与频谱的关系
f(t) E
Fn
E 5
＝2T
2
－❖τ2 周o τ期2 相同，相邻谱T 线的t间隔宽度愈窄，包络线第一个零点的频率愈高；
❖E信f号(t) 的频带宽度与脉冲宽度成反Fn比。

Signal_2_周期信号的频谱


Cn
1 An 2
复指数形式的傅里叶级数的复系数
的计算公式为(P15)
1 Cn T0

T0 / 2
T0 / 2
f (t )e
jn0t
dt
24
例：求周期为T的矩形脉冲信号的频 谱图（见教案，难度较大，不讲）
25
周期矩形脉冲信号的频谱
E f (t ) 0 (t (t
2 T2 T 2 sin n 0tdt T 0 sin n 0 tdt
0


， ,
n 2， 4， （偶数） n 1,3, (奇数)
4 1 1 f (t ) sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5
2 bn x(t ) sin n 0 tdt 0 T
18
T 2 T 2
2 an x(t ) cosn0tdt T
8E 1 2 T n 0
2
T 2 T 2


T 2
0
n 0 t cosn 0 td (n 0 )t
, n 1,3, n 2,4,
n
是单边频谱，只取n>0的项；
但就数学关系式本身而言，前者是关于n的偶函数， 后者是关于n的奇函数
10
例1 周期方波的傅里叶级数
11
• 解： （1）在一个周期内，波形与横轴围成的面 积上、下相等，所以它的平均值 T 1 2 a0 T x(t )dt 0 T 2 （2）为奇函数，因此余弦项的系数

29
位相谱的解释
注意： n
bn tg n an
(负号一定要写在上面）
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3W0
7W0
1/9п
W
W0 2W0
4W0 5W0
6W0
8W0 9W0
…
-1/3п
-1/7п
1
周期性方 波的频谱 图2
-7T/4 -5T/4 -3T/4 -T/4
T/4 3T/4 5T/4 7T/4 9T/4
1/2
1/ п
直流分量
W0 2W0
3W0
4W0
1/5 п
5W0
-1/3п
6W0
7W0
1/7п
8W0
1/9 п
9W0
t
W
…
三角波
结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性 1) 周期信号频谱是离散的；
2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存在非整倍数的频率分量；
3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成正比。工程中常见的周期信 号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。
带宽：信号的大部分能量（90%左右）集中在第一零点内的各频率分量上。把= 0 ~ 2/ 这一频率范围，称为带宽，以b表示，带宽b与脉冲宽度成反比。
通信技术专业教学资源库 深圳职业技术学院
《通信系统SIMULINK仿真平台》课程
周期信号频谱特点
主讲： 杨巧莲
课程团队：杨巧莲、吴丽春、张倩、董月秋、杨柳
f(t)
1/2 п
-7T/4 -5T/4 -3T/4 -T/4
T/4 3T/4 5T/4 7T/4 9T/4
t
周期性方 1
T
波的频谱
1/п
图1
1/5п
t
1
信号周期增大，
1/п
频谱间隔减小
1/5п
3 ω0
7 ω0
1/9п
ω0 2 ω0
4 ω0 5 ω0 6 ω0
8 ω0 9 ω0
-1/3п
-1/7п
ω
… Vn
Vn A/5
T=5
A/10
பைடு நூலகம்
T=10
-0
0
w
-0 0
w
* 信号周期
时,频谱间隔趋于0; 离散谱变为连续谱.
周期 信号
信号
f(t) A
-/2 0 /2 T
非周期 信号
f(t) A
-/2 0 /2
分解
离散性 谐波性
频谱特征
Vn
傅立叶 级数
t
变换
-0 0
连续性
-2/
F() 2/
-4/
4/
w
傅立叶 变换
通信技术专业教学资源库 深圳职业技术学院
谢谢
主讲： 杨巧莲
课程团队：杨巧莲、吴丽春、张倩、董月秋、杨柳
周期大小决定（频谱的）离散间隔
周期越大，间隔越小
傅立叶变换
当周期信号的周 期逐渐增大时， 频谱会有什么变 化？
周期增大
f(t)
1/п
-7T/4 -5T/4 -3T/4-T/4
T/4 3T/4 5T/4 7T/4 9T/4
t
f(t) A
-/2 0 /2 T
非周期信号 f(t)
A
t
-/2 0 /2