北师大版(文科数学)反证法名师优质单元测试

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．【答案】 D3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数() 【导学号：67720021】A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋1x ＋y＋1y＋z＋1z≥6，②显然①②矛盾，所以C正确．【答案】 C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】 D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是________．【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a>3b，3a＝3b和3a<3b，所以“3a>3b”的反设应为“3a≤3b”．【答案】3a≤3b8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】若a＝13，b＝23，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9．已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是()A．与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A ＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A ≠sin B .【答案】 C3．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”．乙说：“我们四人中有人考得好”．丙说：“乙和丁至少有一人没考好”．丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．【解析】 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．【答案】 乙，丙4．(2016·温州高二检测)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以pq ＋qp>2，与②相矛盾．故数列{c n}不是等比数列．。

单元提分卷（8）反证法1、用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60︒”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于60︒ B. 三个内角都大于60︒C. 三个内角至多有一个大于60︒D. 三个内角至多有两个大于60︒2、用反证法证明命题“已知*,N a b ∈，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A.,a b 都能被5整除B.,a b 都不能被5整除C.,a b 不都能被5整除 D .a 不能被5整除3、否定:“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A.,,a b c 都是偶数 B.,,a b c 都是奇数 C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ） A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 5、下图是一个简单的流程图,那么它表示的方法是( )A.归纳法B.类比法C.综合法D.反证法6、用反证法证明命题 “自然数a b c 、、中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）A ．a b c 、、都是奇数B ．a b c 、、都是偶数C ．a b c 、、中或都是奇数或至少有两个偶数D ．a b c 、、中至少有两个偶数7、用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( ) A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角8、实数,,a b c 不全为0的等价条件为( ) A.,,a b c 均不为0 B.,,a b c 中至多有一个为0C.,,a b c 中至少有一个为0D.,,a b c 中至少有一个不为09、用反证法证明命题:“.若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理实数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（ ） A.假设,,a b c 至多有一个是偶数 B.假设,,a b c 至多有两个偶数C.假设,,a b c 都不是偶数D.假设,,a b c 不都是偶数10、用反证法证明命题“已知a b c 、、为非零实数，且0,0a b c ab bc ca ++>++>，求证a b c 、、中至少有二个为正数”时，要做的假设是A. a b c 、、中至少有二个为负数B. a b c 、、中至多有一个为负数C. a b c 、、中至多有二个为正数D. a b c 、、中至多有二个为负数11、用反证法证明命题“如果,a b >那么33a b >”时，假设的内容应为________. 12、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”时,假设的内容是_____________________.13、用反证法证明命题：“如果,N,a b ab ∈可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________.14、用反证法证明()2f x x px q =++求证: ()()()|1|,|2|,|3|f f f 中至少有一个不小于12时的假设为: __________ 15、某同学准备用反证法证明如下的一个命题:"函数() f x 在[]0,1上有意义,且()()01f f =,如果对于不同的[]12,0,1x x ∈都有()()1212||||f x f x x x -<-,求证:[]()121||2f x f x -<.那么他的反设应该是__________. 16、要推断“事件Ⅰ与事件Ⅱ有关系”,首先提出假设0H :__________. 17、将全体正偶数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵中第()3n n ≥行的从左至右的第3个数是__________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：D解析：恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两个偶数,故选D.4答案及解析：答案：B解析：试题分析:反证明法的证明步骤:1.假设命题不成立2.由假设出发,经过推理论证,得出矛盾3.由矛盾得出假设不成立,从而证明原命题正确本题中至多有一个钝角的反面是至少有两个是钝角。

课时作业A 组——基础对点练1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1答案：B2．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案：B3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ． (a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.要证b 2－ac <3a ，只要证(－a －c )2－ac <3a 2，即证a 2－ac ＋a 2－c 2>0，即证a (a －c )＋(a ＋c )(a －c )>0，即证a (a －c )－b (a －c )>0，即证(a －c )(a －b )>0.故求证“b 2－ac <3a ”索的因应是(a －c )(a －b )>0.故选C. 答案：C4．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确 答案：D5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A答案：A6.6＋7与22＋5的大小关系为________． 答案：6＋7>22＋ 57．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________． 答案：都不能被5整除8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的序号是________． 答案：①③④9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________． 答案：a ≥0，b ≥0，且a ≠bB 组——能力提升练1．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立．上式两边同时取常用对数， 得lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg abc ，∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .2．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解析：(1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列． 3．已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.解析：(1)因为3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1， 所以b n ＋1b n ＝n ＋n.因此，b 2b 1＝3×21，b 3b 2＝3×32，b 4b 3＝3×43，…，b n b n －1＝3×nn －1，上面式子累乘可得b n b 1＝3n －1×n ，因为b 1＝3，所以b n ＝n ·3n.(2)证明：因为a n b n ＝n ＋12n ＋3，所以a n ＝n n ＋2n ＋3·3n.因为1a n ＝2n ＋3n n ＋·13n ＝n ＋－n n n ＋·13n ＝(3n －1n ＋1)13n ＝1n ·13n －1－1n ＋1·13n ，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝(1·13－12·13)＋(12·13－13·13)＋…＋(1n ·13－1n ＋1·13)＝1－1n ＋1·13. 因为n ∈N *，所以0<1n ＋1·13n ≤16，所以56≤1－1n ＋1·13n <1， 所以56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n<1.4．(2015·高考安徽卷)设n ∈N ＋，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .解析：(1)y ′＝(x2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴的交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 所以数列{x n }的通项公式x n ＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝(12)2(34)2…(2n －12n)2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝(2n －12n )2＝n －2n2>n －2－1n2＝2n －22n ＝n －1n，所以T n >(12)2×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得，对任意的n ∈N ＋，均有T n ≥14n .。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练36《综合法与分析法反证法》(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数2．(2019·西安模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜QD ．由a 的取值决定3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( )A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于64．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<05．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________．7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的个数是__________． 8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________． 三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.B 组 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负2．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．(2018·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练36《综合法与分析法反证法》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数B [“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.]2．(2019·西安模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜QD ．由a 的取值决定C [P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∵2a 2＋7a ＋12＞2a 2＋7a ， ∴P 2＜Q 2， ∴P ＜Q ，故选C ．]3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( )A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6D [由a ，b ，c ∈(0，＋∞)知⎝⎛⎭⎫a ＋4b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋9c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋16a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋16a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋9c ≥18(当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时，等号成立)， 因此三个数中至少有一个不小于6，故选D.]4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0C [由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.]5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，且a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b， 所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ， 即A ≤B ≤C ，故选A ．] 二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________．x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．]7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的个数是__________． 3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且a b>0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．]8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．甲 [假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．] 三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . [证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.[证明] 假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3.这与a ＋b ＋c ＜3矛盾，假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.B 组 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值D ．无法确定正负A [由题意知f (x )在R 上单调递减， 由x 1＋x 2＞0得x 1＞－x 2， 则f (x 1)＜f (－x 2)，即f (x 1)＜－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＜0， 故选A ．]2．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁A [①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A ．] 3．(2018·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎫－3，32 [若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－2p 2＋p ＋1≤0，f ＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足题干要求的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32.]4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理、公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④答案：D思路分析：①②③④全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )A.假设2是有理数Ｂ.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a≠0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a≠0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1≠x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，∴a(x1-x2)=0.又∵x1≠x2,x1-x2≠0,所以a=0,这与已知a≠0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,3,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) 3.因为n+2m为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m) 3.因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2＋px＋q＝0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2＋pα＋q为奇数,这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a与b不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.答案：证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l,∵A 、B 、C ∈α,∴l ⊂α.∵c∩l=C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M ∈β,又A ∈l,∴a ⊂β,同理b ⊂β,∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A 、B 、C 三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=12+-+x x a x (a ＞1).证明方程f(x)=0没有负数根. 答案：证明:设存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x , ∵0＜a x0＜1,∴0＜1200+--x x ＜1, 即21＜x 0＜2,与假设x 0＜0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,然后推得结果与假设x 0＜0矛盾.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理:0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得:0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1. ∴)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -＞3.③ 而)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -≤2)2(2)2(2)2(x z z y y x -++-++-+=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.。

§4 反证法 课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法：先假定____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与____________________相矛盾，或与命题中的______________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定________________成立．2．反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角2．实数a 、b 、c 不全为0的含义为( )A ．a 、b 、c 均不为0B ．a 、b 、c 中至多有一个为0C ．a 、b 、c 中至少有一个为0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为03．如果两个数的和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数4．设x 、y 、z 均为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都不是偶数C ．a ，b ，c 中至多一个是偶数D ．至多有两个偶数二、填空题6．用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为____________．7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．三、解答题9．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．10.已知三个正数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．能力提升11．在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.12．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．§4 反证法答案知识梳理1．命题结论的反面 定义、公理、定理 已知条件 假定 命题的结论作业设计1．B2．D3．C4．C5．B6．x ＝a 或x ＝b解析 否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .7．③①②解析 考查反证法的一般步骤．8．丙解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．9．解 设三个方程均无实根，则有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2－4(－2a )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12a <－1或a >13－2<a <0. 即－32<a <－1. 所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根． 10．证明 假设1a ，1b ，1c成等差数列， 则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2b ac⇒b 2＝ac .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ⇒(a ＋c )2 ＝4ac ⇒(a －c )2＝0⇒a ＝c .又2b ＝a ＋c ，∴a ＝b ＝c .因此，d ＝b －a ＝0，这与d ≠0矛盾．所以1a ，1b ，1c不可能成等差数列． 11．证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∴B ≥A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A <60°.12．证明 假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．。

§4 反证法课时过关·能力提升1.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上.答案:B2.用反证法证明“如果a>b,那么”假设的内容应是ABC且或解析:假设的内容应是结论的反面的否定是或故选.答案:D3.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则()A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析:将30秒跳绳成绩确定的学生,按其成绩从大到小,把他们的序号排列为3,6,7,10,1与5并列,4;由题意可知3,6,7号同时进入立定跳远和30秒跳绳的决赛.假设5号学生没有进入30秒跳绳决赛,则1号和4号学生也没有进入30秒跳绳决赛.这与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾.故5号学生进入30秒跳绳决赛,故选B.答案:B4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有()A.0个B.1个C.2个D.无穷多个解析:假设两个数列中存在序号与数值均相等的项,即存在n0,使得则an0+2=bn0+1,即an0+1=bn0,则an0<bn0,∵n0∈N+,∴a<b,这与a>b矛盾.∴不存在n0,使得故选A.答案:A5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:必要性显然.充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负数一个正数,不妨假设P<0,Q<0,R>0.∵P<0,Q<0,∴a+b<c,b+c<a,∴a+b+b+c<c+a,∴b<0,这与a,b,c是正数矛盾.故P,Q,R 同时大于零.答案:C6.用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实数根”时,假设应为.答案:两个方程都没有实数根7.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.背面朝上,打乱后甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.答案:1和38.★设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)解析:若a则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出.若a=b=1,则a+b=2,故②推不出.若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出.若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤ 且b≤ ,则a+b≤ .与a+b>2矛盾,因此假设不成立.故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,不妨设抛物线的方程为y2=ax(a>0),且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是抛物线上不同的四点.若AD,BC的斜率均不存在,由抛物线的对称性知四边形ABCD为梯形,不是平行四边形.若AD,BC的斜率有一个不存在,则易知AD与BC不平行,故四边形ABCD不是平行四边形.若AD,BC的斜率均存在,则k AB----同理k BC假设四边形ABCD是平行四边形,则k AB=k CD,k BC=k DA,从而得y1=y3,y2=y4,进而得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,这与A,B,C,D是抛物线上不同的四点相矛盾.故四边形ABCD不可能是平行四边形.10.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.证明假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2,出现矛盾,所以假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于11.★已知x,y,z∈R,x+y+z=1,x2+y2+z2求证 ,分析:本题中的条件比较复杂,而结论比较简单,不太容易入手证明,可用反证法证明.证明由条件,得y+z=1-x,y2+z2≥则≥x2=x2-假设x,y,z中有负数,不妨设x<0,则x-这与-矛盾, ∴x,y,z中没有负数.假设x,y,z中有一个大于不妨设x则x>0.-这与-矛盾.∴x,y,z中没有大于的.综上所述,x,y,z∈ ,。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-23.4 反证法（北京师大版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共24分）1. 用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数2. 已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f(x1＋x22)<f(x1)＋f(x2)2，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A．y＝log2x B．y＝xC．y＝x2D．y＝x33.用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件二、填空题（每小题7分，共28分）4．命题“在△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b ”的结论的否定应该是 .5.如果用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．6. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的序号排列为____________．7.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_____．三、解答题（每小题12分，共48分）8.若x y z ，，均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+． 求证：a b c ，，中至少有一个大于零．.9. 设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数.求证：0)( x f 无整数根.10.已知：a ＋b ＋c>0，ab ＋bc ＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.11.已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于14.3.4 反证法（北京师大版选修1-2）参考答案一、选择题1.B2.C3.B二、填空题4.a ≤b5.a ，b 都不能被5整除6.③①②7.没有一个是三角形或四边形或五边形三、解答题8.证明：假设a b c ，，都不大于0，即000a b c ，，≤≤≤，则0a b c ++≤． 由2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+， 得222(1)(1)(1)π3π30a b c x y z ++=-+-+-+-->≥，即0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾．所以假设不成立，即a b c ，，中至少有一个大于零．9.证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20(),an bn c n ++∈Z = 而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾.()0f x ∴=无整数根.10.证明：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a<0，b<0，c>0，则由a ＋b ＋c>0，可得c>－(a ＋b)，又a ＋b<0，∴c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b),ab ＋c(a ＋b)<－(a ＋b)(a ＋b)＋ab,即ab ＋bc ＋ca<－a 2－ab －b 2.∵a 2>0，ab>0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca<0，这与已知ab ＋bc ＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．11.证法1：假设(1－a)b 、(1－b)c 、(1－c)a 同时大于14. ∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a)＋b 2≥(1－a)b ＞14＝12， 同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，即32＞32，矛盾． 所以(1－a)b 、(1－b)c 、(1－c)a 不能同时大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫143. ① 因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．。

（3）反证法1、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根2、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0”其反设正确的是( )A. ,a b 至少有一个不为0B. ,a b 至少有一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 中只有一个为03、用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c 、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ）A.假设a b c 、、都是偶数B.假设a b c 、、都不是偶数C.假设a b c 、、至多有一个偶数D.假设a b c 、、至多有两个偶数4、用反证法证明命题:“若,Z,a b ab ∈能被5整除,则,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A. ,a b 都能被5整除B. ,a b 都不能被5整除C. ,a b 有一个能被5整除D. ,a b 有一个不能被5整除5、用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )A.假设,,a b c都小于0B.假设,,a b c都大于0C.假设,,a b c中至多有一个大于0 D.假设,,a b c中都不大于06、设x、y、z都是实数,1a xy=+,1b yz=+,1c zx=+,则,,a b c三个数( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于27、反证法是( )A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法8、用反证法证明命题“自然数,,a b c,中恰有一个偶数”时,需假设( ) A.,,a b c都是奇数B.,,a b c都是偶数C.,,a b c都是奇数或至少有两个偶数D.,,a b c至少有两个偶数9、以下各数不能构成等比数列的是( )A.1,4,16B.C.3,6,9D.10、如果两个实数之和为正数,则这两个数( )A.一个是正数,一个是负数B.两个都是正数C.至少有一个是正数D.两个都是负数11、完成反证法证题的全过程.设127,,,a a a ⋯是1,2,,7⋯的一个排列,求证:乘积()()()127127p a a a =--⋯-为偶数.证明:假设p 为奇数,则1271,2,,7a a a --⋯-均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数=__________=__________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p 为偶数.12、用反证法证明命题“如果a b >,>,假设的内容是_________.13、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有有理数根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,则假设的内容是__________.14、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时,正确的假设为__________.15、设函数()()20f x ax bx c a =++≠,,,a b c 均为整数,且()()0,1f f 均为奇数。

2019-2020年高中数学第三章推理与证明3.4反证法学业分层测评含解析北师大版一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数【解析】 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误．【答案】 D3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，①而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6，② 显然①②矛盾，所以C 正确．【答案】 C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A ＝B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°，正确顺序的序号为( )A ．①②③B ．①③②C ．②③①D ．③①②【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】 D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是________．【解析】 3a 与3b 的关系有三种情况：3a >3b ，3a ＝3b 和3a <3b ，所以“3a >3b ”的反设应为“3a ≤3b ”．【答案】 3a ≤3b 8．(2016·石家庄高二检测)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】 若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出．对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.【答案】 ③三、解答题9．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明：a ，b ，c 至少有一个不小于1.【证明】 假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3.而与a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c 至少有一个不小于1.10．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a ， b ， c 不成等差数列．【证明】 假设a ， b ， c 成等差数列，则a ＋c ＝ 2b ，两边同时平方得a ＋c ＋2ac ＝4b .把b 2＝ac 代入a ＋c ＋2ac ＝4b ，可得a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列，这与a ，b ，c 不成等差数列矛盾． 所以a ， b ， c 不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC 中，A ≠B .求证sin A ≠sin B ”．若用反证法证明，得出的矛盾是( )A ．与已知条件矛盾B ．与三角形内角和定理矛盾C ．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D ．与大边对大角定理矛盾【解析】 证明过程如下：假设sin A ＝sin B ，因为0<A <π，0<B <π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π.其中A ＝B 与A ≠B 矛盾；A ＋B ＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A ≠sin B .【答案】 C3．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”．乙说：“我们四人中有人考得好”．丙说：“乙和丁至少有一人没考好”．丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．【解析】 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．【答案】 乙，丙4．(2016·温州高二检测)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．。