2019届人教B版(文科数学) 二项分布及其应用 单元测试

第三章 排列、组合与二项式定理——高二数学人教B 版(2019)选择性必修第二册单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知322A 100A x x =，则x =( )A.11B.12C.13D.142.把3个不同的小球放入到4个不同的盒子中，所有可能的放法种数为( )A.24B.4C.34 D.433.在6(2)(1)m x y ++的展开式中，若3x y 的系数为800，则含4xy 项的系数为( )A.30B.960C.300D.3604.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种颜色的花，且各个区域的花颜色各不相同，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为( )5.某中学第24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，则此次篮球赛学校共举办的比赛场数为( )A.51B.42C.39D.366.15-的展开式中，常数项为( )A.1365B.3003C.5005D.64357.某校环保小组共有8人，该小组计划前往3个不同的景区开展活动，要求每个景区至少有2人，每个人都参与且只能去一个景区，则不同的分配方案有( )A.490种B.980种C.2940种D.5880种8.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的中国传统工艺品.灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相关.灯笼成了中国人喜庆的象征.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为( )二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列四个关系式中，一定成立的是( )A.3477C C = B.222334100101C C C C +++= C.11(1)A A m m n n n +++= D.若,m n +∈N ，且2023m n <≤，则20232023C C m n <10.若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则( )A.展开式中所有项的二项式系数之和为20222B.展开式中二项式系数最大的项为第1012项C.01a =D.12320220a a a a ++++= 11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有( )A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的方案B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_________种.13.若6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160，则22a b +的最小值为__________.14.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知1677A 20A x x -=，x +∈N .（1）求x 的值；（2）求2012017C C x x x --++的值.16.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸”“京剧”“刺绣”六门体验课程.（1）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（2）计划安排A ，B ，C ，D ，E 五名教师教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，一门课程只由一名教师任教，每门课程都有教师任教，教师A 不任教“围棋”课程，教师B 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.17.已知nx ⎛ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.18.在下面两个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等.问题：在二项式(21)n x -的展开式中，已知__________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设121210(21)n n n n n x a x a x a x a x a ---=+++++ ，求123n a a a a ++++ 的值；（3）求11(21)n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数.19.用0，1，2，3，4，5，6这七个数字，完成下面的问题.（1）用以上七个数字能组成多少个三位偶数（允许有重复数字）？（2）用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？221y b+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，则满足焦距不小于8的不同椭圆方程有多少个？答案以及解析1.答案：C解析：根据题意得2x ≥.由322A 100A x x =得2(21)(22)100(1)x x x x x --=-，整理可得2125x -=，解得13x =，经检验满足题意.2.答案：C解析：第1个小球放入盒子中有4种放法；第2个小球放入盒子中也有4种放法；第3个小球放入盒子中也有4种放法.只要把这3个小球放完，就做完了这件事情，所以由分步乘法计数原理可得共有34种放法.3.答案：B解析：由题意可知3316C 2C 800m⨯⨯=，即160800m =，解得5m =，所以含4xy 项的系数为15465C 2C 960⨯⨯=.故选B.4.答案：D解析：每个区域种不同颜色的花，有99A 种方法.这9个区域中相邻的区域有9个（13，23，34，26，48，56，67，78，89），所以红色、白色种在相邻区域有27279A A ⨯⨯种方法，所以红色、白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为2727999A A 1A ⨯⨯-=5.答案：D解析：先进行单循环赛，有245C 30=场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，最后3个班再进行单循环赛，有23C 3=场，所以共打了303336++=场.故选D.6.答案：C解析：二项式15展开式的通项5515611515C (1)C rr r r r r r T x--+⎛==- ⎝⋅，r ∈N ，.由得6r =，此时66715(1)C 5005T =-=，15r ≤5506r -=所以所求常数项为5005.故选C.7.答案：C210=种分配方案；280=种分配方案.第二步：将3组成员分配到3个不同的景区开展环保活动，共有33A 6=种分配方案.故符合要求的分配方案共有(210280)62940+⨯=种，故选C.8.答案：A解析：设红木宫灯、檀木宫灯分别为1a ，2a ，楠木纱灯、花梨木纱灯分别为1b ，，恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯分别为，.先求仅，相邻的种数，把12a a 看作一个元素，当排在首或尾时，不同的排法有种；当排在五个位置中第二或第四位时，不同的排法有种；当排在第三个位置时，不同的排法有种，故仅相邻共有12396N N N ++=种排法.同理得仅12b b 相邻，仅12c c 相邻的2种情况，也都有96种排法.所以有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率669632A 5P ⨯==.故选A.9.答案：AC解析：由组合数性质知3477C C =一定成立，A 正确；222322232233410033410044100101C C C C C C C 1C C C 1C 1+++=++++-=+++-==- ，B 错误；11(1)A (1)(1)(1)(1)(1)[(1(1)1])A m m n n n n n n n m n n n n m +++=+--+=+-+-++= ，C 正确；由组合数性质知n +∈N 且2023n ≤，当11011n ≤≤时，2023C n 单调递增，当10122023n ≤≤时，2023C n 单调递减，因此D 错误.故选AC.10.答案：ABC2b 1c 2c 1a 2a 12a a ()2111242A C C 232N =⨯⨯⨯=12a a ()1122422C C A 232N =⨯⨯⨯=12a a 11222322222C C A A A 32N =⨯⨯=12a a解析：展开式中所有项的二项式系数和为0120222022202220222022C C C 2+++= ，故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a +++= ，12320221a a a a ∴++++=- ，故D 错误.故选ABC.11.答案：BCD解析：对于A ，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有54种选法，因此A 错误；对于B ，分两步分析，先将5人分为4组，再将分好的4组安排四项不同的工作，有2454C A 240=（种）分配方法，因此B 正确；对于C ，分两步分析，在5人中任选2人，安排礼仪工作，有25C 10=（种）选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有33A 6=（种）方法，则由分步乘法计数原理可得共有10660⨯=（种）不同的方案，因此C 正确；对于D ，分两步分析，在5人中任选2人，安排在第一排有25A 20=（种）排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，剩下两人有2种排法，则有20240⨯=（种）不同的方案，因此D 正确.故选BCD.12.答案：36解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有种分法；第二步，将所分3组进行排列，有种排法.所以不同的安排方法共有（种）.13.答案：4解析：二项式展开式的通项为6662166C ()C kk k k k k kk b T ax a b x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅，令620k -=，则3k =，所以63336C 160a b -=，即3336C 160a b =，所以2ab =.因为2224a bab +≥=，当且仅当a b ==的最小值为4.14.答案：336解析：由题意可分两种情形：24C 33A 2343C A 36=6b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22b +①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有1122223222C C C C A 24=种排法；其次，后排有22A 2=种排法，故共有24248⨯=种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有11132223C C C A 48=种排法；后排有33A 6=种排法，此时共有486288⨯=种排法；因此，共有48288336+=种排法，故答案为：336.15.答案：（1）3x =（2）1330解析：（1）由已知得6!7!720(6)!(8)!x x ⨯=⨯--，化简得215360x x -+=，解得3x =或12x =.又因为6,17,x x ≤⎧⎨-≤⎩所以3x =.（2）将3x =代入得1723232020202021C C C C C 1330+=+==.16.答案：（1）360种（2）1140种解析：（1）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有26A 种排法；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有14C 种排法；第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法有23C 种.因此，所有选课的种数为212643A C C 360⨯⨯=.（2）①当A 只任教1门时，先排A 任教课程，有15C 种，再从剩下的5门中排B 的任教课程，有15C 种，接下来剩余4门中必有2门为同一名老师任教，分三组全排列，共有2343C A 种.所以当A 只任教1门时，共有1123554343C C C A 5532190021⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯种；②当A 任教2门时，先选A 任教的2门有25C 种，剩下4位教师任教四门课程，这样共有245454C A 432124021⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯种.所以，符合题意的课程安排共有9002401140+=种.综上，教师A 不任教“围棋”，教师B 只能任教一门课程的课程安排方案共有1140种.17.答案：（1）5项（2）17921x -15=，解得8n =，则8x ⎛+ ⎝的展开式的通项为882188C 2C 2k k k k k k k T x x x--+=⨯⨯=⨯⨯8k ≤≤，k ∈N .求展开式中的有理项，需令382k-∈Z ，所以0,2,4,6,8k =，所以有理项共有5项.（2）设第1k +项的系数最大，则11881188C 2C 2,C 2C 2,k k k k k kk k --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩即21,912,81k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得56k ≤≤，因为k ∈N ，所以5k=或6k =.当5k =时，155268C 21792T x =⨯⨯=当6k =时，661178C 21792T x x --=⨯⨯=，所以展开式中系数最大的项为17921x -.18.答案：（1）41120x （2）0（3）560解析：选择①，由012C C C 37n n n ++=，解得8n =.选择②，由26C C n n =，解得8n =.（1）展开式中二项式系数最大的项为444458C (2)(1)1120T x x =⨯⨯-=.（2）令1x =，则80128(21)1a a a a ++++=-= ，令0x =，则80(01)1a =-=，所以12380a a a a ++++= .（3）因为888111(21)(21)(21)x x x x x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭，所以811(21)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项为62653528811C (2)(1)C (2)(1)560x x x x ⎛⎫⨯-+-⨯-= ⎪⎝⎭，所以展开式中2x 的系数为560.19.答案：（1）168个（2）220个（3）14个解析：（1）七个数字0，1，2，3，4，5，6中，是偶数的为0，2，4，6，是奇数的为1，3，5，组成的三位偶数允许有重复数字，则百位数字是0的情况有4728⨯=种，所以允许有重复数字的三位偶数有2474719628168⨯-⨯=-=个.（2）组成无重复数字的能被5整除的四位数，末尾数字只能为0或5.当末尾数字为0时，有36A 654120=⨯⨯=个；当末尾数字为5时，有255A 554100=⨯⨯=个.所以组成无重复数字的能被5整除的四位数有120100220+=个.221y b+=，其中,{0,1,2,3,4,5,6}a b ∈，知a b ≠且0ab ≠.当a b >时，由28c ≥，得8≥整理得2216b a ≤-，所以5a =或6，若5a =，则1,2,3b =，此时满足条件的椭圆有3个；若6a =，则1,2,3,4b =，此时满足条件的椭圆有4个.所以满足条件的椭圆有347+=个，同理，当a b <时，满足条件的椭圆也有7个.综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有7714+=个.。

高中数学2.2二项分布及其应用专项测试同步训练2020.031,下列推理正确的是A ． 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ．B ．把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．C ．把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+．D ．把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．2,设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。

求证：0)(=x f 无整数根。

3,把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则他与另一条相交 ．B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则他与另一条垂直．C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．4,图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是A ．2B ．4C ．6D ．85,△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，A ，B ，C 成等差数列，证明△ABC 为等边三角形。

答案1, D2, 证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数‘或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。

高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版一．选择题（共6小题）1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（）A．B．C．D．【分析】电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，由此利用相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式能求出电路正常工作的概率．【解答】解：∵三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，图种方式接入电路，∴电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，∴电路正常工作的概率：P＝（1﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【分析】由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的，从而得出结论．【解答】解：由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B 是相互独立的，故选：C．【点评】本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题．3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为＝0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε＝3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【分析】根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε＝3）＝（）2×（）；故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（ε＝3）的意义．6．已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件概率的公式，整理出求事件AB同时发生的概率的表示式，代入所给的条件概率和事件A的概率求出结果．【解答】解：∵P（B/A）＝，P（A）＝，∴P（AB）＝P（B/A）•P（A）＝＝，故选：D．【点评】本题考查条件概率与独立事件，本题解题的关键是记住并且会利用条件概率的公式，要正确运算数据，本题是一个基础题．二．填空题（共1小题）7．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝7；方差s2＝[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5＝4．从而有x1+x2+x3+x4+x5＝35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2＝20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三．解答题（共9小题）8．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）【点评】本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单9．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【分析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1＝0.32，则共有1000×0.32＝320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08＝1，∴x＝0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n＝50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50＝3，记他们的成绩为a，b，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50＝4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P＝【点评】本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．10．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【分析】（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：X01234P（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．11．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．【分析】设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为；（2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．【解答】解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X012P则…（13分）【点评】本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大．12．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【分析】（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X服从超几何分布，根据超几何分步的概率公式写出概率和分布列．（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对两道和答对三道，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到．【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X 服从超几何分布，分布列如下：X0123P即X0123P（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到【点评】本题考查超几何分布，本题解题的关键是看出变量符合超几何分布，这样可以利用公式直接写出结果．13．甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里再取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．【分析】（1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望【解答】解：（1）由题意，；∴，当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3，所以【点评】本题以摸球为素材，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值．14．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P （ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ01 2 3P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．【点评】本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．15．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．【分析】（1）利用二项分布即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线L1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．【解答】解：（1）设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．则，所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2．，，．随机变量X的分布列为：X012P所以．（3）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～，所以．因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．【点评】熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．16．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【分析】（1）首次获胜前已经负了两场说明已经比赛三场，前两场输，第三场嬴，用乘法公式即可求得概率；（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，比赛六场胜三场，故用乘法公式即可．（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），由公式即可得出篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【解答】解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P＝＝（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，故概率为C63×＝20××＝（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），∴EX＝6×＝2【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查根据所给的事件类型选择概率模型的方法，以及用概率模型求概率与期望的能力。

专题突破训练（12）概率与统计1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.[答案] D2．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理 书的概率为( )A.15B.25C.35D.45[解析] 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理 书的概率为事件B 、D 、E 的概率的并集．P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.[答案] C3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 [解析] 从15个球中任取出2个球有15×142＝105种方法，其中恰有一个白球，1个红球的概率P ＝10×5105＝1021.[答案] B4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 试验发生包含的事件数是3×3＝9，满足条件的事件数是这两位同学参加同一个兴趣小组．由于共有3个小组，所以有3种结果．根据古典概型概率计算公式得P ＝39＝13，故选A.[答案] A5．如图，用随机模拟的方法估计正方形ABCD 内牛的图形的面积，已知正方形的边长为3，为保证试验的准确性，共进行了二十次试验．若二十次试验共向正方形ABCD 中随机撒入3000颗豆子，其中有1200颗豆子落在牛的图形中，那么牛的图形的面积约为( )A ．0.4B ．1.2C ．3.4D ．3.6[解析] 豆子落在牛的图形中的概率为12003000＝0.4，所以牛的图形的面积约为3×3×0.4＝3.6，故选D.[答案] D6．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a ，则不等式log 2(2a －1)<0成立的概率是( ) A.78 B.34 C.14 D.18[解析] 由log 2(2a －1)<0，可得0<2a －1<1，即12<a <1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18，故选D.[答案] D7．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是( )A ．1000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．1000名学生的成绩是一个个体D ．样本的容量是100[解析] 1000名学生的成绩是总体，其容量是1000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.[答案] D8．(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法[解析] 因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．[答案] C9．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知33 48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1 16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13[解析] 间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.故选B.[答案] B10．(2015·安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32[解析] 令y i ＝2x i －1(i ＝1,2,3，…，10)，则σ(y )＝2σ(x )＝16. [答案] C11．在(0,8)上随机取一个数m ，则事件“直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点”发生的概率为 ．[解析] 由直线与圆没有公共点，求出m 的取值范围，利用区间长度比，即可得结果．因为m ∈(0,8)，直线x ＋y －1＝0与圆(x －3)2＋(y －4)2＝m 2没有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<m <8|3＋4－1|2>m ，解得0<m <32，所以所求概率P ＝328.[答案]32812．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一m 人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13，则m ＋n ＝ .[解析] 由题知，35m ＋780＋n×780＝13，解得m ＋n ＝1320.[答案] 1320 [答案] 31513．2017年端午节期间，为确保交通安全，某市交警大队调取市区某路口监控设备记录的18：00 20：00该路口220辆汽车通过的速度，其频率分布直方图如图所示，其中a ，c 的等差中项为b ，且a ，b 的等差中项为0.010.已知该路口限速90 km/h ，则这些车辆中超速行驶的约有 辆．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＝2×0.010，a ＋2b ＋c ＝0.1－(0.010＋0.030)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.015，c ＝0.025.所以汽车行驶速度超过90 km/h 的频率为10a ＝0.05，故汽车行驶速度超过90 km/h 的大约有220×0.05＝11(辆)．[答案] 1114．(2017.福州市高三质检)质检过后，某校为了解理 班学生的数学、物理学习情况，利用随机数表法从全年级600名理 生的成绩中抽取100名学生的成绩进行统计分析．已知学生考号的后三位分别为000,001,002， (599)(1)若从随机数表的第4行第7列的数开始向右读，请依次写出抽取的前7人的后三位考号；(2)如果第(1)问中随机抽取到的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)依次对应如下表：从这7名同学中随机抽取2名同学，求这2名同学中数学和物理成绩均为优秀的概率(规定成绩不低于120分为优秀)．附：(下面是摘自随机数表的第3行到第5行)……16 76 62 27 6656 50 26 71 0732 90 79 78 5313 55 38 58 5988 97 54 14 1012 56 85 99 2696 96 68 27 3105 03 72 93 1557 12 10 14 2188 26 49 81 7655 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30……[解](1)310,503,315,571,210,142,188.15．(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解](1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别为15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．。

12.5 二项分布及其应用一、选择题1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )． A.12 B.512 C.14 D.16 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512.答案 B2．箱内有大小相同的6个红球和4个黑球，从中每次取1个球记下颜色后再放回箱中，则前3次恰有1次取到黑球的概率为( ) A.12 B.36125C.310D.54125解析 每一次取到黑球的概率均为410＝25，则前3次恰有1次取到黑球的概率为 C 31(25)·(35)2＝54125.故选D. 答案 D3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )． A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1]解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A. 答案 A4．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则( )．A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能 解析 p 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110010＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010＝1－⎝⎛⎭⎪⎫9 80110 0005， p 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫981005则p 1<p 2.答案 B5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次， 故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125，故选B.答案 B6.一袋中装着5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时，取球的次数为ξ，ξ是一个随机变量，则P(ξ＝12)＝( ) A.C 1210(38)10(58)2 B.C 119(38)10(58)2C.C 1110(38)10(58)2D.C 129(38)10(58)2解析ξ＝12证明前11次中取到9个红球，2个白球，第12次取到的是红球.∴P(ξ＝12)＝C 119(38)9·(58)2·38＝C 119(38)10·(58)2.答案 B7．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )．A.164B.5564C.18D.116 解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34， 所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564. 答案 B 二、填空题8.在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 . 【解题指南】至少有1人去此地的对立事件是两个人都不去此地，求出两个人都不去此地的概率，再根据对立事件的概率得到结果.解析 由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率问题，两个人都不去此地的概率是(1－14)×(1－15)＝35，∴至少有一个人去此地的概率是1－35＝25.答案 259．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.7210．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 解析 设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”． ∴P (A )＝1－P (A )＝1－(1－0.80)(1－0.90) ＝1－0.2×0.1＝0.98. 答案 0.9811．如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这事件A 发生偶数次的概率为________．解析 由题意，X ～B (n ，p )，且X 取不同值时事件互斥． 设p ＋q ＝1，∴P ＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＋… ＝C n 0p 0q n ＋C n 2p 2q n －2＋C n 4p 4q n －4＋… ＝12[(q ＋p )n ＋(q －p )n ] ＝12[1＋(1－2p )n ] 答案 12[1＋(1－2p )n ]12．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A ，则P (A )＝0.8， P ＝P [](A ∪A )A AA＝(1－P (A )] P (A ) P (A )＝0.128. 答案 0.128 三、解答题13．某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：(1)4吨的频率； (2)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求： ①4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； ②该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．解析 (1)周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2、0.5和0.3. (2)①P 1＝1－0.74＝0.7599.②P 2＝C 43×0.5×0.33＋0.34＝0.0621.故4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率为0.7599；该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率为0.0621.14．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率． 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：P (A )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝27，P (B )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19，P (C )＝C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝29，P (D )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19.∵A 、B 、C 、D 互斥，∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1327. 15．根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如下图． (1)求直方图中x 的值；(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率． (结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125＝1239 125，365＝73×5)解析 (1)x ＝150－⎝ ⎛⎭⎪⎫31 825＋2365＋71 825＋31 825＋89 125＝11918 250.(2)⎝⎛⎭⎪⎫11918 250＋2365×50×365＝219. (3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P ，则P ＝219365＝35，设X 是一周内空气质量为良或轻微污染的天数 则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，35，P (X ＝0)＝C 07⎝ ⎛⎭⎪⎫257，P (X ＝1)＝C 17⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫256，P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫257－7×3×2657＝78 125－128－1 34478 125＝76 65378 125.16．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解析 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. 由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，710.∴P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×100＋1×50＋2×100＝5.。

12.5二项分布及其应用考情分析本节内容主要以解答题的形式与分布列、期望等结合，考查条件概率、相互独立事件的概率，n 次独立重复试验及二项分布 基础知识1、 条件概率：（1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为()(/)()P A B P B A P A =（2） 条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U2、 相互独立事件（1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件（2） 相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃?g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立3、 独立重复试验与二项分布：①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃?，此时称随机变量X 服从二项分布，记作(,)X B n p :，并称p为成功概率。

注意事项1.可先定义条件概率P(B|A)＝，当P(B|A)＝P(B)即P(AB)＝P(A)P(B)时，事件B 与事件A 独立．但是要注意事件A 、B 、C 两两独立，但事件A 、B 、C 不一定相互独立． 2.计算条件概率有两种方法． (1)利用定义P(B|A)＝；(2)若n(C)表示试验中事件C 包含的基本事件的个数，则 P(B|A)＝.题型一 条件概率【例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )．A.18B.14C.25D.12 解析 P(A)＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P(A∩B)＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝110410＝14. 答案 B【变式1】如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝＝12π2π＝14. 答案2π 14[: 题型二 独立事件的概率【例2】某品牌汽车的4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及其数学期望E(η)．解：(1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以 P(A)＝0.83＋C 13×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (2)由a100＝0.2得a ＝20，∵40＋20＋a ＋10＋b ＝100，∴b ＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得： P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝20100＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4； P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为：∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6， P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知DE F，D E F，D EF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)题型三独立重复试验与二项分布【例3】今天你低碳了吗？近来，国内站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量．例如：家居用电的碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，汽车的碳排放量(千克)＝油耗公升数×0.785等．某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：(1)如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；(2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E(ξ)．解：(1)记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ， P(A)＝12×12×15×15＋4×12×12×45×15＋12×12×45×45＝33100.(2)设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率P ＝a×12－152a＝825， 2周后低碳族的概率P ＝1－825＝1725，依题意ξ～B(25，1725)，所以E(ξ)＝25×1725＝17.【变式3】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(A B )＝P(A )·P(B )＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布X ～B(3,0.9)， P(X ＝k)＝C k30.9k×0.13－k，k ＝0,1,2,3，∴X 的分布列是重难点突破【例4】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解析 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次准确”为事件B ，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C. (1)P(A)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)P(B)＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454≈0.99. (3)P(C)＝C 14×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453×45≈0.02.巩固提高1．若随机变量X 的分布列如下表，则E(X)等于( )P A.118 B.9 C.209D.920解析：由分布列的性质可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x ＋4×3x＋5x ＝40x ＝209.答案：C2．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E(X)＝2，则P(X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴E(X)＝n 3＝2.∴n ＝6. ∴P(X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.[:答案：D3．已知随机变量X ～B(6，22)，则P(－2≤X≤5.5)＝( ) A.78B.18C.6364D.3132解析：依题意，P(－2≤X≤5.5)＝P(X ＝0,1,2,3,4,5)＝1－P(X ＝6)＝1－C 66×(22)6＝78. 答案：A[:4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴在y 轴的左侧．其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量X ＝|a －b|的取值，则X 的数学期望E(X)＝( )A.89B.35C.25D.13解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条，X 的可能取值有0,1,2. P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，E(X)＝89. 答案：A5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.148 B.124 C.112D.16解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c＝1，∵a ＞0，b ＞0，∴3a ＋2b≥26ab ，即26ab ≤1，∴ab≤124.当且仅当3a ＝2b 即a ＝25，b ＝35时等式成立．答案：B。

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。

【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。

【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。

二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

高二数学二项分布及其应用试题1.已知随机变量服从二项分布，，则等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】二项分布公式，其中q=1-p依照题意有p=， n=6， k="2" ，q=，所以=，故选D。

【考点】本题主要考查概率的计算及二项分布公式的应用，考查考生的计算能力。

点评：注意运用计算公式时，分清p，q的值。

2. 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k-1个红球，第n次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P=，故选C．【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

点评：本题考查独立重复试验，是一个易错题，解题时注意直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k－1个红球，第n次一定是红球，这个地方容易忽略。

3.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（）A．B．0.24k-1×0.4C．D．【答案】B【解析】∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第K次投中篮球，而乙前k－1次没有投中，根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k-1×0.6k-1×0.4=0.24k-1×0.4；故选B．【考点】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式．点评：是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。

2019届人教B版（文科数学）数学归纳法单元测试一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f(n)=”时,第一步应验证()A. n=1时成立B. n=2时成立C. n=3时成立D. n=4时成立2.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n= 时命题成立可以推得n= +2时命题也成立,则()A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与的取值无关D.以上答案都不对3.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N),在验证n=1成立时,左边的项是()A. 1B. 1+aC. 1+a+a2D. 1+a+a2+a44.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N)能被13整除”的第二步中,当n= +1时为了使用归纳假设,对42 +1+3 +2变形正确的是()A. 16(42 -1+3 +1)-13×3 +1B. 4×42+9×3C. (42 -1+3 +1)+15×42 -1+2×3 +1D. 3(42 -1+3 +1)-13×42 -15.用数学归纳法证明“1+++…+<f(n)”时,由n= 时不等式成立,证明n= +1时,左边应增加的项数是()A. 2 -1B. 2-1C. 2D. 2+16.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)= ()A. f(n)+n+1B. f(n)+nC. f(n)+n-1D. f(n)+n-27.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·…·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n= 到n= +1”时,左边应增添的式子是()A. 2 +1B. 2(2 +1)C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.已知f(n)=++…+(n∈N),则f( +1)-f()= .9.证明:假设当n= (∈N)时等式成立,即2+4+…+2 = 2+ ,那么2+4+…+2 +2( +1)= 2++2( +1)=( +1)2+( +1),即当n= +1时等式也成立.因此对于任何n∈N等式都成立.以上用数学归纳法证明“2+4+…+2n=n2+n(n∈N)”的过程中的错误为 .10.用数学归纳法证明++…+> (n>1且n∈N)时,第一步要证明的不等式是 .11.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n= 时,等式成立,即1+2+22+…+2 -1=2-1,则当n= +1时,1+2+22+…+2 -1+2==2 +1-1,所以当n= +1时,等式也成立.由此可知,对任意n∈N,等式都成立.上述证明过程中的错误是 .三、解答题(本大题共2小题,共25分)得分12.(12分)设n∈N,求证:++…+≤2-.13.(13分)已知数列{a n}的第一项a1=5且S n-1=a n(n≥2,n∈N),S n为数列{a n}的前n项和.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想a n的表达式;(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式.14.(5分)用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证n= +1时的情况,只需展开()A. ( +3)3B. ( +2)3C. ( +1)3D. ( +1)3+( +2)315.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=0,a n≥0,3=+a n+1(n∈N).(1)用数学归纳法证明:1-≤a n<1(n∈N);(2)求证:a n<a n+1(n∈N).1.C[解析]因为多边形至少有3条边,故第一步只需验证n=3时结论成立.2.B[解析]由n= 时命题成立可以推出n= +2时命题也成立,且n=2时命题成立,故该命题对所有的正偶数都成立.3.C[解析]用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N)”,在验证n=1时,把n=1代入,左边=1+a+a2.4.A[解析]假设n= 时命题成立,即42 -1+3 +1能被13整除.当n= +1时,42 +1+3 +2=16×42 -1+3×3 +1=16(42 -1+3 +1)-13×3 +1.5.C[解析]用数学归纳法证明“1+++…+<f(n)”时,当n= 时,左边=1+++…+,当n= +1时,左边=1+++…+,∴不等式左边增加了2 +1-2=2(项).故选C.6.C[解析]增加一个顶点,就增加(n+1-3)条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.7.B[解析]当n= 时,式子左边为( +1)( +2)…( + ),当n= +1时,式子左边为( +2)( +3)…( + )(2 +1)(2 +2),∴“从n= 到n= +1”时,左边应增添的式子是=2(2 +1),故选B.8.++-9.缺少步骤归纳奠基10. +++> [解析]∵n>1,∴第一步应证明当n=2时不等式成立,即+++>.11.没有用到归纳假设[解析]正确的解法是②中,当n= +1时,1+2+22+…+2 -1+2=2-1+2=2 +1-1,即用到了归纳假设.12.证明:①当n=1时,1≤2-1=1,不等式成立;②假设当n= (∈N)时,不等式成立,即++…+≤2-,则当n= +1时,++…++≤2-+<2-+=2-+=2-.由①②可知,对任意n∈N,都有++…+≤2-成立.13.解:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想a n=(2)证明:①当n=2时,a2=5×22-2=5,通项公式成立.②假设当n= (≥2,∈N)时通项公式成立,即a=5×2 -2,则当n= +1时,由已知条件和假设有a +1=S=a1+a2+a3+…+a=5+5+10+…+5×2 -2=5+=5×2 -1,故n= +1时通项公式也成立.由①②可知,对任意n≥2,n∈N,有a n=5×2n-2,所以数列{a n}的通项公式为a n=14.A[解析]因为从n= 到n= +1增加了( +3)3,减少了3,故利用归纳假设,只需将( +3)3展开,证明余下的项92+27 +27能被9整除.15.证明:(1)①当n=1时,显然结论成立;②假设当n= 时结论成立,即1-≤a<1,则3=+a+1<3,又a +1≥0,∴0≤a +1<1,又a≥1-,∴3=+a+1≥++1=-+3,∴≥1-+>1-+=,∴a +1>1-,∴当n= +1时,结论成立.由①②可知,1-≤a n<1(n∈N).(2)3-3=-2+a n+1=-2+,由(1)可知0≤a n<1,∴-2+>0,∴3-3>0,∴a n<a n+1.。

二项分布及其应考试范围：二项分布及其应；考试时间：100分钟；命题人：xxx第I 卷（选择题）一、选择题1．李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值ξE 是（ ）A ．1 C 2，则甲以1:3的比分获胜的概率为（ ）A ．．3．设X 为随机变量，X ～B X 的数学期望E (X )＝2，则P (X ＝2)等于( )4．已知随机变量X ～B(6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D(η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5. 76 D ．6.765．一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（ ）A. B. C. 6．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ）A.4.06.01⨯-kB. 0.24k-1×0.4C. 6.04.01⨯-kD. 24.076.01⨯-k 7．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得()k k n ≤次红球的概率为（ ）A BC D8．设随机变量X 的概率分布列为（ ）9．设第X 次A. 10．已知随机变量X 服从二项分布，(6,)3X B ，则(2)P X =等于( )A. 316B. 4243C. 13243D. 80243第II卷（非选择题）二、填空题11．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．12．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．13．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p则n＝________，V(X)＝________.14．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________.15．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．16．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则V(X)＝________.17．投掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是________．18________．19．已知一个射手每次击中目标的概率为p4次射击中，命中两次的概率为________，刚好在第二、第三两次击中目标的概率为________．20．甲、乙两人各射击1击中相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标也没有影响．则两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．三、解答题21．有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号。

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第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是 A ． B ． C ．
D ．
【答案】A
【解析】次独立重复实验，恰好发生一次的概率为
．故选A ．
2．每次试验的成功率为()01p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功、后3次都成功的概率为
A ．33107
C (1)p p -
B ．73103
C (1)p p -
C ．37()1p p -
D ．73()1p p -
【答案】C
【解析】成功率为p ，则不成功的概率为1p -．前7次都未成功概率为7
(1)p -，后3次都成功概率为
3p ，所以前7次都未成功、后3次都成功的概率为37()1p p -．故选C ．
3．甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次，那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为 A ．21P P + B ．21P P ⋅
C ．211P P -
D ．)1)(1(121P P ---
【答案】D
【解析】因为甲、乙两人在相同条件下进行射击，甲射中目标的概率为1P ，乙射中目标的概率为2P ，两
人各射击1次，那么甲、乙均射不中目标的概率就是
)1)(1(121P P ---，所以甲、乙至少有一个射中目标的概率为)1)(1(121P P ---．故选D ．。

1．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.8，问他连续射击两次都没命中的概率为A．0.8 B．0.64C．0.16 D．0.042．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为A．B．C．D．3．把一枚硬币投掷两次，事件｛第一次出现正面｝，｛第二次出现正面｝，则等于A．B．C．D．4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率为0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是A．0.75 B．0.60C．0.48 D．0.205．已知随机变量x服从二项分布x B(6,),则P(x=2)等于A．B．C．D．6．射击比赛中,每人射击3次,至少击中2次才合格.已知某选手每次射击击中的概率为0.4,且各次射击是否击中相互独立,则该选手合格的概率为A．0.064 B．0. 352C．0.544 D．0.167．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他各次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93，②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1，④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是____(把正确结论的序号都填上).8．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是____.9．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为. 10．某商场安装有3台报警设备,它们彼此独立工作,且发生险情时每台报警设备报警的概率均为0.9,求发生险情时,下列事件的概率.(1)3台都报警;(2)至少有1台报警.11．甲,乙两人进行围棋比赛,共比赛局,根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为.(1)求与的值;(2)试比较与的大小,并证明你的结论.12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3个出现发热反应的概率为(精确到0.001)A．0.942 B．0.205C．0.737 D．0.99313．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为80 ,则他在3次罚球中罚失1次的概率是A．B．C．D．14．抛掷甲、乙两枚骰子,若事件A:“甲骰子的点数小于3”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于6”,则P(B|A)的值等于A．B．C．D．15．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对，则所有数对中满足的概率为A．B．C．D．16．设A,B,C三个电子元件组成如图所示的系统,它们正常工作的概率都是,且各元件是否损坏互不影响,那么系统能正常工作的概率为.17．设随机变量X B(2, p),随机变量Y B(3, p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=.18．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为(用数字作答).19．某高二同语文、数、英语三的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数为0.8，英语为0.85，求：(1)三成绩均未获得第一名的概率是多少；(2)恰有一成绩未获得第一名的概率是多少.20．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：(1)该同得4分的概率；(2)该同得分少于5分的概率.21．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列.22．某校高一年级生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些生的原始成绩均分布在[50，100 内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级生身体素质情况，从中抽取了n名生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100 的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率.23．(2015年高考新课标Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同通过测试的概率为A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.31224．（2014年高考新课标Ⅱ卷）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.451．【答案】D【解析】依题意，连续两次都没命中的概率为.2．【答案】B∴.3．【答案】B【解析】，()1 (/)()2P ABP B AP A==. /5．【答案】A【解析】P(x=2)==6．【答案】B【解析】因为击中2次或3次即为合格,所以合格概率为. 7．【答案】①②④【解析】序号判断原因分析3次独立重复试验恰有3次①√发生的概率独立重复试验中各次试验②√中事件A发生的概率相同应为③×恰好2次未击中目标等价④√于恰好1次击中目标8．【答案】[0.4，1【解析】由题意知，4(1－p)≤6p所以0.4≤p≤1.9．【答案】【解析】此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为P=P(=2)+P(=3)==11．【解析】(1)若甲、乙比赛4局甲获胜,则甲在4局比赛中至少胜3局,所以同理.(2)在局比赛中甲获胜,则甲胜的局数至少为局,故====所以=.又因为==所以所以.12．【答案】A【解析】至少3个出现发热反应即分为3,4,5个出现发热反应三种情况，故概率为13．【答案】A【解析】根据独立重复试验的概率公式,他在3次罚球中罚失1次的概率是,故选A．15．【答案】C【解析】满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以，所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1).16．【答案】【解析】系统能正常工作,则电子元件A能正常工作且电子元件B,C至少有一个能正常工作,设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C能正常工作,则P（A）=P（B）=P（C）=.设事件D表示“系统能正常工作”.方法一：D=(AB)∪(A C)∪(ABC),事件AB,A C,ABC两两互斥,由互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率计算公式得P（D）=P(AB)+P(A C)+P(ABC)=++=.方法二：P（D）=P（A）(1−P())=P（A）(1−P()P())=×(1−)=.17．【答案】【解析】∵P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)2=,∴p=,∴P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−(1−p)3=.18．【答案】0.947 7【解析】依题意得,所求的概率等于·0.93·0.1+·0.94=0.9477. / ++19．【解析】分别记该生语文、数、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(2)“恰有一成绩未获得第一名”可以用表示.由于事件，和两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为＝[1－P(A) P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B) P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一成绩未获得第一名的概率是0.329.20．【解析】(1)设该同在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立.依题意.则该同得4分的概率为.答：该同得4分的概率为.(2)该同得0分的概率为；则该同得分少于5分的概率为.答：该同得分少于5分的概率为.21．【解析】由已知每位参加保险人员选择A社区医院的概率为，4名人员选择A社区医院即4次独立重复试验，即，所以，所以X 的分布列为X0 1 2 3 4P22．【解析】(1)n＝＝50，x＝＝0.004，y＝＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校 生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为，设在该校高一 生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ，则P (A )＝1－×(1－)3＝. · 223．【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同 通过测试的概率为2233C 0.60.40.6⨯+=0.648，故选A.。

高二下学期二项分布及其应用测试题班别： 姓名： 学号： 成绩：一、选择题（每小题8分,共64分）1、从6,5,0,1,2,3---这6个数字中任取两个数相乘得到积，则积为正数的概率是（ ）A 、51B 、154C 、101D 、158 2、一个口袋内装有大小相等的3个白球和4个黑球，从中任意取出两个球，求取出的两个球中至少有一个白球的概率（ ）A 、75B 、72C 、73D 、74 3、甲、乙两人下棋，甲胜的概率30%，两人下成和棋的概率为45%，那么甲输的概率是（ ）A 、75%B 、15%C 、25%D 、55%4、找出下列事件中A 、B 成独立事件的选项（ ）A 、 某人射1枪，P （A ）为“射中6环”，P （B ）为“射中7环”B 、 某两人各射1枪，P （A ）为“甲射中6环”，P （B ）为“乙射中7环”C 、 某两人各射1枪，P （A ）为“两人都中目标”，P （B ）为“两人都不中目标”D 、 某两人各射1枪，P （A ）为“至少有1人射中目标”，P （B ）为“甲中乙不中目标”5、甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为：51,31,21，现在3人同时射击1个目标，目标被击中的概率是（ ） A 、301 B 、1511 C 、158 D 、154 6、甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为51,31,21，现在3人同时射击一次，恰有1人射中的概率是（ ）A 、3017 B 、156 C 、157 D 、158 7、某人播下100粒种子，已知每一粒发芽的概率为0.9，那么恰有80粒发芽的概率是（ ）A 、802080100)9.01()9.0(-CB 、208080100)9.01()9.0(-CC 、（9.0）80D 、80)9.0(1-8、某人对一目标进行射击，每次命中率都是40%，若使至少命中一次的概率不少于80%，至少应射击多少次？A 、2次B 、3次C 、4次D 、5次填空题：（每小题8分，共32分）9．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 ______________10．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么4=ξ表示的随机试验结果为____________。