2019届人教A版(文科数学) 函数 单元测试

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数2110,sin(),()0.,x x x f x x e π--<<⎧=⎨≥⎩若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ ） （A ） 1 (B) 1,2-(C) 2- (D) 1,2(2005山东文) 2．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>3．函数x x y cos sin 3+=，]6,6[ππ-∈x 的值域是----------------------------------------------------------（ ） A .]3,3[- B .]2,2[- C .]2,0[ D .]3,0[二、填空题4．已知函数,1,()(4)2, 1.2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 。

5．定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为 ．6．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个.7．若函数3()ln f x x x=+在区间(,2)m m +上单调递减，则实数m 的范围是________. 8．1mx =+有且只有一个实根，则实数m 的取值范围9．已知函数()()()lg 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的 解集是 ．10．已知=-=-+=)3(,8)3(,1sin )(f f x b ax x f 则且11．计算5lg 2lg +的结果为 、 12．设函数22,(,1]()1,(1,)x x f x x x⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩则满足41)(=x f 的x 值为 13．计算122100log 8-=____7____.14．若a ，b 为实数，集合{}1{0}b M P a a ==，，，，:f x x →是集合M 到集合P 的一个映射，则a +b = ▲ .15．若函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(3x x x x f x ，则________ 16．设 )(x f 与)(x g 是定义在同一区间 ],[b a 上的两个函数，若对任意 ],[b a x ∈，都有 1|)()(|≤-x g x f 成立，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“亲密函数”，区间],[b a 称为“亲密区间”．若 43)(2+-=x x x f 与 12)(-=x x g 在],[b a 上是“亲密函数”，则a b - 的最大值是 ▲ ．17．已知函数c x x y +-=33的图像与x 恰有两个公共点，则_________=c18．已知函数()32-=x x f ，若120+<<b a ，且()()32+=b f a f ，则b a T +=23的取值范围为 ．19．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．三、解答题20．已知函数y ＝x ＋x a 有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2x a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）.21．（本题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品.根据经验知道，次品数p （万件）与日产量x （万件）之间满足关系：2,146125,4x x p x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩．已知每生产1万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生1万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损）⑴ 试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T (万元) 表示为日产量x (万件) 的函数；⑵ 当工厂将这种仪器的元件的日产量x (万件) 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？22．已知函数,11log )(2-+=x x x f )1(log )(2-=x x g （1）判断)(x f 在区间),1(+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）记函数kx g x h x++=)22()(，问：是否存在实数k 使得函数)(x h 为偶函数？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）记函数)(log )()()(2x p x g x f x F -++=，其中,1>p 试求)(x F 的值域.23．已知奇函数函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，当0>x 时，xx f 11)(-= （1）求)2(-f 的值；（2）当0<x 时，求)(x f 的解析式；（3）求证：函数)(x f 在区间(0,)+∞上是单调增函数.24．已知奇函数)(x f 的定义域为(1,1)-，当)1,0(∈x 时，2()21xx f x =+． （1）求)(x f 在(1,1)-上的解析式；（2）判断)(x f 在(0,1)上的单调性，并证明之．25．函数21()21x x f x -=+（x ∈R ）． （1）求函数()f x 的值域；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（4）解不等式()()2110f m f m -+-<．26．求函数y =.27．设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

___________，定义域为_______.
8000
思路解析：设池底一边长为 x（米），则其邻边长为
（米），
6x
8000
8000
池壁面积为 2·6·x+2·6·
=12（x+
）（米 2），
6x
6x
8000 8000
池底面积为 x·
=
（米 2）.
6x 6
根据题意可知蓄水池的总造价 y（元）与池底一边长 x（米）之间的函数关系为 y=12a（x+
29
32
36.3
40.9
44.6
47
(1)试写出描述芦蒿市场需求量 y 关于价格 x 的近似函数关系式；
(2)根据信息，请探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与供应量相等).(近似到 1 吨)
思路分析:本题考查学生的阅读能力.
3
2
解:(1)根据市场需求量信息表在直角坐标系中描点，可知这些点近似在一条直线上(其中有
且仅有两个相异的稳定点.
(2)证明:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
所以 f(-0)=-f(0)，即 f(0)=0.
因此(0，0)是 f(x)的一个稳定点.
假设函数还有稳定点(x0，x0)，
即 f(x0)=x0，则必定有 f(-x0)=-x0. 这说明(-x0，-x0)也是函数的稳定点. 综上所述，奇函数的稳定点除原点外，都是成对出现，因此其稳定点的个数是奇数.
0.02
60,0 x 100, （2）p=f（x）= 62 x ,100 x 550, 其中 x∈N *.
50 50, x 550,
（3）当销售商一次订购量为 x 个时，该工厂的利润为 y，则

第三章 函数的应用单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )答案 A解析 由二分法的定义与原理知A 选项正确．2．下列函数中，随着x 的增大，其增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e xB ．y ＝1000ln xC ．y ＝x1000D ．y ＝1000·2x答案 A解析 增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.718>2.3．已知函数f (x )是R 上的单调函数，且f (x )的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( ) A ．f (4) B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32答案 C解析 由题易知f (x )的唯一零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，由f (x )是R 上的单调函数，可得f (1)与f (0)符号相同，故选C.4．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．x 0＝－32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1答案 C解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·f (2)<0，则x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 5．函数f (x )＝x12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 令f (x )＝0，可得x 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝x 12和指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x )的零点只有一个．6．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前 答案 D解析 ∵函数不是增函数，∴A 错；[0,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．7．函数f (x )＝x ln(x －2017)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 函数f (x )的定义域为{x |x >2017}，令f (x )＝0，则x ＝2018，故只有1个零点． 8．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A ­B ­C ­M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 依题意，当0<x ≤1时，S △APM ＝12×1×x ＝12x ；当1<x ≤2时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－12×1×(x －1)－12×12×(2－x )＝－14x ＋34；当2<x ≤2.5时，S △APM ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ＝－12x ＋54.∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.再结合图象知应选A. 9．若f (x )＝x －1x，则函数y ＝f (4x )－x 的零点是( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 根据函数零点的概念，函数y ＝f (4x )－x 的零点就是方程f (4x )－x ＝0的根，解方程f (4x )－x ＝0，即4x －14x －x ＝0，得x ＝12，故选A.10．若关于x 的方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是()答案 D解析 因为关于x 的方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y＝2的图象在区间(－∞，0)内有交点，观察图象可得只有选项D 中图象满足要求．11．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 在同一坐标系中分别画出函数y 1＝|x 2－3|和y 2＝a 的图象，如图所示．可知方程解的个数为0、2、3或4，不可能有1个解．12．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设洗x 次，令⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，得x ≥1lg 2≈3.322，因此至少要洗4次．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．下列说法正确的是________(填序号)． ①一次函数在R 上只有一个零点； ②二次函数在R 上只有一个零点； ③指数函数在R 上没有零点；④对数函数在(0，＋∞)上只有一个零点； ⑤幂函数在其定义域内可能没有零点． 答案 ①③④⑤解析 一次函数在R 上是单调函数，只有一个零点，①正确；二次函数的零点有三种情况：0个，1个，2个，②不正确；指数函数的值域为(0，＋∞)，没有零点，③正确；对数函数是单调函数，且图象过定点(1,0)，故只有一个零点，④正确；幂函数y ＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内没有零点，⑤正确．14．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．答案 跌了1.99%解析 (1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x ≥2时，函数y ＝2x单调递减，值域为(0,1]；当x <2时，函数y ＝(x －1)3单调递增，值域为(－∞，1)．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k ∈(0,1)．16．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 分a >1与0<a <1两种情况，画出函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象，如图所示．由图知，当a >1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点(0,1)，且有唯一的零点－1.(1)求f (x )的表达式；(2)当x ∈[－1,1]时，求函数F (x )＝f (x )－kx 的最小值g (k )．解 (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f －＝0，Δ＝b 2－4ac ＝0，解得a ＝1，b ＝2，c ＝1，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)F (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝k －22.当k －22≤－1，即k ≤0时，g (k )＝F (－1)＝k ；当－1<k －22<1，即0<k <4时，g (k )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22＝－k 24＋k ；当k －22≥1，即k ≥4时，g (k )＝F (1)＝4－k .综上，可知g (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧k ，k ≤0，－k24＋k ，0<k <4，4－k ，k ≥4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )有一个二重零点，求实数a ，b 满足的关系式．解 (1)∵a ＝1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1，∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)∵二次函数f (x )有一个二重零点，∴方程ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，从而Δ＝b 2－4a (b －1)＝0，即b 2＝4a (b －1)，此即实数a ，b 满足的关系式．19．(本小题满分12分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q ＝Q 0e－0.0025t ，其中Q 0是臭氧的初始量．(1)随着时间t 的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？(参考数据：ln 0.5≈－0.69) 解 (1)对于函数Q ＝Q 0e－0.0025t，显然Q >0.任取t 1<t 2，则t 2－t 1>0，Q 1Q 2＝Q 0e －0.0025t 1Q 0e －0.0025t 2＝e －0.0025(t 1－t 2)＝e 0.0025(t 2－t 1)>e 0＝1，所以Q 1>Q 2. 故随着时间t 的增加，臭氧的含量是减少的．(2)令Q Q 0＝Q 0e －0.0025t Q 0＝e －0.0025t ＝12，解得－0.0025t ＝ln 12≈－0.69，解得t ＝276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失．20．(本小题满分12分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30 h 以内(含30 h)每张球台90元，超过30 h 的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15 h ，也不超过40 h.(1)设在甲家租一张球台开展活动x h 的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x h 的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )；(2)问选择哪家比较合算？为什么？ 解 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18， 即当15≤x <18时，f (x )<g (x )； 当x ＝18时，f (x )＝g (x )； 当18<x ≤40时，f (x )>g (x )． ∴15≤x <18时，选甲家比较合算； 当x ＝18时，两家一样合算； 当18<x ≤40时，选乙家比较合算． 21．(本小题满分12分)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．解 (1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4x －x －，设g (x )＝0.4x －x －，h (x )＝(x －3)(x －4)，易知h (x )的图象是抛物线的一部分，在[7，＋∞)上单调递增，故g (x )在[7，＋∞)上单调递减，所以当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的． (2)由f (6)＝0.85，可知0.1＋15ln aa －6＝0.85，整理得aa －6＝e0.05，解得a ＝6e0.05e 0.05－1≈123.又123∈(121,127]，所以该学科是乙学科．22．(本小题满分12分)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg (x －1)＋lg (3－x )＝lg (a －x )的实根的个数．解 原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，x －－x ＝a －x .即⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，x －－x ＝a －x .整理，得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3)．在同一坐标系中分别作出函数y ＝a 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示：当x ＝1时，y ＝1； 当x ＝3时，y ＝3； 当x ＝52时，y max ＝134.(1)当a >134或a ≤1时，函数图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．。

一、选择题1．【2018河南郑州高三二诊】已知函数()2cos22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】C【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移| φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．2．【2018北京师范大学附中高三一模】将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】由题意，，，时，，故选B ．3．【2018陕西咸阳高三一模】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,3A a π==ABC ∆面积的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】B4．【2018湖南襄阳高三一模】在ABC 中，已知2224(a b c S S +-=为ABC 的面积)，若e =则a 的取值范围是( )A. (B. ()1,0-C. (-D. ( 【答案】C 【解析】222222144sin 2a b c S a b c ab C +-=⇒+-=⨯ 2222sin 2a b c ab C ab +-=⇒sin C =，cos sin 4C C C π∴=⇒=，2sin sin sin a b cA B C====，2sin ,2sin a A b B ∴==，22sin 2sin a b A B -=- 32sin 2sin 4A B A A π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭cos 4sinA A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，304442A A ππππ<<⇒-<-<，14A π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，1a ∴-<<，故选C. 5．【2018陕西高三一模】已知函数()()sin sin 3? f x x x θ=+是奇函数，其中 02πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，则()f x 的最大值为( )A.12B. C. 1 D.【答案】A6．【2018海南高三一模】将曲线()sin 2()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A.3π B. 6π C. 3π- D. 6π- 【答案】D【解析】曲线()sin 2()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线 ()sin 2x sin 263y f x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，()π2,32k k Z πϕπ-+=+∈，则()5πk π6k Z ϕ=+∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-. 故选D.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型. 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x 的系数是否为1，如果x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.7．【2018河南商丘高三一模】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 由求增区间;由求减区间.8．【2018四川德阳高三二诊】函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由题函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即为奇函数，对照选项可知选B.9．【2018宁夏银川高三一模】在中，角的对边分别为，已知的面积为，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C∵的面积为∴，即.∵∴，当且仅当时取等号.∴故选C.10．【2018安徽马鞍山高三一模】设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．【2018河北唐山高三一模】若[]0,x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ） A. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D12．【2018重庆巴蜀中学高三3月考试】把sin y x =的图象向左平移φ个单位（φ为实数），再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到()f x 的图象，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，若()110tan 23f θπ=，则θ的可能取值为（ ）A.34π B. 512π C. 6π D. 12π【答案】A【解析】由题意可得()()sin 2f x x ϕ=+， ∵()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈恒成立， ∴6f π⎛⎫⎪⎝⎭是最大值或最小值，∴2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故,6k k Z πϕπ=+∈．又()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭， ∴()sin 2sin 22πϕπϕ⎛⎫⨯+>+ ⎪⎝⎭，即sin sin ϕϕ->， ∴sin 0ϕ<，∴当1k =-时， 56πϕ=-符合题意． ∴()5sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．13．【2018河北邯郸高三一模】若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线C ： sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A. 17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 410,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】34100,,26626226233x x πππωπππωπππωω⎛⎫⎛⎫∈∴-∈--∴<-≤∴<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选D.【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T πω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间 14．【2018安徽安庆高三一模】在锐角ABC ∆中， 2A B =，则ABAC的取值范围是（ ）A. ()1,3-B. ()1,3C.D. ()1,2【答案】D15．【2018安徽合肥高三一模】已知点I 在ABC ∆内部， AI 平分BAC ∠，12IBC ACI BAC ∠=∠=∠，对满足上述条件的所有ABC ∆，下列说法正确的是（ ）A. ABC ∆的三边长一定成等差数列B. ABC ∆的三边长一定成等比数列C. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等差数列D. ABI ∆， ACI ∆， CBI ∆的面积一定成等比数列 【答案】B【解析】设,,IBC ACI BAI CAI IA IC m IB n θ∠=∠=∠=∠====．在IAC ∆中，可得2cos bm θ=．在,,ABI BCI ABC ∆∆∆中，分别由余弦定理得2222cos n c m cm θ=+-，① 2222cos m a n an θ=+-，② 2222cos2a b c bc θ=+-．③由①+②整理得()222cos cm an a c θ+=+，∴222cos a c cm an θ++=，将2cos bm θ=代入上式可得222cos a c bc n a θ+-=．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量,m n ，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量,m n 的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．16．【2018湖南郴州高三一模】函数()()sin f x A x ωϕ=+ (其中0A >， 2πϕ<)的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象（ ）可得()sin 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象A. 向右平移12π个长度单位 B. 向左平移24π个长度单位 C. 向左平移12π个长度单位 D. 向右平移24π个长度单位【答案】D17．【2018云南昆明高三一模】若直线(01)x a a π=<<与函数tan y x =的图像无公共点，则不等式tan 2x a ≥的解集为（ ）A. {|,}62x k x k k Z ππππ+≤<+∈ B. {|,}42x k x k k Z ππππ+≤<+∈ C. {|,}32x k x k k Z ππππ+≤<+∈ D. {|,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【答案】B【解析】由题意得直线是正切的函数的渐近线，所以2x π=， tan 1x ≥，所以,42k x k k z ππππ+≤<+∈，选B.18．【2018河南安阳高三一模】将3sin4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则3f m π⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A. a - B. 3a -- C. 3a -+ D. 6a -- 【答案】D 【解析】因为()][3sin 433sin 43123f x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3sin 433m a π⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，因此3f m π⎛⎫-=⎪⎝⎭ ][53sin 433sin 4333633m m a a ππ⎡⎤--=-+-=---=--⎢⎥⎣⎦，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 19．【2018四川高三春季诊断】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】D二、填空题20．【2018陕西高三一模】在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 1sin sin b Cb ac A B==-++,且5,5b AC AB ==,则ABC 的面积是__________．【解析】在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin 1sin sin b Cb ac A B==-++， 所以1b ca c ab -++＝ ，化简可得： 222b a bc c =+-，可得10,23cosA A A ππ=<<∴=，．又5,5b AC AB == ,cos 510,bc A bc ∴=∴=，111022S bcsinA ==⨯=. 21．【2018江西高三质监】设函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b R ∈，， 0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则函数()f x 的单调递增区间是__________．【答案】()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦22．【2018上海普陀高三一模】在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan bc a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π【解析】由()222tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221tan 22b c a A bc +-=，由余弦定理可得cos tan A A ⋅= 11sin ,2A A ⇒=是锐角， 6A π∴=，故答案为6π.23．【2018四川德阳高三二诊】已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题：①的面积的最大值为40；②满足条件的不可能是直角三角形； ③当时，的周长为15；④当时，若为的内心，则的面积为.其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）． 【答案】③④【解析】①由题，，由余弦定理得：当且仅当即取等号，此时．的面积的最大值为24；不正确②由题，假设是直角三角形，则解得故可能是直角三角形；②不正确24．【2018河北保定高三一模】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 6b =，且22cosB ac a b =-，O为ABC∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=，则OA =__________．【答案】3【解析】因为22cosB ac a b =-+，所以()2222222212a c b a b b c a +-=-∴+-=2223cos sin 24b c a A A bc +-∴==∴=因为0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 重心，设AC 中点为M ，则B,O,M 三点共线，由面积关系得011sin302223133sin 324AOBAMBAB AO AOS BO AO S BM AB AM A ∆∆⨯⨯==∴=∴=⨯⨯⨯25．【2018云南昆明高三一模】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1cos 4C =， 3c =，且cos cos a bA B=，则ABC 的面积等于__________．【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．26．【2018江西上饶高三一模】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>, ABC ∆的外接圆半径为1， a =若边BC 上一点D 满足3BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 __________．【解析】∵△ABC 的外接圆半径R 为1， a = ∴由正弦定理22sin aR A==，可得：27．【2018陕西榆林高三一模】在中，角，，的对边分别是，，，，若，则的周长为__________．【答案】【解析】 由题意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周长为.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.28．【2018新疆乌鲁木齐高三二诊】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,2,a b c 成等比数列， 222a b c bc =+-，则sin b Bc的值为__________．三、解答题29．【2018广东惠州高三4月模拟】已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A , B , C 的对边，且cos 1sin A C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=,且△ABC ,求a 的值.【答案】(1) 60A =︒;(2) a =.试题解析：（1）由正弦定理得： cos 1sin A C+=∵sin 0C ≠cos 1A A -= ，即()1sin 302A -︒=. ∵0180A ︒<<︒∴3030150A -︒<-︒<︒ ∴3030A -︒=︒∴60A =︒.（2）由： ABC S ∆=可得1sin 2S bc A ==.∴4bc = ∵5b c +=∴由余弦定理得： ()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=∴a =30．【2018河南郴州高三一模】ABC 内接于半径为R 的圆， ,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且()()222R sin sin b c sin ,3B A C c -=-=.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若AD 是BC 边上的中线， AD =，求ABC 的面积.【答案】（Ⅰ）60A =︒；(Ⅱ. 【解析】试题分析：（1）统一边，转化为角A 的余弦定理，可求得角A.(2)由于AD 是BC 边上的中线，所以以,AB AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在ABE 中，120ABE AE ∠=︒=，求得AC,可求得面积。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第三章单元测试卷班级：___________姓名：___________评卷人得分一、单选题（每题５分，共40分）1．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()4f =（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．42．某人去上班，先跑步，后步行.如果y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A ．B ．C ．D ．3．下列四个函数中，在(0,)+¥上为增函数的是（ ）A ．()3f x x=-B ．2()3f x x x=-C ．1()f x x=D ．()f x x=4．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A ．2y =与y x=B ．3y =与y x=C ．y =2y =D ．2y =与2x y x=5．函数2()ax bf x x +=是定义在(,3][1,)b b -¥-È-+¥上的奇函数．若(2)9f =，则a b +的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)-+¥B ．(,3]-¥-C ．(,5)-¥D ．[3,)+¥7．给定函数2()2,()4,f x x g x x =+=-对于,x R "Î用()M x 表示(),()f x g x 中的较小者，记为{}()min (),()M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．48．设函数()22f x x x =-+，()2g x ax =-，若对任意[]11x Î-，恒有()()f x g x >，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2-¥-B ．(),1-¥-C ．()2,+¥D ．()1,3评卷人得分二、多选题（每题５分，共20分）9．已知幂函数()f x 的图像经过127,3æöç÷èø，则幂函数()f x 具有的性质是（）A ．在其定义域上为增函数B ．在()0,¥+上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R10．下列函数中，值域为[)1,+¥的是（ ）A ．222y x x -=+B ．11yx =-C ．y=D ．y =11．已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是（）A ．()10g =B ．()122g =-C ．()()0g x g x -+>D ．()()0g x g x -+<12．下列命题，其中正确的命题是（）A ．函数221y x x =++在()0,¥+上单调递增B ．函数11y x =-在()(),11,-¥--+¥U 上是减函数C ．函数y 的单调区间是[)2,-+¥D ．已知()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-评卷人得分三、填空题（每题５分，共20分）13．已知函数12,0()1,0x x f x x x -<ìï=í>ïî，则()2f f -=éùëû___________.14．函数()f x =___．15．构造一个定义在R 上的奇函数___________.16．设()f x =[)0,+¥，则实数a 的值组成的集合是___________．评卷人得分四、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（1）已知f (x )的定义域为[0，2]，求y =f (x +1)的定义域；（2）已知y =f (x +1)的定义域为[0，2]，求f (x )的定义域；（3）已知函数y =f (2x ﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y =f (x ﹣2)的定义域.18．求下列函数的解析式（1）已知f (x )=x 2+3x +2，求f (x +1)；（2）已知f (x 2+1)=3x 4+2x 2﹣1，求f (x )；（3）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)﹣2f (x ﹣1)=2x +17，求f (x ).19．已知函数()4f x x x=+．（1）求证：()f x 在()2,+¥上是增函数；（2）判断()f x 在()0,2上的单调性（只写结论不必给出理由），并求出()f x 在[]1,5上的最值．20．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意的,x y R Î，都有()()()f x y f x f y +=+成立.若当0x >时，()0f x <.（1）试判断()f x 的奇偶性；（2）试判断()f x 的单调性；（3）解不等式()2(6)f x x f ->.21．食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄瓜，根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P （单位：万元），种植黄瓜的年利润Q （单位：万元）与投入的资金x （4≤x ≤16，单位：万元）满足P =，Q =1124x +.现合作社共筹集了20万元，将其中8万元投入种植西红柿，剩余资金投入种植黄瓜.求这两个大棚的年利润总和.22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()22f x x x =--．（1）求函数()()f x x R Î的解析式；（2）函数()()[]()221,2g x f x ax x =-+Î，当[]1,2x Î时，求函数()g x 的最小值．参考答案1．D 【分析】设()f x x a =，然后将点()2,2代入可求出a ，从而可求出解析式，进而可求得()4f 的值【详解】由题意设()f x x a =，因为幂函数()y f x =的图象过点()2,2，所以22a =，得1a =，所以()f x x =，所以()44f =，故选：D 2．D 【分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用0x =时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【详解】解：由题意可知：0x =时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A 、C ，随着时间的增加，先跑步，开始时y 随x 的变化快，后步行，则y 随x 的变化慢，所以适合的图象为D ；故选：D 3．D 【分析】根据题意，依次判断各选项中函数的单调性即可．【详解】对于A ，()3f x x =-，在区间(0,)+¥为减函数，故A 不符合题意；对于B ，2()3f x x x =-的对称轴为直线32x =，且开口向上，所以函数在3,2æö-¥ç÷èø上单调递减，在3,2æö+¥ç÷èø上单调递增，故B 不符合题意；对于C ，1()f x x=，在区间(0,)+¥为减函数，故C 不符合题意；对于D ，,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î，所以函数在区间(0,)+¥为增函数，故D 符合题意.故选：D.4．B 【分析】利用两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可【详解】选项A ，2y =定义域为[0,)+¥，y x =定义域为R ，故不为同一函数；选项B ，两个函数定义域都为R ，且3y x ==，故两个函数是同一个函数；选项C ，y =定义域为R ，2y =定义域为[0,)+¥，故不为同一个函数；选项D ，2y =定义域为[0,)+¥，2x y x=定义域为{|0}x x ¹，故不为同一个函数.故选：B 5．A 【分析】由奇函数的定义域可得b 的值，再由(2)9f =解出a ，进而求出答案．【详解】函数2()ax bf x x +=是定义在(,3][1,)b b -¥-È-+¥上的奇函数，则(3)(1)0b b -+-=，解得2b =．又(2)9f =，则222942a a ´+=Þ=，所以6ab +=．故选：A 6．B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围．【详解】函数f (x )的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -³，解得3a £-故选：B 7．C【分析】先把()M x 写成分段函数的形式，再求最大值即可.【详解】解：令224x x +<-，即220x x +-<,解得21x -<<,所以()(][)22,2,1()4,,21,x x M x x x ì+Î-ï=í-Î-¥-È+¥ïî，当21x -<<时，()()13M x M <=，当2x …或1x -…时，max ()(1)3M x M ==,所以函数()M x 的最大值为3，故选：C ．8．D 【分析】转化()()f x g x >为222ax x x <-++，分0x =，(0,1]x Î，[1,0)x Î-讨论，参变分离即得解【详解】由题意，对任意[]11x Î-，恒有()()f x g x >即222222ax x x ax x x -Û<-++>+-（1）当0x =时，02<恒成立，a R Î；（2）当(0,1]x Î时，22a x x <-++，即min2(2)a x x <-++令22y x x=-++，由于22,y x y x =-+=都在(0,1]x Î单调递减故函数22y x x=-++在(0,1]x Î单调递减，故min 1|3x y y ===，故3a <（3）当[1,0)x Î-时，22a x x >-++，即max 2(2)a x x>-++令22y x x=-++，由于22,y x y x =-+=都在[1,0)x Î-单调递减故函数22y x x=-++在[1,0)x Î-单调递减，故max 1|1x y y =-==，故1a >综上: 13a <<故选：D 9．BC 【分析】设幂函数()af x x =，将127,3æöç÷èø代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.【详解】设幂函数()af x x =，Q 幂函数图象过点127,3æöç÷èø，1273a \=，13a \=-())310f x xx -=\=¹，\ ()f x 定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，满足()()f x f x -=-，是奇函数，值域为(,0)(0,)-¥+¥U ，在定义域内不单调，在()0,¥+上单调递减.故选：BC 10．AC 【分析】A.函数的值域为[)1,+¥，所以该选项符合题意；B.当0x <时，0y <，所以该选项不符合题意；C.函数的值域为[)1,+¥，所以该选项符合题意；D.函数的值域不是[)1,+¥，所以该选项不符合题意.【详解】A. 2222(1)11y x x x =+=-+³- ，所以函数的值域为[)1,+¥，所以该选项符合题意；B. 11y x =-，当0x <时，0y <，所以该选项不符合题意；C. 1y =³，所以函数的值域为[)1,+¥，所以该选项符合题意；D. 0y =>，所以函数的值域不是[)1,+¥，所以该选项不符合题意.故选：AC 11．AC 【分析】根据奇函数性质得(0)0f =，即得(1)g ，可判断A; (2)(1)g f =，根据单调性可得1(1)0f -<<，即可判断B;先根据定义以及奇函数性质得()()(1)(1)g x g x f x f x -+=--+，再根据函数()f x 单调性判断C; 根据定义以及奇函数性质得(1)(1)()()0g x g x f x f x -+++=-+=，即可判断D.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，因为()(1)g x f x =-，所以(1)(0)0g f ==，故A 正确；因为()f x 为定义在R 上的减函数，且(2)1f =-，(2)(1)(0)f f f <<，即1(1)0f -<<.所以1(2)0g -<<，故B 不一定成立；因为()(1)g x f x =-，所以()(1)(1)g x f x f x -=--=-+，所以()()(1)(1)g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数，所以(1)(1)f x f x ->+，所以(1)(1)0f x f x --+>，即()()0g x g x -+>，故C 正确，选项D 错误.故选：AC 12．AD 【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，函数221y x x =++的对称轴为124b x a =-=-，开口向上，所以在()0,¥+上单调递增，故正确；对于B 选项，函数11y x =-在()(),11,-¥--+¥U 上不具有单调性，故错误；对于C 选项，解不等式2540x x +-³得15x -££，函数得定义域为[]1,5-，故错误；对于D 选项，由0a b +>得,a b b a >->-，由于()f x 在R 上是增函数，故()()()(),f a f b f b f a >->-，所以()()()()f a f b f a f b +>-+-，故正确.故选：AD13．15.【分析】先求解得(2)5f -=，由50>，再代入解析式求()2f f -éùëû即可【详解】由题意，(2)12(2)5f -=-´-=，又50>，故1(5)5f =.故答案为：1514．(][),13,-¥-+¥U 【分析】依题意可得偶次方根的被开方数为非负数，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()f x =，所以2230x x --³，即()()130x x +-³，解得3x ³或1x £-，故函数()f x =(][),13,-¥-+¥U 故答案为：(][),13,-¥-+¥U 15．y x =（答案不唯一）【分析】利用奇函数的定义即可得出答案.【详解】若函数为奇函数，则()()f x f x -=，所以()y f x x ==.故答案为：y x=16．[)3,+¥【分析】根据值域为[0，＋∞)，分析可得，函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3开口向上，且最小值要小于等于0，列出方程，即可得结果.【详解】因为函数y =的值域为[0，＋∞)，设函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，当0a =时，()3f x =显然不成立；当0a <，二次函数开口向下，有最大值，值域不为[0，＋∞)，不成立；当0a >，二次函数开口向上，要保证值域为[0，＋∞)，则最小值要小于等于0204120a a a >ì\íD =-³î，解得a ≥3.故答案为：[3，＋∞)17．（1）[﹣1，1]；（2）[1，3]；（3）[﹣1，3].【分析】（1）由f (x )的定义域为[0，2]，可得0≤x ≤2，进而得出0≤x +1≤2，解不等式可得y =f (x +1)的定义域；（2）由y =f (x +1)的定义域为[0，2]，可得0≤x ≤2，进而求出x +1的范围，即为f (x )的定义域；（3）由函数y =f (2x ﹣1)的定义域为[﹣1，1]，可得﹣1≤x ≤1，进而求出2x ﹣1的范围，即为x ﹣2的范围，解不等式得出x 的范围，为所求函数定义域．【详解】（1）已知f (x )的定义域为[0，2]，则0≤x ≤2，由0≤x +1≤2，得﹣1≤x ≤1即y =f (x +1)的定义域为[﹣1，1]；（2）已知y =f (x +1)的定义域为[0，2]，则0≤x ≤2，则1≤x +1≤3，即y =f (x )的定义域为[1，3]；（3）已知函数y =f (2x ﹣1)的定义域为[﹣1，1]，则﹣1≤x ≤1，则﹣2≤2x ≤2，﹣3≤2x ﹣1≤1由﹣3≤x ﹣2≤1，得﹣1≤x ≤3，即函数y =f (x ﹣2)的定义域为[﹣1，3].18．（1）f (x +1)=x 2+5x +6；（2）f (x )=3x 2﹣4x ；（3）f (x )=2 x +7.【分析】（1）以x +1代替x 化简计算，可得f (x +1)；（2）令x 2+1=t ，则x 2=t ﹣1，代入解析式求出f (t )，进而可得f (x )；（3）设f (x )=kx +b ，代入已知等式化简计算，利用待定系数法求出,k b 的值，进而得出f (x )．【详解】（1）f (x +1)=(x +1)2+3(x +1)+2=x 2+5x +6；即f (x +1)=x 2+5x +6；（2）令x 2+1=t ，则x 2=t ﹣1；∴f (t )=3(t ﹣1)2+2(t ﹣1)﹣1=3t 2﹣4t ；∴f (x )=3x 2﹣4x ；（3）设f (x )=kx +b ；∴f (x +1)=k (x +1)+b =kx +k +b ，f (x ﹣1)=k (x ﹣1)+ b =kx ﹣k +b ；∴代入3f (x +1)﹣2f (x ﹣1)=2x +17得：3(kx +k +b )﹣2(kx ﹣k +b )=2 x +17；整理得，kx +5k +b =2x +17；2517k k b =ì\í+=î；∴k =2，b =7；∴f (x )=2x +7.19．（1）见解析；（2）()f x 在()0,2上的单调单调递减，()f x 在[]1,5上的最小值为()24f =；最大值为()2955f =．【分析】（1）利用函数单调性的定义，设122x x <<，则()()12f x f x -通分化简得到()121241x x x x æö--ç÷èø，然后进行论证即可.（2）类似（1）中方法得到()f x 在()0,2上的单调单调递减.然后根据在[]1,5上的单调性，得到最大值和最小值.【详解】（1）设122x x <<，则()()12121244f x f x x x x x -=+--()()2112121212441x x x x x x x x x x æö-=-+×=--ç÷èø， 122x x <<Q ，120x x \-<，12410x x ->，故()()120f x f x -<，故()f x 在()2,+¥上递增；（2）()f x 在()0,2上的单调单调递减.所以()f x 在[1,2]上单调递减，在(2,5]单调递增，又∵()()()42915,24,5555f f f ===+=,∴()f x 在[]1,5上的最小值为()24f =；最大值为()2955f =．20．（1）奇函数；（2）在R 上为减函数；（3）(2,3)-.【分析】（1）用赋值法先求出(0)f ，再令y x =-，即可得证；（2）对已知等式赋值，令211,y x x x x =-=，结合函数单调性定义，即可证明结论；（3）利用单调性和奇偶性，转化为自变量的不等量关系，即可解出不等式.【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称.令0x y ==，则(0)(0)(0)2(0)f f f f =+=，(0)0f \=令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=，()()f x f x \-=-，()f x \是奇函数（2）任取12,x x R Î，且12x x >，由题意得，120x x ->，()120f x x -<()()()()1122122f x f x x x f x x f x =-+=-+，()()()12120f x f x f x x \-=-<()()12f x f x \<，又12x x >，()f x \在R 上为减函数.（3）由（2）得，26x x -<，即260x x --<，解得，23x -<<.\不等式的解集为(2,3)-.21．39（万元）【分析】分别代入数据计算P 、Q ，然后求和即得【详解】P =824=,Q =()120812154´-+=,P +Q =24+15=39（万元）.这两个大棚的年利润总和为39（万元）.22．（1）()222,02,0x x x f x x x x ì--£=í->î；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得()f x 的解析式.（2）先求得()g x 的解析式，对a 进行分类讨论，由此求得()g x 的最小值.【详解】（1）Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，\当0x >时，此时0x -<，()()f x f x \=--，又Q 当0x <时，()22f x x x =--，()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-\-，Q ()00f =，\函数()()f x x R Î的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ì--£=í->î．（2）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++Î，二次函数对称轴为：1x a =+，当21a £+时，即1a ³时，()()min 224g x g a ==-，当11a +£时，即0a £时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，综上，当1a ³时，()min 24g x a =-，当0a £时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2min ()21g x a a =--+.。

(十) 函数的图象(对应学生用书第245页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A ．向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动2个单位长度 D ．向左平行移动1个单位长度B [因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象，故B 正确．] 2．(2016·广西桂林高考一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )A B C DB [由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x >1时，y >0，故选B ．]3．(2018·黄山模拟)若函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象如图2-7-6所示，则下列函数图象正确的是( )图2-7-6B [由题意y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B ．]4．为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位 B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图象纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图象，也即y ＝log 2x －1的图象．故选A ．]5．(2017·洛阳模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，0)∪(1,2) C ．(1,2)D ．(0,2)D [由⎩⎨⎧x ≥0，f (x )<0，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.] 二、填空题6．如图2-7-7，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2-7-7f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1. 当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1. 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]7．直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________. 4 [∵y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图象关于点(－3,5)对称． 又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3,5)，如图所示：∴A 、B 关于点(－3,5)对称， ∴x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6， y 1＋y 2＝2×5＝10. ∴x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.]8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图2-7-8所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2-7-8(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．[解] (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．[解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：4分(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.8分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B ．]2．(2018·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．－12[函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－1 2]．3．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围.[解](1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，∴2－y＝－x＋1－x＋2，3分∴y＝x＋1x，即f(x)＝x＋1x. 5分(2)由题意g(x)＝x＋a＋1 x，且g(x)＝x＋a＋1x≥6，x∈(0,2]. 7分∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1. 9分令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，故a的取值范围为[7，＋∞). 12分。

2019年人教版高中《文科数学》试题（题后含答
案）
单选题（共5道）
1、设函数的定义域为，如果，使
为常数成立，则称函数在上的均值为.给出下列四个函数：①；
②；③；④,则满足在其定义域上均值为的函数
的个数是
A1
B2
C3
D4
2、把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得
函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是
A
B
C
D
3、已知向量，，若，则（）
A1
B
C
D
4、已知,，为三条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A
B∥
C
D∥
5、,，则（）
A
B
C
D
简答题（共5道）
6、已知函数f（x）=x2－ax+b（a，b∈R）的图像经过坐标原点，且，数列{}的前n项和=f（n）（n∈N*）。

（1）求数列{}的通项公式；
（2）若数列{}满足+=,求数列{}的前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*。

(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。

8、如图，在平面直角坐标系中，椭圆
的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点．当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；
（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的。

(十二)函数模型及其应用(对应学生用书第247页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1 500元，则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率＝实际付款额商品的标价×100 ，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为() A．55 B．65 C．75 D．80 B[当购买标价为2 700元的商品时，产品的八折后价格为：2 700×0.8＝2 160，故实际付款：2 160－400＝1 760，故购买某商品的实际折扣率为：1 7602 700×100 ≈65 ，故选B.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图2-9-2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③A[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.] 4．(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A．85元B．90元C．95元D．100元C[设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A．5B．8 C．9D．10 A[∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ， 可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A ．]二、填空题6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.图2-9-320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1 ，若初时含杂质2 ，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192.又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.] 三、解答题9．(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？[解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，1分 ∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5万元.3分 (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，4分 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥20200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 6分 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180). 7分令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，9分当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝282万元.11分 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 12分10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分 (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.8分 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·南昌模拟)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 A [设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎨⎧ 2＝k 1108＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋45x ≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号，故选A ．]2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒，∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋ 21－t (t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，2分令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t ＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃. 5分 (2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立. 7分令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2).10分∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 12分。

第三章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每小题4分，共40分）1.函数y ＝x 2－2x －3的零点是（ ）A.1，－3B.3，－1C.1，2D.不存在2.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（ ）3.方程x －1＝lg x 必有一个根的区间是（ ）A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)4.下列函数中增长速度最快的是（ ）A. B.y ＝100ln x C D.y ＝100·2xx y e 1001=100x y =5.若函数y (x )唯一的一个零点一定在三个区间(2,16)、(2,8)、(2,4)内,那么下列命题中正确的（ ）A.函数y (x )在区间(2,3)内有零点B.函数y (x )在区间(2,3)或(3,4)内有零点C.函数y (x )在区间(3,16)内无零点D.函数y (x )在区间(4,16)内无零点6.如右图所示,阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H),则该函数的图象是下面四个图形中的（ ）7.某人2006年7月1日到银行存入a 元,若按年利率x 复利计算,则到2009年7月1日可取款（ ）A.a (1＋x )2元B.a (1＋x )4元C.a ＋(1＋x )3元D.a (1＋x )3元8.已知函数f (x )＝2mx ＋4,若在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0,则实数m 的取值范围是（ ）A ［,4］ B.(－∞,－2］∪［1,＋∞) C.［－1,2］ D.［－2,1］25-9.某商品进价为每件40元,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件,通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高,则应将每件商品定价为（ ）A.45元B.55元C.65元D.70元10.某工厂2005年生产电子元件2万件,计划从2006年起每年比上一年增产10%,则2009年大约可生产电子元件(精确到0.01万件)（ ）A.2.42万件B.2.66万件C.2.93万件D.3.22万件二、填空题(每小题4分,共16分)11.因为方程f (x )＝x －4＋2x 在区间［1,2］上满足_______,所以y (x )＝0在区间［1,2］有根.12.某工厂1993年底某种产品年产量为a ,若该产品的年平均增长率为x ,2009年底该厂这种产品的年产量为y ,那么y 与x 的函数关系式是____________.13.某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为，其中k 为常数,kt y e =t 表示时间,y 表示细菌个数.则k ＝______时,经过5小时,1个病菌能繁殖为______.14.当x ＞0时, x 2和x ln x 中较大的一个是_______.三、解答题(15、16小题各10分,17、18小题各12分,共44分)15.设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －a b 的两个零点分别是－3和2;(1)求f (x );(2)当函数f (x )的定义域是［0,1］时,求函数f (x )的值域.16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知31lg2＝0.301,lg3＝0.477)17.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度为T 0，经过一段时间t 后的温度是T,则，其中表示环境温度,h 称为半衰期.h ta a T T T T 21()(0⋅-=-a T 现在有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么由88 ℃降温到28 ℃,需要多少时间?18.星期天,刘老师到电信局打算上网开户,经询问,记录了可能需要的三种方式所花费的费用资料,现将资料整理如下:①163普通:上网资费2元/小时;②163A:每月50元(可上网50小时),超过50小时的部分资费2元/小时;③ADSLD:每月70元,时长不限(其他因素均忽略不计).请你用所学的函数知识对上网方式与费用问题作出研究:(1)分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式;(2)在同一坐标系内分别画出三种方式所需资费与时间的函数图象;(3)根据你的研究,请给刘老师一个合理化的建议.参考答案1解析:方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝3,x 2＝－1,所以函数的零点是－1，3，故选B.答案:B2解析:C 中图象中的零点O 两侧的函数值为同号.答案:C3解析:y (x )＝lg x －x ＋1,f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1＜0,f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1＞0,f (0.1)f (0.2)＜0.答案:A4解析:通过三类函数增长情况的比较:知指数函数当底数大于1时,增长速度最快.因为e ＞2,所以最快.x y e 1001=答案:A5解析:依题意知,零点x 0∈(2,4),故在（4,16）内无零点,即D 正确.答案:D6解析:当时，对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，且随着h 的增大，S 2H h =随之减小，故排除A 、B 、D ，选择C.答案:C7解析:由题意知,2007年7月1日可取款a (1＋x )元,2008年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元, 2009年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元.答案:D8解析:由题意,知m ≠0,故y (x )是单调函数.又在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0, 所以f (－2)·f (1)≤0.所以(－4m ＋4)·(2m ＋4)≤0,即(m －1)(m ＋2)≥0,得或 可解得m ≤－2或m ≥1.⎩⎨⎧≥+≥-0201m m ⎩⎨⎧≤+≤-0201m m 答案:B9解析:设每件商品定价为x 元,则月利润为［500－10(x －50)］(x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.所以当x ＝70时,利润最大.答案:D10解析:2009年可生产2×(1＋10%)4≈2.93(万件).答案:C11答案:f (1)·f (2)＜0且f (x )的图象在［1,2］内是一条连续曲线12解析:1994年底这种产品的年产量为a (1＋x ),1995年底这种产品的年产量为a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2,1996年底这种产品的年产量为a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3……2009年底这种产品的年产量y ＝a (1＋x )16.答案:y ＝a (1＋x )1613解析:将(,2)代入 得∴k ＝ln2, k ＝2ln2.21kt e y =k e 212=21这时函数解析式为y ＝e 2t ln2＝e ln2t ＝22t ,令t ＝5,则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024.答案:2ln2　1 02414解析:作出y ＝x 与y ＝ln x 的图象,可看出y ＝x 的图象在y ＝ln x 的图象的上方.因为x ＞0,x －ln x ＞0,所以x (x －ln x )＞0,故有x 2＞x ln x .答案:x 215解:(1)∵f (x )的两个零点是－3和2,∴函数图象过点(－3,0)、(2,0).∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0, ①4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②①－②,得b ＝a ＋8. ③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0,即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0,a ＝－3,∴b ＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋)2＋＋18,2143图象的对称轴方程是x ＝,且0≤x ≤1, ∴,,21-12)1()(min ==f x f 18)0()(max ==f x f ∴函数f (x )的值域是［12,18］.16解:依题意,得·()n ≤,即≤,两边同时取常用对数,10023210001n )32(201得,故.)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n 4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n 因为n ∈N *,所以n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.17解:由题意知,h 2021()2488(2040⋅-=-即,h 20)21(41=∴h ＝10.故.10)21()2488(24t T ⋅-=-∴当T ＝28时, ,1012124-882428）（）＝（⋅-即,41021(16121==t ）（∴,t ＝40,因此,约需40分钟,可降温到28 ℃. 410=t 18解:(1)上网费用y (元)与上网时间t (小时)的函数关系:①163普通:y ＝2t (t ≥0);②163A: ③ADSLD:y ＝70(t ≥0);⎩⎨⎧>-+≤≤=.50),50(250500,50t t t y ，(2)如下图所示(3)163普通:适合不常上网,偶尔上网的,当每月上网时间t ≤25小时时,这种方式划算.163A:适合每月上网25~60小时的情况.ADSLD:每月上网时间t ≥60小时的情况,用此方式比较合算。

指数函数与对数函数单元测试一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．下列计算正确的是（ ）A ．52×5-2=0B ．5225⎛⎫ ⎪⎝⎭= 1C ．lg 2+lg 5=lg 7D ．32log 81= 2．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22x f x =+，则()1f =（ ）A ．4-B ．52-C ．4D ．52 3．三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<4．设函数3,0()1,0x x f x x -⎧<=⎨≥⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(0,)+∞ C ．(1,0)- D ．(,0)-∞5．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()2x g x a b =+-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数ln ,0()1,0x x x f x e x >⎧=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()0m f x -=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1](2,)-∞+∞C ．(1,2]D ．(,1)-∞7．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT ．有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ） A ．2.1天 B ．2.4天 C ．2.8天 D ．3.6天8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ）A ．42()3ab a b ab >+>B ．42()3ab a b ab <+<C ．23()4ab a b ab <+<D ．23()4ab a b ab >+>二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列函数在定义域上为单调递增函数的是（ ）A ．1y x =-B ．1x y e -=C ．54y x =D ．()21y x =- 10．已知函数()lg f x x =，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[0,)+∞C ．()f x 在(0,)+∞上递增D ．()f x 有一个零点 11．已知函数f (x )=2x xππ--，g (x )=2x x ππ-+，则f (x )，g (x )满足（ ）A ．f (-x )+g (-x )=g (x )-f (x )B ．f (-2)<f (3)C ．f (x )-g (x )=π-xD ．f (2x )=2f (x )g (x )12．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．已知方程lg 3x x =-的根在区间()2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．14．函数()f x 的定义域为__________． 15．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________16．已知函数()22x f x =-，若()()()f a f b a b =≠，则a b +的取值范围是__________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17（10分）．解下列各题：（1）计算：453log 27log 8log 25⨯⨯；（2）化简12271112333662228a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18（12分）．指数函数()y f x =图像经过点()3,8，（1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()()23f x x f x -≤+.19（12分）．已知函数()2()lg 2f x x x a =++.（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围.20（12分）．已知函数log a y x =过定点(),m n ，函数()2x f x n x m=++的定义域为[]1,1-. （Ⅰ）求定点(),m n 并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅰ）判断并证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性；（Ⅰ）解不等式()()210f x f x -+<.21（12分）．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．（1）求森林面积的年增长率；（2倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？ （参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）22（12分）．已知函数f （x ）=()22log x +4log 2x+m ，xⅠ[18，4]，m 为常数． （1）设函数f （x ）存在大于1的零点，求实数m 的取值范围；（2）设函数f （x ）有两个互异的零点α，β，求m 的取值范围，并求α·β的值．。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 若()4f a =，则实数a =（ ）（A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2011浙江理1）2．若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则f(f(10)=A.lg101B.2C.1D.03．函数cos622x x x y -=-的图像大致为4．设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2012山东理）5．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为A ．3B ．6C ．12D ．246．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ．其中不可能．．．成立的关系式有 （ ）． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题7．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ． 8．已知()f x 是定义在[2,2]-上的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解为 9．函数12-=x y 的图象和函数k x y +=的图象恰有三个交点，则k 的值是 .10．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ▲ ．答案: 211．若不等式x xx a 2log 221≥-+在)2,21(∈x 上恒成立，则a 的取值范围是12．对于,a b R ∈，记()max{,}()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数()max{|1|,|2|}f x x x =+-()x R ∈的最小值为________；13．8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ▲ . 14．已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.15．设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .16．已知函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a = . 17．过原点O 的直线与函数2x y =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是18．若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是____▲____.9(,2)4- 19．函数21sin(),10,(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩若()1f a =，则a 的所有可能值组成的集合为三、解答题20．（本小题16分）已知1()log 1ax f x x+=-(0,1)a a >≠. （1） 求函数)(x f 的定义域；（2） 试判别函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（3） 求使()0f x <的x 的取值范围．21．（本题16分）已知函数4()log (41),()x f x kx k R =++∈为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围．22．已知函数a x x x f -=2)(（1）若3,=∈a R x ，求)(x f 的单调区间；（2）若]2,1[,∈∈x R a ，求)(x f 的最大值．解（1）函数的单调增区间为),3(),2,0(+∞函数的单调减区间为)2,0(),0,(-∞（2） 法一：a x x x f -=2)(=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-)(,)(,2323a x ax x a x ax x ① 2≥a 时，=)(x f 23ax x +-，]2,1[∈x )32(323)(2'a x x ax x x f --=+-= i ）,132≥a 即3≥a 时，84)2()(m a x -==a f x f ii ）2321<<a 即32<<a 时，274)32()(3max a a f x f == ② 1≤a 时，a f x f 48)2()(max -==② 21<<a 时， =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≤≤-)1(,)2(,2323a x ax x x a ax x i ）,132≤a 即231≤<a 时，a f x f 48)2()(max -== ii ）223≤<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=274,48max )(3max a a x f 当279.1≤≤a 时，274)(3max a x f = 当79.123≤<a 时，a x f 48)(max -= 综上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤<-=3,84379.1,27479.1,48)(3max a a a a a a x f23．已知1010()1010x xx x f x ---=+ （1）求证：()f x 是定义域内的增函数；（2）求函数()y f x =的值域。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 （ ） （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数（D ）余弦函数（2010陕西文7）2．e 416，e 525，e 636(其中e 为自然常数)的大小关系是 ( )A.e 416<e 525<e 636B.e 636<e 525<e 416C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析：由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x ) 在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636，故选A.3．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图像可能是4．如果方程2lg (lg 5lg 7)lg lg 5lg 70x x +++⋅=的两根是,αβ，则αβ⋅的值是 A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、351 二、填空题5． 已知函数)()1f x a =≠在[1,0]-上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ▲ .6．已知函数4)3(2)(2+-+=x m mx x f ，,)(mx x g =若对任意实数x ，)(),(x g x f 的值至少有一个是正数，则实数m 的取值范围是 ．7．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 .8．已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <.若对任意的[0,1]x ∈，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩均成立，则实数k 的取值范围是 )2,3(- .9．若存在．．实数[1,2]x ∈满足22x a x>-，则实数a 的取值范围是 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）A．1yx=B．xy e-=C．21y x=-+D．lg||y x=（2013年高考北京卷（文））2．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（）A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C． f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数（2008重庆理6）3．函数cos622x xxy-=-的图像大致为4．已知函数1()ln(1)f xx x=+-；则()y f x=的图像大致为（）5．已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ （2009四川卷理）【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

二、填空题6．若函数a x x f -=)(在区间(]1，∞-内为减函数，则a 的范围是 ▲ ． 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________（2013年高考福建卷（文））8．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-, 则当10x -≤≤时,()f x =________________.9．设函数()f x 满足：对任意的x R ∈，恒有()()0,f x f x ≥，当[)0,1x ∈时，()12,02112x x f x x ⎧+≤<⎪⎪=≤<，则()9.9f = ▲ ．10．定义,max{,},b a b a b a a b≤⎧=⎨>⎩，若2()max{2,}f x x x =-，当1[2,]2x ∈-时，函数()f x 的值域为 ▲ ．三、解答题11．某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．(1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．12．当01,1a b <<<-时，函数xy a b =+的图像必不经过第 象限； 13．已知函数ax bx x f +-=5)(（a x -≠，a 、b 是常数，且5-≠ab ），对定义域内任意x （a x -≠、3--≠a x 且3+≠a x ），恒有(3)(3)4f x f x ++-=成立．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数的定义域； （2）求x 的取值范围，使得]4,2()2,0[)( ∈x f ．14．设()f x 是定义在R 上的函数，对m n R ∈、恒有()()()f m n f m f n +=，且当0x >时，0()1f x <<。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数ln(1-x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1] （2013年高考江西卷（理））2．已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是 Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ （2009四川卷理）【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

3．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩ 取函数()2x f x -=。

当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ （2009湖南卷文）二、填空题4．已知函数2log ,0()=2,0x x x f x x >⎧⎨≤⎩若==a a f 则21)( ▲ ． 5．函数2()lg(31)f x x =+的定义域为 ___1(,1)3-__________． 6．定义在R 上的函数()y f x =满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2013f = 。

7． 已知函数||()e ||x f x x =+.若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 (1,)+∞8．方程 |e 1|10x ax -++=有两个不同的解，则实数a 的取值范围是________．9．已知函数1(),4,()2(1),4,x x f x f x x ⎧⎪=⎨⎪+<⎩≥ 则2(2log 3)f +＝ ▲ .10=________．11．函数212log (253)y x x =--的单调递增区间是 .12．已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.13．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________[-3,1] 14．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝(2－2－|x －2|)2，要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.15．设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -= ▲ ；16．已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，则)(x f 在[]3,3-上的最大值为 ，最小值为 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2（2013年高考浙江卷（文））2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））A . 4 B.3 C.2 D.1 3．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x ==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>4．设偶函数()(0,)f x +∞在上为减函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x +->的解集为（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-5．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是区间[0,1]，则a 的值等于 ------------------( )A.2D.13二、填空题 6．已知函数f (x )＝ln(2x －1)，则f ′(x )＝ ．7． 若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，则k 的值为______．8．已知函数 (0)()(3)4 (0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 成立，则a 的取值范围是 ．9．已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ▲ .10．把函数cos()3y x π=+的图象向左平移m 个单位（0m >）所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是_________________11．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”． 已知432115()1262f x x mx x =-++．若当实数m 满足||4m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凹函数”，则b a -的最大值为 ．12．已知函数()23f x x =-，若021a b <<+，且()()23f a f b =+，则23T a b =+的取值范围是 ▲ ．13．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心 完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是__ ___. ]3,23[- 14． 某同学在研究函数 x x x f +=1)((x R ∈) 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数)(x f 的值域为 (－1,1)； ③若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠；④方程x x f =)(在R 上有三个根.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题15．已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数 ，当]1,0(∈x 时， 2()12x f x x =+ （1）判断函数)(x f 在区间]1,0(上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数)(x f 在]1,1[-上的解析式；（3）求函数)(x f 的值域．16．已知二次函数f (x)=ax 2+bx+c (a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c)=0，且0<x<c 时，f (x)>0（1）试比较a 1与c 的大小；（2）证明：-2<b<-1；（3）当c>1,t>0时，求证：012>++++t c t b t a17．求函数y x =+.(构造截距)变式:求函数2y x =.18．已知函数2()2,()f x x g x x =-=,定义函数(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,求()F x 的最大值.19．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.20．已知函数4()log (41)(1)x f x k x =+--（x ∈R ）为偶函数．（1）求常数k 的值；（2）当x 取何值时函数()f x 的值最小？并求出()f x 的最小值；（3）（理）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，试根据实数a 的取值，讨论函数()f x 与()g x 的图像的公共点个数．（文）设44()log (2)3x g x a a =⋅-（0a ≠），且函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．21．设函数322()21f x x mx m x m =---+-(其中2m >-)的图象在2x =处的切线与直线y =－5x +12平行.(Ⅰ)求m 的值；(4分)(Ⅱ)求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值；(4分)(Ⅲ)若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:222911110a b c a b c ++≤+++. (8分) 20．（本小题满分16分）22．已知]2,1[,3)(∈-+=x xb x x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）关键字：对勾函数；分类讨论；求最值23．设函数2()(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当2a =时，求()f x 的单调区间；（3）若()10f x <对(1,3)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围．（本小题满分16分）24．某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左图， B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图 (注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?25．如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处。

单元测评 （90分钟，100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同,甲店售价比市场最高限价低10元,获利为售价的10%,而乙店售价比限价低20元,获利为售价的20%,那么商品的最高限价是( ) A.30元 B.40元 C.70元 D.100元 解析：设最高限价为x 元，则(x-10)×10%=(x-20)×20%，解得x=30元. 答案：A2.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是____________件(即生产多少件以上自产合算)( )A.1 000B.1 200C.1 400D.1 600 解析：设生产x 件自产合算，则 800+0.6x ≤1.1x,得x ≥1 600， 于是生产1 600件以上自产合算. 答案：D3.如右图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数（0≤h ≤H ），则该函数的图象是（ ）解析：取特殊点验证：当h=时2H ，面积2H S 显然小于总面积的一半2S，于是排除掉A 、C 、D.答案：B现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律,其中最接近的一个是( )A.v=log 2tB.v=t 21log C.v=212 t D.v=2t-2解析：代入检验知选C.答案：C5.x 克a%的盐水中,加入y 克b%的盐水,浓度变成c%,则x 与y 的函数关系式为( ) A.y=a cbc --x B.y=c b a c --x C.y=c b c a --x D.y=ac cb --x 解析：由条件得yx yb x a ++%%=c%.整理得y=cb xa c --)(.答案：B6.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x ，则 …（ ）A.（1+x ）19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4 解析：设原来的量为1，则经20年总产值为(1+x)20，于是(1+x)20=4. 答案：D7.某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P 1、P 2、P 3，则这三年的年平均增长率为（ ）A.31（P 1+P 2+P 3） B.3321P P P C.3321)1)(1)(1(P P P +++-1 D.1+31（P 1+P 2+P 3） 解析：设三年的平均增长率为x ， 则总产量y=(1+x)3，又y=(1+P 1)(1+P 2)(1+P 3)，∴（1+x ）3=(1+P 1)(1+P 2)(1+P 3)， ∴x=3321)1)(1)(1(P P P +++-1. 答案：C8..甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这手股票卖给了乙，在上述股票交易中（ ）A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利1元C.甲盈利9元D.甲亏本1.1元 解析：第一次甲卖给乙获利100元，即乙买下花了1 100元，又乙卖给甲损失10%即损失110元，也就是甲又买下股票花费990元，然后9折卖给乙，损失990-990×90%=99元，甲共盈利100元-99元=1元. 答案：B9.汽车开始行驶时,油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量Q(升)与行驶时间t(时)的函数关系用图象表示应为( )答案：B10.两个物体A 、B 所受压强分别为P A (帕)与P B (帕)(P A 、P B 为常数),它们所受压力F(牛)与受力面积S(米2)的函数关系图象分别是射线l A 、l B ,如上图所示,则( )A.P A ＜P BB.P A =P BC.P A ＞P BD.P A ≤P B 解析：如图可取任一点S 0，两物体所受力分别为F B 、F A ，显然F B ＞F A . 又P A =0S F A ，P B =0S F B . ∴P A ＜P B ,选A.答案：A二、填空题（每小题4分，共16分）11.有一游泳池长50 m ，甲在游泳时经测算发现，他每游10 s ，速度减慢0.2 m/s.已知他游完50 m 全程的时间是38 s ，则他入水时的游泳速度是___________________m/s. 解析：设入水速度为x m/s.则10x+10(x-0.2)+10(x-0.4)+8(x-0.6)=50 解得x ≈1.6 m/s. 答案：1.612.某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________________. 解析：设新价A ，则(1-20%)A-43a=（1-20%）·25%A ∴A=45a ，∴y=(45a-a)x 得y=41ax.答案：y=41ax13.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于（20v ）2千米，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________________小时（不计货车的车身长）. 解析：设17列货车全部到达B 市需y 小时，则y=vv 2)20(16400∙+=v 400+40016v =(220-204v )2+24016400v v ⨯.∴y min =216=8（小时）.答案：814.某服装厂生产某种大衣,月销售量x(件)与货价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x 件的成本R=500+30x 元,则该厂月产量在___________时,月获利不少于1 300元. 解析：由题意得：（160-2x ）x-(500+30x)≥1 300， 解得20≤x ≤45. 答案：20≤x ≤45三、解答题（共44分）15.（10分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：（1）当每辆车的月租金定为3 600元时， 未租出的车辆数为5030003600-=12,所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为 f(x)=(100-503000-x )(x-150)-503000-x ×50,整理得f(x)=-502x +162x-21 000=-501(x-4 050)2+307 050.所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.16.（10分）某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年). 解析：（1）y=100(1+1.2%)x .(2)y=100(1+1.2%)10≈113（万人）.（3）设大约经过x 年以后该城市人口将达到120万人.则100×(1+1.2%)x =120，即1.012x =1.2. x=012.1lg 2.1lg ≈15，即大约经过15年人口将达到120万人.17.（12分）据资料统计，某地区能源生产自1995年以来发展速度很快，1995年能源生产总量折合8.6亿吨标准煤，2000年为10.4亿吨，2005年为12.9亿吨.有关专家预测：到2010年，能源生产总量将达到16.1亿吨.试给出一个简单模型，说明有关专家的预测是否合理. 解析：已知三组数据（1 995，8.6），（2 000,10.4），（2 005，12.9）可变换为数据(0,8.6)，（5,10.4），（10，12.9）.选用二次函数y=ax 2+bx+c 作为模型函数，将以上数据代入得⎪⎩⎪⎨⎧++=++==,101009.12,5254.10,6.8c b a c b a c得⎪⎩⎪⎨⎧===,6.8,29.0,014.0c b a则y=0.014x 2+0.29x+8.6,对应2 010取x=15，代入可得 y=0.014×152+0.29×15+8.6=16.1.这与专家的预测值相同，故专家的预测是合理的.18.（12分）某商场经营一批进价为a 元/台的小商品，经调查得知如下数据.若销售价上下调（1）在右面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对（x,y ）的对应点，并写出y 与x 的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求P 与x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 解析：（1）如下图.由图知y是x的一次函数，可求得y=-3x+162.由表格知进价为30元，则日销售利润P=（162-3x）·（x-30）=-3x2+252x-4 860=-3(x-42)2+432(30≤x≤54).故当x=42时，P取最大值，即销售单价为42元时，可获得最大销售利润.。