学年度新课标高三下学期数学单元测试1-文科

南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（文科）命题人： 审题人：说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。

2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，请将答题纸交回。

第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49.在区间[−3,3]上随机取一个数a ，则关于x 的方程x 2=−a −3x 至少有一个正根的概率为( ) A. 18 B. 16 C. 13 D. 1210. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. B. 12 C.D. 11. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( )A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________.14. 若,x y 满足约束条件34x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则2z x y =−的取值范围为___________．15. 将函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53；③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2； ④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =32n 2−12n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列b n =[lga n ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，求{b n }的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大值．19. 某加工工厂加工产品A ，现根据市场调研收集到需加工量X （单位：千件）与加工单价Y （单位：元/件）的四根据表中数据，得到Y 关于X 的线性回归方程为20.6Y bX =+，其中11.4m b −=． （1）若某公司产品A 需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断Y 与X 是否高度线性相关．参考公式：()()ni ix x y y r −−=∑ ，0.9r >时，两个相关变量之间高度线性相关．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 设函数()()22f x alnx x a x =+−+，其中.a R ∈ (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >−.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a c b k ++=，求()b a c +的最大值.。

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案试题（二）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数3321i i++的值是 （ ）A ．i 2121+B ．i 107101+ C ．i 8585+ D ．i 4381+ 2.下列各式中，值为 ） A ．2sin15cos15⋅ B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．21cos 152-3.若R b a ∈,，则31a 31b >成立的一个充分不必要的条件是 （ ）A . 0<<b aB . a b >C . 0>abD . 0)(<-b a ab4．函数xx x x f +=)(的图像是（ ）ABC D5. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形, 俯视图为一个半径为3的圆及其圆心, 那么这个几何体的体积为( )A. 3πB. 3πC. 33πD. 93π 6．已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是（ ）A. a >-1B. a=1C. a ≥1D. a ≤1 7．直线4)1()1(0144322=++-=-+y x y x 与圆的位置关系是（ ）A ．相交且直线过圆心B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相离8．在正项等比数列}{n a 中，S n 是其前n 项和，若S 10=10，S 30=130，则S 20的值为（ ） A ．50 B ．40 C ．30 D ．310 9．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ⋂∉⋃∈，且 如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y x P x ，则P ⊙Q=（ ）A ．[]()+∞⋃-,21,2B ．()[)+∞⋃-,21,2C ．[-2，1]D ．（2，+∞）N10．关于函数2()(2),x f x x x e =-给出下列四个判断： ①()0f x >的解集是}{02x x<< ②(f 是极小值，f 是极大值③()f x 没有最小值，也没有最大值 ④()f x 有最大值，没有最小值则其中判断正确的是：（ ）A ①③B ①②③C ②④D ①②④. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，共20分．）11．给出如右图的一个算法的程序框图, 该程序框图的功能是________ .12. 给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线都平行； ③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号： ．13．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mf 31)2(-=，则m 的取值范围是 （考生从下面两道题中任选一道题作答）14.极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是 . 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，34=∠MAB ，则=∠D .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知f (x)＝a ·b －1，其中向量a ，cosx ），b ＝（1，2cosx ）（x ∈R ）.⑴求f (x)的单调递增区间；⑵在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A)＝2，ab ＝3，求边长c 的值。

新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案（四）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数iiz 21-=的虚部是 （ ）A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中 得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 （ ）A ．（1.25,1.5）B ．（1,1.25）C ．（1.5,2）D ．不能确定3．在△ABC 中，“sin 2A =”是“30A =”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4． 若平面四边形ABCD 满足0AB CD += ,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 5．已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ． 2-≤a 或1=a B ． 2-≤a 或21≤≤aC ．1≥aD ．12≤≤-a6. α、β是不重合两平面，l 、m 是两条不重合直线，α∥β的一个充分不必要条件是（ ） A. l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B. l ⊂α，m ⊂β且l ∥m C. l ⊥α，m ⊥β且l ∥m D. l ∥α，m ∥β且l ∥m7．已知双曲线1322=-my x 两条准线间的距离为3，则此双曲线的离心率是 （ ）A ．21 B ．3 C ．23D ．28. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为（ ） A ．1辆 B ．10辆 C ．20辆 D ．70辆9．已知公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足：113375,,a b a b a b ===，那么（ ） A. 11b =13a B. 11b =31a C. 11b =63a D. 6311b a =10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= ( )A ．－2B ．–1C ．0D ．1二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，其中11－13为必做题，14－15为选做题，14－15题只需选做2小题．共20分．）11. 某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．12.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果 为54，则判断框中应填入的条件是13．已知经过函数()xf x ax be =+图象上一点P(-1,2)处的切线与直线3y x =-平行,则函数()f x 的解析式是（选做题，考生从下面两道题中任选一道题作答,若两题都做,则按第一题计分） 14、在极坐标系中，圆心为(10,0),A 且经过极点O 的圆的极坐标方程是_____ 15．如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则=+ADFGBC EF ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)已知(2,cos ),(sin(),2)6a xb x π==+- ，函数()f x a b =⋅ .(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；; (Ⅱ)若6()5f x =, 求cos(2)3x π-的值.17. (本题满分12分)（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由。

高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。

2021年高三下学期统一练习（一）数学文试题 Word版含答案高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，集合，则集合=（A）（B）（C）（D）2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A）（B）（C）（D）3.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（A）20、18 （B）13、19（C）19、13 （D）18、204. 已知直线和平面，，∥,那么“”是“∥”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2 （D）6.已知等比数列{}中，且，那么的值是（A）15 （B）31 （C）63 （D）647. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是（A）,,2（B）4,2,（C）,2，2（D）,2,8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若，则∠A=_________．PP1P单价需求曲线供应曲线P1P单价需求曲线供应曲线ABP侧视图zyyx10.已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90o，则___________．11.已知圆，则圆被动直线所截得的弦长__________．12.已知，则函数的最小值为________．13.已知满足目标函数的最大值为5，则的值为．14.函数．①当b=0时，函数f(x)的零点个数_______；②若函数f(x)有两个不同的零点，则b的取值范围________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.16. （本小题共13分）下图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k 的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）.17. （本小题共14分）已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥（如图）. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面；（Ⅱ）设平面平面，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若，，，F 为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？18. （本小题共13分）已知函数，数列满足：. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前项和. 19 . （本小题共14分）ABEDCC'DEFBA已知函数．（Ⅰ）求曲线在处的切线的方程；（Ⅱ）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（Ⅲ）当时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线有且只有一个公共点，求的取值范围. 20. （本小题共13分）已知椭圆:过点A （2，0），离心率，斜率为 直线过点M （0，2），与椭圆C 交于G ，H 两点（G 在M ，H 之间），与轴交于点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 为轴上不同于点B 的一点，Q 为线段GH 的中点，设△HPG 的面积为， 面积为，求的取值范围.丰台区xx 年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 10.16 11. 12. 3 13. 14 . 0 ； 注：14题第一空2分，第二空3分。

渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。

普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷（一）文科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =--≤=∣，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,0,1- C.{}0,1 D.{}1,22.已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（）A.34i+ B.43i+ C.36i + D.63i+3.给出下列三个命题：①命题:R p x ∃∈，使得210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，使得210x x +-≥；②“5x >或1x <-”是“2450x x -->”的充要条件；③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.34.已知()()1cos 0,3θθπ=-∈，则3cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.223-B.13-C.223D.135.高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（）A .平均数B.方差C.极差D.中位数6.把函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向左平移π6个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ=（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π67.若实数,x y 满足1 200 y x x y y ≤+⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则24=--z x y 的最小值是（）A.6- B.5- C.8- D.7-8.某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（）（参考数据：lg1.120.05,lg20.30≈≈）A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年9.在ABC 中，6BC BA ==，3BC BD →→=，4AC AE →→=，则AD BE →→⋅=（）A.9- B.32C.12-D.24-10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC为等腰直角三角形，且112AB AC AA ===，则异面直线1AB 与1AC 所成角的余弦值为（）A.23B.53C.33-D.3311.如图所示，点F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点，,A C 是椭圆上关于原点O 对称的两点，直线AF 与椭圆的另一个交点为B ，若,3AF FC AF BF ⊥=，则椭圆M 的离心率为（）A.12B.32C.1D.2212.函数()f x 满足()()1ln 1f x x f x +=-，且()()1212e,e,1x x f x f x >>+=，则()12f x x 的最小值为（）A.eB.1C.57D.1e二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______.14.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两条渐近线的夹角为3π，则b =_______．15.若直线()():1210l m x m y -+-=与曲线:2C y =+有公共点，则实数m 的范围是__________.16.已知三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥-P ABC 的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.为增强学生体质，充分展示当代青少年积极健康向上的精神风貌，某学校在校内新开设羽毛球课和健美操课，且每名同学只选一课．为了研究选课是否与性别有关系，现随机抽取了高一年级200名学生选课情况（其中男生120人，女生80人）．（1）完成下面的22⨯列联表，判断是否有99.5%的把握认为选课与性别有关，并说明理由．羽毛球课健美操课合计男女48合计112（2）从上述120名男生中按选羽毛球课和选健美操课进行分层抽样，抽取6人，求从这6人中任取2人，至少有1人选择了羽毛球课的概率．附：2()P K k≥0.150.100.050.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 6.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中)n a b c d=+++18.已知三棱锥D-ABC，△ABC与△ABD都是等边三角形，AB=2.（1）若CD =ABC ⊥平面ABD ；（2）若AD ⊥BC ，求三棱锥D -ABC 的体积.19.设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式（2）记数列421n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在实数k ，使得n S k <对任意n *∈N 恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.20.已知函数()2e 1ln xf x a x -=--．（1）求12a =，求()f x 的单调区间及极值点；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．21.如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点()4,0A 的直线l 与抛物线交于两个不同的点M ，N （M 是第一象限点），MN 的垂直平分线交抛物线于P ，Q ．当直线l 的斜率为时，3MF =．（1）求抛物线的方程；（2）若1p >，求PQ 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 34sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin(103ρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于点,A B 两点，求AB .[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3124f x x x =+--.（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围，普通高校招生全国统一考试仿真模拟·全国卷（一）文科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =--≤=∣，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}1,0,1- C.{}0,1 D.{}1,2【答案】A 【解析】【分析】求解一元二次不等式并求交集即可.【详解】因为{}220{|12}A xx x x x =--≤=-≤≤∣，所以{0,1,2}A B ⋂=.故选：A.2.已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（）A.34i + B.43i+ C.36i+ D.63i+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，求解即可【详解】由题意，11212221z z z z z z z ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11i 3+i (3i)1i (3i)1i (3i)1i (1i)(1i)2⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3i)(3i)86i 43i 22+++===+故选：B3.给出下列三个命题：①命题:R p x ∃∈，使得210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，使得210x x +-≥；②“5x >或1x <-”是“2450x x -->”的充要条件；③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确命题的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】运用含有一个量词的命题的否定可判断①，解一元二次不等式并结合充分条件、必要条件的定义可判断②，运用复合命题的真假关系可判断③.【详解】对于①，命题:R p x ∃∈，使得210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，使得210x x +-≥，故①正确；对于②，因为2450x x -->的解集为{|1x x <-或5}x >，所以“5x >或1x <-”是“2450x x -->”的充要条件，故②正确；对于③，若p q ∨为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，当p 真q 假或p 假q 真时，则p q ∧为假，当p 真q 真时，则p q ∧为真，故③错误.故正确的命题是①②，即正确命题的个数为2.故选：C.4.已知()()1cos 0,3θθπ=-∈，则3cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.3-B.13-C.3D.13【答案】A 【解析】【详解】因为()()1cos 0,3θθπ=-∈，所以22sin 3θ==，故322cos sin 23πθθ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭.故选：A.5.高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（）A.平均数B.方差C.极差D.中位数【答案】D 【解析】【分析】根据平均数、方差、极差、中位数的概念判断．【详解】如果后面的成绩非常差，平均数可能偏小，不能确定是否进前6，同样极差可能很大，也不能判断，方差只反映数据的稳定性，不能确定，中位数是中间的的一个数，是11个数据中的第6个，不比中位数小则为前6，因此知道中位数即可．故选：D ．6.把函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向左平移π6个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ=（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】利用图象的平移变换，得平移后的函数解析式，由函数为偶函数，可求ϕ的值.【详解】函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向左平移π6个单位后，得函数ππsin 2sin 263y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，由函数为偶函数，则有()πππZ 32k k ϕ+=+∈，即()ππZ 6k k ϕ=+∈，又0ϕπ<<，所以π6ϕ=.故选：A7.若实数,x y 满足1 200 y x x y y ≤+⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则24=--z x y 的最小值是（）A.6-B.5- C.8- D.7-【答案】D 【解析】【分析】作出可行域，由24=--z x y 变形为11222y x z =--，平移直线，结合图象即可求得最优解.【详解】画出1200y x x y y ≤+⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如图所示，11(1,2)22y x x A y x y =+=⎧⎧⇒⇒⎨⎨==⎩⎩，将24=--z x y 变形为11222y x z =--，平移直线11222y x z =--，由图可知，当直线11222y x z =--经过点(1,2)A 时，直线11222y x z =--在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值为12247z =-⨯-=-.故选：D.8.某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（）（参考数据：lg1.120.05,lg20.30≈≈）A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年【答案】C 【解析】【分析】设再过n 年，该政府全年投入的资金翻一番，则(112%)2n +=，结合指对互化及对数换底公式计算即可.【详解】设再过n 年，该政府全年投入的资金翻一番，则120(112%)2120n ⨯+=⨯，即 1.12lg 20.3log 26lg1.120.05n ==≈=，所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是202162027+=年.故选：C.9.在ABC 中，6BC BA ==，3BC BD →→=，4AC AE →→=，则AD BE →→⋅=（）A.9- B.32C.12-D.24-【答案】D 【解析】【分析】将向量,AD BE →→转化为,BC BA →→，进而根据平面向量的数量积求得答案.【详解】由题意，得13AD BD BA BC BA →→→→→=-=-，1131()4444BE BA AE BA AC BA BC BA BA BC →→→→→→→→→→=+=+=+-=+，故131344BC BA BA B BE C AD →→→→→→⎛⎫⋅=⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222213136632724124124BC BA →→=-=⨯-⨯=-=-.故选：D.10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，且1212AB AC AA ===，则异面直线1AB 与1AC 所成角的余弦值为（）A.23B.3C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】先补形，再作出异面直线1AB 与1AC 所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解.【详解】将直三棱柱111ABC A B C -补形为如图所示的正四棱柱：连接1B D 、AD ，则11//B D A C ，则异面直线1AB 与1AC 所成角的平面角为1DB A ∠(或其补角)，又11DB B A ===AD ==，由余弦定理可得：22212cos3DB A ∠=.故选：A11.如图所示，点F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点，,A C 是椭圆上关于原点O 对称的两点，直线AF 与椭圆的另一个交点为B ，若,3AF FC AF BF ⊥=，则椭圆M 的离心率为（）A.12B.32C.1D.22【答案】D 【解析】【分析】作1F 为椭圆M 的左焦点，连接111,,AF CF BF ．设||BF m =，则||2AF m =，再利用椭圆的定义及对称性建立方程组求出离心率.【详解】令1F 为椭圆M 的左焦点，连接111,,AF CF BF ，由A ，C 是椭圆上关于原点O 对称的两点，知四边形1AFCF 是平行四边形，又AF FC ⊥，则1AFCF 是矩形，令1||2F F c =，||BF m =，则||3AF m =，123AF a m =-，1||2BF a m =-，于是2221122211||||||||AF AF F F AF AB BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即222222(3)(23)4(23)(4)(2)m a m c a m m a m ⎧+-=⎨-+=-⎩，解得2c a =，所以椭圆M的离心率为2.故选：D12.函数()f x 满足()()1ln 1f x x f x +=-，且()()1212e,e,1x x f x f x >>+=，则()12f x x 的最小值为（）A.eB.1C.57D.1e【答案】C 【解析】【分析】通过解方程可得()f x 的解析式，由12()()1f x f x +=化简可得1212ln ln ln()3x x x x ⋅=⋅+，结合基本不等式可得12ln()6x x ⋅≥，运用分离常数法化简可得12122()1ln()1f x x x x =-⋅+，进而可得其最小值.【详解】因为1()ln 1()f x x f x +=-，所以ln ln ()1()0x x f x f x -⋅--=，即ln 1()ln 1x f x x -=+，又因为12()()1f x f x +=，所以1212ln 1ln 11ln 1ln 1x x x x --+=++，即1221121212(ln 1)(ln 1)(ln 1)(ln 1)2ln ln 21(ln 1)(ln 1)(ln 1)(ln 1)x x x x x x x x x x -++-+⋅-==++++，所以1212ln ln ln()3x x x x ⋅=⋅+，因为1e x >，2e x >，所以1ln 1x >，2ln 1x >，所以2212121212ln ln ln ()ln ln ln()3()24x x x x x x x x +⋅⋅=⋅+≤=，整理得21212ln ()4ln()120x x x x ⋅-⋅-≥，解得12ln()6x x ⋅≥或12ln()2x x ⋅≤-（舍），所以12121212ln()1225()11ln()1ln()1617x x f x x x x x x ⋅-==-≥-=⋅+⋅++，当且仅当1212ln lnln()6x x x x =⎧⎨⋅=⎩即312e x x ==时取等号.故12()f x x 的最小值为57.故选：C.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A 的值为_______.【答案】14-【解析】【详解】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =∴=∴=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-．考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论．14.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的两条渐近线的夹角为3π，则b =_______．【答案】3【解析】【分析】首先判断渐近线的倾斜角，再求b 的值.【详解】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是y bx =，()0b >因为两条渐近线的夹角是3π，所以直线y bx =的倾斜角是6π或3π，即tan63b π==或tan 3b π==故答案为：3315.若直线()():1210l m x m y -+-=与曲线:2C y =+有公共点，则实数m 的范围是__________.【答案】13[,]24【解析】【分析】当12m =时，可求得直线l 与曲线C 的公共点；当12m ≠时，直线l 恒过定点(0,0)，斜率为121m m --，曲线C 为圆心为(2,2)，半径为2的上半圆，画图观察可得11212m m -≥-，进而可求得结果.【详解】①当210m -=，即12m =时，直线l 为0x =（即y 轴），0022x x y y =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，即直线l 与曲线C 的公共点为(0,2)，故12m =符合题意；②当210m -≠，即12m ≠时，直线l 为121m y x m -=-恒过定点(0,0)，斜率为121m m --，又因为曲线C：222(2)(2)4(24)y x y y =⇒-+-=≤≤，所以曲线C 为圆心为(2,2)，半径为2的上半圆.如图所示，当直线l 经过半圆的右端点(4,2)A 时恰好有公共点，逆时针旋转至y 轴都满足题意，又因为12OA k =，所以11212m m -≥-，解得1324m <≤，综述，实数m 的取值范围为13[,24.故答案为：13[,]24.16.已知三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥-P ABC 的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.【解析】【分析】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，证得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，取PAB 的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，得到点O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，结合球的性质及勾股定理建立方程后可求得答案.【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，则,PE AB CE AB ⊥⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以可得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，则,,,F M E P 四点共面，取PAB 的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，因为EF 垂直平面PAB ，则HO ⊥平面PAB ，所以点O 到,,,A B C P 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，在PAB 中，22212cos 2a a APB a +-∠=，根据三角函数同角的平方关系可得2239sin APB a∠=，所以PAB外接圆的半径22239PH a =，连接OP ，可求得1OH EF ==，由三棱锥-P ABC 外接球的表面积为654π，则有2265654416R R ππ=⇒=，所以22222216516R OP H O PH ==+=+=，解得a =.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.为增强学生体质，充分展示当代青少年积极健康向上的精神风貌，某学校在校内新开设羽毛球课和健美操课，且每名同学只选一课．为了研究选课是否与性别有关系，现随机抽取了高一年级200名学生选课情况（其中男生120人，女生80人）．（1）完成下面的22⨯列联表，判断是否有99.5%的把握认为选课与性别有关，并说明理由．羽毛球课健美操课合计男女48合计112（2）从上述120名男生中按选羽毛球课和选健美操课进行分层抽样，抽取6人，求从这6人中任取2人，至少有1人选择了羽毛球课的概率．附：2()P K k ≥0.150.100.050.0100.0050.001k2.0722.7063.8416.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中)n a b c d =+++【答案】（1）表格见解析，有，理由见解析（2）1415【解析】【分析】（1）代入公式求得2K ，再与7.879进行比较即可解决；（2）列出所有基本事件，从中选出符合要求的基本事件，以古典概型解之即可.【小问1详解】22⨯列联表如下：羽毛球课健美操课合计男8040120女324880合计11288200将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得22200(80483240)320013.8531128812080231K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为13.8537.879>，所以我们有99.5%的把握认为选课与性别有关【小问2详解】因为男生中选羽毛球课和选健美操课的人数之比为2:1，所以用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，得到这6人中选羽毛球课的人数为4人，记为1234,,,A A A A .选健美操课的人数为2人，记为12,B B .从中任取两人的所有基本事件为：121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15种.其中至少有一人选择了羽毛球课包含了14种，故所求的概率1415P =．18.已知三棱锥D -ABC ，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，AB =2.（1）若CD =ABC ⊥平面ABD ；（2）若AD ⊥BC ，求三棱锥D -ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AB 的中点M ，由题可得∠DMC 为二面角D —AB —C 的平面角，结合条件可得CM DM ⊥，进而即证；（2）取AD 的中点N ，利用条件可得AD ⊥平面BCN ，进而可得BCN S = ，然后利用棱锥的体积公式即得.【小问1详解】取AB 的中点M ，连接CM ，DM ，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，所以CM ⊥AB ，DM ⊥AB ，∠DMC 为二面角D —AB —C 的平面角，又AB =2，∴3CM DM ==，又6CD =∴222CM DM CD +=，所以CM DM ⊥，即90DMC ∠= ，∴平面ABC ⊥平面ABD ；【小问2详解】取AD 的中点N ，连接BN ，CN ，则BN ⊥AD ，又AD ⊥BC ，BN BC B = ，∴AD ⊥平面BCN ，∴AD ⊥CN ，△ACD 也是等边三角形，由题可得3CN BN ==BC =2，∴()22123122BCN S =⨯-= ，∴三棱锥D -ABC 的体积为11222333BCN V S AD =⋅=⨯=.19.设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式（2）记数列421n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在实数k ，使得n S k <对任意n *∈N 恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）121n a n =-；（2）存在，k 的最小值为2.【解析】【分析】（1）由题可得当2n时，1213(23)1n a a n a n -+++-=- ，结合条件可得(21)1n n a -=，即求；（2）利用裂项相消法可得12121n S n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，由题可得2k ≥，即得.【小问1详解】因为123(21)n a a n a n +++-= ，∴当1n =时，11a =，当2n时，1213(23)1n a a n a n -+++-=- ，两式相减得(21)1n n a -=，所以1(2)21n a n n =- ，又11a =，满足上式，故{}n a 的通项公式为121n a n =-.【小问2详解】由（1）知4411221(21)(21)2121n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+-+-+⎝⎭.则1111112121335212121n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为1021n >+，所以11121n -<+，所以2n S <，由题可得2k ≥,∴存在实数k ，使得n S k <对任意n *∈N 恒成立，k 的最小值为2.20.已知函数()2e1ln x f x a x -=--．（1）求12a =，求()f x 的单调区间及极值点；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为()0,2，有极小值点2，无极大值点.（2）[),e +∞【解析】【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；（2）将不等式进行参变分离得21+ln e x x a -≥，令()21+ln e x xg x -=，求导函数，分析导函数的符号，求得()g x 的最大值，继而可得答案.【小问1详解】解：当12a =时，函数()21e 1ln 2x f x x -=--，定义域为(0,)+∞，则()2'211e 2e 22x x xf x x x---=-=.当()0f x ¢>时，2x >，当()0f x '<时，02x <<，所以函数()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为()0,2，所以当2x =时，函数()f x 取得极小值()22112e 1ln 2ln 222f -=--=--，无极大值.所以函数()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为()0,2，有极小值点2，无极大值点.【小问2详解】解：由()0f x ≥得2e 1ln 0x a x ---≥，又2e >0x -，所以21+ln e x xa -≥，令()21+ln ex x g x -=，定义域为(0,)+∞，则()'211ln e x xx g x ---=.又11ln y x x=--在(0,)+∞上单调递减，且()'1211ln1110eg ---==，所以当01x <<时，()'>0g x ，()g x 单调递增，当>1x 时，()'0g x <，()g x 单调递减，所以()()12max 1+ln11e e g x g -===，所以e a ≥.综上，a 的取值范围是[),e +∞.21.如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点()4,0A 的直线l 与抛物线交于两个不同的点M ，N （M 是第一象限点），MN 的垂直平分线交抛物线于P ，Q ．当直线l 的斜率为时，3MF =．（1）求抛物线的方程；（2）若1p >，求PQ 的最小值．【答案】（1）24y =或243y x =（2）min PQ =【解析】【分析】（1）设点M 的坐标为()11,x y，由已知条件列出方程组2111112324y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，解方程组即可得到答案；（2）设直线l 的方程为4x my =+及其点()11,M x y ，()22,N x y ，将点()11,M x y ，()22,N x y 代入抛物线方程作差，即可得到1214m y y =+，由此可以求得故MN 中点坐标为()224,2mm +，设出PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，与抛物线的方程联立得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求出PQ ，最后用导数求其最值即可.【小问1详解】设点M 的坐标为()11,x y，根据题意可列出方程组2111112324y pxp x y x ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪-⎩，可解得2p =或23p =因此可得到抛物线方程为24y =或243y x=【小问2详解】由于1p >，可知抛物线方程为24y x =，设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ,即2114y x =和2224y x =，两式相减为1212124y y x x y y -=-+，即1214m y y =+，则1222y y m +=，12212244422x x y my m m ++=++=+故MN 中点坐标为()224,2m m +，设PQ 方程为()()21242x m y m m-+=--，()33,P x y ，()44,Q x y ,联立()()2241242y xx m y m m ⎧=⎪⎨-+=--⎪⎩得2248240y y m m +--=，()221=230m m ∆++>，即20m >，由韦达定理可知342344824y y m y y m ⎧+=-⎪⎨⎪=--⎩，于是可得34PQ y y =-=令2t m =，并记()27128f t t t t=+++()0t >，求导函数得()23722f t t t'=--，令()0f t '=，解得导函数零点为2t =，且导函数在()0,∞+上单调递增，因此导函数在()0,2上恒为负，在()2,+∞上恒为正，可知原函数在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则在2t =处取得最小值，则()()min 6324f t f ==，即min PQ =.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 34sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin(103ρθ-+=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于点,A B 两点，求AB .【答案】（1）22(3)16x y +-=20y --=；（2.【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程.（2）利用几何法可求圆的弦长.【小问1详解】由曲线C 的参数方程为4cos ,34sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），得曲线C 的普通方程为22(3)16x y +-=，直线l 的极坐标方程为πsin()103ρθ-+=cos sin 20θρθ--=，则直线l 20y --=，所以曲线C 的普通方程为22(3)16x y +-=，直线l 20y --=.【小问2详解】由（1）知曲线C 是以(0,3)C 为圆心，半径为4的圆，则圆心到直线l 的距离|32|522d --==，所以||AB ==.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3124f x x x =+--.（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围，【答案】（1）4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(][),19,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()3f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()2f x x --的最大值，得出关于t 的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当1x <-时，()3(1)(24)3f x x x =-++->，解得10x <-；当12x -≤≤时，()3(1)(24)3f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤；当2x >时，()3(1)(24)3f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >.综上，不等式()3f x >的解集为4(,10),5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()|2|3|1||24||2|f x x x x x --=+----3|1|3|2|x x =+--|33||36|x x =+--|33(36)|9x x ≤+--=，若对任意x R ∈，不等式2()|2|8f x x t t --≤-恒成立，则289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥.因此，实数t 的取值范围是(][),19,-∞-+∞ .【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．。

北京市朝阳区高三下学期第一次统一考试数学（文科）试卷.4（考试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）1．设集合U = R ，集合M = {x | x > 0}, N = {x | x 2 ≥x }，则下列关系中正确的是（ ） A ．M N M ∈⋂ B ．M N M ⊆⋃ C ．Φ=⋃N M C )(1D ．N M N C ⊆⋂)(12．在△ABC 中，sin 2A = sin 2B 是A = B 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： △a △b ，b △α，则a △α；△a 、α⊂b ，a △β，b △β，则α△β；△a 与α成30°的角，a △b ，则b 与α成60°的角； △a △α，b △α，则a △b 。

其中正确命题的个数是 （ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知数列{a n }的前n 项为S n ，S 3 = 3，S 6 = 27，则此等比数列的公比q 等于（ ） A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 5．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210种B ．186种C ．180种D ．90种6．已知函数]0,2[4)(2-∈--=x x x f ，则)(x f 的反函数是（ ）A ．]2,0[4)(21∈--=-x x x fB ．]0,2[4)(21-∈--=-x x x f C ．]2,0[4)(21∈-=-x x x fD ．]0,2[4)(21-∈-=-x x x f7．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，过点F 2向△F 1PF 2的外角平分线作垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是 （ ） A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．双曲线的一支8．已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m 个，则从存储器中取出n 个数据后，此存储器中的数据个数为m －n 个；若存储器中原有数据为m 个，则将n 个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m + n 个。

高三普通班班第一次质量大检测文数试题考试说明：试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1.已 知 集 合 A ＝ {0 , 1 , 3 }, B ＝ {}13x x-≤.则A ∩ B ＝A. {0 , 2 }B. {0 , 1 } C . {0 , 1 ,2, 3 } D .Φ2.如果复数21m imi++是 纯虚数 , 那么实数 m 等于A.1B.0C.0 或 1D.0 或-13．已知命题 p ：“ ∀ x ∈(0,)+∞， 2x ＞1 0” ，命 题 q ：“ ∃ x 0 ∈R ，sinx 0=cosx 0,则下列命题中的真 命 题为 A ．p ∧ q B ．﹁p C ． ﹁p ∧q D ．﹁p ∨﹁q 4. 我 国 古 代 数 学 算 经 十 书 之 一 的 《 九 章 算 术 》 有 一 衰 分 问 题 ： 今 有 北 乡 八千 一 百 人 ， 西 乡 七 千 四 百 八 十 八 人 ， 南 乡 六 千 九 百 一 十 二 人 ， 凡 三 乡 ， 发 役 三 百 人 ， 则 北 乡 遣 A . 10 4 人 B . 10 8 人 C . 11 2 人 D . 12 0 人 5.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，设向量()()sin sin ,3,sin ,m B A a c n C a b =-+=+，且//m n ，则B 的大小是（ ） A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．162π+B ．164π+C ．164π+D ．162π+7.为比较甲、乙两地某月10时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天,10时的气温数据(单位：C ︒ )制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论： ①甲地该月10时的平均气温低于乙地该月10时的平均气温； ②甲地该月10时的平均气温高于乙地该月10时的平均气温；③甲地该月10时的平均气温的标准差小于乙地该月10时的气温的标准差； ④甲地该月10时的平均气温的标准差大于乙地该月10时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④8.已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．29-9．已知ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A B 2=，0cos cos cos >C B A ， 则bAa sin 的取值范围是A ．⎝⎭B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,43C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭10．已知三棱锥ABC S -的四个顶点均在某个球面上，SC 为该球的直径，ABC ∆是边长 为4的等边三角形，三棱锥ABC S -的体积为38，则此三棱锥的外接球的表面积为A ． 368πB ．316πC ．364πD ．380π11．函数11+=x y 的图像与函数)24(sin 3≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和 等于A ．4-B ．2-C ．8-D ．6-12．已知S 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的任意一点，过S 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于点N M ,，交y 轴于点Q P ,，若()411≥+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+OQ OP ON OM恒成立，则双曲线离心率e 的取值范围为 A ．(]2,1B ．[)+∞,2C ．]2,1（ D ．),2[+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为．14．设函数31()2320x e x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是．15．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC BD ⋅的值为． 16．已知a 为常数，函数22()1x f x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为． 13．22(1)4x y -+=14．()1+∞，15．10 16．144，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17]已知的内角，，满足：，，1）求角， ，2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．18. 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3万元．根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．，1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；，2）今年该经销商欲进货100吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率．19、（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证：//EF 平面PCD ； （2）若2=12AD AP PB AB ===，求三棱锥P DEF -的体积.20．（本小题满分12分）已知点)1,0(-A 、)1,0(B ，P 为椭圆C :1222=+y x 上异于点B A ,的任意一点． （，）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为21-； （，）是否存在过点)0,2(-Q 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.（1）分别求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.（二）选考题：共10分。