第8章 图的基本概念
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图学基础教程习题集答案第一章:图学基本概念1. 图的定义是什么?答案:图是由顶点(或称为节点)和边组成的数学结构,其中边是顶点之间的连接。
2. 什么是有向图?答案:有向图是一种图,其中的边具有方向性,从一个顶点指向另一个顶点。
第二章:图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么?优点:易于实现,可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。
缺点:空间复杂度高,对于稀疏图来说效率较低。
2. 邻接表的优缺点是什么?优点:空间效率高,对于稀疏图特别适用。
缺点:需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。
第三章:图的遍历1. 深度优先搜索(DFS)的基本思想是什么?答案:从图中的一个顶点开始,沿着边尽可能深地搜索,直到无法继续,然后回溯到上一个顶点,继续搜索其他路径。
2. 广度优先搜索(BFS)的基本思想是什么?答案:从图中的一个顶点开始,逐层遍历所有可达的顶点,直到所有顶点都被访问过。
第四章:最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么?答案:在无向图中,最小生成树是一棵连接所有顶点的树,且边的总权重最小。
2. Kruskal算法的基本步骤是什么?答案:Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边,确保选择的边不会形成环,直到所有顶点都被连接。
第五章:最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么?答案:Dijkstra算法通过维护一个优先队列,不断地选择距离起点最近的顶点,并更新其邻接顶点的距离。
2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么?答案:Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图,而Dijkstra算法不能。
第六章:图的着色1. 图的着色问题的定义是什么?答案:图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色,使得相邻的顶点颜色不同。
2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么?答案:贪心算法在图的着色问题中,从顶点集合中选择一个顶点,为其分配一种颜色,然后移动到下一个顶点,并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。
习题81. 给定下面两个图的集合表示,画出他们的图形表示。
>=<111,E V G ,其中},,,,{543211v v v v v V =,)},(),,(),,(),,(),,{(43415351211v v v v v v v v v v E =>=<222,E V D ,其中},,,,{543221v v v v v V =,},,,,,,,,,{43412552212><><><><><=v v v v v v v v v v E 注:2D 改为2G 解:2. 先将下图中各图的顶点标定次序,然后写出各图的集合表示。
解:顶点标定如下:图G1图G2V5V5(1)(2)(3)(1) 其中},,,{43211v v v v V =,)},(),,(),,(),,(),,{(43324131211v v v v v v v v v v E = (2) 其中},,,,{543221v v v v v V =,)},(),,(),,(),,{(545452212v v v v v v v v E = (3) 其中},,,,{543231v v v v v V =,},,,,,,,,,,,{4534133251213><><><><><><=v v v v v v v v v v v v E3. 写处下图中各图的度数列,对有向图还要写出出度列和入度列。
解:(1)4,2,2,2 (2)度数列:1,4,1,5,1;出度列:1,2,0,3,0;入度列:0,2,1,2,14. 设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1各,其余的都是2度顶点,问该图有几个顶点? 注:“各1各”改为“各1个”。
解:设该图有x 个顶点,3×1+5×1+2×(x-1-1)=6×2,x=45. 画以(1,2,2,3)为度数列的简单图和非简单图各一个。
解:(1)(2)(3)V5(1)(2)3v 1v 23v6.证明在任何有向完全图中,所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
证明:设有向完全图有n 个结点v 1, v 2,…, v n , 结点v i 的入度为d -(v i )=n-1,出度为d +(v i )=n-1, 所有结点入度的平方之和为()()()21122i-1-n 1-n )(v d ∑∑====n i ni n ,所有结点出度的平方之和为()()()21122i 1-n 1-n )(v d∑∑==+==ni ni n ,故所有结点入度的平方之和等于所有结点的出度平方之和。
7.写出下图相对于完全图的补图。
解:8.证明下图中的两个图不同构。
证明:将图的顶点标定如下:如果这两个图同构,那么对应结点的度数应相同。
度数为3的两个结点v 1与v 1'相对应。
但与v 1邻接的三个结点中一个结点v 2度数为2,两个结点v 3 ,v 4度数为1,而与v 1'邻接的三个结点中有两个结点v 2',v 3'度数为2,一个结点v 4'度数为1,故他们不同构。
9.一个图如果同构于它的补图,则该图称为自补图。
1)试给出一个五个结点的自补图。
2)是否有三个结点或六个结点的自补图。
3)一个图是自补图,其对应的完全图的变数必为偶数。
注:3)中“变数”应为“边数”。
解: 1)v 3 v 4'1v'2v '3v2)没有。
由3),n(n-1)/2应为偶数,而n=3,6时,n(n-1)/2为奇数。
3)若n 阶图G 与其补图G 同构,G 与G 的边数应相同,因此G 与G 的总边数为偶数。
而G 与G 的总边数为对应的完全图的边数,即n(n-1)/2,故对应的完全图的边数为偶数。
10.证明简单图的最大度小于结点数。
证明:设简单图G 有n 个结点。
对任一结点u ,由于G 没有环和平行边,u 至多与其余n-1个结点中每一个有一条边相连接,即deg(u)≤n -1,因此,⊿(G)=max deg(u)≤n -1。
11.在无向图G 中,从结点u 到结点v 有一条长度为偶数的通路,从结点u 到结点v 有一条长度为奇数的通路,则在G 中必有一条长度为奇数的回路。
证明:设从结点u 到结点v 长度为偶数的通路是ue 1u 1e 2u 2…e 2k v ,长度为奇数的通路是ue 11u 11e 12u 12…e12h-1v ,那么路ue 1u 1e 2u 2…e 2k ve 12h-1…u 12e 12u 11e 11u 就是一条回路,它的边数=2k+(2h-1)=2(h+k)-1,是奇数,故这条回路的长度是奇数。
12.若无向图G 中恰有两个奇数度的结点,则这两结点间必有一条路。
证明:反证法。
证明:设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v 。
假设u 和v 不连通,即它们之间无任何通路,则G 至少有两个连通分支G 1,G 2,使得u 和v 分别属于G 1和G 2 (否则,它们之间必有通路),于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点。
这与握手定理的推论矛盾(教材P136定理8.1.2)。
因而u 和v 一定是连通的。
13.若图G 是不连通的,则G 的补图G 是连通的。
注:图G 是无向图。
证明:若图G =<V ,E>是不连通的,可设图G 的连通分支是G(V 1),G(V 2),…,G(V m )(m≥2)。
由于任意两个连通分支G(V i )与G(V j )(i≠j)之间不连通,因此两个结点子集V i 与V j 之间的所有连线都在图G 的补图G 中。
任取两个结点u 和v ,有两种情形:(1)u 和v 分别属于两个不同结点子集V i 与V j 。
由上可知G 包含边(u,v),故u 和v 在G 中是连通的。
(2)u 和v 属于同一个结点子集V i 。
可在另一个结点子集V j 中取一个结点w ,由上可知边(u ,w)及边(v,w)均在G 中,故邻接边(u,w)和(v,w)组成的路连接结点u 和v ,即u 和v 在G 中也是连通的。
由此可知,当图G 不是连通图时,G 必是连通图。
14. 设G 是n 阶自补图,证明n=4k 或n=4k+1,其中k 为正整数。
证明:由第9题3),n(n-1)/2须是偶数。
(1)当n=4k 时,n(n-1)/2=4k(4k-1)/2=2k(4k-1)为偶数; (2)当n=4k+1时,n(n-1)/2=(4k+1)4k/2=2k(4k+1)为偶数;(3)当n=4k+2时,n(n-1)/2=(4k+2)(4k+1)/2=(2k+1)(4k+1)为奇数; (3)当n=4k+3时,n(n-1)/2=(4k+3)(4k+2)/2=(4k+3)(2k+1)为奇数; 故n=4k 或n=4k+1。
15. 已知n 阶无向简单图G 有m 条边,试求G 的补图G 的边数m ’。
解:m n n m --='2)1(16.分析下图,求1)从A 到F 的所有通路。
2)从A 到F 的所有迹。
注:1)改为求从A 到F 的所有初级通路。
解:1)ABCF,ABCEF,ABEF,ABECF,ADEF,ADEBCF,ADECF2)ABCF,ABCEF,ABEF,ABECF,ADEF,ADECF,ADECBEF,ADEBCF,ADEBCEF17.一个图是单侧连通的,当且仅当它有一条经过每一结点的路。
注:单侧连通即单向连通证明:充分性。
如果图G 中有一条通路u 1u 2…u n ,它至少包含每个结点一次,则G 中任两个结点u i ,u j (i <j),u i 可达u j ,故G 是单向连通的。
必要性。
如果G 单向连通,必可作一通路经过图中所有各点。
若不然,设有一通路u 1u 2…un不包含某一结点v ,下面分三种情况讨论。
(1)若v 可达u 1,则可作通路v …u 1u 2…u n ,包含v 。
(2)若u n 可达v ,则可作通路u 1u 2…u n …v ,包含v 。
(3)若v 不可达u 1,且u n 不可达v ,顺序查找u 1u 2…u n 中各结点,从中找出第一个v 可达的结点u i ,则u i -1可达v 。
故可作通路u 1u 2…u i -1…v …u i …u n ,包含v 。
因此,总可以在原有通路u 1u 2…u n 的基础上,构造新的通路,包含原通路未包含的结点,最终作出经过图中所有各点的通路。
18. 无向图G 如下图所示。
1) 求G 的全部点割集和边割集,并指出其中的割点和割边。
解:点割集:{C},{E},{B,D},节点C 和节点E 都是割点。
虽然删除节点A 和C 图成为不连通的,但因{C}是{A,C}的真子集,所以{A,C}不是点割集。
边割集:{E5},{E6},{E1,E2}, {E1,E3}, {E1,E4}, {E2,E3}, {E2,E4}, {E3,E4},E5和E6为割边。
2)求G 的点连通度)(G k 和边连通度)(G λ。
解:)(G k =1,)(G λ=1。
19.求出下图中有向图的邻接矩阵A 和可达性矩阵。
解:E 365v 34邻接矩阵: 可达性矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000010110100000⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡100000110100101011110000120.写出下图中图G 的完全关联矩阵。
无向图完全关联矩阵定义:设>=<E V G ,是一个无向图,,,{21v v V =…,n v },},...,,{21m e e e E =,则矩阵)()(ij m G M =称为G 的完全关联矩阵(Complete Incidence Matrix),其中10i jij i jv e m v e ⎧⎪=⎨⎪⎩ 若关联 若不关联解:各边标注如下:完全关联矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000010110000100101110100000011010000101001000000001011。