离散数学14.1 图的基本概念

离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。

一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。

图分为有向图和无向图。

无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。

图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。

二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。

对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。

对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。

对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。

2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。

它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。

对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。

邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。

三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。

对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。

2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。

对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。

3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。

路径的长度是指路径中边的数目。

4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。

一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。

四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。

1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。

第十四章图的基本概念§1 图定义设A,B是两个集合，称{{a,b}|a∈A,b∈}B 为A与B的无序积，记为A&B；{a,b}称为无序对。

后面，把{a,b}记为(a,b)，且允许a=b；对无序对(a,b)，有(a,b)=(b,a)。

定义设G =〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V&V，（E中元素可重复出现）则称G是一个无向图。

此时，称V为G的顶点集，记为V(G)，V中的元素称为G的顶点；称E为G的边集，记为E(G)，E中的元素称为G的无向边。

定义设D=〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V×V（E中元素可重复出现）则称G是有向图。

此时，称V为D的顶点集，记为V(D)，V中的元素称为D的顶点；称E为D的边集，记为E(D)，E中的元素称为D的有向边。

图的图示注①有时G既表示无向图又表示有向图，可统称为图。

②若V(G),E(G)均为有穷集，则称G为有限图。

对有限图G，称|V(G)| 为G的阶数。

③对e∈E(G)，称e出现的次数为e的重数，这些相同的边称为平行边（或重边）。

④当V(G)=∅时，称G为空图，记为∅。

⑤ 当E (G )= ∅时，称G 为零图，n 阶零图记为N n ；特别地，称N 1为平凡图。

⑥ 用u ,v ,v 1,v 2,"表示顶点，用e ,e 1,e 2,"表示边，称这样的图为标定图。

否则，称为非标定图。

⑦ 把无向图G =〈V ,E 〉的每条无向边确定一个方向后得到一个有向图D ，称D 为G 的定向图。

反之，去掉有向图D =〈V ,E 〉的每条有向边的方向后得到一个无向图G ，称G 为D 的基图。

⑧ 设G 是一个图，e ∈E (G )。

若e =(v i ,v j ) 或e =〈v i ,v j 〉，则称v i ,v j 为e 的端点，称v i ，v j 与e 是关联的。

当v i ≠v j 时，称e 与v i 或e 与v j 的关联次数为1；当v i =v j 时，称e 为环，e 与v i 的关联次数为2；对 (), ,l l i l j v V G v v v v ∈≠≠，称e 与v l 的关联次数为0。

离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。

图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。

本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。

一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。

顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。

如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。

无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。

2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。

如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。

有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。

二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。

1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。

邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。

2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。

每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。

邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。

三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。

常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。

从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。

2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。

从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。

离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。

本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。

一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。

顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。

二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。

无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。

2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。

有向图也可以是简单图或多重图。

3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。

加权图可以是无向图或有向图。

三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。

在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。

2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。

路径的长度是指路径中经过的边的数目。

3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。

如果图非连通，则称为非连通图。

4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。

完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。

四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。

矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。

如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。

2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。

每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。

五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。

图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。

本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。

一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。

节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。

2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。

3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。

4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。

二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。

最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。

2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。

在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。

3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。

例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。

三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。

利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。

2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。

中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。

3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。

四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。

2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。

离散数学知识点归纳一、集合论。

1. 集合的基本概念。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。

- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。

2. 集合间的关系。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。

例如，{1,2}⊆{1,2,3}。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。

3. 集合的运算。

- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。

- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。

对于上述A和B，A∩ B={2}。

- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

二、关系。

1. 关系的定义。

- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。

当A = B时，R称为A上的关系。

例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。

2. 关系的表示。

- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。

- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。

3. 关系的性质。

- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。

例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。