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第8章 图的基本概念

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运筹学8图与网络分析

运筹学8图与网络分析

e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：

测量学8第八章

测量学8第八章
• 地图以特有的数学基础、图形符号和抽象概括法则表现 地球自然表面的时空现象，反映人类的政治、经济、文 化和历史等人文现象的状态、联系和发展变化。它具有 以下的特性：
• 1.可量测性 • 2.直观性 • 3.一览性
§8－1 地形图的基本知识 （三）地形图
地形图是地图的一种。
它是将地球表面的地物和 地貌，用规定的符号和一 定的比例尺，按垂直（正 射）投影关系，测绘在图 纸上得到的地图。
地球表面的自然地理、行政区域、社会经济状况的图形。同时，地 图也是一个国家领土主权的重要标识。
• 地图与地面写景图或地面照片不同，它具有严格的数学基础，科学 的符号系统，完善的文字注记规则，并采用制图综合原则科学地反 映出自然和社会经济现象的分布特征及其相互联系。
§8－1 地形图的基本知识
• （二）地图的特性
的水流方向等。绘图的比例不同，则符号的大小和详略程 度也有所不同。
地形图的基本知识
数字地形图 digital topographicmap 将地形信息按一定的规则和方法采用计算机生成和计算机数据格式存储的地形图。
它不仅表示地面点的平面 位置，还表示地面点的高 低起伏状态。
1:2000
§8－1 地形图的基本知识
二、地形图比例尺
• 1.比例尺定义 • 地图上某线段的长度d与实地的水平长度D之比称为地图比例尺，即1/M＝D/d • 式中,M是比例尺分母。 • 数字式 • 可以用比的形式，如：1：50 000,1：10万，也可以用分数式，如：1/50
分水线和集水线在山区的工程设计中有重要意义。
山区一系列形成 河流流域的分水岭。例如 秦岭为黄河与长江的分水 岭。
2 8
3.鞍部的等高线
典型的鞍部是在相对的两个山脊和山谷的会聚处，形如马 鞍。它的左、右两侧的等高线是大致相对称的两组山脊线和两 组山谷线。山脉的鞍部称为“岭”。鞍部或岭在山区道路的选 线中是一个关节点，越岭道路常须经过鞍部。

《机械制图》(张雪梅)教学课件 第八章 零件图

《机械制图》(张雪梅)教学课件 第八章 零件图
图8-23（a）所示进行标注（图中Fe表示基本材料为钢，Ep表示加工工艺为电镀）。 如图8-23（b）所示，三个连续的加工工序的表面结构、尺寸和表面处理的标注如下。
第一道工序：单向上限值，Rz为1.6 μm，表面纹理没有要求，去除材料的工艺。
第二道工序：镀铬，无其他表面结构要求。
第三道工序：一个单向上限值，仅对长为50 mm的圆柱表面有效，Rz为6.3 μm，表面纹
➢ 4.表面结构要求在图纸中的注法
4.1 表面结构表示法
（1）表面结构要求对每一表面一般只注一次，并尽可能注在相应的尺寸及其公差的同一视图上。 除非另有说明，所标注的表面结构要求是对完工零件表面的要求。
（2）表面结构的注写和读取方向与尺寸的注写和读取方向一致。表面结构要求可标注在轮廓线 上，其符号应从材料外指向并接触表面，如图8-15所示。必要时，表面结构也可用带箭头或黑 点的指引线引出标注，如图8-16所示。
在零件图上标注尺寸时，不仅要考虑设计要求，还应使标注出的尺寸便于测量和校验。 如图8-11（a）所示，尺寸A不便于测量，应按图8-11（b）标注尺寸。
3.3 标注尺寸应注意的问题
图8-9 封闭尺寸链
图8-10 开口尺寸链
3.3 标注尺寸应注意的问题
（a）不正确
（b）正确
图8-11 标注尺寸应便于测量
图8-1 左端盖及其零件工作图
零件图的 内容
（1）一组图形。用一组恰当的图形（如局部视图、剖视图、断
1
面图及其他规定画法等）将零件各组成部分的内外形状和位置关 系正确、完整、清晰地表达出来。如图8-1所示，用一个基本视
图表达泵盖的外形，用A―A全剖视图表达泵盖的内部形状。
2
（2）全部尺寸。在零件图上应正确、完整、清晰、合理地标注零 件在制造和检验时所需要的全部尺寸，以确定其结构大小。

(图论)图的基本概念--第一章

(图论)图的基本概念--第一章

证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？

第八章 图论8.4树及其应用.ppt

第八章 图论8.4树及其应用.ppt

⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路

图论-图的基本概念

图论-图的基本概念
若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈； 若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。 例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。 证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三 数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

工程制图技术基础第8章 零件图

工程制图技术基础第8章 零件图

法获得的同一表面，当
需要明确每种工艺方法
9
的表面结构要求时，可
按左图进行标注。图中：
Fe—基本材料为钢；
EP—加工工艺为电镀
8.3.3 极限、公差、偏差
1．尺寸公差
在生产过程中，受各种因素的影响，例如：刀具磨损、 机床振动及工人技术水平等，所加工出的零件尺寸必然存 在一定的误差，为了确保产品加工的经济性，实现零件的 互换，零件的每个尺寸必须规定一个允许的变动范围，这 种允许尺寸的变动量称为尺寸公差。以下是有关尺寸公差 的名词解释。
工程制图技术基础第8章 零件图
表达单个零件的结构形状、尺寸大小及技术要求等内 容的图样，称为零件图。它是设计部门提交给生产部门的 重要技术文件。它要反映出设计者的意图，表达出机器 （或部件）对零件的要求，同时要考虑到结构和制造的可 能性与合理性，是制造和检验零件的依据。如下图所示的 齿轮油泵，主要由泵体、泵盖、齿轮、泵轴、螺钉、垫片、 堵头螺栓和销等零件组成。这些零件中，如螺钉、销和弹 簧属于标准件，故通常不画其零件图。齿轮属于常用件, 其部分结构标准化，并有规定的画法，所也要画出其零件 图,它属于通用件。其余零件的结构尺寸都是专门为该机 器设计的，这样的零件通常被称为一般零件。一般零件必 须画出零件图以供制造、维护等。
(a) 按设计要求选择尺寸基准
(c) 按设计基准标注长度方向尺寸
（d）按工艺基准标注长度尺寸
（b）按加工要求选择尺寸基准
（e）综合考虑标注长度方向尺寸
（a） 封闭尺寸链
（b）开口环
（c）参考尺寸
2) 考虑工艺要求 (1) 尽量符合加工顺序 按加工顺序标注尺寸，符合 加工过程，便于加工和测量。 (2) 应考虑测量方便 标注尺寸时，有些尺寸的标注 对设计要求影响不大时，应考虑测量方便。

第八章轴测图讲解

第八章轴测图讲解

教案首页教案首页第八章轴测图本章重点1）掌握轴测图的形成和基本作图原理。

2）掌握正等测的作图原理和作图方法3）掌握斜二测的作图原理和作图方法4）用CAD绘制轴测图本章难点1）掌握正等测和斜二测的作图方法2）掌握CAD绘制轴测图的方法本章要求1）已知物体的三视图，作其正等测立体图。

2）已知物体的三视图，作其斜二测立体图。

3）CAD绘制轴测图四、本章内容：§ 8-1轴测图的基本知识一、轴测图的形成及投影特性用平行投影法将物体连同确定物体空间位置的直角坐标系一起投射到单一投影面，所得的投影图称为轴测图。

由于轴测图是用平行投影法得到的，因此具有以下投影特性：1、空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。

2、立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必与轴测轴互相平行。

3、立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。

二、轴向伸缩系数和轴间角投影面称为轴测投影面。

确定空间物体的坐标轴OXOYOZ在P面上的投影01X101Y1 01Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴。

轴测轴之间的夹角/ X101Y1 / Y101Z1 / Z101X1称为轴间角。

由于形体上三个坐标轴对轴测投影面的倾斜角度不同，所以在轴测图上各条轴线长度数。

三、轴测图的分类轴测图分为正轴测图和斜轴测图两大类。

当投影方向垂直于轴测投影面时，称为正轴测图；当投影方向倾于轴测投影面时，称为斜轴测图。

由些可见：正轴测图是由正投影法得来的，而斜轴测图则是用斜投影法得来的。

正轴测图按三个轴向伸缩系数是否相等而分为三种：1、正等测图简称正等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、正二测图简称正二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、正三测图简称正三测：三个轴向伸缩系数各不相等。

同样，斜轴测图也相应地分为三种：1、斜等测图简称斜等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、斜二测图简称斜二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、斜三测图简称斜三测：三个轴向伸缩系数各不相等。

离散数学第8章 图论

离散数学第8章 图论
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。

图论—基本概念

图论—基本概念
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；

图的基本概念 无向图及有向图

图的基本概念 无向图及有向图

d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ

i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1

第8章图论方法

第8章图论方法

Page 12
【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线 上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。某公司现需从市 东紧急运送一批货物到市西。假设各条线路的交通状况相同， 请为该公司寻求一条最佳路线。
2 东3
4
3 1
7
2
5
7
3
3
4
4
7 5
6
4 6
7 3
7
西
8
【答案】
1-4-7-西 10 3
9
2
3
5
7
3.5
4
6
10
1
6
4
3
8
2
5
【答案】
2 5
4
6
1
3
5
3 3.5 4
2
Page 8
【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
1.（11年7月）已知连接5个城镇的公路交通图如图。为了沿公路架设5个城镇的
光缆线，并要求光缆线架设的总长度为最小，试以最小枝杈树方法求出Pa最ge优9 方 案并计算光缆线的总长度。
8.2 树和树的逐步生成法
Page 4
1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。 2、树的边数=结点数-1。
【选择题】以下叙述中，正确的是（ ） A．树的点数为线数加1 B．图的点数小于线数 C．图的点数大于线数 D．树可能含有圈 【答案】A 【解析】树的点数和边数差1，普通图的点数和边数谁多谁少不 确定。 【知识点】图和树的基本概念
Page 22
5.（09年7月）某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
Page 23
试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。

Rational_Rose建模第8章_协作图

Rational_Rose建模第8章_协作图

在项目中创建协作图案例分析
4. 确定元素间的关系

创建协作图的下一步是确定这些对象之间的连接关系，使用链和角色将 这些对象连接起来。在这一步中，我们基本上可以建立早期的协作图， 表达出协作图中的元素如何在空间上进行交互。
在项目中创建协作图案例分析
5. 完成协作图
练习题
（1）以“远程网络教学系统“为例，在该系统中，系统管理员需要 登录系统才能进行系统维护工作，如添加教师信息、删除教师信 息等。根据系统管理员添加教师信息用例，创建相关协作图。
1. 创建协作图的步骤
(1)根据系统的用例或具体的场景，确定协作图中应当包 含的元素。 (2)确定这些元素之间的关系，可以着手建立早期的协作 图，在元素之间添加链接和关联角色等。 (3)将早期的协作图进行细化，把类角色修改为对象实例， 并且链上添加消息并指定消息的序列。
在项目中创建协作图案例分析
2. 需求分析 我们可以通过更加具体的描述来确定工作流程，基本工作流程如 下： （1）李老师希望通过系统查询某名学生的学科成绩。 （2）李老师通过用户界面录入学生的学号以及学科科目请求学生 信息。 （3）用户界面根据学生的学号向数据库访问层请求学生信息。 （4）数据库访问层根据学生的学号加载学生信息。 （5）数据库访问层根据学生信息和学科科目获取该名学生的分数 信息。 （6）数据库访问层将学生信息和分数信息提供给用户界面。 （7）用户界面将学生信息和分数信息显示出来。
练习题
（2）在“远程网络教学系统”中，如果我们单独抽象出来一个数据 访问类来进行数据访问。那么，根据系统管理员添加教师信息用 例，重新创建相关协作图，并与前一章中的序列图进行对比，指 出有什么不同？
使用Rose创建协作图
3. 创建链

图学基础教程习题集答案

图学基础教程习题集答案

图学基础教程习题集答案第一章：图学基本概念1. 图的定义是什么？答案：图是由顶点（或称为节点）和边组成的数学结构，其中边是顶点之间的连接。

2. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点。

第二章：图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么？优点：易于实现，可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。

缺点：空间复杂度高，对于稀疏图来说效率较低。

2. 邻接表的优缺点是什么？优点：空间效率高，对于稀疏图特别适用。

缺点：需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。

第三章：图的遍历1. 深度优先搜索（DFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，沿着边尽可能深地搜索，直到无法继续，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径。

2. 广度优先搜索（BFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，逐层遍历所有可达的顶点，直到所有顶点都被访问过。

第四章：最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么？答案：在无向图中，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，且边的总权重最小。

2. Kruskal算法的基本步骤是什么？答案：Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边，确保选择的边不会形成环，直到所有顶点都被连接。

第五章：最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么？答案：Dijkstra算法通过维护一个优先队列，不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻接顶点的距离。

2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么？答案：Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图，而Dijkstra算法不能。

第六章：图的着色1. 图的着色问题的定义是什么？答案：图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。

2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么？答案：贪心算法在图的着色问题中，从顶点集合中选择一个顶点，为其分配一种颜色，然后移动到下一个顶点，并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。

图论讲义第8章-有向图

图论讲义第8章-有向图

3
公共边的路 P 1 , Q1 ，它们的一端是 v1 ，另一端在 G1 上。给 P 1 定向为指向 v1 ， Q1 定向为指向
G1 ，令 G2 = G1 ∪ P 1 ∪ Q1 ，则 G2 是强连通的。
若 G2 仍不是生成子图，则存在 v2 ∈V (G ) − V (G2 ) ，同理，存在无公共边的路 P2 , Q2 ， 其 一 端 在 v2 处 ， 另 一 端 在 G2 中 。 给 P2 定 向 为 指 向 v2 ， Q2 定 向 为 指 向 G2 ， 令
+
S′
§8.3 有向图的连通性
定义 8.3.1 设 G 是一个有向图， (1) 若 G 的底图 G 是连通图，则称 G 是弱连通的。 (2) 若对 G 的任二顶点 u, v，要么存在有向路 P(u, v)，要么存在有向路 P(v, u)，则称 G 是单 连通的。 (3) 若对 G 的任二顶点 u, v，既存在有向路 P(u, v)，又存在有向路 P(v, u)，则称 G 是强连通 的（或称双向连通的） 。 注：易见，强连通 ⇒ 单连通 ⇒ 弱连通。 例：
ν =1 时定理显然成立。
假设对顶点数少于 ν 的所有有向图 G ，结论成立。考虑顶点数为 ν 的有向图 G 。
2
任取 v ∈V (G ) , 令 G ′ = G − ({v} ∪ N + ( v )) 。由归纳假设，存在 G ′ 的一个独立集 S ′ ，对
V (G ′) − S ′ 中任何顶点，可从 S ′ 中的某顶点出发，经过长度 ≤ 2 的有向路到达它。
4
+ −
定理 8.4.2 非平凡弱连通有向图 G 是 Euler 有向图的充分必要条件是 G 可分解为有向圈的并， 即： G = 正整数。 定理 8.4.3 非平凡弱连通有向图 G 有 Euler 有向迹的充分必要条件是 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +1， d ( w) = d ( w) −1，而其它顶点都有 d ( v ) = d ( v ) 。 定理 8.4.4 设 G 是弱连通有向图，如果 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d (u ) = d (u ) +k，

离散数学(第二版)第8章图的基本概念

离散数学(第二版)第8章图的基本概念

第八章 图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列 为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度 顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相 同。
2. 子图 在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念 是非常重要的。 所谓子图， 就是适当地去掉一些顶点或 一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点 集和边集的子集。
第八章 图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为 偶圈。 显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复 杂通路。 在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于 简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章 图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路， 则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章 图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章 图的基本概念
3. 补图 定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的 补图，简称G的补图，记作。 【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。 图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。 对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作

第八章专题地图内容的表示方法

第八章专题地图内容的表示方法
32
第三十二页，编辑于星期五：十八点 三十二分。
33
第三十三页，编辑于星期五：十八点 三十二分。
定量数据的表示方法——分区统计图表法
概念：在各分区单元内按统计数据描绘成不同形式的统计 图表，置于相应的区划单元内，以反映各区划单元内现 象的总量、构成和变化的方法。
❖1、对象：表示区划单元的总值。
❖2、是一种概略表示方法：分区愈小愈准确，但受范围 大小的限制。
❖ 适于用等值线表达的是像地形起伏、气温、降水、地表径
流等满布于整个制图区域的均匀渐变的自然现象
❖ 等值线是表达专题要素数值的等值点的连线，如等高线、 等温线、等降水线、等气压线、等磁线等。
等值点：
-同样的观测基准 -同样精度
保持数据 的统一性
15
第十五页，编辑于星期五：十八点 三十二分。
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第十六页，编辑于星期五：十八点 三十二分。
在制图区域内按行政区划或自然区划区分出若干制图单元， 根据各单元的统计数据并对他们分级，用不同的色阶或晕 线网纹反映各分区现象的集中程度或发展水平的方法。
分级的指标： -绝对指标：人口数、粮食产量等； -相对指标：人均产值、亩产等。
❖ 1、表示对象：点状分布的（居民点密度）；线状分布
（道路、河网密度）；布满全区的（地貌切割程度）；间 断成片（森林覆盖率）；分散分布（人口密度）；复杂分 布（收入、教育、产值）
率关系。 非比率符号：符号的比率和它所代表的数量不存
在比率关系（可表示模糊的数量）。 ⑤符号定位：
严格定位，可压盖
6
第六页，编辑于星期五：十八点 三十二分。
⑥符号的组合应用
- 组合的结构符号—反映专题现象的内在结构
- 组合的动感符号—反映现象的发展动态

图论 图的基本概念

图论 图的基本概念
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G)，且H中边的重 数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的 桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出 一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题， 证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数 学中的图论。
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8

中职机械制图-第八章零件图(劳社版统编教材课件)

中职机械制图-第八章零件图(劳社版统编教材课件)

§8－5 零件图上的技术要求
三、几何公差（形、位公差） 4．几何公差标注示例
§8－6 读零件图
球阀轴测装配图
§8－6 读零件图
图8－54 阀杆
§8－6 读零件图
图8－55 阀盖
§8－6 读零件图
图8－57 阀体
§8－6 读零件图
综合实例－－支架零件图（补画A-A剖视图）
§8－6 读零件图
基轴制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基孔制配合
基孔制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基轴制配合
基轴制配合
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合
4．配合制 基本偏差系列
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合 5．优先、常用配合 GB/T 1801—2009对公差带和配合的选择作了进一步的限 制，规定了基本尺寸至3 150 mm的孔、轴公差带，分为优先、
公差带的三种标注法
§8－5 零件图上的技术要求
二、极限与配合 6．极限与配合的标注与查表
（3）极限偏差值的查表方法示例
φ18H8/f7
φ14N7/h6
§8－5 零件图上的技术要求
三、几何公差（形、位公差）
1．基本概念 为保证加工零件的装配和使用要求，在图纸上除给出尺寸 公差、表面结构要求外，还有必要给出几何公差要求。
§8－4 零件尺寸的合理标注
三、合理标注零件尺寸的方法和步骤
图8－25 标注零件尺寸示例（二）
§8－5 零件图上的技术要求
一、表面结构的图样表示法
二、极限与配合
三、几何公差
§8－5 零件图上的技术要求
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2
3.5
7.8
• 给每条边赋与权的图G=<V,E>称为加权图， • 记为G=<V,E,W>,其中W表示各边权的集合。
• 设ek＝(vi,vj)为无向图G＝<V,E>中的一条边, 称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联 的.
• 若ek＝<vi, vj>,除称vi, vj是ek的端点外, 还称vi是ek的起点, vj是ek的终点.
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中,
(1)V是一个非空的集合,称为G的 顶点集,V中元素称为顶点或结点；
(2)E是无序积V＆V的一个多重子 集,称E为G的边集,E中元素称为无向 边或简称边.
有向图
一个有向图D是一个二元组<V,E>,即D＝ <V,E>,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素 称为有向边,也简称边.
例2 证明在n（n 2）个人的团体中，总有 两个人在此团体中恰好有相同个数的朋友。
分析：建立数学模型。以顶点代表人，二人如果是朋 友，则在代表他们的顶点间连上一条边，这样可得无 向简单图G，每个人的朋友数即图中代表他的顶点的度 数，于是问题转化为图中的命题：n阶无向简单图G中 必有两个顶点的度数相同。
平行边、重数、多重图、简单图
平行边 关联一对顶点的m条边（m 2， 称重数，注意：有向平行边必须方向相 同）。 多重图 含有平行边（无环）的图。 简单图 不含平行边和环的图。 K-正则图 每个顶点的度数均为k的无向图
例
Hale Waihona Puke 顶点的度 出度 入度• 顶点的度数
顶点所关联的边数。顶
点 的度数记作： d（）
• 在有向图中，以顶点为起点的边数称顶 点 的出度，记作：d+（）
• 以顶点为终点的边数称顶点 的入度， 记作：d（）
称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的 边为悬挂边.
•d (v1)＝3，d+(v1)＝2，d-(v1)＝1； •d (v2)＝3，d+(v2)＝2，d-(v2)＝1； •d (v3)＝5，d+(v3)＝2，d-(v3)＝3； •d (v4)＝d+(v4)＝d-(v4)＝0； •d (v5)＝1，d+(v5)＝0，d-(v5)＝1； •其中，v5是悬挂结点，<v1，v5>为悬挂边。
• 设D=<V,E>为n阶有向简单图,若对于任 意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边 <u,v>,又有<v,u>,则称D是n阶有向完全 图. •Kn均指无向完全图.
图
在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5, (3)所示为3阶有向完全图.
• 由完全图的定义易知，无向完全图Kn的 边数 |E（Kn）| = n（n-1）/2
例1：求解下列各题
• 1. 无向完全图Kn有36条边，则它的顶点数n为几？
• 2. 图G的度数列为2，2，3，5，6，则顶点数n =？边 数m = ？
• 3. 图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者度数均 小于3，问G至少有几个顶点？
4. (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？
本篇着重介绍图论的基本概念，图的基本性 质以及在实际问题中的一些应用。
第8章 图的基本概念 8.1 图的定义及相关术语 8.2 通路、回路、图的连通性 8.3 图的矩阵表示
8.1 图的定义及相关术语
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B}
为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
• 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联 的两个顶点重合,则称此边为环.
设G＝<V,E>为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此
时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
邻接点 邻接边
邻接点：同一条边的两个端点。 邻接边：关联同一个顶点的两条边。
图的最大度和最小度
对于图G＝<V,E>,记 • Δ(G)＝max{d(v)｜
v∈V}, • (G)＝min{d(v)｜
v∈V},分别称为G的 最大度和最小度.
若D＝〈V,E〉是有向图,除了 Δ(D),(D)外,还有最大出度、最 大入度、最小出度、最小入度,分 别定义为
基本定理(握手定理)
• 设图G＝<V,E>为无向图或有向图,V＝ {v1,v2,...,vn},|E|=m(m为边数),则
推论
• 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的 顶点个数为偶数.
定理
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,...,vn}, ｜E｜＝m,则
度数序列
• 设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称 (d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列.
• 有向完全图Dn的边数 |E(Dn)| = n（n-1）
第四篇 图论基础
图论是拓扑学的一个分支，以图作为研究对象。 它最早起源于对一些数学游戏的难题研究，如哥 尼斯堡七桥问题、博弈问题、四色猜想问题等。
关于图论的第一篇论文是瑞士数学家欧拉发表於 1736年。1847年克希霍夫理论图论分析电路中的 电流问题，这是图论在工程的最早应用。近年来 随着科学技术的发展，图论的应用研究越来越广。 已经运用到运筹学、控制学、网络理论、博弈论、 社会学和计算机科学等各个领域。
图论中所讨论的图，是由顶点和带方向或不带方 向的弧线联结而成的线状图。我们在二元关系一 章中已见过，当我们研究的对象能被抽象为离散 的元素的集合和集合上的二元关系时，用关系图 表示和处理是很方便的。由于大量问题的研究需 要，图被作为一个抽象的数学系统加以研究，其 研究方法本身已成为一种新的科学方法，用于具 系统功能的模型的分析与设计中。
解：用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数 列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与 有n-1度顶点相矛盾（因为是简单图，其中的n-1度顶 点必与其它n-1个顶点均邻接），所以必有两个顶点的 度数相同。
无向完全图、有向完全图
•设G=<V,E>是n阶无向简单图,若G中任何 顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G 为n阶无向完全图,记作Kn.