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平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2 间接效用函数与支出函数2.1 间接效用函数2.1.1 间接效用函数的定义从第1章已知，间接效用函数 v(p, m) 是价格和收入的函数，不是消费束x 的函数。
就是说，消费者的最大化效用，可以由预算约束（收入m ）和外在的相对价格（p ）关系间接地表达。
即，消费者在了解了自己的收入状况和相对价格关系之后，就可以理性地求解效用最大化问题――获得最大化效用u*，而不必直接求解最优的消费束x*。
由此引申的政策意义是，控制p 的实质就是价格政策或者价格改革，控制m 的实质就是收入政策。
引出此问题，是考虑到相对价格变动或者收入变动，对于消费者最优需求量变动的影响。
回顾中级微观经济学里，价格－消费曲线和收入－消费曲线的推导过程，可以更好地理解这个问题。
2.1.2 间接效用函数的性质v(p, m)具有如下性质：1. 关于p 和m 是零次齐次的，即对于所有t > 0，都有v(p, m)=v(tp, tm)。
2. 对于p 是非递增的和拟凸的，即0),(≤∂∂ip m p v 。
3. 对于m 是严格递增的，即0),(>∂∂m m p v 。
4. 对于所有的p >> 0 和m > 0是连续的，即如果u(x)连续，则 其最大化的一阶导数值也是连续的。
5. 满足 罗伊恒等式 (Roy ’s identity)：如果),(m p x 是瓦尔拉斯需求函数，假设u(.)连续，且间接效用函数v(p, m)在(p, m)>>0上可微，则对于0,0>>m p i , i=1, 2, …, k ，有-=),(m p x i /),(i p m p v ∂∂mm p v ∂∂),(。
罗伊恒等式表明，不管价格如何，只要消费者在这些价格下，以最低收入实现效用u*，则u*就是可能的最大化效用。
另外，从间接效用函数来计算瓦尔拉斯需求，比从直接效用函数计算，要容易。
因为这样只涉及导数的计算，而无须解一阶条件的方程组。
效⽤最⼤化问题中的三个函数——需求函数、间接效⽤函数、⽀出函数需求函数：性质：关于所有价格和收⼊零次齐次性（所有商品价格与收⼊乘以t倍），最优化需求数量保持不变。
1. CES需求函数CES需求函数的函数形式为：构造朗格朗⽇表达式：求偏导数得到⼀阶条件：根据上式求得需求函数：从上式看出我们确实可以得到⼀个对于任意的CES函数的需求函数。
但是个⼈建议，由于CES函数有不同的“形式”（⽐如说也是⼀种CES函数，所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中，建议重复上述证明步骤，⽤构造拉格朗⽇表达式，利⽤⼀阶条件来求解需求函数）当的时候，此时为完全互补效⽤函数，利⽤消费者为了效⽤最⼤化只会选择L型⽆差异曲线顶点消费的特征来直接求解，就不⽤构造朗格朗⽇表达式了。
除此之外，联系弹性和之前讲过的（点击链接回顾）的概念，我们不难发现，，即替代弹性等于1为分界线。
举例说明：当的时候，此时商品x花费的收⼊份额为不是常数，越⾼，x的相对价格越⾼，它所花费的收⼊份额就越⼩。
换⾔之，x的需求对其价格的反应就⾮常敏感，价格的上升减少了x的总花费。
不过收⼊的变化并不影响消费份额。
U (x ,y )=+δx δδy δf =+δx δ+δy δλ(I −p x −x p y )y ⎩⎨⎧=x −λp =0∂x ∂f δ−1x =x −λp =0∂x∂f δ−1x =I −p x −p y =0∂λ∂f x y ⎩⎨⎧x =p (1+())x p y p x 1−δδy =p (1+())y p x p y 1−δδI δU =(αx +11ραx )22ρρ1δ→∞δ=0σ=1−δ1δ=0.5x =p (1+())x p y p x I p x /I =x 1/[1+(p /p )]x y p x2. 柯布道格拉斯需求函数柯布-道格拉斯效⽤函数的表达式为：同样可以利⽤朗格朗⽇法来算出需求函数，由于过程重复，在此不做赘述，得到如下的结果：由此我们得到⼀个重要的结论，在柯布道格拉斯效⽤函数情形下，消费者会花费⽐例的收⼊去购买商品x，⽤的⽐例去购买y。
