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第二讲间接效用函数与支出函数 第一节间接效用函数 间接效用函数的定义

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第二讲 间接效用函数与支出函数

第二讲 间接效用函数与支出函数

• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi

8效用函数、间接效用函数和支出函数

8效用函数、间接效用函数和支出函数

j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m

第二讲间接效用函数与支出函数D

第二讲间接效用函数与支出函数D

* 故 v( p1 , p2 , m) = x1* x2
m = 4 p1 p2
2
p1 =0.25, p2 =1, m= 2
2 * x1 = 2 × 0.25 = 4 2 * x2 = =1 2 ×1
时
v( p1 , p2 , m) = v(0.5,1, 2) = 4
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
两边同时对pj偏微分
∂xi x j + ∑ pi =0 ∂p j i =1
n
∂ v = λ ∂ p j
∑
n
p
i=1
i
∂ x ∂ p
i j
故
∂v = −λ x j ∂p j
（1）
②再求分母
Q v( p, m) = u ( x( p, m))
对m求偏微分
∂v = ∂m
∑
n
i =1 n
∂u ( x ) ∂xi ∂xi ∂m ∂ xi pi ∂m
∂e( p, u ) ⋅ ∂pi
(1)
由谢泼特引理知
∂e = hi ( p , u ) ∂pi
且
hi ( p , u ) = x i ( p , e ( p , u )) = xi ( p , m )
即
∂e = xi ( p, m) ∂p i
代入(1)式变形即可得
∂x j ∂pi = ∂h j ( p, v( p, m)) ∂pi − xi ∂x j ( p, m) ∂m
第二讲间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数

平新乔微观经济学十八讲》答案

平新乔微观经济学十八讲》答案

为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
u(c, s) = min{c, 1 s} 2
其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
c≠ 1s 考虑 2 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——
c= 1s 还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 2 ．
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
7.3. ≈ ∪ >=≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
7.4. ≈ ∩ >= ∅
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
8. 证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1. > 与 ≈ 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好关系
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ

经济学第二讲笔记

经济学第二讲笔记

意义：控制消费者的消费行为实质上可以通过 p《价 格政策，价格改革》及 y《收入政策》 二、间接效用函数的性质 如果 u(x)在Rn + 是连续且严格递增的，则 v(p,y)= max u(x) x∈ Rn + st: px≤y 有
n 1、在Rn ++ × R + 是连续的
2、关于（p,y）是零次齐次的 3、对于 y 严格递增 4、对于 p 严格递减 5、满足罗尔恒等式 即 v(p,y)在点（p0 ,y 0 ）可等且
= =
1
x 2 1
1
−1 2
x2 - p1 λ = 0
−1
1 2
⋯⋯① ⋯⋯②
1 2 2 x x 2 1 2
- p2 λ = 0
= y − p1 x1 − p2 x2 = 0 ⋯ ⋯ ③
x2 x1
由①②有 即
= p1
2
p
x 2 = p 1 x1
2
p
代入③有
∗ x1 = 2p ∗ x2 = 2p y
y
ρ
+ 1]
有
p 1 ρ −1 p2
ρ ρ −1 ρ
= u[
+ 1]
−1 ρ 1 ρ −1
=u[p1
+ p2 ] . p2
γ −1 p2 )γ .
1
ρ −1 ρ −1 ρ
γ =u(p1
+
p2
γ−1
⋯⑥
代⑥给④有
h x1 =up1
1 ρ −1
. p2
−1 ρ −1
γ (p1
+
γ −1 p2 )γ .
1
p2
3、总效应<TE> SE + IE= TE 讨论题： 住房由福利分房改为货币分房，分析其效应 配合上图

平新乔微观经济学十八讲》答案

平新乔微观经济学十八讲》答案

5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本

微观经济学讲义第二讲

微观经济学讲义第二讲
先期预习
• （直接）效用函数 • 预算支出
华东理工大学商学院 Email:dosun@
微观经济分析2
一、间接效用函数
• 定义：直接效用函数U(x)，即效用是消费计划 X=(X1,…,Xn)的函数。对于给定的y及p，可以从 U(x)求出消费者的最优消费量，即需求函数。 最优消费量对应着最大化效用，由此，可把最 大化了的效用看作是价格集p和收入y的函数：
华东理工大学商学院 Email:dosun@
微观经济分析21
• 希克斯需求函数 ➢马歇尔需求函数是指给定价格和收入，
消费者如何选择才能使其效用最大？即 由
➢而由
华东理工大学商学院 Email:dosun@
微观经济分析22
➢“补偿”是表示为保持效用水平不变， 收入的变化被用以“补偿”价格的变化 。因为Hicks需求函数依赖于不可直 接观测的效用，所以它本身也是不可 直观可测的，而马歇尔需求函数是可 测的。
华东理工大学商学院 Email:dosun@
微观经济分析14
• 间接效用函数的应用
在研究税收对消费者效用的影响时非 常有用。例如，政府要取得同样大小 的税收，可以选择开征所得税（收入 税），也可以选择开征某种商品税， 但两种政策对消费者的效用影响不一 样。以下列子将说明所得税有时对于 消费者的效用的影响比较小。
v(p,y)就称为间接效用函数，间接效用函数是一 个非常有用的分析工具。
华东理工大学商学院 Email:dosun@
微观经济分析3
• 政策含义：
有了间接函数，那么，控制消费者的 消费行为就可以通过控制价格p和收入 y来实现，即通过收入政策和价格政策 的实现。
华东理工大学商学院 Email:dosun@

平新乔微观经济学十八讲》答案


p1c + p2 s = M
（**）
s = 2M
c= M
综合*与**式，可以得到， p1 + 2 p2 ， p1 + 2 p 2
6
第一讲 偏好、效用……
s′ = 2M
c′ = M
如果价格变成
p1′
和
p
′
2
，同样可以得到
p1′ + 2 p2′ ，
p1′ + 2 p2′ ．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：

第2章 间接效用函数与支出函数


运用包络定理，可得到：
e( p, u ) L( x* , * ) h xi xi ( p, u ) * pi pi
例：
min( p1 x1 p2 x2 )
x1 , x2
1
由u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1),求支出函数.
p
r 1 1
up2 ( p p )
r 1
1 1 r r 2
p
r 1 2
u( p p )
r 1
1 r r 2
求上式对于p1的偏导，可直接验证谢泼特引理。
四、预算份额

如果收入为y，消费的商品数量和价格分别为： ( x1, x2 , , xn )和( p1, p2 , pn )
pi xi 则称： Si 为购买xi的收入（预算）份额。 y 如果i=1,2，则 p1 x1 S1 S2 1 S1 y
因此， * 0
v( p, y ) 0 y
（4）满足罗尔恒等式。

v ( p , y ) ( p , y ) 如果间接效用函数 在点上 是可导的，

v ( p, y ) 0 且 y
v( p, y) x j ( p, y) p j
v( p, y) , j 1, 2, y
两式相除，就可以得到罗尔恒等式。
3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响 设效用函数为: u( x1 , x2 ) x1 x2 最大化问题为: max x1 x2
s.t. p1x1 p2 x2 y
L x1 x2 ( y p1 x1 p2 x2 )
L 0 x1 L 0 x2
,n
max u f ( p, y ) s.t px y 写出Lagrange方程 L(x, )=u(x)+(y-px) v ( p, y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y v ( p, y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) x p p

平新乔微观经济学十八讲》答案


5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
当 x1 < x2 时，
1
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2
)
=
lim
ρ →−∞
⎡ x1 ⎢⎢⎣β1
+
β1 ⎜⎜⎝⎛
x2 x1
⎟⎟⎠⎞ ρ
⎤ ⎥ ⎥⎦
ρ
= x1
同理，当 x1 > x2 时，有
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6. 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
7.3. ≈ ∪ >=≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
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第二讲间接效用函数与支出函数
第一节间接效用函数
一、间接效用函数的定义
直接效用函数：()
u x
价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化。

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。

记这种效用函数为： 间接效用函数：()()max ,..v p y u s t y =≤x px x
()()()*,,v y u y ==p x x p
间接效用函数的政策意义：通过价格政策（
p ）和收入政
策（y ）可以控制消费者行为。

二、间接效用函数的特征：
间接效用函数),(y v p
1) 在n
+++⨯　上连续
2) 在(),y p 上零次齐次性
3) 在y 上严格递增
4) 在p 上严格递减
5) 在(),y p 上拟凹
6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()
00,0v y y δδ≠p ，有：
()()
()000000,,,1,...,,i i v y p x y i n v
y y δδδδ==p p p 间接效用函数()()max ,..v y u s t y =
≤p x px x 的特征 1、间接效用函数在n
+++⨯　上连续
最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。

2、间接效用函数在(),y p 上零次齐次性
()()max
,..v y u s t y ==p x px x
间接效用函数在(),y p 上零次齐次性：
()()()0
,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y
t ===⇒==x p p x px x p x
px
3、间接效用函数(),v y p 对于y 严格递增，(),0v y y
δδ>p 应用包络定理：
构造拉格朗日函数()()(),L x u y λλ=+-x px
根据包络定理，()(),,v y L x y y
δδλλδδ==p ：λ的符号？ ()(){{()?00
,,000i i i L u v y p x x y δλδδλλδδδλ>>=-=⇒>⇒=>x x p 123
4.间接效用函数(),v y p 关于价格p 递减
设*i x 0,>用与（3）同样的方法可证：
**
**
i
i i
v(p,y)L(x ,)x p p λλ∂∂==-∂∂〈
5、间接效用函数(),v y p 在(),y p 上拟凸
定义A1.27：一个函数:f D →¡是拟凸函数，当且仅当对于所
有D ∈2
1X ,X ，有：)](),(m ax [)(21t X X X f f f ≤。

即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。

6、罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00,y p 上可导，并且()00
,0v y y
δδ≠p ，有： ()()()000000,,,1,...,,i
i v y p x y i n v y y
δδδδ==p p p 。

例题：
三、间接效用函数的应用
收入所得税vs.商品税
设效用函数为：12u(x ,x )=
消费者效用最大化：
1122max s.t.p x p x y +=
构造拉格朗日乘数，解得
**1
212y y x ,x 2p 2p == 如果p 1=0.25,p 2=1,y=2,代入效用函数有：
v(.)2==
1、0. 5元收入所得税
v(.)== 2、对x1征收0.25元商品税 这时x1的购买量为：
*
1
1y 2x 22p 2*0.5=== 税收总量=2*0.25=0.5。

与所得税相同。

v(.)==% 商品税带来的效用损失大于所得税。

为什么？
第二节支出函数
一、 支出函数的定义
x*
给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：
=
),(u e P ()min ,..,s t u u ≥px x x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数(),h
u x p ，最小支出为(),h u px p
支出函数:n
e ++⨯
→　?为：
()()(){}
()(){}
,,,
,,min ,
..,,
,,h h n
n
e u u u u u s t u u
u u u ++=∈∈≥∈
=≥≤∈∈≥∈
p px p x x x x px x x px x x x x
两元空间支出最小化：
()()()
()()()11
1222121112221212
12,,,,,min ,,,,,
,..,,h h
e u p x p p u p x p p u p x p p u p x p p u x x s t u x x u
=+=
+≥p
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数()u x 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与u 相对应，因此可以把所要实现的效用水平u 写作()u x 。

()min ,..,s t u u ≥px x x
可以写为：
()()min ,..,s t u u ≥px x x x
支出函数可以表述为在给定价格p 下，实现消费束x 所带来的效用，所需的最小支出。

三、支出函数(),e u p 的特征
1. 在u 取最低效用水平时，支出函数(),e u p 为零
2. 在定义域:n
e ++
⨯→　?上连续 3. 对于所有的p 0?，支出函数在u 上递增并且关于u 无上界 4. 在价格p 上递增 5. 在价格p 上一次齐次性 6. 如果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：
()()0
,,h i
i
e u
x
u p δδ=p p
证明：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
()()0
,,h i
i
e u
x
u p δδ=p p 。

根据包络定理。

例子：消费者的效用函数为()11212,u x x x x αα
-=，求希克斯需求函
数和支出函数。

解：
()11122
1212
12
max ..,,,p x p x s t u x x x x u x x αα
-+=≥
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
()()121
121,,1h
p x p p u u p α
αα-⎛⎫
= ⎪
-⎝
⎭，
()()12
1221,,h
p x p p u u p α
αα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
()()()111212,,1e p p u p p u αααααα----⎡⎤=-⎣⎦
2x
四、预算分额
预算份额：i i
i
p x S y =，即花在商品x i 上的支出占总收入的份额。

例：Cobb-Douglass 效用函数中的指数的经济含义
Cobb-Douglass 效用函数：1212u(x ,x )x x αα
=
求对应的需求函数：
12112211211
122
1122
L x x (y p x p x )
x x p x x p y p x p x αβ
αβ
α
βλαλβλ--=+--===+
*
11
y p x αβα
+⇒=
如果1α
β+=
*1
1
y
x p α⇒=
*
2
2y
x p α⇒=。