平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
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平新乔课后习题详解(第8讲--完全竞争与垄断)页数:17
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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(策略性博弈与纳什均衡)
第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。
理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。
否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。
所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。
但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。
给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。
（3）这个结果不是帕累托有效的。
因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔微观经济学第18讲
者绿色上凸区域加黄色缺角矩形区域面积）；
（张五常 佃农理论 商务印书馆 第三章）
而事实上，当以上的每项契约的达成都是需要交易成本的，比如商定和执行合约条款 的费用、对条款中的数值标准的测定、以及双方在商定之前收集信息所需要的费用、在合 约中的产权的全部或者是部分转让、以及在生产中各种投入要素的相互协调所要的花费成 本等等；
3、生产总成本为企业所有员工（人数×每人工资）的工资与每单位产量的平均成本：
18-10-6 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
m
∑ C(Q) = si−1 ⋅ (β m−iwO ) + γ ⋅ Q i =1
m
∑ C(Q) = wO ⋅ si−1 ⋅ β m−i + γ ⋅ Q i =1
此时，无论地主是完全自己耕作还是完全给佃农耕作，或者两者结合，其结果都是会得到蓝色半
凸区域的地租总额，这一地租额等于定额租约条件下的地租额；
而当地主实行分成合约时，佃农的工资总额为绿色半凸区域加上绿色矩形区域，而地主的地租总
额为蓝色双凸区域，因为此时的佃农工资总额超过了他从事其他的经济活动的所得；在“均衡”
其中（ β > 1; 1 ≤ i ≤ m ）；
β m−1 ⋅ wO β m−2 ⋅ wO β m−i ⋅ wO
•
•
... • ...
•
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1
i
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i
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i
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1
2
s
i
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数).doc
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *=将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20vp ∂=∂ v y y α∂=∂由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数)【圣才出品】
得到供给函数：
y
w1 ,
w2 ,
p
1 2
ln p2 ln 4w1w2
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2．已知成本函数为 C Q Q2 5Q 4 ，求竞争性厂商供给函数 S p 不利润函数 p 。
解：厂商关亍产量 Q 的利润函数为：
w1, w2 ,
p
p 2
ln p2 ln 4w1x1
p
（2）斱法一：根据霍太林引理：
y
w1 ,
w2
,
p
w1, w2
p
,
p
可知厂商的供给函数为：
y w1, w2 ,
p
w1, w2 ,
p4w1w2
斱法二：把 x1 和 x2 的表达式代入厂商的生产函数 f x1, x2 0.5ln x1 0.5ln x2 中，也可以
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答：在这一辩论中，我会支持绘图员一斱。理由如下： 假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线 SATCi ，其中 i 1，2，…，n ，使得 它们和 U 型的长期平均成本线 AC 分别相切亍点 xi ，而且切点是 SATCi 的最低点。如果 xi 丌 是 AC 线的最低点，那么过该点作 SATCi 的切线 li ，它应该是一条水平的直线。同时过 xi 点 作 AC 线的切线 Li ，由亍 xi 丌是 AC 线的最低点，所以 Li 必定丌是水平的。可是 SATCi 和 AC 相切亍点 xi 却意味着 li 和 Li 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因 此，如果 xi 丌是 AC 线的最低点，那么它必然丌是 SATCi 的最低点。但是，如果 xi 是 AC 线 的最低点，那么它也是 SATCi 的最低点。
平新乔微观经济学第18讲
土地平均产量 平均产量 土地
从一开始，随着地主分割给佃农的土地 h 增大， 其土地的边际产量大于其平均产量，所以土地的平 均产量会上升，而最终，会由于土地的边际产量递 减会使得其平均产量下降；
最终的土地边际产量递减会造就土地平均产量 的图中的形状；
佃农的平均固定耕作成本
平均固定耕作成本
我们暂且假设，所有非土地的耕作投入 f 都由佃 农来承担且其数值保持不变，曲线 f/h 是除土地之外 的总成本除以各佃户的土地面积；总成本包括生产 作业期间使用的劳力、种子、肥料和农具等成本；
r* = AB = (q − f ) h = q − f
AC q h
q
而事实上， f = W ⋅ t ，即 f 为生产要素的总成本，而在数学推导中我们也只是假设
佃农只有一种生产投入；所以两个解是一致的；
定额地租、分成合约与劳动租之间有什么差别？ 两者的区别在于：为了达到相同的目标而采取的不同资源配置方式； 定额地租是为了达到地主的最大地租的目标，规定好每单位土地的地租；由佃农决定
力市场上的工资率），因此，这也就意味着资源使用的效率是相同的。 （张五常 佃农理论 商务印书馆 第二章）
新古典经济学的错误观点
劳动边际产量
劳动边际产量
∂q
(1 − r) ⋅ ∂q
∂t
∂t
∂q
(1 − r) ⋅ ∂q
∂t
∂t
A
•
W
••
W
• 劳动
• 劳动
当地主实行定额地租时，佃农所得的工资总额为黄色区域；地主的地租总额为蓝色半凸区域；
时，佃农的边际产出大于其边际成本，因此，分成租佃制是无效率的（绿色半凸区域的面积是经
济上的浪费）；
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
平新乔《微观经济学十八讲》模拟试题及详解【圣才出品】
平新乔《微观经济学⼗⼋讲》模拟试题及详解【圣才出品】平新乔《微观经济学⼗⼋讲》配套模拟试题及详解（⼀）⼀、简答题（每题10分，共40分）1．假设政府与流浪者之间存在如下社会福利博弈：请分析下，在这场博弈中政府和流浪汉各⾃有没有优势策略均衡？有没有纳什均衡？在此基础上说明优势策略均衡和纳什均衡的区别和联系。
答：（1）从流浪汉的⾓度来看，如果政府选择“救济”，流浪汉的最佳策略是“游⼿好闲”；如果政府选择“不救济”，流浪汉的最佳策略是“寻找⼯作”。
因此，流浪汉没有优势策略。
从政府的⾓度来看，如果流浪汉选择“寻找⼯作”，政府的最佳策略是“救济”；如果流浪汉选择“游⼿好闲”，政府的最佳策略是“不救济”。
因此，政府也没有优势策略。
从⽽，这场博弈中没有优势策略均衡。
如果流浪汉选择“寻找⼯作”，则政府会选择“救济”；反过来，如果政府选择“救济”，则流浪汉会选择“游⼿好闲”。
因此，（救济，寻找⼯作）不是纳什均衡，同理，可以推断出其他三个策略组合也不是纳什均衡。
所以，这场博弈中也没有纳什均衡。
（2）当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态称为均衡。
⽆论其他参与者采取什么策略，该参与者的唯⼀最优策略就是他的优势策略。
由博弈中所有参与者的优势策略所组成的均衡就是优势策略均衡。
给定其他参与者策略条件下每个参与者所选择的最优策略所构成的策略组合则是纳什均衡。
优势策略均衡与纳什均衡的关系可以概括为：优势策略均衡⼀定是纳什均衡，纳什均衡不⼀定是优势策略均衡。
2．（1）张⼤⼭的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数形式表达（为常数）其偏好满⾜严格凸性吗？为什么？（2）李经理的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？满⾜严格凸性吗？为什么？（3）崔⼤⽜的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？为什么？你能从⽣活中举出⼀个例⼦对应这种偏好关系吗？答：（1）该偏好满⾜严格凸性，理由如下：⽆差异曲线的图像如图1所⽰，可知其偏好满⾜严格凸性。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2．某个消费者的效用函数是()12212,u x x x x =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。
解：（1）消费者的效用最大化问题为：12212max x x x x ，1221..s x m p p x t +=构造该问题的拉格朗日函数：()2121122x m p p L x x x λ+-=-拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：121120Lx x p x λ∂=-=∂ ① 21220Lx p x λ∂=-=∂ ②11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：11222p x x p =④ 把④式代入③式中得：()11212,,3mx p p m p *=⑤ 把⑤式代入④式中得：()2122,,3mx p p m p *=⑥ ⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。
将马歇尔需求函数代入直接效用函数中，可得间接效用函数：()2322211244,,3927x y m m m V p p m p p p p =⨯=由于支出函数与间接效用函数互为反函数，得支出函数为：()12321231212273,,242p p u e p p u p p u ⎛⎫==⎪⎝⎭3．试根据间接效用函数()1212,,mv p p m p p =+求出相应的马歇尔需求函数，这里m 表示收入。
解：由间接效用函数可得：()2112v m p p p ∂=-∂+，()2212v mp p p ∂=-∂+，121v m p p ∂=∂+。
根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为（其中1i =或2）：()2121112121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++ ()122212121mp p v p mx v yp p p p -+∂∂=-=-=∂∂++4．考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。
假定他的选择决策只依赖于其效用函数12u x x =，这里()212,x x R +∈。
已知北京的物价为()12,aa p p ，上海的物价为()12,b b p p ，并且1212a a b b pp p p =，但11a b p p ≠，22a b p p ≠。
又知广州的物价为()()()12112211,22c c a b a b p p p p p p ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，。
若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？解：老人的效用最大化问题为：12121122max ..x x x x s t p x p x m+=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12121212,,L x x x x m x p p x λλ+--=拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：2110Lx p x λ∂=-=∂ ① 1220Lx p x λ∂=-=∂ ② 11220Lm p x p x λ∂=--=∂ ③ 由①②③三式求解，可得：()1121,,2m x p p m p =，()2122,,2m x p p m p =。
将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数：()21212,,4m v p p m p p =于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为：2114a a a m v p p = 2114b b b m v p p = 2114c c c m v p p =因为1212a a b bp p p p =，所以a b v v =。
又因为1122121122121222a b a b cca b a b a a b b p p p p p p p p p p p p p p ++=⋅≥==，由于已知1122a b a bp p p p ≠≠，，所以该不等式的等号并不成立，则有c a b v v v <=。
综合上述分析可知：若该退休老人是理性的，则他会选择在北京或上海生活，但不会选择去广州生活。
5．（1）设12u x x =，这里()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u 。
（2）又设12ln ln u x x '=+，这里，()212,x x R +∈，求与该效用函数相对应的支出函数()12,,e p p u ''。
（3）证明：()()1212,,,,e p p u e p p u ''=，其中ln u u '=。
答：（1）消费者的支出最小化问题为：12112212max x x p x p x s t x x u+..=，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212L x x p x p x u x x λλ=++-，，拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1210Lp x x λ∂=-=∂ ① 2120Lp x x λ∂=-=∂ ② 120Lu x x λ∂=-=∂ ③ 由上述三式解得：12211up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，12122up x p ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭。
把两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()()1212121212,,2e p p u p p up p u ==（2）消费者的支出最小化问题为：12112212min ..ln ln x x p x p x s t x x u ++='，构造该问题的拉格朗日函数：()()12112212,,ln ln L x x p x p x u x x λλ=++'--拉格朗日函数对1x 、2x 和λ分别求偏导得：1110L p x x λ∂=-=∂ ① 2220L p x x λ∂=-=∂ ② 12ln ln 0Lu x x λ∂='--=∂ ③ 由①②③三式可解得：122211u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭，122122u p x e p '⎛⎫= ⎪⎝⎭。
把上述两式代入目标函数式中，就得到了消费者的支出函数：()()1221212,,2u e p p u p p e '''==（3）证明：1212ln ln ln u x x u u u x x =⎫⇒'=⇒⎬'=+⎭根据（1）与（2）的结果，可得()()1212,,,,e p p u e p p u ''=。
6．设某消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，这里1α0<<。
什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为()12112,,mv p p m p p αα-=，从中反解出m 关于1p 、2p 和v 的表达式，并用u 替换v ，就得到了消费者的支出函数：()112,e p u up p αα-=根据谢泼特引理，可知物品1的希克斯需求函数为：()()()111221111,,up p e p u p h p u u p p p αααα--∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂⎝⎭7．考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数()1in i i u x A x α==∏，这里0A >，11ni i α==∑。
（1）求每种商品的马歇尔需求函数。
（2）求消费者的间接效用函数。
（3）计算消费者的支出函数。