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【走向高考】2013年高考数学总复习 6-2 基本不等式课后作业 新人教A版

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"【走向高考】2013年高考数学总复习 6-2 基本不等式课后作业 新人教A 版 "1.a 、b 为正实数，a 、b 的等差中项为A ；1a 、1b 的等差中项为1H；a 、b 的等比中项为G (G >0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G[答案] B[解析] 由题意知A ＝a ＋b2，H ＝2aba ＋b，G ＝ab 易知a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≥G ≥H . 2．(文)(2010·茂名市模拟)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A.(理)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.3．(2011·宁德月考)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3[答案] B[解析] 由条件知(b 2＋1)－ab 2＝0，∴a ＝b 2＋1b2，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b≥2，等号在b ＝1，a ＝2时成立．4．(文)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. (理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋－xx＋9x1－x≥13＋2－xx·9x1－x＝25，当且仅当－xx＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－ 52D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y |x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.7．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是________．[答案] (1，2][解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca>1， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＋c2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤b 2＋c 2a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2. 8．(2011·广东佛山一检)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案]12[解析] 因为A (2,0)，B (0,1)，所以0≤b ≤1. 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ，∴ab ＝(2－2b )b ＝－2(b －12)2＋12，当b ＝12时，(ab )max ＝12.[点评] 利用a ＋2b ＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解.1.(2011·兰州一模)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝(12)x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[答案] A [解析] 由p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号； 而由于x 2－2≥－2，故q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.2．(文)(2011·肇庆二模)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)对称，则4a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．9 [答案] D[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a ＋b ＝1.所以4a ＋1b＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝4b a ＋ab＋5≥24ba ·ab ＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时取等号，故选D. (理)(2010·东北三校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．3．(文)(2010·广东揭阳一模)若函数f (x )＝log m x 的反函数的图象过点(－1，n )，则3n ＋m 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．2 3 D.52[答案] C[解析] 函数f (x )＝log m x 的反函数为y ＝m x， ∵该函数图象过点(－1，n )，∴n ＝1m.∵m >0，且m ≠1，∴n >0且n ≠1.∴3n ＋m ＝3n ＋1n ≥23，当且仅当n ＝33时等号成立．(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.4．(2010·山东平度一中一模)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝12，a ＝14时等号成立．5．(文)(2010·江苏无锡市调研)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______．[答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.(理)过点P(－3，0)作直线l与椭圆3x2＋4y2＝12相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．[答案] 3 ±6 2[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－3，S△AOB＝12|OP| ·|y1|＋12|OP|· |y2|＝32(|y1|＋|y2|)＝32|y1－y2|把x＝my－3代入椭圆方程得：3(m2y2－23my＋3)＋4y2－12＝0，即(3m2＋4)y2－63my－3＝0，y1＋y2＝63m3m2＋4，y1y2＝－33m2＋4∴|y 1－y2|＝108m23m2＋42＋123m2＋4＝13m2＋4144m2＋48＝49m2＋33m2＋4＝43·3m2＋13m2＋1＋3＝433m2＋1＋33m2＋1≤4323＝2，∴S≤32×2＝3，此时3m2＋1＝33m2＋1⇒m＝±63.令直线的倾角为α，则tanα＝±36＝±62，即△OAB面积的最大值为3，此时直线的倾斜角的正切值为±62.6．(2011·安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米．假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f (v )(元)表示为速度v (千米/时)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ [解析] (1)依题意488＝200＋k ×1202⇒k ＝0.02.f (v )＝133v (200＋0.02v 2)＝133(200v＋0.02v )(60≤v ≤120)．(2)f (v )＝133(200v＋0.02v )≥133×2200v×0.02v ＝532，当且仅当200v＝0.02v ，即v＝100时，“＝”成立，即汽车以100千米/时的速度行驶，全程运输成本最小为532元．7．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30米，AD ＝20米．记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值． (2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x 米(x >0)，则AQ ＝x ＋20， ∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP，∴AP ＝x ＋x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝x ＋2x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号．∴当DQ 的长度是20米时，S 最小，且S 的最小值为1200平方米． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0， ∴0<x ≤203或x ≥60∴要使S 不小于1600平方米，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.(理)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β，整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.1．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋1＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .2．(2010·衡水市模考)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9 B.72 C ．5 D.92[答案] D[解析] ED →＝AD →－AE →＝12(AB →＋AC →)－AE →＝12(λAE →＋μAF →)－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2－1AE →＋μ2AF →， EF →＝AF →－AE →.∵ED →与EF →共线，且AE →与AF →不共线，∴λ2－1－1＝μ21，∴λ＋μ＝2，∴1λ＋4μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ(λ＋μ)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋μλ＋4λμ≥92，等号在μ＝43，λ＝23时成立．3．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3][答案] D[解析] |PF 1|2|PF 2|＝a ＋|PF 22|PF 2|＝4a2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|得6a ≥2c ，即e ＝c a≤3，∴e ∈(1,3]．4．(2010·重庆一中)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30° ＝32|AB |·|AC |＝23，∴|AB |·|AC |＝4， 由f (M )的定义知，S △ABC ＝12＋x ＋y ，又S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin30°＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)∴1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥2(5＋24)＝18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝18. 5．(2011·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1可得，(x ＋y )2＝xy ＋1 而由均值不等式得xy ≤(x ＋y2)2∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1整理得，34(x ＋y )2≤1 ∴x ＋y ∈[－233，233]，∴x ＋y 的最大值为233.6．(2010·河北邯郸)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为________．[答案]256[解析] 不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过两直线的交点A (4,6)时，z 取最大值12，∴4a ＋6b ＝12，∴2a ＋3b ＝6，∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256等号在b a ＝a b ，即b ＝a ＝65时成立． 7．(2010·江苏苏北四市模考)f (x )＝x ＋px －1(p 为常数且p >0)，若f (x )在区间(1，＋∞)的最小值为4，则实数p 的值为________．[答案]94[解析] ∵x >1，∴x －1>0，f (x )＝x ＋p x －1＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1＝4，∴p ＝94. 8．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋35x ＋(x ≥0)．(2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－t －2＋t －＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t .∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．。

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2013高考数学精讲精练(新人教a版)第06章不等式(精)

2013高考数学精讲精练(新人教a版)第06章不等式(精)

2013高中数学精讲精练第六章不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。

3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。

同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

第1课 基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。

2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。

【基础练习】1.“a >b >0”是“ab <222a b +”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,12222223.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为1614.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是2 【范例导析】 例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1 当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =.例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1ab+=x y，求x+y 的最小值。

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)


第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示 的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知 识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而 是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性 规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样 在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综 合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性， 不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不 等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平 面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平 面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线 性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性 规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性 规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
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第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络 知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一 次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不 等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等 式的性质、两个数式比较大小
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学6-1

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学6-1

人 教
A
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第6章 不等式
高考数学总复习
2．要加强对本章一些常用思想方法的复习．①等价 转化的思想：解不等式的过程实质上就是利用不等式的 性质进行等价转化的过程．许多数学问题要依据题设与 结论的结构特点、内在联系选择适当的解决方案，最终 归结为不等式的求解或证明．②分类讨论思想：对含有 参数的不等式问题，一般要对参数进行分类讨论，要学 会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不 漏．③函数与方程思想：不等式、函数与方程三者密不 可分、相互联系、相互转化，如求参数的取值范围问题，
第6章 第一节
高考数学总复习
5．写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开 口方向与判别式结合起来．当二次项系数含有参数时， 不能忽略二次项系数为零的情形． 6．解对数不等式时，莫忘定义域的限制． 7．换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围 等价转化为原来未知数的取值范围． 8．解不等式的每一步变形要保持等价，慎用去分母 法和两边约去同一个因式．
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Δ＝b2－4ac
A
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不等式解集为
不等式解集为
－b＋ Δ {x|x<x1或x>x2} ____________ _____________ {x|x1<x<x2} x2＝ 2a
第6章
第一节
高考数学总复习
二次函数
Δ 的符号 一元二次பைடு நூலகம்程
一元二次不等式 不等式解集
Δ＝0 图 象 与 解 Δ<0
{x|x≠ b 为_________ 不 等 式 解 集 x1＝x2＝－ 2a 为___ ∅ b － ，x∈R} 2a ___________
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第6章 不等式
【走向高考】高考数学总复习 62 基本不等式课后作业 新人教A版

【走向高考】高考数学总复习 62 基本不等式课后作业 新人教A版

"【走向高考】高考数学总复习 6-2 基本不等式课后作业 新人教A 版 "1.a 、b 为正实数，a 、b 的等差中项为A ；1a 、1b 的等差中项为1H；a 、b 的等比中项为G (G >0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G[答案] B[解析] 由题意知A ＝a ＋b2，H ＝2aba ＋b，G ＝ab 易知a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≥G ≥H . 2．(文)(·茂名市模拟)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4也满足x ＋ax≥1，故选A.(理)(·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.3．(·宁德月考)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3[答案] B[解析] 由条件知(b 2＋1)－ab 2＝0，∴a ＝b 2＋1b2，∴ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b≥2，等号在b ＝1，a ＝2时成立．4．(文)(·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( )A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. (理)(·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋41－xx＋9x1－x≥13＋241－xx·9x 1－x＝25，当且仅当41－xx＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立．6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－ 52D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求．[解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y |x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.7．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋ca的取值范围是________．[答案] (1，2][解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca >1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＋c2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2b 2＋c 2a 2＝2，∴b ＋c a≤ 2. 8．(·广东佛山一检)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案]12[解析] 因为A (2,0)，B (0,1)，所以0≤b ≤1. 由a ＋2b ＝2，得a ＝2－2b ， ∴ab ＝(2－2b )b ＝－2(b －12)2＋12，当b ＝12时，(ab )max ＝12.[点评] 利用a ＋2b ＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解.1.(·兰州一模)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝(12)x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[答案] A [解析] 由p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号； 而由于x 2－2≥－2，故q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.2．(文)(·肇庆二模)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)对称，则4a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．9 [答案] D[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋2＝0必过圆心(－1,2)，所以a ＋b ＝1.所以4a ＋1b＝4a ＋ba＋a ＋b b ＝4b a ＋ab＋5≥24ba·ab ＋5＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时取等号，故选D. (理)(·东北三校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·qm ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m＋n＝6，∴1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋nm＋4mn≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2nm·4mn＝32，等号在nm＝4mn，即n＝2m＝4时成立．3．(文)(·广东揭阳一模)若函数f(x)＝log m x的反函数的图象过点(－1，n)，则3n＋m的最小值是( ) A．2 2 B．2C．2 3 D.5 2[答案] C[解析]函数f(x)＝log m x的反函数为y＝m x，∵该函数图象过点(－1，n)，∴n＝1 m .∵m>0，且m≠1，∴n>0且n≠1.∴3n＋m＝3n＋1n≥23，当且仅当n＝33时等号成立．(理)(·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则mn的最大值为( )A.12B．1 C．2 D．3[答案] B[解析]以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，∴AM→＝AB→m，AN→＝AC→n，∴M⎝⎛⎭⎪⎫0，2m、N⎝⎛⎭⎪⎫2n，0，∴直线MN的方程为my2＋nx2＝1，∵直线MN过点P(1,1)，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2，∵m＋n≥2mn，∴mn≤m＋n24＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.4．(·山东平度一中一模)设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则1a＋2b的最小值是________．[答案]8[解析]AB→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，∵AB→与AC→共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a>0，b>0，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(2a＋b)＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab，即b＝12，a＝14时等号成立．5．(文)(·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．[答案] 2[解析]由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为xa＋yb＝1，则aba2＋b2＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝a2＋b2≥2ab≥2.(理)过点P(－3，0)作直线l与椭圆3x2＋4y2＝12相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．[答案] 3 ±6 2[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－3，S △AOB＝12|OP| ·|y1|＋12|OP|· |y2|＝32(|y1|＋|y2|)＝32|y1－y2|把x＝my－3代入椭圆方程得：3(m2y2－23my＋3)＋4y2－12＝0，即(3m2＋4)y2－63my－3＝0，y1＋y2＝63m3m2＋4，y1y2＝－33m2＋4∴|y1－y2|＝108m23m2＋42＋123m2＋4＝13m2＋4144m2＋48＝49m2＋33m2＋4＝43·3m2＋13m2＋1＋3＝433m2＋1＋33m2＋1≤4323＝2，∴S≤32×2＝3，此时3m2＋1＝33m2＋1⇒m＝±63.令直线的倾角为α，则tanα＝±36＝±62，即△OAB面积的最大值为3，此时直线的倾斜角的正切值为±62.6．(·安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米．假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(千米/时)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？[解析](1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝0.02.f(v)＝133v(200＋0.02v2)＝133(200v＋0.02v)(60≤v≤120)．(2)f(v)＝133(200v＋0.02v)≥133×2200v×0.02v＝532，当且仅当200v＝0.02v，即v＝100时，“＝”成立，即汽车以100千米/时的速度行驶，全程运输成本最小为532元．7．(文)(·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？[解析](1)设DQ＝x米(x>0)，则AQ＝x＋20，∵QDDC＝AQAP，∴x30＝x＋20AP，∴AP＝30x＋20x，则S＝12×AP×AQ＝15x＋202x＝15(x＋400x＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．∴当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米．(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0<x≤203或x≥60∴要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0<DQ≤203或DQ≥60.(理)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.1．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .2．(·衡水市模考)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9 B.72 C ．5 D.92[答案] D[解析] ED →＝AD →－AE →＝12(AB →＋AC →)－AE →＝12(λAE →＋μAF →)－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2－1AE →＋μ2AF →， EF →＝AF →－AE →.∵ED →与EF →共线，且AE →与AF →不共线，∴λ2－1－1＝μ21，∴λ＋μ＝2，∴1λ＋4μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ(λ＋μ)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋μλ＋4λμ≥92，等号在μ＝43，λ＝23时成立． 3．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3][答案] D [解析] |PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，∴e ∈(1,3]．4．(·重庆一中)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos30° ＝32|AB |·|AC |＝23，∴|AB |·|AC |＝4， 由f (M )的定义知，S △ABC ＝12＋x ＋y ，又S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin30°＝1，∴x ＋y ＝12(x >0，y >0)∴1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥2(5＋24)＝18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝18. 5．(·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1可得，(x ＋y )2＝xy ＋1 而由均值不等式得xy ≤(x ＋y2)2∴(x ＋y )2≤(x ＋y2)2＋1整理得，34(x ＋y )2≤1 ∴x ＋y ∈[－233，233]，∴x ＋y 的最大值为233.6．(·河北邯郸)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为________．[答案] 256[解析] 不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过两直线的交点A (4,6)时，z 取最大值12，∴4a ＋6b ＝12，∴2a ＋3b ＝6， ∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256等号在b a ＝a b ，即b ＝a ＝65时成立． 7．(·江苏苏北四市模考)f (x )＝x ＋px －1(p 为常数且p >0)，若f (x )在区间(1，＋∞)的最小值为4，则实数p 的值为________．[答案]94[解析] ∵x >1，∴x －1>0，f (x )＝x ＋p x －1＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1＝4，∴p ＝94. 8．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋x Q×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则W ＝－t －12＋98t －1＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．。