【真题试卷】2007年数学一试题分析、详解和评注

2007年数学一试题分析、详解和评注——由网友sail2011上传分享分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-. 【 】【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). 【评注】本题直接找出ln但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。

事实上，2000ln(1)ln(1)lim lim lim t x x t t t t +++→→→+--= =22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t t t t t t t t t t ++→→+-+++-==+- 完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6. (2)曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+， 1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞不存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。

本题在x <0 的一侧有水平渐近线，而在x >0的一侧有斜渐近线。

关键应注意指数函数xe 当x →∞时极限不存在，必须分x →-∞和x →+∞进行讨论。

重点提示见《经典讲义》P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . 【 】【答案】 应选(C).【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1(2)2F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ=⋅-⋅==3(2)4F ， ⎰⎰---==-033)()()3(dx x f dx x f F )3()(3F dx x f ==⎰因此应选(C).【评注1】 本题F (x )由积分所定义，应注意其下限为0，因此22(2)()()F f x dx f x dx ---==-⎰⎰，也为半径是1的半圆面积。

可知(A) (B) (D)均不成立.【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。

完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12(4)设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是：(A) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【 】【答案】 应选(D).【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且()()limx f x f x x →--=0lim0x x x x→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导。

重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.(5)设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是：(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设 f (x )=2x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但2{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=1x, 则 f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但1{}{}n u n=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若12u u <，则存在0k >，使得210u u k ->>. 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理, 存在1(1,2)ξ∈使得211(2)(1)()02121u u f f f k ξ--'==>>--, 又因为在(0,)+∞上()0,f x ''> 因此()f x '在1(,)ξ+∞上单调增加，于是对1(,)x ξ∀∈+∞有1()()0f x f k ξ''>>>.在区间1[,]x ξ上应用拉格朗日中值定理, 存在21(,)x ξξ∈使得121()()()f x f f x ξξξ-'=-,即 121()()()(),()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞故应选(D).重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40, 例1.41、《真题（一）P.40题3》及辅导班讲义例1.12(6)设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是(A)(,)Tf x y dx ⎰. (B)(,)Tf x y dy ⎰.(C)(,)Tf x y ds ⎰. (D)(,)(,)x y Tf x y dx f x y dy ''+⎰. 【 】【答案】 应选(B).【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N 点的坐标分别为11221212(,),(,),,M x y N x y x x y y <>. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：21(,)0TT f x y dx dx x x ==->⎰⎰;21(,)0TTf x y dy dy y y ==-<⎰⎰;(,)0TT f x y ds ds s ==>⎰⎰;(,)(,)(,)0x y TTf x y dx f x y dy df x y ''+==⎰⎰.故正确选项为(B).【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分. 重要提示见《经典讲义》P.239，完全类似例题见P.240例12.1, 例12.2,例12.5及辅导班讲义例12.3.(7) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D)1332212,2,2αααααα+++. 【 】【答案】应选(A) .【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 )()()(133221αααααα--=-+-， 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P314例3.5和辅导班上对应章节的例题(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】 【答案】应选 (B) .【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .【评注】1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则A 与B 合同⇔ r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数. 完全类似的问题见《历年真题（一）》P307的小结(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) 2)1(3p p -． (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -． 【 】 【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：2213)1(p p C -. 故选(C) .几乎原题见《经典讲义》P498例题4.1中的4k =情况, 完全类似的问题见P438例1.44(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ． 【 】 【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有Ｘ与Ｙ相互独立⇔ f (x , y )=)()(y f x f X X ⇔)|(|y x f Y X =)(x f X ⇔)|(|x y f X Y =)(y f Y .完全相同的问题见《经典讲义》P474二维正态分布的性质4二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)(11)12311x e dx x⎰= . 【答案】 应填121.2e【分析】 先作变量代换，再分部积分。