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必修二数学第8课：2.1.1 平面

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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2

高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

高中数学 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2

高中数学 2.1.1 平面课件 新人教A版必修2

[解] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又∵AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知，点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R 三点共线．
平面的基本性质
公理
பைடு நூலகம்
内容
如果一条直线上的
公理1
两__点__在一个平面内， 那么这条直线在此平
面内
过不__在__一__条__直__线__上__的 公理2 三点，有且只有一个
平面
如果两个不重合的平
公理3
面有一个公共点，那 么它们有且只有一条
________________ 过该点的公共直线
图形
符号
_A__∈__l _，_B__∈__l ， 且_A_∈__α__， _B_∈__α___⇒l⊂α
[提出问题]
平面的基本性质
问题 1：若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺 的边缘上的其余点和桌面有何关系？
提示：在桌面上． 问题 2：为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自 行车？
提示：撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条
直线上．
问题 3：两张纸面相交有几条直线？
提示：一条．
[导入新知]
[解] (1)点 P∈直线 AB； (2)点 C ∉直线 AB； (3)点 M∈平面 AC； (4)点 A1∉平面 AC； (5)直线 AB∩直线 BC＝点 B； (6)直线 AB⊂平面 AC； (7)平面 A1B∩平面 AC＝直线 AB.

人教版2017高中数学(必修二)2.1.1 平面PPT课件

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重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型一
三种语言的转换
【例1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平 面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC; (2)平面ABD与平面BCD相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于 AC. 解:(1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示 如图①.
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典例透析
题型一
题型二
反思确定平面的问题要利用公理2及三个推论,要想确定的平面最 多,那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来.本例题容 易产生的错误是先在已知直线上任取两点,这样共5个点构成了一 个四棱锥,四棱锥的4个侧面,2个对角面,再加上底面共有7个平面, 误选C;或者是认为从这5个点中任取3个点可确定一个平面,一共有 10个平面,误选D.错因都是把题中的条件作了转换,由原来的一条 直线转换成两个点,那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中 的一个,这是不符合题意的.
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典例透析
②假设经过直线a,b还有一个平面β,那么A,B,P三点也一定在平面
β内.这样过不共线的三点A,B,P就有两个平面α和β,这与公理2矛盾. 所以经过相交直线a,b只有一个平面α. 由①和②,知经过直线a,b有且只有一个平面. 这三个推论与公理2的作用相同,都是确定平面的依据.
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典例透析
题型一
题型二
(2)符号语言:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC. 图形表示如图②.
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典例透析

高一数学必修二完整2.1.1平面ppt课件

高一数学必修二完整2.1.1平面ppt课件

完整版PPT课件
8
平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面、镜面和黑板面等 都给我们以平面的印象。
几何中的“平面”是现实平面加以抽象的结果。
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9
立体几何中的平面的特点:
1.平的 2.四周无限延展 3.不计大小 4.不计厚薄
不是凹凸不平 没有边界
无所谓面积 没有体积
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10
平面的表示方法
2.可以用来判定点在平面内，即如果直线在平 面内、点在直线上，则点在平面内。
3.表明平面是“平的”。
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17
直线与平面的位置关系
直线l在平面α内：记为：l∈α
直线l不在平面α上：记为：l α
l ll
α
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18
思 考
生活中，我们常看到用三脚架固定相机 等物品。这样做有什么原因吗？
示，如：平面ABCD,平面AC，平面BD。
D
A
C B
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13
点与平面的位置关系 点A在平面α内：记为：A∈α
点B不在平面α上：记为：B α
B αA
完整版PPT课件
14
考思
若一条直线l与平面α有一个公共点，直线l是否 在平面α内？若直线l与平面α有两个公共点呢？
把直尺和桌面分别Biblioteka 做一条直线和一个平面。 （1）若直尺上的一个点在桌面内，直线可能不在面 上。（2）若直尺上有两个点放在桌面上，整个直尺 就落在了桌面上。
几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
D
A
C B
通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画 成邻边长的2倍。
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11

高中数学人教a版必修二课件：2.1.1《平面》

高中数学人教a版必修二课件：2.1.1《平面》
几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中抽 象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么

高中数学必修二2.1.1平面教案新人教A版必修2

高中数学必修二2.1.1平面教案新人教A版必修2
点 A 在平面 α 内（或平面 α 经过点 A）
点 A 在平面 α 外（或平面 α 不经过点 A）
图5 A∈ａ Aa A∈ α
Aα
元素与 集合间 的关系
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内
( 图 7) ，直线上有两个点在平面内，则直线全
部落在平面内 . 例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念 , 教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例 , 对它只是加以描述而不定义 . 立
体几何中的平面又不同于上面的例子 , 是上面例子的抽象和概括 , 它的特征是无限延展性 . 为了更准确地理
.
公理 1： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
.
2
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图
6）描述 .
空间图形的基本元素是点、直线、平面 . 从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、
平面看成是点的集合， 因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外， 还可借用集合中的符号语言来表示 .
的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题
.
（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念 ; ②平面的画法与表示方法 ; ③如何描述点与直线、平面的位置关系？ ④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面
1
内？
解平面 , 教材重点介绍了平面的基本性质 , 即教科书中的三个公理 , 这也是本节的重点 . 另外 , 本节还应充分

高中数学人教A版必修二：2.1.1 平面 课件

为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线 画出来．
D
A
E
FC B
被遮挡部分 用虚线表示
2.3平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形
的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面
的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英
文字母作为这个平面的名称．
D
C
D
FC
A
B
记作：平面
A
E
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样 的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平 面是无限延展的．
探究发现
平面的几何特征：
1.无限延展 2.不计大小 3.不计厚薄
（没有边界） （无所谓面积） （没有质量）
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强化训练 练1 、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
一.教学目 标
【情感态度和价值观】 让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高 学生的学习兴趣。
• 教学重点：三个公理的教学是重点为。 • 教学难点：公理的理解是难点。
2：观察它们呈现 出怎样的形象？
平整的纸张
教室里的桌面、黑板面、 墙面、地面
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2.1新课引入
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、 黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能 从生活中举出类似平面形的物体吗？
2.1.1 《平面》
1. 教学目 标
【知识与技能】 1.掌握平面的概念、画法、表示方法； 2.通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面； 3.掌握平面的基本性质及作用； 4.培养学生的空间想象能力.
【过程与方法】 1.通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； 2.让学生归纳整理本节所学知识.

高中数学必修二2.1.1平面课件

2.1.1平面
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C

高中数学人教A版必修2课件：2.1.1 平面


-21-
2.1.1 平面
1 2 3
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典例透析
2.公理2的推论 剖析:由公理2可以得到三个推论,如下表.
语言 推论 1 推论 2 形式 经过一条直线和直 经过两条相交 线外的一点有且只 ．．． 直线有且只有 ．．．． 文字 有一个平面 一个平面 ． 语言 一条直线和其外一 两条相交直线 点确定 一个平面 确定 一个平面 ．． ．． 图形 语言 a∩b=P⇒有且 A∉a⇒有且只有一 符号 只有一个平面 个平面 α,使 A∈ 语言 α,a⊂α α,使 a⊂α,b⊂α 推论 3 经过两条平行直 线有且只有 一个 ．．．． 平面 两条平行直线确 ． 定 一个平面 ．
)
-15-
2.1.1 平面
1 2 3 4 5
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典例透析
4.公理2
文字 语言 图形 语言 符号 语言 作用 过不在一条直线上的三点,有且只有 一个平面
A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平 面 α,使 A∈α,B∈α,C∈α (1)确定平面 (2)证明点共面
-16-
2.1.1 平面
-14-
2.1.1 平面
1 2 3 4 5
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典例透析
【做一做3】 已知直线m⊂平面α,点P∉m,点Q∈m,则 ( A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉α C.P∉α,Q∉α D.Q∈α 解析:因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α. 因为P∉m,所以有可能P∈α,也有可能P∉α. 答案:D
-6-
2.1.1 平面
1 2 3 4 5
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典例透析
【做一做1】

高一数学人教版A版必修二课件：2.1.1 平面

如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
解析答案
1 23 45
3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A∉α，a⊂α__C__. (2)α∩β＝a，P∉α且P∉β__D__. (3)a⊄α，a∩α＝A_A___. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O_B__.
答案
1 23 45
4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是__1_或__3___.
解析答案
例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如 图所示. 求证：P、Q、R三点共线.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点， F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.
解析答案
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1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( A )
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必备习
惯
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道； TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
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分 层
释
作
疑 难
交于 AC.
业
·
返 首 页
·
[解] (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β
自
课
主 预
∩γ＝PC，图形表示：如图①.
堂 小
习
结
探
(2)符号语言表示：平面 ABD∩平面 BDC＝BD，平面 ABC∩平面 提
·
新
素
知 ADC＝AC，图形表示：如图②.
养
合
作
课
探
∴E∈平面 A1BCD1.
返
首
页
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探 新
2．上述问题中，你能证明 B，E，D1 三点共线吗？
提 素
知
[提示] 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又 养
合
作 探
E∈BD1，根据公理 3 可知 B，E，D1 三点共线．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
【例 3】 如图，已知平面 α， β， 且 α∩β＝l. 设梯形 ABCD
思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？
提 素
知
养
[提示] 不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
自
课
主
堂
预
小
习
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”，正确的是( ) 结
·
探
提
新 知
A．A∈l，l∉α
B．A∈l，l⊄α
素 养
合 作
说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选 B.]
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
自
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
课
主 预
A．两两相交的三条直线
堂 小
习
结
探
B.三条直线其中的一条直线与另外两条分别相交
·
提
新
素
知
C.三个点
养
·
·
合
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
作
课
探 究
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
自
课
主
堂
预
点线共面问题
小
习
结
·
探 新
【例 2】
如图，已知：a
⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，
提 素
知
养
求证：PQ⊂α.
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
[证明] ∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面 β.
·
提
新
素
知
∴直线 a⊂β，点 P∈β.
自
课
主 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β.
堂
预
小
习
结
·
探
提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探 究
求证：AB，CD，l 共点(相交于一点).
时 分
层
释
疑
思路探究： 梯形的两腰 → 找交点 →
作 业
难
探求交点与面α，β的位置关系 → 得结论
返
首
页
[证明] 因为梯形 ABCD 中，AD∥BC，
自
课
主
所以 AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰.
时
D [三条直线若交于同一点，可以有多个平面，共线的三个点可 分
层
释 疑
以有多个平面，这里三条两两相交且不共点的直线确定一个平面．故
作 业
难 应选 D.]
返 首 页
·
自 主
3．如果点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面 α 内，点 B 在平面 α
课 堂
预
小
习 内，则可以表示为( )
·
结
探
提
新
素
疑
业
难
·
返 首 页
自
课
主
1．有以下结论：
堂
预
小
习
结
探
①平面是处处平的面；
·
提
新
素
知
②平面是无限延展的；
养
·
·
合 作
③平面的形状是平行四边形；
课
探
时
究
④一个平面的厚度可以是 0.001 cm.
分 层
释
作
疑 难
其中正确的个数为( )
业
A．1
B．2
C．3
D．4
返
首
页
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新
素
知
B [平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种 养
堂 小
习
结
·
探 分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF、GH 交于一点 P，求证：点 P 提
新
素
知 在直线 BD 上．
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
自
[证明] 若 EF、GH 交于一点 P，
课
主
堂
预 习
则 E，F，G，H 四点共面，
小 结
·
·
探
提
新
又因为 EF⊂平面 ABD，GH⊂平面 CBD，
习
[解] 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
·
结
探
提
新 知
求证：直线 AB，BC，AC 共面．
素 养
·
合
证明：法一：因为 AC∩AB＝A，所以直线 AB，AC 可确定一个平
作 探
面 α.
课 时
究
分
释
因为 B∈AB，C∈AC，所以 B∈α，C∈α，故 BC⊂α.
层 作
疑
难
因此直线 AB，BC，AC 都在平面 α 内，
·
区别． 返 首 页
·
自
课
主
[跟进训练]
堂
预
小
习
结
探
1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
·
提
新
素
知
(1)三个平面 α，β，γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 相交于 PA，养
合 作
平面 α 与平面 γ 相交于 PB，平面 β 与平面 γ 相交于 PC；
课
探
时
究
(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
自
课
主 预
立体几何三种语言的相互转化
堂 小
习
结
·
探 新
【例 1】 用符号表示下列语句，并画出图形．
提 素
知
养
(1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B；
合
作 探
课
(2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 时
作 业
难
面 MP，选 A.]
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·
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
3．任意三点可确定平面的个数是( )
提
新
素
知
养
A．0
B．1 C．2
D．1 或无数个
合
作 探
D
[当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，
课 时
究
分
释 可确定一个平面．]
层 作
疑
业
难
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·
4．将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图
养
合 作
∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.
课
探
时
究
又∵a⊂α，∴α 与 β 重合．∴PQ⊂α.
分 层
释
作
疑
业
难
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·
自
课
主
堂
预
解决点线共面问题的基本方法：
小
习
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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[跟进训练]