2020-2021新课标高考理科数学“12+4”限时提速培优突破一(32张)

“12＋4”提速专练卷(二)一、选择题1．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2,3) C ．(－2，－1]D ．[－1,3)解析：选 D N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}＝{x |x ＋2≥1}＝{x |x ≥－1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <3}．3．(2013·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 逐次计算：S ＝1，k ＝1；S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋23＝11，k ＝3；S ＝11＋211，k ＝4.故输出的k 的值为4.4．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立． 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.6．(2013·西安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，则f (－1)＋f (13)＝( )A ．3B ．2 C.32D.12解析：选B 由图像可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1.5，－A ＋B ＝0.5，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，B ＝1，T ＝2πω＝4，所以ω＝π2， 所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 又∵f (2)＝1，且(2,1)是“五点作图”中的第三个点， ∴π2×2＋φ＝(2k ＋1)π，即φ＝2k π，k ∈Z ， ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (－1)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝12，f (13)＝12sin 132π＋1＝32，∴f (－1)＋f (13)＝12＋32＝2.7．若a ，b 是互相垂直的两个单位向量，且向量c 满足(c －a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．1＋ 2解析：选B (c －a )·(c －b )＝0可整理为c 2－(a ＋b )·c ＋a ·b ＝0，∵a ·b ＝0，∴c2－(a ＋b )·c ＝0.若c ＝0，则|c |＝0；若c ≠0，则c ＝a ＋b ，c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝2，∴|c |＝2，即|c |的最大值为 2.8．(2013·滨州模拟)函数y ＝sin xx(x ∈(－π，0)∪(0，π))的图像大致是( )A B C D解析：选A 函数为偶函数，所以图像关于y 轴对称，排除B ，C.当x →π时，y ＝sin x x→0，故A 正确．9．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 4·b 5＝2，则a 9＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C 设{b n }公比为q ，首项为b 1， ∵b n ＝a n ＋1a n，a 1＝1，b 4b 5＝2， ∴a 9＝a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a 9a 8＝b 1b 2…b 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28＝(b 21q 7)4＝(b 1q 3×b 1q 4)4＝(b 4b 5)4＝24＝16.10．定义在R 上的函数f (x )是增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|<1的解集为( )A ．(－1,2)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：选A ∵A (0，－1)，B (3,1)是函数f (x )图像上的两点，∴f (0)＝－1，f (3)＝1. 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)． ∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0<x ＋1<3，∴－1<x <2.11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1.设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2.12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470 B ．490 C ．495 D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×＋2＋72×10＝470. 二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案：3814．(2013·东莞模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且b ＝3a sin B ，则tan A ＝________.解析：由b ＝3a sin B 得sin B ＝3sin A sin B ，所以sin A ＝13，cos A ＝223，即tan A＝24.答案：2415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由2－x－1＝1，得x ＝－1；当x >0时，由x ＝1得，x ＝1. 所以由图像可知，－1<m ≤1，即m ∈(－1,1]． 答案：(－1,1]16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 (23)＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.答案：11。

2021届高考理科数学模拟培优卷（新课标全国III 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{} 02|A x x =<<, {|(1 0)}B x x x =-≥, 则A B =( )A.∅B.(,1]∞-C. [1,2)D.(]0,12.已知复数1i z =-,z 为z 的共轭复数,则1z z+=( ) A.3i 2+ B.1i 2+ C.13i 2- D.13i 2+ 3.如图是甲、乙两位同学在某5次数学测试成绩的茎叶图,则平均成绩较低的那位同学的成绩的方差为( )A.1B.2C.3D.44.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是23000200.1,(0,240)y x x x =+-∈.若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台5.若直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ ） A.1，1- B. 2，2- C. 1D.1- 6.已知向量(1,3)a =,(4,)b m =,且()a b a -⊥,则向量a 与b 夹角为( )A.π3B.π6C.π4D.π27.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.43B.23C.83D.49.已知5cos 2αα=为锐角，则sin cos αα+=( ) A. 1315 B.13 C.13或53 15 10.直线l 过点()0,2,被圆22:4690C x y x y +--+=截得的弦长为23则直线l 的方程是( ) A.423y x =+ B.123y x =-+ C.2y = D.423y x =+或2y = 11.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F .若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为( ) 6 B.3C.6 312.已知函数112()112x x m f x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定义在区间(1,1)-上的奇函数，则m 的值为( ) A.-1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件230,260,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2y z x +=的取值范围为____________.14.52(31)1x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_______________. 15.在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，菱形ABCD 的两条对角线交于点O.已知32PA PD AD ===，，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为___________.16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和1(1)2n S n n t =++，等比数列{}n b 的通项公式为3n n b =，且其前n 项和为*,n T n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1143(1)n n n n n T c T T +++=-⋅，且对于任意的正整数1241,12n n c c c m +++<+恒成立,求实数m 的取值范围.18. （12分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，4个球除所标面值外完全相同.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个所标的面值均为10元.求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列与均值.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为8的菱形，60,BAD PBD ∠=︒是等边三角形，1cos 3POC ∠=.()I 求证：BD PC ⊥；()Ⅱ求四棱锥P ABCD -的体积.20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上、下顶点分别为(0,1)A 和(0,1)B -,且其3. ()Ⅰ求椭圆E 的标准方程. ()Ⅱ点P 是直线2y =上的一个动点,直线,PA PB 分别交椭圆E 于,C D 两点(,,,A B C D 四点互不重合),请判断直线CD 是否恒过定点.若过定点,求出定点的坐标；否则,请说明理由.21. （12分）已知函数2()e ,()51x f x g x x x ==-+.(1)求函数()()()g x F x f x =的单调区间. (2)设函数()()()'G x g x af x =+,讨论该函数在区间[2,4]上的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以坐标原点为极。

2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一压轴大题24分提高练(一)20．(12分)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．①P (X >μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )>1，得k <1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(12分)已知函数f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：x 1＋x 2<2(1＋ln a )．解：(1)由f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2，可得f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x 3，记h (x )＝e x－1－ax ，x >0，由题意，知y ＝h (x )在(0,2)内存在两个零点．∵h ′(x )＝e x －1－a ，则当a ≤0时，h ′(x )>0，h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不合题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a ，由1＋ln a >0，得a >1e .①若1＋ln a <2且h (2)>0，即1e <a <e 2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ，当1e <a ≤1时，h (x )min ＝－a ln a ≥0，不合题意，舍去．当1<a <e 2时，h (x )min ＝－a ln a <0，且h (2)>0，x →0时h (x )>0，从而h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点．∴y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ≥2，即a ≥e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多有一个零点，舍去．③若1＋ln a <2且h (2)≤0，即e 2≤a <e 时，h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上可得，1<a <e 2，即实数a 的取值范围为(1，e 2)．(2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0<x <1＋ln a ，则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e 2＋2ln a －x －1－a ＝e x －1＋a 2ex －1－2a ≥2a －2a ＝0， ∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增，从而H (x )<0，即h (x )－h (2＋2ln a －x )<0，∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)<0，而h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)<h (2＋2ln a －x 1)，x 2<2＋2ln a －x 1，∴x 1＋x 2<2(1＋ln a )．。

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“12＋4”限时提速练(八）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x｜－1≤log2 016x≤1}，B＝｛y｜y＝2x＋2｝，则A∩B＝( )A．（－2 016，0］ B．［0，2 016]C．(2,2 016］ D．（－∞，2 016］2．“∀x∈R，2x－错误!＜1”的否定为（)A．∀x∈R，2x－错误!≥1 B．∀x∈R，2x－错误!≤1C．∃x0∈R，2x0－错误!＞1 D．∃x0∈R，2x0－错误!≥13．若不等式错误!（x＋1）＞0的解集为（－1,＋∞）,则实数a的取值范围为（）A．(－∞，－1] B．（0，1)C．{1｝ D．(－∞，0)4。

已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,则此三棱柱的表面积为（)A．20 B．48错误!C．48＋8错误! D．8＋错误!5．已知函数f（x）＝sin错误!（x∈R），把函数f（x）的图象向右平移错误!个单位长度得函数g(x）的图象，则下面结论正确的是（)A．函数g（x)的最小正周期为5πB．函数g(x）的图象关于直线x＝错误!对称C．函数g（x）在区间[π,2π]上是增函数D．函数g(x)是奇函数6．函数f（x)＝错误!cos x(－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）7．已知数列｛a n}中,a1＝1，a n＋1＝a n＋n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A．n≤2 015? B．n≤2 016？C．n＜2 014？ D．n＜2 016？8．A。

“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≤－3或x ≥1} B.{x |x ＜－1或x ≥3} C.{x |x ≤3} D.{x |x ≤－3}解析：选D 因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}.故选D.2.若复数z 满足(3＋4i)z ＝25i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( ) A.3i B.－3i C.3D.－3解析：选D 因为(3＋4i)z ＝25i ，所以z ＝25i 3＋4i ＝25i （3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25i （3－4i ）25＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，所以z 的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地.这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A.x 1，x 2，…，x n 的平均数B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12，则a 4＝( )A.4B.32C.108D.256解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，又首项a 1＝4，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4·qn －1，又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝log 2(4·qn －1)＝2＋(n －1)·log 2q ，所以{b n }为等差数列，则b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝12，所以b 2＝4，由b 2＝2＋(2－1)log 2q ＝4，解得q ＝4，所以a 4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A. 法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan60°2＝1633.故选A. 6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54 解析：选 B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x－3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x＜1.故选B.9.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( )A.k ＞12或k ≤－5B.－5≤k ＜12C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k PA ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y ＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x .现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C. 12.已知三棱锥P ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ­ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa 解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，PA ＝AC ，PB ＝BC ，所以△PAC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V 三棱锥P ­ABC ＝13·S△PBC·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e2－1.答案：1e2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b ax ，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba mc －m ＝－a b，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破八“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x 2－4x －5>0}，则M ∩(∁R N )＝( B )A ．[－1,8)B ．(0,5]C ．[－1,5)D ．(0,8)解析：集合M ＝{x |0<x <8}，N ＝{x |x >5，或x <－1}，∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以，M ∩(∁R N )＝(0,5]．2．已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( D )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53 解析：z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53. 3．下列说法中正确的是( A )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x>0，则綈p ：∃x 0∈R,2x 0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确；对于选项B ，全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定为綈p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误；对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误；对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．4．已知x >0，y >0，a ＝(x,1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y 的最小值为( B ) A ．4 B ．9 C ．8D ．10解析：依题意，得a ·b ＝x ＋y －1＝0⇒x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4(x ＋y )y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当x ＝13，y ＝23时取等号．5．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确的命题是( A )A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③解析：对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．6．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( B )A ．－2B ．－1 C.12 D.23解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.7．函数f (x )＝2|x |－x 2的图象大致为( C )解析：由题意知，当x >0时，f ′(x )＝2x ln2－2x ，当x →0时，2x →1,2x →0，f ′(x )>0，说明函数f (x )的图象在y 轴右侧开始时是递增的，故排除选项A ，B ，D ，选C.8．若2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝( C )A.13B.23 C ．－23 D ．－13 解析：∵2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，∴2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)22(cos θ－sin θ)＝3sin2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin2θ.∴4＋4sin2θ＝3sin 22θ， 解得sin2θ＝－23或sin2θ＝2(舍去)．9．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是( A )A.12B.1πC.2πD.π4解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos2x ，其图象如图所示，⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫12－12cos2x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －14sin2x | π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，∴向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( A )A ．5B ．3 C. 5D.3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，由直线y ＝k 过点A ，知k ＝3.又(x ＋5)2＋y 2表示可行域内的点与点D (－5,0)的距离的平方．数形结合，知点(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最短，故(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，3]解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0,6]， 当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2,1]， ∴f (x )的值域是[－2,6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6. ∴－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3.12．已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( C )A.5－12 B.2＋12 C.2＋1D.5－1解析：如图，依题意知A (0，－1)，B (0,1)，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24，抛物线的准线为l ，过P 作PC ⊥l 于点C ，由抛物线的定义得|PB |＝|PC |，所以m ＝|P A ||PC |＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋121＋x 24，令t ＝1＋x 24，由题易得点P 异于点O ，所以x ≠0，则t >1， m ＝t 2＋4t －4t＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋4×1t ＋1， 当1t ＝12，即x ＝±2时，m max ＝ 2. 此时|PB |＝2，|P A |＝2 2.设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ， 依题意得2a ＝|P A |－|PB |＝22－2,2c ＝2， 则e ＝c a ＝12－1＝2＋1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14. 解析：由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14.14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1斤，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝6.解析：根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18.所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i＝6.15．如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD＝5，则四边形ABCD 的面积为解析：如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得cos A ＝62＋52－BD 22×6×5，cos C ＝32＋42－BD 22×3×4.则62＋52－BD 22×6×5＝－32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477， 所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107，则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610.16．已知函数f (x )＝e x(x －b )(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )>0，则实数b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，83.解析：设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )>0， 则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )>0成立．g (x )＝xf (x )＝e x (x 2－bx )．g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即8－3b >0或54－32b >0，解得b <83.。

一、小题练速度——“12＋4”限时提速练（每练习限时40分钟）“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)C ．[1，＋∞)D ．[1，2)∪[3，＋∞)解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i i (i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i 解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋2i ，选D.3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 0 12 0 1 2 43 1 3 5 5 7 84 3 3 356789 5 0 1 2 2 5 6 8 6267A ．44，45，56B ．44，43，57C ．44，43，56D ．45，43，57解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k 2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin(2×π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C. 6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15，60)B ．(15，60]C ．[12，48)D ．(12，48]解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x 3－2＞3，13⎝⎛⎭⎫x3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B.7．已知P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2 2D ．6解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S ＝12(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为12，选B.9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选C 设B ⎝⎛⎭⎫x ，－ba x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫－b a x 2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝⎛⎭⎫c －a 2，b 2，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x ]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )A ．1B ．e ＋1C ．3D ．e ＋3解析：选C 设t ＝f (x )－e x ，则f (x )＝e x ＋t ，则f [f (x )－e x ]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t ＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x ＋1，即f (ln 2)＝e ln 2＋1＝2＋1＝3.故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.76B.73C.53D.56解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝73，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )A ．8B ．14 C.145 D ．12解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，∴22sin A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713， 与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213舍去，由12bc sin A ＝24，得12×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132－2×4×13×513＝16＋169－40＝145，∴a ＝145，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：814．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________． 解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：1415.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R ＝________．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233.答案：23316．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝ln xx －1，要使方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln xx －1(x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2)＝2e 2－1，故－1≤m ＜2e 2－1或m＝1e－1. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e－1。

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“12＋4”限时提速练(九)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝错误!（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．设集合A＝｛（x,y)|y＝x＋1，x∈R｝,B＝｛(x,y)｜x2＋y2＝1｝,则满足C⊆（A∩B)的集合C的个数为( ）A．0 B．1 C．2 D．43．已知向量a＝(9，m2），b＝（1，－1）,则“m＝－3”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( ）A．15 B．14 C．7 D．65．已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0）的一条渐近线的方程是y＝错误!x,且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为（)A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C。

错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝16．一组数据共有7个数，记得其中有10,2，5,2,4，2，还有一个数没有记清,但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为( ) A．9 B．3 C．20 D．－117．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A.错误! B。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破二“12＋4”限时提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z ＝1＋i1－i＋2i ，则|z |＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：解法1：因为z ＝1＋i 1－i ＋2i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋2i ＝i ＋2i ＝3i ，所以|z |＝02＋32＝3，故选D.解法2：|z |＝|1＋i 1－i ＋2i|＝|3＋3i 1－i |＝|3＋3i||1－i|＝322＝3，故选D.2．已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x 2－x －2<0}，则(∁R A )∩B ＝( C ) A ．(－1,0] B ．[－1,2) C ．[1,2)D ．(1,2]解析：解法1：由题意知，∁R A ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，又B ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.解法2：因为1∉A 且1∈B ，所以排除A ，D ，又－1∉B ，所以排除B ，故选C.3．甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( C )A.x 甲<x 乙，σ甲<σ乙B.x 甲<x 乙，σ甲>σ乙C.x 甲>x 乙，σ甲<σ乙D.x 甲>x 乙，σ甲>σ乙解析：由题图可知，甲同学除第2次考试成绩低于乙同学外，其他5次考试成绩都高于乙同学，所以x 甲>x 乙．又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所以σ甲<σ乙，故选C.4．计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( B ) A.12 B ．－12 C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( C )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k P A ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k P A ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a 2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选C.6．(2x 2－1x )9的展开式中的常数项为( A ) A ．672 B ．－672 C ．84D ．－84解析：(2x 2－1x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·(－1x )r＝(－1)r ·29－r·C r 9·x 18－3r，由18－3r ＝0，得r ＝6，所以该二项式的常数项为(－1)6×23×C 69＝672，故选A.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为－21，则判断框中可以填( A )A ．a <64?B ．a ≤64?C ．a <128?D ．a ≤128?解析：执行程序框图，S ＝1，a ＝－2；S ＝－1，a ＝4；S ＝3，a ＝－8；S ＝－5，a ＝16；S ＝11，a ＝－32；S ＝－21，a ＝64.此时退出循环，所以判断框中可以填“a <64？”，故选A.8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( C )A ．1，3π4 B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4解析：由题图知最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把点(14，0)代入，得sin(π4＋φ)＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.9．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，异面直线AC 1与BB 1所成的角为30°，则AA 1＝( D )A. 3 B ．3 C. 5D.6解析：如图，连接A 1C 1，由长方体的性质知，BB 1∥AA 1，则∠A 1AC 1即异面直线AC 1与BB 1所成的角，所以∠A 1AC 1＝30°.在Rt △A 1B 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝ 2.在Rt △A 1AC 1中，tan ∠A 1AC 1＝A 1C 1A 1A ，即A 1A ＝A 1C 1tan ∠A 1AC 1＝233＝6，故选D.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c ＝1，则C ＝( B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B.11．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( B )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：解法1：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l ：x ＝－2与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，由中位线定理，知|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3，结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，所以|FN |＝|FM |＋|MN |＝6，故选B.解法2：设N (0，a )，由题意知F (2,0)，则M (1，a2)，因为点M 在抛物线上，所以a 24＝8，解得a ＝±42，所以N (0，±42)，所以|FN |＝(2－0)2＋(0±42)2＝6，故选B.12．已知函数f (x )＝a －x 2(1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数)与g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1，1e 2＋2] B ．[1，e 2－2] C ．[1e 2＋2，e 2－2]D ．[e 2－2，＋∞)解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解．设h (x )＝x 2－2ln x ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(1＋x )x .因为当x ∈(1e ，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(1e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝1.因为h (1e )＝1e 2＋2，h (e)＝e 2－2，所以h (e)>h (1e )，所以方程a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－3,2)，若向量k a －2b 与a 垂直，则实数k ＝－1.解析：由题意，得k a －2b ＝(k ＋6，k －4)．又k a －2b 与a 垂直，所以(k a －2b )·a ＝k ＋6＋k －4＝0，解得k ＝－1.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －6≤0，x －2y －3≤0，则z ＝2x －3y 的最小值是－8.解析：解法1：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当目标函数z ＝2x －3y 所表示的直线经过点A (2,4)时，z 取得最小值，即z min ＝2×2－3×4＝－8.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得A (2,4)，此时z ＝－8；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y －3＝0，得B (－1，－2)，此时z ＝4； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －2y －3＝0，得C (5,1)，此时z ＝7. 综上所述，z ＝2x －3y 的最小值为－8.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋52)＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x＋a ，则f (16)＝12.解析：由f (x ＋52)＋f (x )＝0，得f (x )＝－f (x ＋52)＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.16．在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ­ABCD 体积的取值范围为[433，83]，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是[28π3，20π]．解析：在四棱锥S ­ABCD 中，由条件知AD ⊥SA ，AD ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S 作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB ＝θ，则V S ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SO ＝83sin θ∈[433，83]，所以sin θ∈[32，1]，又θ∈(0，π)，所以θ∈[π3，2π3]，所以－12≤cos θ≤12.在△SAB 中，SA ＝AB ＝2，所以SB ＝221－cos θ，所以△SAB 的外接圆半径r ＝SB2sin θ＝21－cos θsin θ.将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱，得其外接球的半径R ＝r 2＋1，所以该四棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π(21＋cos θ＋1)∈[28π3，20π]．。

2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破三“12＋4”限时提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |x >0}，N ＝{x |x 2－4≥0}，则M ∪N ＝( A )A ．(－∞，－2]∪(0，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：集合N ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，则M ∪N ＝(－∞，－2]∪(0，＋∞)，故选A.2．在复平面内，复数z ＝i (1＋i )1－2i所对应的点位于( C ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝－1＋i 1－2i＝(－1＋i )(1＋2i )5＝－3－i 5，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－15位于第三象限，故选C.3．2019年是新中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为喜迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图所示的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是( D )A ．甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数B ．甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数C ．甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数D ．甲组选手得分的方差大于乙组选手得分的方差解析：由茎叶图可得两名选手得分的平均数都是84，A 错误；甲的中位数是83，乙的中位数是84，B ，C 均错误；甲的方差为1765，大于乙的方差20，D正确，故选D.4．已知等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2·a 4＝4(a 3－1)，则a 5＝( A )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 4＝a 23＝4a 3－4，解得a 3＝2，又a 23＝a 1a 5，则a 5＝a 23a 1＝8，故选A. 5．已知函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为( B )A.π4B.3π4C.π3D.2π3解析：由函数f (x )是奇函数得a ＝0，则f (x )＝x ＋2x ，f ′(x )＝1－2x 2，f ′(1)＝1－2＝－1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1，则倾斜角为3π4，故选B.6．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．设AB→＝a ，AD→＝b ，则FB →＝( D ) A ．－34a ＋12bB.12a ＋34bC.12a －34bD.34a －12b解析：FB →＝AB →－AF →＝AB →－12AE →＝AB →－12(AD →＋DE →)＝AB →－12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝34AB→－12AD →＝34a －12b ，故选D.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( A )A ．(8＋42)πB ．(9＋42)πC ．(8＋82)πD ．(9＋82)π解析：由三视图可得该几何体是一个组合体，上面是底面半径为2、高为2的圆锥，下面是底面半径为1、高为2的圆柱，表面积等于圆锥的底面积、侧面积和圆柱的侧面积的和，即为π×22＋12×π×4×22＋2π×2＝(8＋42)π，故选A.8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，求所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率，记该概率为P ，则P ＝( C )A.15B.14C.13D.12解析：设圆的半径为1，则其内接等边三角形的边长为3，以点A 为圆心，3为半径作圆，如图所示，当点落在劣弧BDC 上时弦长超过3，又劣弧BDC的长度为2π3，则所求概率P ＝2π32π＝13，故选C.9．已知函数f (x )＝a x ＋ln x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，0]∪{1}B ．[0,1]C ．(－∞，0]∪{2}D ．[0,2]解析：由函数f (x )有且仅有一个零点，得方程f (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解，即a ＝x －x ln x ，x >0只有一个解，令g (x )＝x －x ln x ，x >0，则g ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，且g (1)＝1，作出函数g (x )的图象如图所示，则当a ≤0或a ＝1时，f (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解，故选A.10．设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F 1关于直线AB 的对称点为M .若MF 2⊥F 1F 2，则椭圆C 的离心率为( C ) A.3－12 B.3－13 C.5－12 D.22解析：设椭圆C 的焦距为2c ，由题意可得F 1M 中点的横坐标是0，即在y 轴上，又F 1M 的中点在AB 上，所以下顶点B 是F 1M 的中点，即F 1B ⊥AB ，所以kF 1B ·k AB ＝－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，又离心率e ＝c a ，所以e 2＋e－1＝0，e ∈(0,1)，解得e ＝5－12，故选C.11．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，7B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4，203 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，7 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，令ωx ＋π6＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4ω＋π6，π3ω＋π6，则函数y ＝2sin t 恰有一个最大值点和一个最小值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －3π2<－π4ω＋π6≤－π2，π2≤π3ω＋π6<3π2，解得⎩⎨⎧ 83≤ω<203，1≤ω<4，则83≤ω<4，故选B.12．如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝5，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( B )A. 6B.62C.52D.54解析：将四面体补形成长、宽、高分别为3，2，1的长方体(如图所示)，因为EF ⊥α，所以截面为平行四边形MNKL ，可得KL ＋NK ＝ 5.设异面直线BC与AD 所成的角为θ，则sin θ＝sin ∠HFB ＝sin ∠NKL ＝265，所以S 平行四边形MNKL ＝NK ·KL ·sin ∠NKL ≤265×⎝ ⎛⎭⎪⎫NK ＋KL 22＝62，当且仅当NK ＝KL ＝52时取等号，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤x ≤3，1≤y ≤2，x ＋y ≤4，则y x －1的最大值为2. 解析：不等式组对应的平面区域是以点(2,2)，(2,1)和(3,1)为顶点的三角形及其内部，目标函数y x －1的几何意义是平面区域内点(x ，y )与定点(1,0)连线的斜率，则当(x ，y )取点(2,2)时，y x －1取得最大值2. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1，且圆E ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心是双曲线C的右焦点．若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程是x 23－y 2＝1.解析：设双曲线的焦距为2c ，圆心E (2,0)是双曲线的右焦点，则c ＝2，且焦点在x 轴上，渐近线bx ±ay ＝0与圆E 相切，则|2b |b 2＋a2＝2b c ＝1,2b ＝c ＝2，b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.15．精准扶贫是全面建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个贫困地区A ，B ，C 进行精准扶贫工作．若每个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有72种．解析：若A 地区只有1位男生，有C 23A 22A 33＝36(种)派驻方式；若A 地区有2位男性，有C 13A 22A 33＝36(种)派驻方式，由加法原理可得共有36＋36＝72(种)不同的派驻方式．16．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，当n ≥2时，有S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2na n ，则使得S 1S 2·…·S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为1 009.解析：因为S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2na n ，所以S n ＋S n －1－2S n S n －1＝2n (S n －S n －1)，所以2S n S n －1＝(2n ＋1)S n －1－(2n －1)S n ，则2n ＋1S n －2n －1S n －1＝2，3S 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1S n 是首项为1、公差为2的等差数列，则2n ＋1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝2n ＋12n －1，所以S 1S 2·…·S m ＝31×53×…×2m ＋12m －1＝2m ＋1≥2 019，m ≥1 009，故正整数m 的最小值为1 009.。

2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破三压轴大题24分提高练(三)20．(12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C27C13C310＝2140，P(ξ＝2)＝C17C23C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1120，故ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X 户，则X ～B (10，35)，可知P (X ＝k )＝C k 10(35)k (25)10－k (k ＝0,1,2,3，…，10)， ⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10(35)k (25)10－k ≥C k ＋110(35)k ＋1(25)9－k ，C k 10(35)k (25)10－k ≥C k －110(35)k －1(25)11－k ，解得285≤k ≤335，k ∈N *，∴当k ＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大，∴k ＝6.21．(12分)已知函数f (x )＝e 2x －ax 2，a ∈R .(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)若f (x )在(0，＋∞)上存在极大值M ，证明：M <a 4.解：(1)解法1：因为f (x )＝e 2x －ax 2，所以f ′(x )＝2e 2x －2ax .因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤e 2x x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝e 2x x ，则g ′(x )＝2x e 2x －e 2x x 2＝(2x －1)e 2x x 2. 当0<x <12时，g ′(x )<0，g (x )在(0，12)上单调递减；当x >12时，g ′(x )>0，g (x )在(12，＋∞)上单调递增．故当x ＝12时，g (x )取得最小值，其值为g (12)＝2e.所以a ≤2e.所以a 的取值范围为(－∞，2e]．解法2：当a ≤0时，函数f (x )＝e 2x －ax 2在(0，＋∞)上单调递增． 当a >0时，f ′(x )＝2e 2x －2ax ，令h (x )＝2e 2x －2ax ，则h ′(x )＝4e 2x －2a ，①若0<a ≤2，则x >0时，h ′(x )>4－2a ≥0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，h (x )>h (0)＝2>0，即f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >2，令h ′(x )＝4e 2x －2a ＝0，得x ＝12ln a 2，当0<x <12ln a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0，12ln a 2)上单调递减；当x >12ln a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．当a －a ln a 2≥0，即a ≤2e 时，h (x )≥0，即f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故2<a ≤2e.综上所述，所求a 的取值范围为(－∞，2e]．(2)证明：由(1)知，当a ≤2e 时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不存在极大值．当a >2e 时，12<12ln a 2，ln a >12ln a 2，由(1)知函数f ′(x )在(0，12ln a 2)上单调递减，在(12ln a 2，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝2>0，f ′(12)＝2e －a <0，f ′(ln a )＝2e 2ln a －2a ln a ＝2a (a －ln a )>0(易证明a －ln a >0)，故存在x 1∈(0，12)，使得f ′(x 1)＝2e 2x 1－2ax 1＝0，存在x 2∈(12，ln a )，使得f ′(x 2)＝0.则x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．。