2020届高三数学精准培优专练十四外接球(理科)教师版

外接球专题练习1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4 6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++ 8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．已知菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则三棱锥B﹣ACD外接球的表面积为（）A．πB．8πC．7πD．【解答】解：由题意菱形ABCD满足，|AB|=2，∠ABC=，∴AC=2，DB=，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴三棱锥B﹣ACD高为．底面ACD外接圆半径为，外接球半径为R，球心与圆心的距离为d，d2+r2=R2……①……②由①②解得：R2=外接球的表面积S=．故选：A．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．12πB．20πC．24πD．36π【解答】解：取CD中点E，BD中点F，连结BE、AF、EF，∵四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=，∠BAD=∠CBD=，且二面角A﹣BD﹣C的大小为，∴AF⊥BD，EF⊥BD，∴∠AFE是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，BD=BC==2，CD=，CE=DE=，AF=BF=DF=EF=1，，则点E为△BCD外接圆的圆心，点F为△ABD外接圆的圆心，过点E作平面BCD的垂线EO，过点F作平面ABD的垂线FO，且直线EO与直线FO交于点O，则点O为四面体ABCD外接球的球心，如下图所示，易知，，所以，，所以，，则四面体ABCD的外接球半径为，因此，球O的表面积为，故选：B．3．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．41πD．31π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：4﹣x，∴R2=x2+（2）2，R2=22+（4﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=41π，故选：C．4．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：A﹣BCD，E为CD的中点，由题意可知AB=4，OE=，OA=OB=2，OD=2，则DE=，所以三棱锥A﹣BCD的体积为：×=．故选：C．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+2+2B．4+4+2C．2+4+4D．4+4+4【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，可知几何体的表面积为：=4+4+2．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A．25πB．C．D．40π【解答】解：由三视图还原几何体的直观图如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG=PH=，GC=BC=，∴OC==，∴三棱锥外接球表面积为4π×（）2=．故选：C．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+2+B．15++C．12++D．18++【解答】解：几何体的三视图，可知几何体是组合体，下部是四棱柱，上部是四棱锥，底面是直角梯形，下底为2，上底边长为1，高为2，四棱柱的高为2，棱锥的高为1，如图：该几何体的表面积是：++=15++．故选：B．8．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD=（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意可得，点G是△ABC的重心，∴AG=AE=，设△ABC的外心为O，由题意点O在AE上，令OA=r，则OE2+EC2=OC2，即（3﹣r）2+12=r2，解得r=，∵AD⊥平面ABC，∴四面体ABCD的外接球的半径R2=r2+（）2=+，由题意得4πR2=4π（+）=，解得AD=4，∴tan∠AGD=．故选：B．9．在三棱锥S﹣ABC中，，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．16πC．36πD．72π【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB=SC，OA=SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB=SC=R，∴△AOBRt正三角形，则∠BOA=90°，=V S﹣OAB+V C﹣OAB===，∴V S﹣ABC∴R=2，则该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π．故选：B．10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a，高为h，可得：h2=2﹣，（0）．正四棱锥体积V=最大时，即．由y=，则y′=8，令y′=0，可得a=，即当a=体积取得最大值；∴h=．正四棱锥底面正方形外接圆r=．正四棱锥外接球的半径R，可得解得：正四棱锥外接球的表面积S=．故选：D．11．已知三棱锥P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2，PA=PB=PC=，则球O的表面积为（）A．9πB．C．4πD．π【解答】解析：设AB中点为D，则D为△ABC的外心，因为PA=PB=PC=，易证PD⊥面ABC，，所以球心O在直线PD上，又PA=，AB=2，算得PD=1，设球半径为R，则△AOD中，（R﹣1）2+2=R2，可得：R=．则球O的表面积S=4πR2=9π，故选：A．12．四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB垂直于底面ABCD，且三角形PAB是等边三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．πB．C．4πD．π【解答】解：由题意，可以将四棱锥P﹣ABCD补成以△PAB为底面的直三棱柱，直三棱柱外接球的半径，△PAB是边长为2的等边三角形，其外接圆的半径为；所以球的半径r=，则球的表面积S=4πr2=．故选：D．13．已知三棱锥D﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为的正三角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD=8，二面角C﹣AB﹣D 为120°，则球O的表面积为（）A．B．124πC．D．31π【解答】解：作图如下：O1为经过△ABC外接圆圆心，O2为经过△ABD外接圆圆心，则O2为BD中点，取AB中点M，则∠CMO2为二面角C﹣AB﹣D的平面角，易得|O2M|=4，|O1M|=1，，由余弦定理得|O1O2|=，由正弦定理得，所以R2=|OM|2+|AM|2=31⇒S=124π，故选：B．14．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1的顶点在球O上，∠ABC=120°，AA1=BC=AB=1，则球O的表面积为（）A．7πB．6πC．5πD．4π【解答】解：如图：外接球的球心为O，底面三角形的外心为：O1，由正弦定理可得：2A1O1=，可得A1O1=1，R2=12+=，外接球的表面积为：4π•R2=5π．故选：C．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．23πB．C．D．64π【解答】解：根据题意，得到三棱锥P﹣ABC的外接球的球心在等边三角形PAC 的中线高线和过直角三角形ABC斜边BC的中点的高的交点位置，如图所示：三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，所以PF=，，在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2，解得：BC=2，所以CD=，三棱锥的外接球半径r==，则S=4，故选：C．16．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则：SD=，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R=所以：S=4π•R2=4．故选：D．17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，已知平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E，平面α与平面ABCD交于直线m，与平面ABB1A1交于直线n，则直线m，n所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的边长为2，取CD的中点F，AB的中点为M，AD的中点为N，连接EF，DB，MN，可得MN∥BD∥EF∥B1D1，由于平面α经过点A1，且平行于平面B1D1E即有平面A1MN即为平面α，直线MN即为直线m，直线A1M即为直线n，∠A1MN即为直线m，n所成角，由A1M=A1N==，MN=，可得cos∠A1MN==．故选：B．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点，又E为线段AP的中点，∴EO∥PC，则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，则EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，则ED=．∴cos∠DEO=．故选：A．19．已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：过O作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条∵a′∥a，b′∥b，∴过点O与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选：C．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，设E（a，0，c），0≤a≤1，0≤c≤1，B1（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（a﹣1，﹣1，c﹣1），=（1，1，0），=（0，1，1），设平面DBC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），∵B1E∥平面BDC1，∴=a﹣1+1+c﹣1=0，解得a+c=1，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=1﹣2ac，ac≤（）2=，设直线B1E与直线AB所成角为θ，∵=（0，1，0），∴cosθ==，∵ac≤（）2=，∴2﹣2ac≥，∴，∴sinθ====≥=．∴直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选：B．21．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]【解答】解：如图O1O2O O4是正四面体，设边长为2r，过O1作O1O⊥底面O2O3O4，可得O为底面的中心，由O2O⊥O3O4，可得O2O1⊥O3O4，则M在直线O1O2上，可得直线O2M与直线O3O4垂直，即有所成角的正弦值为1，过O2作大圆的切线，设切点为M，可得O2M与O1O2成30°的角，由O2N∥O3O4，可得O3O4与O2M成60°的角，即有所成角的正弦值为，则直线O2M与直线O3O4所成角的正弦值的取值范围为[，1]．故选：C．二．解答题（共19小题）22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2CD=2CB=PA=PD，F为AD的中点．（1）证明：PB⊥BC；（2）求直线CF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：在△PAD中，PA=PD，F为AD的中点，可得AD⊥PF，在四边形ABCD中，连接BF，由题意可得四边形BCDF为平行四边形，可得BF∥CD，由CD⊥AD，可得AD⊥BF，而BF∩PF=F，可得AD⊥平面PBF，由AD∥BC，可得BC⊥平面PBF，则BC⊥PB；（2）设PC=AD=2CD=2CB=PA=PD=2，可得CD=CB=1，PA=PD=，过F在△PBF中作FH⊥PB于H，连接CH，由BC⊥平面PBF，可得BC⊥FH，即有FH⊥平面PBC，则∠FCH为CF和平面PBC所成角，由BC⊥PB，可得PB==，由PF==1，BF=CD=1，cos∠PFB==﹣，可得∠PFB=120°，可得H为PB的中点，即有FH⊥PB，即有FH=BFcos∠BFH=1×=，则直线CF与平面PBC所成角的正弦值为==．23．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，CD=SB=，SD=4，P为侧棱SD 上的点，SD⊥面APC．（1）求二面角S﹣AC﹣D的余弦值；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面APC，若存在，求出SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：：（1）连BD，设AC交BD于O，SD⊥面APC，可得SD⊥AP，SD⊥PC，可得△PAD≌△PCD，可得∠SDA=∠SDC，可得SA=SC，SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，可得∠SOD为二面角S﹣AC﹣D的平面角，在△SBD中，SB=2，BD=4，SD=4，可得cos∠SBD==，SO==2，可得cos∠SOB==，即有二面角S﹣AC﹣D的余弦值为﹣；（2）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，正方形ABCD的边长为2，SD=4，OD=BD=2，则PD=ODcos∠SDB=2•=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：3，故SE：EC=2：3．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，PD=AD=，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，…………（1分）从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，…………（3分）又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，…………（4分）所以BD⊥平面PAD．…………（5分）故PA⊥BD…………（6分）解：（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，…………（7分）则B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1），=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），平面PAD的一个法向量为=（0，1，0），…………（8分）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，…………（9分）取y=1，得=（0，1，），…………（10分）|cos＜＞|==，…………（11分）故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60°．…………（12分）25．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．【解答】解：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，根据题中空间直角坐标系可知：A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），…（1分）∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），∴cos＜＞===，…（3分）设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．…（4分）（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），∴，取z=1，则=（0，），…（7分）∴cos＜，＞===．…（9分）设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，则sinβ=|cos＜，＞|=．故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．…（10分）26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是边长为2的等边三角形，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，PA=2CD，PD=，E是棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）在棱PB上是否存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为？若存在，请指出T的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD ⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥AD，∵直线PB与底面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴PA=AB=2，又PA=2CD，∴CD=1．在Rt△PAD中，∵PD=，PA=2，∴AD=，在三角形ADC中，AD=，CD=1，AC=2，∴AD2+CD2=AC2，可得CD⊥AD，又AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE；（2）解：假设在棱PB上存在一点T，满足题意，则（0＜λ≤1），由（1）可知，∠DAC=30°，∴∠DAB=90°，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，，0），E（0，，1）．设T（x1，y1，z1），则，又，∴（x1，y1，z1﹣2）=（2λ，0，﹣2λ），得x1=2λ，y1=0，z1=2﹣2λ，∴，．设平面ATE的法向量为．则有，取y2=2，得．而平面PAB的一个法向量为，∴|cos＜＞|=||==，解得．故在棱PB上存在一点T，使得平面ATE与平面APB所成锐二面角的余弦值为．27．已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．（2）求二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，则由该几何体的三视图可知：C（0，0，4），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4）．（1）设平面CNB1的法向量为，由，，得，其x=1，得．设P（0，0，a）（0≤a≤4），由于M（2，0，0），则．∵MP∥平面CNB1，∴，得a=1．∴在线段CB上存在一点P，使得MP∥平面CNB1，此时BP=1；（2）设平面C1NB1的法向量为，由，得，取x=1，可得．∴cos＜＞=．由图可知，所求二面角为锐角，故二面角C﹣NB1﹣C1的余弦值为．28．已知四棱锥S﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，BA=AS=SD=2，S△ABS=2．（1）证明：平面ABCD⊥平面SAD；（2）若M为SD的中点，求二面角B﹣CM﹣S的余弦值．【解答】证明：（1）∵，∴sin∠BAS=1，即BA⊥AS，又∵ABCD为正方形，∴BA⊥AD，∵BA∩AS=A，∴BA⊥平面SAD，∵BA⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面SAD．解：（2）设AD的中点为O，∵AS=SD，∴SO⊥AD，由（1）可知平面ABCD⊥平面SAD，且平面ABCD∩平面SAD=AD，∴SO⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过O作直线Ox⊥AD，则Ox，OD，OS两两垂直．以O为坐标原点，Ox，OD，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BCM的法向量为，则，，即，取，设平面CMS的法向量为，则，，即，取，，由图可知，二面角B﹣CM﹣S的余弦值为．29．如图1，ABCD为梯形，AB∥CD，∠C=60°，点E在CD上，AB=EC=DE=2，BD⊥BC．现将△ADE沿AE折起如图2，使得平面DBC⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ABCE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴AE⊥面BDF，又BD⊂面BDF，∴AE⊥BD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵面BCD⊥面ABCE，BC∥AE，BF⊥AE，∴BF⊥BC，∴BF⊥面BCD，∵BD⊂面BCD，∴BF⊥BD，又∴BF∩BC=B，∴BD⊥面BCEF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解：（Ⅱ）∵DF⊥AE，BF⊥AE，∴∠BFD即为二面角D﹣AE﹣C的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）在Rt△BDE中，，∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥PB，AB⊥BC，AD∥BC，AD=3，PA=BC=2AB=2，．（1）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（2）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，由PA=2AB=2，，得PB2+AB2=PA2，则PB⊥AB，又BC⊥PB，AB⊥BC，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D（1，3，0），P（0，0，），=（0，1，0），=（0，2，﹣），由图可知，平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），设平面PCD的法向量为，则，取z=2，得，设二面角P﹣CD﹣A的平面角为α，则cosα=|cos＜＞|=．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（2）∵点E在PA上，∴，λ∈[0，1]，∵，∴，=（1﹣λ，0，），又∵BE∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得，∴，则BE=||=．。

培优点十四 外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，，，故选C ．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ． 【答案】【解析】，．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．B ．C ．D ． 41616π20π24π32π162==h a V 2=a 24164442222=++=++=h a a R 24πS =图2图339π933342=++=R 24π9πS R ==P ABC -ABC △BA BC =π2ABC ∠=8π16π16π332π3【答案】D【解析】因为是等腰直角三角形，所以外接球的半径是的半径是，球心到该底面的距离，如图，则，，由题设，最大体积对应的高为，故，即，解之得，所以外接球的体积是，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为2的长方体的外接球的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABC △12r =R Od 1632ABC S =⨯=△BD =116336ABC V S h h ==⨯=△3SD h ==223R d =+()2233R R =-+2R =3432ππ33R =4π12π24π48πR ()222222R =++23R =24π4π312πS R ==⨯=对点增分集训A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径，外接球的表面积．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面， 则三棱锥的外接球直径为，外接球的表面积为，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为的正三棱锥，的正四面体，如图所示：r 2r =2r =R 22227R =+=24π28πS R ==ABCD AC ABC ⊥ADC D ABC -32π27π18π9πABCD AC ABC ⊥ADC D ABC -AC =24π18πR =2πa 22πa 23πa 24πa a该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以，所以该几何体外接球面积，故选C ． 5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，所以，， 因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，，故选D ．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）2R R =⇒=2224π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭A BCD -O AB ⊥BCD 2BC BD ==2AB CD ==O 16π32π60π64π2BC BD ==CD =(222221cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯2π3CBD ∴∠=BCD 122sin CDCBD=∠R 222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2=4π64πS R ∴=1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1A 1B 1C 1DA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，连结，，交点为，连结，易知球心在直线上，设球的半径，在中，由勾股定理有：，即：，解得：，则该球的表面积．本题选择D 选项．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由余弦定理得：设三角外接圆半径为，则，又，解得：，则球的表面积．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）9π1625π1649π1681π1611A C 11B D M SM O SM R OS x ==1Rt OMB △22211OM B M B O +=()2222x x -+=⎝⎭98x =229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭O R A B C O O ABC 12R 2AB AC ==120BAC ∠=︒O 16π916π364π964π3BC =ABC r 2r =2r =22144R R =+2163R =2644ππ3S R ==P ABCD -ABCD 503A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为，底面正方形的边长为正四棱锥的体积为，， 则，，在中由勾股定理可得：，解得，，故选C ．9．如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ． B． C ． D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面平面， 设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，∴四边形为直角梯形，18π36πABCD E P ABCD -O EA ∴503215033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=5PE =5OE R ∴=-AOE △()2255R R -+=3R =34π36π3V R ∴==球ABC △AB BC ==90ABC ∠=︒D AC ABD △BD PBD △PC PD =PC P BCD -7π5π3ππPCD BD ⊥PCD P BDC -O PCD △1O 1OO ⊥PCD 1OO DB由，及，得∴该球的表面积．故选A ． 10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．BC ． D【答案】A【解析】由题意，中，，，可知是等边三角形，∴的外接圆半径，∵，可得可得∴，∴， ∴四面体高为设外接球，为球心，，可得：……①，……②由①②解得：．故选A ． 11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】中，，，，BD =11O D =OB OD =OB =R =274π4π7π4S R ==⨯=A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π217πBCD △2CB DB ==60CBD ∠=︒BCD △BF =BCD △r BE ==FE =60ABC ABD ∠=∠=︒AD AC ==AF =AF FB ⊥AF BCD ⊥A BCD -AF =R O OE m =222r m R +=)222πEF R +=R =2194ππ2S R ==ABC △AD 120BDC ∠=︒A B C D 、、、O O 7π27π13π213π3BCD △1BD =1CD =120BDC ∠=︒底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到，再由正弦定理，见图示：是球的弦，，将底面的圆心平行于竖直向上提起，提起到的高度的一半，即为球心的位置，∴在直角三角形中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径．该球的表面积为；故选B ．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） ABC ．D ．【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，， 由条件，，，可知，与，都是等腰三角形，平面，∴，同理，∴是与的公垂线，球心在上，推导出，可以证明为中点， ，，∴，球半径．故选D ．M r BC 21r r =⇒=AD DA =M AD AD O OM =OMD OD OD OD =24π7πOD ⨯=A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====43π243πAB CD E F CE ED EF 4AB CD ==5BC AC AD BD ====ABC △ADB △AB ⊥ECD AB EF ⊥CD EF ⊥EF AB CD G EF AGB CGD △≌△G EF 4DE 3DF =EF =GF =DG =24π43πS DG =⨯=二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为则外接球的半径，则外接球的表面积为．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】【解析】设正四棱锥的棱长为，则． 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图的内切圆，其中，． 设内切圆的半径为，由，得，即， 解得84π1612sin602r =⨯==︒R 24π4π2184πS R ==⨯=(32π-a 24⎫=⎪⎪⎝⎭4a =PMN △4MN =PM PN ==PE =r PFO PEN ≅△△FO POEN PN =2r =r ==∴内切球的表面积为．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积，，，则此球的表面积等于______． 【答案】【解析】∵三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，，，设外接圆的半径为，则，，．故答案为．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____．【解析】如图所示，三棱锥的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设，那么，，所以．由题意，体积的最小值即为最小，，所以当时，的最小值为，(224π4π32πS r ===-111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒8π111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒1121sin 602AA ∴⨯⨯⨯︒⨯12AA ∴=2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-BC ∴=ABC △R 2sin60BCR ︒＝1R ∴=24π8π⨯=8πA BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD -A BCD -AD AB AC x ==4DB DC x ==-AB BD ⊥AD AD AD =2x =AD。

人教版高中数学必修第二册专题强化训练二与球有关的内切、外接问题同步精练技巧归纳1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝h 22＋x 2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R )与正方体(棱长为a )有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R ＝a ；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R ＝2a ；三是球外接于正方体，此时2R ＝3a .题型归纳题型一：直接法(公式法)1．（2022·全国·模拟预测）一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是16π，则该正方体的体积为（）A ．22B ．8C ．4D ．162．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AB =，直线1AD 与直线1CC 所成的角为30°，则该长方体外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．5πD ．8π3．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．6πcm 3B ．68πcm 3C ．43πcm 3D ．66πcm 3题型二：构造法(补形法)4．（2022·陕西西安·一模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且22PA =，2AB BC ==，则该阳马的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π5．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知三棱维A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，△BCD 是直角三角形，且,42BCD CD π∠==，则此三棱锥外接球的表面积为（）A ．36πB ．48πC ．64πD ．128π6．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知正四面体S ABC -的外接球表面积为6π，则正四面体S ABC -的体积为（）A ．223B ．233C ．23D ．324题型三：确定球心位置法7．（2022·全国·模拟预测）如图，已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，2AB =，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为（）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π8．（2022·陕西陕西·一模）四面体D ABC -内接于球O ，（O 为球心），2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒.若四面体D ABC -体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A ．256327πB ．1639πC ．128πD ．128327π9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）三棱锥P ABC -的四个顶点在球О的球面上，PC ⊥平面ABC ，4PC =，10AB =，32AC =，点M 是BC 的中点，13AM =，则球О的表面积为（）A ．24πB ．28πC ．36πD ．40π题型四：球表面积和体积最值问题10．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）A ．525π48B ．5π4C ．25π4D ．25π11．（2021·四川成都·高一期末（理））已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值为233，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．36π12．（2021·山东莱西·高一期末）已知ABC 是面积为934的等边三角形，其顶点均在球O 的表面上，当点P 在球O 的表面上运动时，三棱锥P ABC -的体积的最大值为934，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．323πC ．274πD ．4π专题精选强化一、单选题13．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，22BC =，PB ⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积是（）A ．473B ．5C ．873D ．8314．（2022·全国·高一）在体积为722的直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，且ABC 的外接圆半径为213，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．12πB ．8πC ．6πD ．3π15．（2021·全国·高一课时练习）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π16．（2021·全国·高一课时练习）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A ．72πB ．56πC ．14πD ．16π17．（2021·广东顺德·高一期末）已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，3AB =，2PA =，PA BC ⊥，PB AC ⊥，PC AB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．43πB ．32327πC ．4πD ．163π18．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面,,ABCD AB BC AD CD ⊥⊥，且120,2BAD PA AB AD ∠=︒===，则该四棱锥外接球的表面积为（）A ．8πB ．20πC ．205πD ．205π319．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（）A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π20．（2021·云南省昆明市第十中学高一期中）已知三棱锥P ABC -，PA ，PB 、PC 两两垂直，1PA =，3PB =，2PC =，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．πB ．5πC ．6πD ．8π21．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的体积为（）A ．5103πB ．10πC ．510πD ．40π22．（2021·重庆八中高一期中）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是2053π，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（）A ．1B ．2C ．22D ．423．（2020·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，15AA =，则其外接球的体积是（）A ．6πB ．92πC ．823πD ．132π24．（2021·吉林·高一期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π二、多选题25．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为843+，则球O 体积可能是（）A ．12πB ．32π3C ．28π3D ．10π26．（2021·江苏·无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A ．427B ．827C ．49D ．8927．（2020·江苏连云港·高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，若线段MN 的最小值为31-，则（）A ．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为3πC ．正方体的棱长为1D ．线段MN 的最大值为31+28．（2021·辽宁·高一期末）在菱形ABCD 中，23AB =，60ABC ∠=，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小为()0180θθ<<的二面角B AC D --，若折成的四面体ABCD 内接于球O ，则下列说法正确的是（）．A ．四面体ABCD 的体积的最大值是33B ．BD 的取值范围是()32,6C ．四面体ABCD 的表面积的最大值是1263+D ．当60θ=时，球O 的体积为523927π三、填空题29．（2022·全国·高一）点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为___________.30．（2021·天津·高一期末）已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______.31．（2021·江苏溧阳·高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD -是阳马，PA ⊥平面ABCD ，5PA =，4AB =，3AD =，则该阳马的外接球的表面积为___________.32．（2021·广东惠州·高一期中）在三棱锥D ABC -中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，90CBD ∠=︒，45BCA ∠=︒，22AB =，2BD =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______．参考答案1．B 【解析】【分析】设正方体的边长为2a ，分别求出正方体内切球与外接球的半径，再建立等式求得正方体的棱长即可求其体积.【详解】设正方体的边长为2a ，则正方体的内切球的半径为a ，外接球的半径为3a ，依题意得()2244316a aπππ+=，解得1a =，∴正方体的体积为()33288a a ==.故选：B ．2．C 【解析】【分析】根据条件求出长方体外接球的半径即可求解.【详解】直线1AD 与直线1CC 所成的角，即直线1BC 与直线1CC 所成的角，从而可知在1Rt C CB △中，130BC C ︒∠=，所以13C C =，设长方体外接球的半径为r ，则有()222225411354r r =++=⇒=，该长方体外接球的表面积为245r ππ=.故选：C 3．A 【解析】【分析】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1cm ，即2R ＝1，∴R 12=cm ，∴球的体积333441cm .3326V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故选：A.4．C 【解析】【分析】补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：因为四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为R ，则()2222244816R AB BC PA =++=++=，所以2R =，所以该阳马的外接球的表面积为2416R ππ=.故选：C.5．C 【解析】【分析】把三棱锥放置在长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再由三棱锥外接球的表面积公式计算．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示3332AM AB ==，设三棱锥外接球的球心为O ，则22332333AG AM ==⨯=，122OG CD ==，∴三棱锥外接球的半径2222(23)42R OA OG AG ==+=+=，则三棱锥外接球的表面积为2244464S R πππ==⨯=，故选：C ．6．A 【解析】【分析】由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求.【详解】设外接球半径为R ，则246S R ππ==，解得62R =,将正四面体S ABC -恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，则正四面体S ABC -的外接球即为正方体的外接球，则正方体的体对角线等于外接球的直径，故2326AB ⨯⨯=，解得2AB =，正方体棱长为2222⨯=，故该正四面体的体积为3122(2)42223213-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．7．A 【解析】【分析】由已知可证得PA AB ⊥，BC PC ⊥，从而可得球心O 是PB 的中点，取AB 的中点D ，连接OD ，然后在Rt ODB △中可求得球的半径，进而可求得球的体积【详解】如图，因为2AC BC ==，2AB =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA BC ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以球心O 是PB 的中点.取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以3OD =.设球O 的半径为R ，在Rt ODB △中，()2222312R OB OD DB ==+=+=，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯⨯=，故选：A.8．A 【解析】【分析】在ABC 中利用余弦定理求得第三边，并判断ABC 为直角三角形且面积为定值，由面积公式求得ABC 的面积，从而分析知当D 到平面ABC 的距离取得最大值时球的体积最大.在ABC 中，∵2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒，∴22212cos 164242122BA AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴222AC AB BC =+，90ABC ∠=︒.∴ABC 外接圆半径122r AC ==.∴1223232ABCS=⨯⨯=.如图所示，设AC 的中点为1O ，则1O 为过ABC 的截面圆的圆心，设球的半径为R ，所以球心O 到平面ABC 的距离为22214OO R r R =-=-当点1DO ⊥平面ABC 时，四面体D ABC -体积的最大即：1111()23()433ABC S R OO R OO ⋅+=⨯+=△，解得433R =，34432563=()3327V ππ⨯=球.故选：A.9．C 【解析】【分析】先求得ABC 的外接圆的半径r ，再由222PC R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求得外接球的半径求解.如图所示：由余弦定理可得222222(13)(10)(13)(32)2221321322BC BC BC BC ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，解得2BC =．故222(10)(32)22cos 210325BAC +-∠==⨯⨯，1sin 5BAC ∠=．设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2sin BCr BAC=∠，故52sin BCr BAC==∠，所以球O 的半径为2232PC R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，球O 的表面积为24π36πS R ==，故选：C ．10．C 【解析】【分析】设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，则有222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=通过计算可得点M 为外接球的球心，从而可求得结果【详解】解：过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，G 为AE 的中点，连接,MG MF ，因为正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，所以1DE =,则22125AE BE ==+=，52EG =，22555AD DE DF AE ⋅===,所以2245155EF DE DF =-=-=,1524MG EG ==，54EM =,所以55352510FG EG EF =-=-=,所以225453051610020FM MG FG =+=+=,设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，设OM x =，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，此时平面ADE ⊥平面BCEF ，因为DF AE ⊥，平面ADE 平面BCEF AE =，所以DF ⊥平面BCEF ，所以222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=,所以2222()DF OM FM OM EM -+=+，所以2222DF DF OM FM EM -⋅+=，所以42561252558016OM -⨯⋅+=，解得0OM =，所以ABE △的外心为三棱锥D ABE -外接球的球心，所以54R EM ==所以三棱锥外接球的表面积为2252544164R πππ=⨯=故选：C11．B 【解析】【分析】当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，利用三棱锥O PAB -体积的最大值为233求出半径，即可求出球O 的表面积．【详解】解：如图所示，当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2113233223O PAB P AOB V V R R --==⨯⨯⨯=，解得2R =，则球O 的表面积为2416R ππ=，故选：B ．12．A 【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P 与球心O 以及△ABC 外接圆圆心M 三点共线且P 与△ABC 外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥P ABC -的高h ，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用Rt OAM ,求出球O 的半径R ，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M 为ABC 外接圆的圆心，当点P O M 、、三点共线时，且P M 、分别位于点O 的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值.因为ABC 的面积为934，所以边长为3，由于三棱锥P ABC -的体积的最大值为41939334PM ⨯=⨯，得3PM =，易知SM ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，ABC 的外接圆直径为3223sin3AM π==，所以3AM =,设球O 的半径为R ，则22222()3(3)R OA AM PM PO R ==+-=+-,解得2R =,所以球的表面积为2416S R ππ==.故选：A 13．A 【解析】【分析】三棱锥P ABC -放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，由球的体积求出PC 的长度，再求出PB ，由三棱锥体积公式求解即可.【详解】因为2AB AC ==，22BC =，易知三角形ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥P ABC -的高，则可将三棱锥P ABC -放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，343632PC V ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,6PC ∴=又22268PC PB BC PB =+=+=，解得27PB =,所以三棱锥的体积11472227323V =⨯⨯⨯⨯=，故选：A 14．A 【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC 的外接圆半径为213可得212π3sin3a =⨯，故7a =，则ABC 的面积237344S a ==.由三棱柱的体积为722可得11737242S AA AA ⋅=⋅=，故1263AA =，设三棱柱外接球的半径为R ，则2221217233233AA R ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =.故选：A ．15．D 【解析】【分析】根据给定条件确定出三棱锥O ABC -体积最大时的点C 位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为R ，因90AOB ∠=︒，则AOB 的面积212△AOB S R =，而O ABC C AOB V V --=，且AOB 面积为定值，则当点C 到平面AOB 的距离最大时，O ABC V -最大，于是，当C 是与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O ABC -体积最大，最大值为3113632R ⨯=，解得6R =，所以球O 的表面积为22446144R πππ=⨯=.故选：D 16．C 【解析】【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.【详解】解析：设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴长方体的体对角线长为22212314++=，∴其外接球的半径为142∴2414S R ππ球＝＝．故选：C 17．D 【解析】【分析】根据题意画出图形，证得三棱锥P ABC -为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点P 作PG ⊥平面ABC ，连接AG 交BC 于D ，所以PG BC ⊥，又由PA BC ⊥且PAPB P =，所以BC ⊥平面PAG ，可得BC AD ⊥，同理可证AB CG ⊥，则G 为等边ABC 的垂心，即中心，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为O ，则O 再PG 上，连接OA ，在等边ABC 中，由3AB =，可得2233()132AG =-=，则223PG PA AG =-=，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则222(3)1R R =-+，解得233R =，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22231644()33S R πππ==⨯=.故选：D.18．B 【解析】【分析】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，先证明点O 就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.【详解】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，由题得PA AC ⊥，又OP OC =，所以OP OC OA ==，因为,,,,CD AD CD PA ADPA A AD PA ⊥⊥=⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，又,PO OC OP OC OD =∴==.同理OP OC OB ==,所以OP OC OA OB OD ====，所以点O 就是四棱锥外接球的球心.因为120,2BAD AB AD ∠=︒==，所以60,30,4DAC DCA AC ∠=∴∠=∴=.所以224225,PC =+=所以外接球的半径为5.所以该四棱锥外接球的表面积24(5)20S ππ==．故选：B 19．A 【解析】【分析】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长和面积公式求得R ，即可求解.【详解】圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，设母线为l ，则212323l ππ⨯⨯=，可得：3l =，由扇形的弧长公式可得：223r l ππ=，所以1r =，圆锥的高2213122OO =-=，由()22222r RR +-=，解得：942R =，所以球O 的表面积等于2818144328R πππ=⨯=，故选：A 20．D 【解析】【分析】若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.【详解】因为三棱锥P ABC -中，PA ，PB 、PC 两两垂直，所以其外接球半径R 满足222222R PA PB PC =++=，2R =.故三棱锥P ABC -的外接球表面积为()2428ππ⨯=.故选：D.21．A 【解析】【分析】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则由矩形的性质可知OA OC OB OD ===，所以可得O 为四面体D ABC -外接球的球心，求出OA 的长可得球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC OB OD ===，90ABC ∠=︒，所以O 为四面体D ABC -外接球的球心，因为3,1AB BC ==，所以22223110AC AB BC =+=+=，所以11022OA AC ==，所以面体D ABC -外接球的半径为102，所以该四面体外接球的体积为3344105103323R πππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A 22．B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.【详解】设12AB AC AA m ===，三角形ABC 外接圆1O 的半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -外接球O 的半径为R .因为120BAC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，于是24sin 30r ABm ==︒，2r m =，12O C m =.又球心O 到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，所以1OO m =.在1Rt OO C 中，由22211OC OO O C =+，得2224R m m =+，5R m =.所以球的体积34205(5)33V m ππ==，解得1m =.于是直三棱柱的高是122AA m ==.故选：B.23．B【解析】【分析】首先在ABC 中利用余弦定理求出BC 的长，进一步可判断ABC 为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，由余弦定理可得：22232cos 30344312BC AC AB AC AB =+-⋅⨯=+-⨯=，所以1BC =，所以222BC AC AB +=，可得ABC 为直角三角形，所以AB 的中点D 即为ABC 外接圆的圆心，设11A B 的中点为E ，则DE 的中点O 即为直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，设外接球的半径为R ，11522OD AA ==，112CD AB ==，所以222253122R OD CD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以外接球的体积是3344393322R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B.24．B【解析】【分析】推导出SA 、SB 、SC 两两垂直，然后将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，计算出正方体SADB CEFG -的体对角线长，即为三棱锥S ABC -的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.【详解】取AC 中点N ，连接BN 、SN ，N Q 为AC 中点，SA SC =，AC SN ∴⊥，同理AC BN ⊥，SN BN N =，AC ∴⊥平面SBN ，SB ⊂平面SBN ，AC SB ∴⊥，SB AM ⊥且AC AM A ⋂=，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SA SB ∴⊥，SB SC ⊥，三棱锥S ABC -是正三棱锥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直.将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，如下图所示：因为2SA =，所以正方体SADB CEFG -的体对角线长为323SF SA ==，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的直径223R =，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的表面积是()224212S R R πππ==⨯=，故选：B.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.25．AB【解析】【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，三棱柱侧面积得()23ah +843=+，可得4ah =，设N ，M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，由正弦定理求得ABC 外接圆的半径r ，由勾股定理结合基本不等式求得外接球半径R 的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==．因为120BAC ∠=，所以2cos303BC AB a =⋅=，则该三棱柱的侧面积为()23843ah +=+，故4ah =，设,N M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，设ABC 的外接圆半径为r ，则MC =32sin 2sin120BC a r a BAC ===∠⨯，设球O 的半径为R ，则22222222164244h h h OC R r a h ⎛⎫==+=+=+≥ ⎪⎝⎭，所以2R ≥，故球O 的体积为：334432ππ2π333R ≥⋅=．结合选项可知：球O 体积可能是12π，32π3，故选：AB ．26．AB 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为2 9，∴22249rRππ=，则223r R=；设球心到圆锥底面的距离为d ，则221 3d R r R =-=，所以圆锥的高为43h d R R=+=或23h R d R=-=，设圆锥体积为1V与球体积为2V，当43h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321224133383442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，当23h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321222133343442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===.故选：AB 27．AD 【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由线段MN 的最小值为31-求出a ，按照球的性质逐一判断每个选项即可.【详解】设正方体的棱长为a ，则其外接球的半径为32R a =，内切球的半径为2a R '=，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，由于两球球心相同，可得MN 的最小值为33122a a -=-，解得2a =，故C 错误；所以外接球的半径为3，表面积为4312ππ⨯=，故A 正确；内切球的半径为1，体积为43π，故B 错误；MN 的最大值为31R R '+=+，故D 正确；故选：AD.【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.28．ACD【解析】【分析】求出当90θ=时，四面体ABCD 的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；利用余弦定理可判断B 选项的正误；利用90BAD ∠=时，四面体ABCD 的表面积的最大，可判断C 选项的正误；求出球O 的半径，利用球体的体积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，23AC AB ==，60ABC ∠=，则ABC 为等边三角形，取AC 的中点E ，则BE AC ⊥，同理可知，ACD △为等边三角形，所以，DE AC ⊥，且23sin 603BE DE ===，1332ABC S AC BE =⋅=△，所以，二面角B AC D --的平面角为BED θ=∠，设点D 到平面ABC 的距离为d ，则sin 3sin d DE θθ==，11333sin 33sin 3333D ABC ABC V S d θθ-=⋅=⨯⨯=≤，当且仅当90θ=时，等号成立，即四面体ABCD 的体积的最大值是33，A 选项正确；对于B 选项，由余弦定理可得()2222cos 1818cos 0,36BD BE DE BE DE θθ=+-⋅=-∈，所以，()0,6BD ∈，B 选项错误；对于C 选项，33ACD ABC S S ==△△，AB AD BC CD ===，BD BD =，ABD CBD ∴≅△△，所以，1sin 6sin 62CBD ABD S S AB AD BAD BAD ==⋅∠=∠≤△△，因此，四面体ABCD 的表面积的最大值是233261263⨯+⨯=+，C 选项正确；对于D 选项，设M 、N 分别为ABC 、ACD △的外心，则113EN EM BE ===，在平面BDE 内过点M 作BE 的垂线与过点N 作DE 的垂线交于点O ，BE AC ⊥，DE AC ⊥，BE DE E ⋂=，AC ∴⊥平面BDE ，OM ⊂平面BDE ，OM AC ∴⊥，OM BE ⊥，BE AC E ⋂=，OM ∴⊥平面ABC ，同理可得ON ⊥平面ACD ，则O 为四面体ABCD 的外接球球心，连接OE ，EM EN =，OE OE =，90OME ONE ∠=∠=，OME ONE ∴≅△△，所以，302OEM θ∠==，23cos303EM OE ∴==，AC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，OE AC ∴⊥，22393OA OE AE ∴=+=，即球O 的半径为393R =，因此，球O 的体积为345239327V R ππ==，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.29．323π【解析】【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，所以224AC AB BC =+=，所以三角形外接圆半径22AC r ==，又球心O 到截面ABC 的距离为22，所以球的半径为()2222223R =+=．球体积为()33442332333V R πππ==⨯=．故答案为：323π．30．92π【解析】【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.31．50π【解析】【分析】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．【详解】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，5PA =，4AB =，3AD =，∴长方体的对角线长为22254352++=，则长方体的外接球的半径522R =，∴该阳马的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⋅=．故答案为：50π．32．20π【分析】如图，由题意可得BD ⊥平面ABC ，E 为三角形ABC 的外心，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在过E 垂直于平面ABC 的直线上，设为点O ，则外接球的半径为OB ，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积【详解】解：因为平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD 平面ABC BC =，90CBD ∠=︒，所以BD ⊥平面ABC ，设E 为三角形ABC 的外心，连接,AE BE ，则290AEB BCA ∠=∠=︒，因为22AB =，所以2AE BE ==,过E 作垂直于平面ABC 的直线，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为O ，连接,OB OD ，设外接球的半径为R ，则OB OD R ==，因为2BD =，所以22215OB =+=，即5R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()2244520R πππ=⋅=，故答案为：20π。

培优点十四 外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为16，则这个球的表面积是 （）A ．16πB ． 20πC ． 24πD ．32π【答案】C 【解析】Va 2h 16， a 2 ， 4R 2 a 2 a 2 h 2 4 4 16 24 ， S 24π ，故选 C ．2．补形法（补成长方体）PPPPO 2ccAbCCa bAAaB aBBbc C AaB bcC图 1 图 2 图 3 图 4例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 ．【答案】9π 【解析】 4R 23 3 3 9 ， S 4πR 2 9π ．3．依据垂直关系找球心 例 3：已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA BC，π 6ABC，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为2（）16 3A ．8πB ．16πC ．πD ． 32 3π【答案】D1 【解析】因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是 r，设外接球的 12 32半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则11V S h 6h 3△，ABC361S△63，BD 3，由题设ABC21最大体积对应的高为SD h3，故R2d23，即233R R，解之得R2，2所以外接球的体积是4π332πR，故答案为D．33对点增分集训一、单选题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．24πD．48π【答案】B2 222【解析】设长方体的外接球半径为R，由题意可知：2R235，则：R23，该长方体的外接球的表面积为S4πR24π312π．本题选择B选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．28πC．44πD．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r23sin60，则r2，2设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R23227，外接球的表面积S4πR228π．本题选择B选项．3．把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC平面ADC，则三棱锥2D ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．27πC．18πD．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC 平面ADC，则三棱锥D ABC的外接球直径为AC 32，外接球的表面积为4πR218π，故选C．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A．a2πB．2a2πC．3a2πD．4a2π【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为2a的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为푎的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222233R a a aa Ra，所以该几何体外接球面积22232S 4πR 4πa3aπ2，故选C．5．三棱锥A BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB 平面BCD，BC BD 2，3AB 2CD 4 3 ，则球 O 的表面积为（） A ．16π B ．32πC ． 60πD ． 64π【答案】D22 22 3122【解析】因为 BC BD 2 ，CD 2 3 ，所以CBDcos2 2 22，2πCBD，3因此三角形 BCD 外接圆半径为1 CD 2sin CBD2，设外接球半径为 R ，则2R2 =22 +4 12 16 ，S =4πR 264π ，故选D ．AB26．如图 ABCD A B C D 是边长为 1的正方体， SABCD 是高为 1的正四棱锥，若点S ，1 1 1 1A ，B 1 ，C 1 ，D 1 在同一个球面上，则该球的表面积为（）19 A ． 16 π25 16 B ．π49 16 C ．π81 D ． π16【答案】D【解析】如图所示，连结A C，B1D1，交点为M，连结SM，11易知球心O在直线SM上，设球的半径R OS x，在R t△OMB中，由勾股定理有：142222OMB MB O ，即：22 22 xx ，解得： 1129x ，则该球的表面积82SR4π 4ππ ．本题选择 D 选项．29 81 8167．已知球 O 的半径为 R ， A ， B ， C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1 2R ，AB AC 2 ， BAC 120，则球 O 的表面积为（ ）16 9 A ． π 16 3 B ． πC ．649 π D ． 64 3 π 【答案】D【解析】由余弦定理得： BC4 4 222cos1202 3 ，设三角 ABC 外接圆半径为 r ，由正弦定理可得： 2 3 sin1202r，则 r2，又 R 21 R2 4 ，解得： R 216 ，则球的表面积 4π 2 64 π SR．本题选择 D 选项．4338．已知正四棱锥 P ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点푃在底面的射影是底面的中心) 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10 ，若该正四棱锥的体积为 50 3，则此球的 体积为（ ）A ．18πB ．8 6C ．36πD ．32 3π【答案】C 【解析】如图，设正方形 ABCD 的中点为 E ，正四棱锥 P ABCD 的外接球心为 O ，底面正方形的边长为10，EA5，正四棱锥的体积为5031250，V10PE，P ABCD335则 PE 5 ，OE 5 R ，在△AOE中由勾股定理可得：VR5 R5 R ，解得 R3 ，4 π336π 22球，故选 C ．39．如图，在△ABC 中， AB BC 6 ， ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将△ABD 沿 BD折起到 △PBD 的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ． 7πB ．5πC ．3πD ． π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3 的正三角形，且 BD 平面 PCD ，设三棱锥 P BDC 外接球的球心为 O ， △PCD 外接圆的圆心为O ，则OO 1 面 PCD ，∴四边形OO 1DB 为直角梯形，17由 BD 3 ，O D ，及OB OD ，得OB，∴外接球半径为1 1 2∴该球的表面积4π 2 4π 7 7π S R．故选 A ．47 R，210．四面体 A BCD 中， ABCABDCBD 60 ， AB3 ，CB DB2 ，则此四面体外接球的表面积为（ ） 19 2 A ． π 19 38π B ．2417 17π C ．17πD ．6【答案】A 【解析】由题意，△BCD中，CB DB2，CBD60，可知△BCD是等边三角形，BF3，6∴△BCD 的外接圆半径 FE， r 2 3BE ，3 33∵ ABCABD 60，可得 AD AC7 ，可得 AF6 ，∴ AFFB ，∴ AFBCD ，∴四面体 A BCD 高为 AF6 ．设外接球 R ， O 为球心，OEm ，可得： r 2 m 2 R 2 ……①，2226πEFR ……②由①②解得：SR．故选 A ．R 19 ．四面体外接球的表面积：4π219 π 8211．将边长为 2的正 △ABC 沿着高 AD 折起，使 BDC 120 ，若折起后 A 、B 、C 、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A ． 7 2 π13 B ． 7πC ． π213 D ． π3【答案】B【解析】△BCD 中， BD1，CD1， BDC120 ，底面三角形的底面外接圆圆心为 M ，半径为 r ，由余弦定理得到 BC 3 ，再由正弦定理得到3 sin1202r r1，见图示：AD 是球的弦， DA 3 ，将底面的圆心 M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的一3半，即为球心的位置 O ，∴OM ，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 2即为球的半径．37OD．该球的表面积为 4πOD 27π ；故选 B ．∴球的半径14212．在三棱锥A BCD中，AB CD6，AC BD AD BC5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）7A ．43 43π 24 B ．43 43π 6 C ．43π 2D ． 43π【答案】D【解析】分别取 AB ，CD 的中点 E ， F ，连接相应的线段CE ， ED ， EF ， 由条件， ABCD4 ， BCACAD BD5 ，可知， △ABC 与△ADB ，都是等腰三角形，AB 平面 ECD ，∴ AB EF ，同理CD EF ，∴ EF 是 AB 与CD 的公垂线，球心G 在 EF 上，推导出△AGB ≌△CGD ，可以证明G 为 EF 中点，DE 25 9 4 ， DF3， EF 16 9 7 ，∴GF7 ，球半径 7 9 43 2 4 2故选 D ．二、填空题13．棱长均为 6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π16 1 6 【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r2 sin6023 22 3 ，2则外接球的半径R 32 391221 ，2则外接球的表面积为 S4πR 24π 21 84π ．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】32 16 3π【解析】设正四棱锥的棱长为 a ，则 43216 3 a，解得 a 4 ．4于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，8其中MN 4，PM PN 23．∴PE 22．设内切圆的半径为r，由△PFO △PEN，得FO PO，即r 22r，EN PN22322解得r 6231，2 ∴内切球的表面积为Sr2．4π4π6232163π15．已知三棱柱A BC A B C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为1113，AB 2，AC 1，BAC 60，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱A BC A B C的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AB 2，AC1，1111BAC 60，21sin603，，AA AA1 212BC2AB2AC22AB ACcos60412，BC 3，BC设△ABC外接圆的半径为R，则＝2R ，R 1，sin602∴外接球的半径为112，∴球的表面积等于4π28π．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD中，AB AC，DB DC，AB DB 4，AB BD，则三棱锥A BCD外接球的体积的最小值为_____．82π【答案】3【解析】如图所示，三棱锥A BCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD，9设 AB AC x ，那么 DB DC 4 x ， AB BD ，所以 ADAB 2 DB 2 ．由题意，体积的最小值即为AD 最小， 24AD xx ，所以当 x 2 时， AD 的最小值为 2 2 ，所以半径为 2 ，28 2π 故体积的最小值为3．10。

培优点十四 外接球例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π 【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =．例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为． 【答案】55π【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =．DCBA三、汉堡模型二、对棱相等模型一、墙角模型例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为．【答案】4π3【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则12a =，正六棱柱的底面积为216()428S =⋅=，则98V Sh ===，∴h =222414R =+=，也可2221()12R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3V '=．例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为．【答案】4π3【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，四、切瓜模型故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3V =． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆，此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3V =．例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．3πB ．2πC ．16π3D ．以上都不对 【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-，32=R ，2164ππ3S R ==． 法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，五、垂面模型故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是22sin 60R ==︒例6：三棱锥ABC P -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB △和ABC △均为边长为2的正三角形， 则三棱锥ABC P -外接球的半径为．【答案】3【解析】如图，12222sin 60r r ===︒，3221==r r ，312=H O ，35343121222=+=+=r H O R ，R =法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ．六、折叠模型例7：在矩形ABCD中，4=AB，3=BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB--，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．125π12B．125π9C．125π6D．125π3【答案】C【解析】52==ACR，25=R，344125125πππ3386V R==⋅=，故选C．七、两直角三角形拼接在一起一、选择题1．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故22R ==，即得1R =，所以该球的体积344ππ33V R ==． 2．已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2SA =，4SB SC ==，则该三棱锥的外接球的半径 为（） A ．3 B ．6C ．36D ．9【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S ABC -的三条侧棱为棱的长方体的外接球，3=． 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，对点增分集训则222x y z ++等于（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则222224a b c ++==，根据题意222a b x +=，222b c y +=，222a c z +=，则2222222()8x y z a b c ++=++=．4．正四面体的棱长为 A ．36π B ．72πC ．144πD ．288π【答案】C【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径2πsin 33r =⋅=，正四棱锥顶点到底面的距离为8h ==，设正四棱锥的外接球的半径为R ，则有222()R r h R =+-，即222(8)R R =+-，解得6R =．则所求球的表面积为24π144πS R ==．5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（）BABCD ．3【答案】A【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径31π2sin 3r =⨯=2223()22R R =+⇒=．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）AB． C．D ．132【答案】D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是132R ==． 7．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =AC =BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（）AB ．6πC ．5πD ．8π【答案】B【解析】如图所示，由已知，BC AD ⊥，AB BC ⊥，∴BC ⊥面ABD ，∴BC BD ⊥，∴2CD ==，∴222AD AC CD +=，∴AD AC ⊥，取CD 的中点O ，由直角三角形的性质，O 到A ，B ，C ，D其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为24π6πS ==．8．在三棱锥A BCD -中，ABC △与BCD △都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ， 则该三棱锥的外接球的体积为（）A． B ．60π C． D．【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，E ，F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM ，DM ，OF ，OE ，OM ，OB ，则E ，F 分别在AM ，DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM BC ⊥，AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以AMD ∠为二面角A BC D --的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AMDM ⊥，又AM DM ==，所以13EM FM AM === 所以四边形OEMF为正方形，所以OM =OMB 中，C球半径OB ===所以外接球的体积为V ==．9．在矩形ABCD 中，2AC =，现将ABC △沿对角线AC 折起，使点B 到达点B '的位置，得到三棱锥B ACD '-，则三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．大小与点B '的位置有关 【答案】C【解析】由题意，AC 的中点为三棱锥B ACD '-的外接球的球心，∵2AC =，∴球的半径为1，∴三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为4πS =．二、填空题10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的体积为．【答案】125π6【解析】如图所示，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在它的高PO '上，设球的半径为R，底面边长为4AC =，在AO O 'Rt △中，222OA O O O A ''=+，即()22242R R =-+， 所以52R =，所以球的体积34125ππ36V R ==．11．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是．【答案】29π【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（,,a b c +∈R ）， 则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，24π29πS R ==．12．在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为． 【答案】29π2【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ，∴291649)(2222=++=++c b a ， 229222=++c b a ，22942=R ，29π2S =． 13．在直三棱柱111C B A ABC -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为． 【答案】160π3【解析】282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，160π3S =表． 14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为的正三角形，SC 为球O 的 直径，且2SC =，则此棱锥的体积为．【答案】6【解析】36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h，1133436V Sh ==⋅=球． 15．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，45C ∠=︒，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为．1【答案】4π【解析】如图，易知球心在BC 的中点O 处，=4πS 表．16．在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．【答案】28π【解析】如图，取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．。

外接球专项训练参考答案一．选择题1、已知球的半径为2，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（ ）A ．1 B．2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得，故D 。

考点：球的几何性质及运算。

2、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C如图,易由余弦定理可因，故;同理，故，所以是棱长为应选C 。

考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。

3、球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A．4 O M N M N 2ππ||MN =538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d R d R d 222PA AB PB =+BA PB ⊥222PC CB PB =+BC PB ⊥C B A P ,,,O ,,,S A B C ,,,O A B C ABC ∆SAB ⊥ABC S ABC -【答案】A【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是A 。

考点：几何体的外接球等有关知识的运用。

【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。

本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。

解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，定当4、已知在三棱锥中，面，，若三棱锥的外接球的半径是3，，则的最大值是（ ）A ．36B ．28C ．26D ．18 【答案】D【解析】因为面，所以，，又因为,所以平面，所以，所以有，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解．5、如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）ABC ∆O CO AB P AB PD ⊥SAB ⊥ABC ⊥PD ABC ∆PD ,,,O A B C O ABC ∆O ABC PD P ABC -PA ⊥ABC PC AB ⊥P ABC -ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++S PA ⊥ABC PA AB ⊥PA AC ⊥PC AB ⊥AB ⊥PAC AB AC⊥2222(23)36AB AC AP ++=⨯=AB AC AP ==S 36A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）A ． C ． D 【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可8π16π32π64π8π9πO F BCD考点：三视图. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正其外接圆的同样正的外接圆的半径是由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,将其代入可得由应选C. x ,,a b c MNP ∆111P N M ∆O AC 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 82122=-d d考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正其外接圆的半径同样正的外接圆的半径是由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,将其代入所以外接球的其中计算时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（）A．【答案】A【解析】球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是MNP∆111PNM∆O111,,,,,PNMPNM O111PNM∆1d O MNP∆2dMNP111PNM2222221212,rdRrdR+=+=822212122=-=-rrdd82122=-dd82122=-dd21,hh3O O3OA ．24πB ．24π＋8πC ．24π＋4πD ．32π答案：C10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ） （A（B ）1 （C（D【答案】A【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，即为到平面的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．11、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A（B）1 （C （D 【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ． CS ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC S ABC -AB 2SA SB SC ===S ∴ABC AB H SH ∴⊥ABC SH ∴,,A B C 3SH =1CH =SHC SC MO O S ABC -2SC =1SM ∴=30OSM ∠=︒O ABC S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC 34π【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径，表面积是选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 13、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】连接，则由已知得，可知三棱锥是棱长为的正四面体，其高为，则三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为考点：三棱锥外接球．14、半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（）A． D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥中，是的中点，且，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2434.R ππ=OC OB OA ,,1======AC BC AB OC OB OA ABC O -1ABC S -ABC S -,,A B C αD ,,,A B C D O 9π23x h S ABC -M SC AM SB ⊥S ABC -6π12π32π36π【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB 平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ？SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． SA=2，∴正三棱锥S-ABC ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥,在底面中则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． 【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.⊂2412S R ππ==P ABC -ABC ∆60,BC =16π2=AC 222AC BC AB =+090=∠ABC ⊥PA ABC BC PA ⊥⊥BC PAB PB BC ⊥PBC PAC ,PC PC O PC 4=PC ππ1642==R S考点：球与几何体17、已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，则三棱柱1外接球的表面积是故选C ．考点：几何体的外接球18、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）111C C AB -A B 6O 3AB =C 4A =C AB ⊥A 112AA =O 153π160π169π360π111C C AB -A B C AB 111C C AB -A B 111C C AB -A B 224169R cm ππ=．1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1111,,,A B C DA【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，则在中，，D ．考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A ． C ． D ． 【答案】A【解析】因为平行四边形中，，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥A ． O 1OG x =12OB SO x ==-11Rt OB G ∆2221111OB G B OG =+ABCD AB BD ⊥22421AB BD +=BD A BCD -π2π4πABCD BD AB ⊥BD C BD A --BCD A -AC BCD A -BCD A -考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合．20、如图, 在菱形中为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,外接球面积为.考点：球的内接几何体.21、已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( ) （A （B （C ）3 （D ）【答案】B【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为ABCD 60,AB =BD ABD ∆BD PBD ∆120PEC ∠=P BCD -28π32π16π12π,M N ,PBD CBD 11,2O N NC ==11120,60MO N OO N ∠=∠=603=244728R πππ=⋅=P PA PB PC 60︒O A B C O 36πO P 6OP ABC 'O ABC ∆PAB ∆'AO PO OA PA ⊥⊥，为球的体积为，所以半径，所以考点：点、线、面间的距离计算． 【思路点睛】连接交平面于，由可得，根据球的体积可得半径，进而求出答案． 22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且，，，则等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B 【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，根据题意，得，则；故选B ．考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线36π3OA =OP ABC 'O 'AO PO OA PA ⊥⊥，3OA =AB CD x ==BC DA y ==CA BD z ==222x y z ++c b a ,,422222==++c b a 222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+8)(2222222=++=++c b a z y x且为实线的正方形；故选B ．考点：三视图．24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为正方形高为正四棱柱,故其对角线长为故该几何体的外接球的面积为,选C.考点：三视图与几何体的外接球．25、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）C【答案】D 【解析】因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足 D. 考点：几何体外接球的性质. 26、已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA=SB=SCQ 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C 【答案】D【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即43ππ2542==R S ,,A B C ',','A E A F A D 1,1,2R S ABC -,,SA SB SB SC SC SA ⊥⊥⊥SA SB SC ==为以所以球心到平面的距离所以点到平面的距离的最大值为D ． 考点：球的性质及组合体的应用．27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）A ．20 B． D【答案】A ，两腰为的等腰三角形，高为，底面三角形的外接半径为，设该三棱柱的外接球的半径为，则，所以该三棱柱的外接球的表面积为，故选A ．考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积．【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力．28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）,,SA SB SC ABC Q ABC120π25π222R 221215R =+=2420S R ππ==A ．B ．C ． D． 【答案】B【解析】由题意此四面体是棱长为的正四面体，其外接球半径为，所以B ． 考点：三视图，外接球，球体积．【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可用正四面体高减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）a h R a h R h C C '''AB -A B C C A ⊥B C 2'B =BB =C 4A =M 'AB C M -ABA． B【答案】A【解析】由题意可取的中点，连接,在直角中，所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得,从而判断点在平面内的射影位置，而又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥外接球的球心在上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、已知球面上有四个点，球心为点，在上，若三棱锥则该球的表面积为（）A． B． C【答案】B【解析】设球的半径，首先因为在上，所以为球的直径，为直角三角形，，若使三角形的面积最大，则点到边的距离最大即可，因为三点共面．所以最大距离为半径，三角形；当点距离平面最大时为，则三棱锥的体积的36πAB D,MD CD MCD∆M ABC ABC∆ABCM-AB O()222MD r CD r-+=()2215r r-+=3r=MA MB MC==M ABCABC∆CM-AB MD,,,A B C D O O CD A BCD-O4π16πr O CD CD O BCD∆2CD r=B CD,,B C D rBCD A BCD r A BCD-，，所以该球的表面积为，选B．考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．2π B．3π C．4π D．5π【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线B．二、填空题（注释）32、在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形.若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】【解析】连结交于，则可证得平面，连接，则就是直线与平面所成的角，即，，四棱锥的外接球的半，则所求外接球的表面积为,故应填.考点：四棱锥的外接球的面积及求法．33、已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且棱锥的体积为2r=4416ππ⋅=P ABCD-PB⊥ABCD ABCD PC PDBP ABCD-12πAC BD H AC⊥PDB PH CPH∠PC PDB 30CPH∠=°2CH=∴P ABCD-12π12πABCD R O O ABCD-，则= ________．【答案】【解析】由题可得四棱锥的侧棱为，则考点：多面体与外接球．R 4RWelcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

专题12球体的外接与内切小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1直接求球的表面积与体积及相关应用（10年3考）2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.考点2正方体与长方体中的球体切接问题（10年4考）2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷2016·全国卷、2016·全国卷考点3圆锥与圆柱中的球体切接问题（10年3考）2021·天津卷、2020·全国卷、2017·江苏卷考点4棱锥与棱台中的球体切接问题（10年5考）2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷考点5球体切接问题中的最值及范围问题（10年5考）2023·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·全国新Ⅰ卷、2018·全国卷、2016·全国卷、2015·全国卷考点01直接求球的表面积与体积及相关应用1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.故选：C.2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是.【答案】43π【分析】根据公式即可求解.【详解】解：球的体积为：344133V ππ=⨯⨯=,故答案为：43π3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【答案】9π【详解】由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=.考点02正方体与长方体中的球体切接问题1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =++=，即2R =则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =++，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.故答案为：122．（2020·天津·高考真题）若棱长为23）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()22223232332R ++==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92π【详解】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.4．（2016·全国·高考真题）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π【答案】A【详解】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A.【考点】正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个：外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别、2a 5．（2016·全国·高考真题）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为.【答案】14π【详解】长方体的体对角线长为球的直径，则2R ==，2R =，则球的表面积为24(142ππ=.考点03圆锥与圆柱中的球体切接问题1．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥ ，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠= ，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，CD ∴=因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.2．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．【答案】3【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：r =，其体积：343V r π==.故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1O2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1,球O 的体积为V2，则12V V的值是【答案】32【详解】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．考点04棱锥与棱台中的球体切接问题1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为正三棱柱SMN ABC -，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为同一球面上，则该球的表面积为（）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d -=或121d d +=，1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．12C ．4D ．4【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=则ABC ，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以11111332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.4．（2020·全国·高考真题）已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=， ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．（2020·全国·高考真题）已知△ABC 且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D 【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.6．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆ 为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体一部分，2R =34433R V R =∴=π==π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆ 为边长为2的等边三角形，CF ∴90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC = ，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴=R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．考点05球体切接问题中的最值及范围问题1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是．【答案】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R '为体对角线长1AC =2R R ''==，故max R =分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为综上，R ∈.故答案为：3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12CD．2【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCD V r h -=⋅⋅=≤=当且仅当222r h =即h .故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r，则2r =，所以该四棱锥的高h =，13V a =(当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h .故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r ，则2r =，所以该四棱锥的高h =，13V a =2(02)a t t =<<，V =()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=，403t <<，()0f t '>，单调递增，423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V 最大，此时h =故选：C.【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(333333h h h V a h h h h h h h ⎡⎤-++==-=-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a 22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=，a ⇒，正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].434．（2018·全国·高考真题）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===2334ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 33BE ∴==Rt OMB ∴ 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 1361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型．5．（2016·全国·高考真题）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则该球体积V 的最大值是A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π【答案】B【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.考点：球及其性质.6．（2015·全国·高考真题）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和锥体的体积．。

培优点十四 外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R =+=，对点增分集训外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R a =++=⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a a ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ．5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， Q 底面正方形的边长为10，5EA ∴=， Q 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形， 由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．19π2B ．1938πC ．17πD ．1717π【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴3OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径． ∴球的半径3714OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4343πB ．4343πC ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴7GF =，球半径74394DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=． 故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________． 【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161232sin6023r =⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则234163a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =． 设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即22223r r -=， 解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-Q ，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____． 【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222故体积的最小值为82π3．。

专题与球有关的外接与内切问题二．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径. 三．解题策略类型一 构造法（补形法）【例1】已知,,,S A B C 是球O 上的点SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥, 1SA AB ==， 2BC =,则球O 的表面积等于________________． 【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A ．B ．C ．D ．2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) A .33B . 3C ．2 3D ．4 2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱111ABC A B C −的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒， 则此球的表面积等于 . 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．D ．2、已知三棱柱111ABC A B C −的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．3172 B ．210C ．132D ．3103、 正四棱柱1111ABCD A B C D −的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 四．强化训练 一、选择题1、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，底面边长分别为2和4，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ． 2．【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M 是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）A ． B ．C ．D ．3．【广东省深圳市2019届高三第一次（2月)调研】已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，，，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为，三棱銋O 一ABC 的体积为，若的最大值为3，则球O 的表面积为 A ．B ．C ．D ．4．【江西省南昌市南昌外国语学校2019届高三高考适应】在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．5．【四川省泸州市泸县第一中学2019届高三三诊】点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A．B．C．D．6．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC，，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（）A．3 B．C．D．7．【四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考】已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）A．B．C．D．8．【2019届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于A．B．C．D．二、填空题9．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为__________．10．【四川省泸州市2019届高三上学期一诊】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_____．11．【陕西省榆林市2019届三模】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．12．【云南省2019届高三第一次检测】已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，，,平面平面，则球的表面积为_____.13．【陕西省汉中市2019届高三第二次检测】三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于__________．14．【山西省吕梁市2019年4月模拟】在四棱锥中，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，则四棱锥的外接球的表面积是_____．15．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模)】已知是球表面上四点，点为的中点，且，，，，则球的表面积是__________．16.【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期一模】在三棱锥中，是等边三角形，底面，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．。

2021届高三精准培优专练例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，22224441624R a a h =++=++=，24πS =．例2：如下图所示三棱锥A BCD -，其中5AB CD ==，6AC BD ==，7AD BC ==，则该三棱锥 外接球的表面积为 ． 【答案】55π【解析】对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，55πS =．例3：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 ．DCBA培优点 外接球一、墙角模型二、对棱相等模型三、汉堡模型【答案】4π3【解析】设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ， 则12a =，正六棱柱的底面积为231336()428S =⋅⋅=， 则33988V Sh h ===，∴3h =， 22241(3)4R =+=，也可22231()()122R =+=，1R =， 设球的体积为V '，则4π3V '=．例4：正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 ． 【答案】4π3【解析】方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =， 故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，4π3V =． 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是SAC △的外接圆， 此处特殊，SAC Rt △的斜边是球半径，22=R ，1=R ，4π3V =．例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）四、切瓜模型五、垂面模型A．3πB．2πC．16π3D．以上都不对【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(RR=+-，32=R，2164ππ3S R==．法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN的外接圆是大圆，于是22sin603R==︒，下略．例6：三棱锥ABCP-中，平面PAB⊥平面ABC，PAB△和ABC△均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP-外接球的半径为．【答案】15【解析】如图，12222sin603r r===︒，3221==rr，312=HO，六、折叠模型35343121222=+=+=rHOR，153R=．法二：312=HO，311=HO，1=AH，352121222=++==OOHOAHAOR，315=R．例7：在矩形ABCD中，4=AB，3=BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB--，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．125π12B．125π9C．125π6D．125π3【答案】C【解析】52==ACR，25=R，344125125πππ3386V R==⋅=，故选C．七、两直角三角形拼接在一起一、选择题1．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线， 故()22221122R =++=，即得1R =，所以该球的体积344ππ33V R ==． 2．已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2SA =，4SB SC ==，则该三棱锥的外接球的半径 为（ ） A ．3 B ．6C ．36D ．9【答案】A【解析】因为三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S ABC -的三条侧棱为棱的长方体的外接球， 长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为222124432++=． 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且AB CD x ==，BC DA y ==，CA BD z ==，则222x y z ++等于（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则222224a b c ++==，根据题意222a b x +=，222b c y +=，222a c z +=，则2222222()8x y z a b c ++=++=．BCDA对点增分集训4．正四面体的棱长为，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．72πC ．144πD ．288π【答案】C【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径2πsin 33r =⋅=正四棱锥顶点到底面的距离为8h ==， 设正四棱锥的外接球的半径为R ，则有222()R r h R =+-，即222(8)R R =+-，解得6R =．则所求球的表面积为24π144πS R ==．5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ） A．2BCD ．3【答案】A【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径31π2sin 3r =⨯=2223()22R R =+⇒=．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） AB．C．D ．132【答案】D【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点，那么半径，就是132R ==． 7．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） AB ．6πC ．5πD ．8π【答案】B【解析】如图所示，由已知，BC AD ⊥，AB BC ⊥，∴BC ⊥面ABD ，∴BC BD ⊥，∴2CD ==，∴222AD AC CD +=，∴AD AC ⊥，取CD 的中点O ，由直角三角形的性质，O 到A ，B ，C ，D的距离均为2其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为24π6π2S ==．8．在三棱锥A BCD -中，ABC △与BCD △都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B ．60πC．D．【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，E ，F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM ，DM ，OF ，OE ，OM ，OB ，则E ，F 分别在AM ，DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM BC ⊥，AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以AMD ∠为二面角A BC D --的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AMDM ⊥，又AM DM ==，所以13EM FM AM === 所以四边形OEMF为正方形，所以OM =OMB 中，球半径OB ===C所以外接球的体积为34π3V ==．9．在矩形ABCD 中，2AC =，现将ABC △沿对角线AC 折起，使点B 到达点B '的位置，得到三棱锥B ACD '-，则三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．大小与点B '的位置有关【答案】C【解析】由题意，AC 的中点为三棱锥B ACD '-的外接球的球心，∵2AC =，∴球的半径为1，∴三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为4πS =．二、填空题10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为则该球的体积为 ． 【答案】125π6【解析】如图所示，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在它的高PO '上，设球的半径为R ，底面边长为4AC =，在AO O 'Rt △中，222OA O O O A ''=+，即()22242R R =-+，所以52R =，所以球的体积34125ππ36V R ==．11．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 ． 【答案】29π【解析】由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（,,a b c +∈R ），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ， 24π29πS R ==．12．在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 ． 【答案】29π2【解析】设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,， 则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ，∴291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，29π2S =． 13．在直三棱柱111C B A ABC -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111CB A ABC -的外接球的表面积为 ． 【答案】160π3【解析】282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，160π3S =表． 14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为的正三角形，SC 为球O 的 直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 ．1【答案】6【解析】36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，1133V Sh ===球． 15．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，45C ∠=︒，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】4π【解析】如图，易知球心在BC 的中点O 处，=4πS 表．16．在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 ． 【答案】28π【解析】如图，取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．。

课时14 函数的应用模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．()y f x =的图象的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】把()y g x =中的x 换成x -，y 换成y -得：，，答案为D ．2.“1a =”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然，1a =时，在区间[1, +∞)上为增函数,但当在区间[1, +∞)上为增函数时，1a ≤.3．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D4．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%【答案】C【解析】利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，p %＝14＝25%.5．对于函数y ＝f (x )，若将满足f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，则函数f (x )＝2x ＋x 2＋2x －8的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】由题可知f (x )＝2x＋x 2＋2x －8＝0可变形为2x ＝－x 2－2x ＋8，设y 1＝2x ，y 2＝－x 2－2x ＋8，由y 1，y 2的图象得2个交点，即2个零点，选C.6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x (千米)与时间t (小时)之间的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－5t ，x ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5【答案】D7．已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0【答案】A【解析】设f 1(x )＝(13)x，f 2(x )＝log 2x ，画出f 1(x )和f 2(x )的图象(如图)，易知当0<x 1<x 0时，f 1(x 1)>f 2(x 1)，所以f (x 1)＝f 1(x 1)－f 2(x 1)>0，即f (x 1)的值恒为正值．8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是 .【答案】【解析】设0x <，则0x ->，，∴ ()1f x x =+，且(0)0f =0x =或0112x x <⎧⎪⎨+<⎪⎩或0112x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：12x <-或302x ≤≤9．判断方程3x －x 2＝0的负实数根的个数，并说明理由．10．设,a b R ∈,且2a ≠,定义在区间(,)b b -内的函数是奇函数．（1）求b 的取值范围；（2）判断并证明函数()f x 的单调性． 【解析】（1），∴ 2221114a x x -=-∴，∵ 2x 不恒为0，∴24a =，又2a ≠，故2a =-，∴由12012x x->+，得：1122x -<<，由题意：，∴102b <≤．[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11. （5分）f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0.则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.12. （5分）为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．【答案】4【解析】依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2， 解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4.。

例1：已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A ．3172B ．210C ．132D ．310例2：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积是（ ） A ．334B ．33C ．34D ．312例3：已知,A B 是球O 的球面上的两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64πC ．144πD ．256π一、选择题1．一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4，棱柱的体积为16，棱柱的各项点在一个培优点十四 外接球一、构造正方体与长方体的外接球问题二、与正棱锥有关的外接球问题三、其他柱体、锥体的外接球问题对点增分集训球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， 则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．12πD ．3．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．32π34．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD ，则这个球的表面积为（ ） A ．169π16B ．289π16C ．25π16D ．8π5，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．D ．6π6．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==90B ∠=︒，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A ．21πB ．32π3C ．16π3D ．16π7．已知四面体ABCD 中，6AB AD ==，4AC =，CD =，AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36πB ．88πC ．92πD ．128π8．已知A ，B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ） A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π9．已知A ，B ，C ，D 是同一个球面上的四个点，其中ABC △是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A ．16πB ．24πC ．D ．48π10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为（ ）A ．40π3B ．30π3C ．20π3D ．10π311．如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．则四面体P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．B ．24πC ．D ．48π12．已知四面体ABCD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且AB BC ==2AC =，DC =则这个四面体的体积为（ ）A ．23B ．3C ．3D ．3二、填空题13．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．14．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为正方形，若PA =OAB △的面积为 ． 15．在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，6AC =，π3A =，14AA =，则直三棱柱111ABC ABC -的 外接球的表面积 ．16．已知某一多面体内接于球构成-个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．例1：【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形， 把直三棱柱111ABC A B C -补成长方体，则长方体的体对角线就是球O 的直径，即球O 的半径为2223412132++=． 例2：【答案】C【解析】∵正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大圆上， ∴球心是底面三角形的中心，∵球的半径为1，∴底面三角形的边长为3，即该正三棱锥的体积为2133(3)1344⨯⨯⨯=． 例3：【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则212AOB S R =△， 当OC ⊥平面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大， 此时2113632V R R =⨯⨯=，解得6R =， 所以球O 的表面积为24π6144πS =⨯=．一、选择题 1．【答案】C【解析】正四棱柱的高为4，体积为16，则底面面积为4，即底面正方形的边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为26，即球的半径为6，球的表面积为24π． 2．【答案】A【解析】把原来的几何体补成以DA ，DC ，DP 为长、宽、高的长方体， 原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，培优点十四 外接球 答案2R l ==2R =，23=4π4π3π4S R =⨯=球． 3．【答案】C【解析】∵在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===， ∴AB ，BC ，1AA 为棱构造一个正方体，则外接球的半径2R ==24π12πS R ==． 4．【答案】B【解析】设ABC △的中心为E ，过点E 作平面ABC 的垂线l ，则有题意可知，点D 在直线l 上，ABC △的面积为1sin 602S =︒=． 由体积的最大值可得1133S DE DE ⨯⨯==，则4DE =．由题意易知，外接球的球心在DE 上， 设球心为点O ，半径OD OB R ==．ABC △的外接圆半径满足2sin a r A=，即2sin 60r =︒，∴1r BE ==． 在OBE Rt △中，222OE BE OB +=，即222(4)1R R -+=，解得178R =． 据此可得这个球的表面积为22892894π4ππ6416S R ==⨯=．5．【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，即此球的半径R =，故球的表面积24π3πS R ==．6．【答案】D【解析】因为ABC △为等腰三角形，所以AC 为截面圆的直径，AC =即该三棱锥的外接球的球心O 在截面ABC 中的射影为AC 的中点D ，当P ，O ，D 三点共线且P ，O 位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为PD ，所以11=332PD ⨯，解得=3PD ，设外接球的半径为R ，则3OD R =-，OC R =，在OCD Rt △中，12CD AC ==222(3)R R -+=，解得2R =， 所以外接球的表面积为24π216πS =⨯=．7．【答案】B【解析】在ACD △中，由6AD =，4AC =，CD =， 可得222AD AC CD +=，则AC AD ⊥，又AB ⊥平面ACD ，故2R ===，则24π88πV =⨯=．8．【答案】D【解析】由题意可知221111(sin 60)(sin 60)3232C OAB V R h R R -=︒≤︒=6R =，34=π288π3V R =球． 9．【答案】C【解析】把A ，B ，C ，D 扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，26AD AB ==，3OE =，ABC △是正三角形，所以AE ==AO ==所以球的体积为34π3⨯=．10．【答案】A【解析】设ABC △外接圆半径为r ，三棱锥外接球半径为R ， ∵2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，∴22212cos604922372BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，即BC =∴2sin 603BC r ==︒，解得3r =，∵PA AB ⊥，PA AC ⊥，∴PA ⊥平面ABC ， 则将三棱锥补成三棱柱可得，2222110()1293PA R r =+=+=，即球O 的表面积为21040π4π4π33S R ==⨯=． 11．【答案】A【解析】∵在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan 2APO ∠=．∴sin APO ∠=，cos APO ∠=，∴AO =，PO = 由题意知四面体P ABC -的外接球的球心O '在线段PO 上，∴222O O AO AO ''+=，∴222()(33R R -+=，解得R =．∴四面体P ABC -的外接球的体积为．12．【答案】B【解析】∵AB BC ==2AC =，∴222AB BC AC +=．∴AB BC ⊥，∴ABC △外接圆的直径为AC ，球心O '为AC 的中点． ∵球心O 恰好在侧棱DA 上，∴OO '⊥面ABC ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以AD BC ∥．即BC ⊥面ABC ，DC =则四面体的体积为1113323ABC S DC ⋅=⨯=△．二、填空题13．【答案】29π【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为2，3，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， 设该三棱锥的外接球半径为R ，∴2R ==，∴2R =． ∴外接球的表面积为24π29πS R ==．14．【答案】【解析】∵ABCD是边长为PA ⊥平面ABCD，PA =．∴222242448PC AP AC =+=+=，∴2R =R OP ==，∴1sin 602AOB S =⨯︒=△． 15．【答案】160π3【解析】由题的直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心2O 和下底面 外接圆的圆心1O 的连线12O O 的中点O ．在三角形ABC 中，由余弦定理得222π46246cos283BC =+-⨯⨯⨯=，∴BC =2sin 3r ==，∴r = 在直角三角形1O OA 中，OA R =，12OO =，1O A r ==11 精准培优专练 ∴2428404214933R =+⨯=+=． ∴球的表面积为240160π4π4π33S R ==⨯=．16．【答案】12π【解析】由三视图可知，组合体是求内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r =r =所以球的表面积为24π12πS R ==．。